本研究欲探討對於數學系學生而言，在學習基礎微積分時，對於函數極限的 形式化定義與概念之間所形成的抽象感有哪些？因此在問卷設計部分，採用了 Spivak (1967) 於其所著的基礎微積分教科書中所陳述的五項的函數極限定義。
Spivak (1967) 由函數極限的口語非形式化定義開始，利用四個步驟漸進地由口 語描述逐步轉換為以符號描述，最終進入函數極限的ε - δ 形式化定義，在本章 第一節的部分，詳述了這五項的函數極限定義。
當學生一開始接觸函數極限的概念時，對於定義 5 所陳述之函數極限的 ε - δ 形式化定義往往感到較定義 1 所陳述之函數極限的口語化定義為抽象，但一部分 數學系學生，在其經過多年數學系的分析相關課程訓練之後，對於函數極限的ε - δ 形式化定義的抽象感竟有所改變；因此，我們可以瞭解到各個不同的數學系 學生，對於 Spivak (1967) 所提出的五項函數極限定義所具有的抽象感和抽象程 度可能是有所不同的，並且，在其判定抽象感以及抽象程度的準則上，可能也是 有所差異的；因此，本研究利用了探討人類選擇行為經常使用的成對比較法(pair comparison)，來比較 Spivak (1967) 所提出的五項函數極限定義的抽象程度高低，
以剖析數學系學生對於函數極限的ε - δ 形式化定義的抽象感之由來及其判定機 制。
成對比較法是透過受試者進行客體(objects)之間的兩兩比較，利用兩兩比較 的方式來判定受試者較為喜歡(在本研究中是判定較為抽象)的客體，以獲得兩客 體之間的相對比率值，利用此相對比率值所構成的成對比較矩陣，計算客體的優 先權重向量。因此，在 n 個不同的物件之中，總共至少需要進行 ( ) = 次
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的比較。在本研究中，共有五項不同函數極限定義的描述方式，因此每一位受試 者需進行 ( ) = = 10 次的比較，以瞭解受試者判定五項定義的抽象程度之 高低順序。
在分析成對比較法的方法上，本研究採用了多元尺度法(Multidimensional Scaling) 以及 Bradley-Terry 模型 (Bradley & Terry, 1952)來呈現量化結果；多元 尺度法以簡易的知覺圖 (perceptual map) 提供了在整體資料上，客體在空間之中 的相對位置；而 Bradley-Terry 模型則能夠為每位受試者排列出其判定五項定義 的抽象程度之高低順序，幫助我們瞭解各個受試者之間排列抽象程度高低順序的 不同趨向，以利於分辨受試者判定抽象程度的不同模式。以下簡單介紹多元尺度 法以及 Bradley-Terry 模型：
一、 多元尺度法(Multidimensional Scaling)：
簡稱為 MDS，利用客體之間的相似性或差異性的距離矩陣作為輸入資料，
經過電腦計算後再輸出為以點構成的幾何圖形，每一點對應於一個客體及其與其 他客體的相對位置，透過多元尺度法，可以將蒐集到的量化樣本資料轉換到視覺 與直覺上易於理解的圖形中呈現，此圖形通常被稱作知覺圖。知覺圖的主要特性 在於反映資料中的隱藏結構，若兩客體之間的差異性越大，則在知覺圖中的空間 位置越為分離。
為了取得相似性或差異性的距離矩陣，必須要求受測者直接對客體判斷心理 距離 (psychological distance)。在本研究中，客體即為 Spivak (1967)對函數極限 所陳述的五項非形式化與形式化定義；而心理距離，則是這些定義在測試者心中
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的抽象程度。由於測試者心中對客體所存在抽象程度的絕對量尺刻度可能會有所 差異，並且本研究所關注的是這五項定義之間的抽象程度的順序差異，而經 Koczkodaj (1998) 的實證研究中發現，利用成對比較法所得之客體優先權重向量，
比直接由測試者直接對客體執行排序的結果更佳。
二、 Bradley-Terry 模型：
在成對比較測驗中，假設有 n 個不同的物件，將物件兩兩配對來做比較，所 以總共至少需要進行 ( ) = 次的比較。在探討人類的選擇行為時，會請 多位受試者對這些物件個別進行一回合的多組成對比較。通常是將來自不同受試 者的成對比較結果合併計算，算出對於每組不同的配對(j, k)，物件 j 被選擇勝過 物件 k 的比例。Bradley 和 Terry 於 1952 年提出了 Bradley-Terry 的成對比較模型 (1952)，若受試者 i 在比較物件 j 與物件 k 時，以 和 表示此受試者對物件 j 與物件 k 的喜好量值，也就是在物件 j 與物件 k 之中，選擇 j 的機率可以表示為：
在一般的 Bradley-Terry 模型之中，基於分析資料上的便利性，大部分是將 成對比較的結果進行合併計算的方式去分析，也就是不考慮進行共同合併計算的 同一群內之個別選擇差異的影響(蔡森任，2011)。
假設第 i 個人對於物件 j 與物件 k 的對應喜好量值為 與 ，並且假設 為 第 i 人在判斷 j 與 k 兩個物件時的隨機誤差，當第 i 人在比較 j 與 k 兩個物件時，
37 從羅吉斯分布(logistic distribution)。
在這五個選項的成對比較中，每個受試者須接受 10 次的比較， 的值並非 由直接觀察得知，而是受試者 i 選擇了 j 選項或 k 選項，假設第 i 個人在成對比
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較問卷中所得的資料為 ，其中：
{ ，如果受試者選擇
，如果受試者選擇 i 1, , n
也就是說，我們將每一次的比較結果用二元數據 1 或 0 表示，若第 i 個人在 比較選項 j 與 k 時，最後選擇了 j，則我們定 ，若第 i 個人最後選擇了 k，
則我們定 ；如果我們共有 x 位受試者，則可將所有的成對比較資料以一 個二元矩陣 來表示。
Bradley-Terry 模型假設這些成對比較的誤差項 是互相獨立的，依據受試 者 i 對選項 j 與 k 的喜好量值 與 ，則可以推得受試者 i 會選擇喜好 j 勝過 k 的機率：
( | )
( )
其中， 與 為 Bradley-Terry 模型之中用來描述選項 j 與 k 的價值參數，
， 。在此，我們可以透過各選項的價值參數的數值大小 排列順序以瞭解受試者對各選項的抽象程度之差異。
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在本研究的量化分析方法中，先以多元尺度法的高維度知覺圖初探可能形成 受試者對於函數極限定義抽象感之原因；再利用 Bradley-Terry 模型為受試者計 算出在成對比較測驗的選擇之中，五個選項的價值參數的變化情形，以瞭解受試 者由抽象到具體對五個選項的排列順序，並且深入探討在受試者自我判斷函數極 限定義對其所形成抽象感的最主要原因不同時，這些類群對於抽象到具體對五個 選項的排列順序是否也會有所差異。