由於本研究的研究目的在於想要瞭解數學系學生在學習基礎微積分時，對
於函數極限形式化定義所感受到的抽象性為何，因此採用了 Spivak (1967) 所著 的基礎微積分教科書中所陳述的五項的函數極限定義作為研究工具設計的發想 與主軸。 Spivak 在書中的第五章欲介紹函數的極限定義時，先敘述了函數極限 的口語非形式化定義，利用四個步驟漸進地由口語描述逐步轉換為以符號描述，
最終進入函數極限的ε - δ 形式化定義。
Spivak (1967) 所陳述的五項的函數極限定義如下，由於本研究並未將學生 對於英語語言的理解情形納入形成抽象感的探討因素，因此對照原文，並參考專 家的意見修正，將此五項定義翻譯並改寫為中文(置於英文之下)，並依序將這五
30
項定義稱為定義 1 至定義 5(即問卷中之選項 ABCDE)：
1. 定義 1(即問卷中之選項 A)：
The function f approaches the limit L near a, if we can make f(x) as close as we like to L by requiring that x be sufficiently close to, but unequal to, a.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
若 x 足夠靠近 a，但 x 不等於 a，則 f(x)就能如你所想的靠近 L。
2. 定義 2(即問卷中之選項 B)：
The function f approaches the limit L near a, if we can make│f(x) - L│as small as we like to L by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
若│x - a│足夠小，但 x ≠ a，則│f(x) - L│就能如你所想的足夠小。
3. 定義 3(即問卷中之選項 C)：
The function f approaches the limit L near a, if for every number ε > 0, we can make│f(x) - L│< ε by requiring that │x - a│ be sufficiently small, and x ≠ a.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
對於任意的ε > 0 ，若│x - a│足夠小，但 x ≠ a，則│f(x) - L│< ε。
4. 定義 4(即問卷中之選項 D)：
The function f approaches the limit L near a, if for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if │f(x) - L│< ε and x ≠ a, then │f(x) - L│< ε.
31
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
對於任意的ε > 0 ，都存在一個對應的 δ > 0，
使得對所有的 x 而言，若│x - a│< δ，但 x ≠ a，則│f(x) - L│< ε。
5. 定義 5(即問卷中之選項 E)：
The function f approaches the limit L near a means: for every ε > 0 there is some δ > 0 such that, for all x, if 0 < │x - a│ < δ, then │f(x) - L│< ε.
函數 f(x)在 x 靠近點 a 處的函數值趨近於極限值 L 是指：
對於任意的ε > 0，都存在一個對應的 δ > 0，
使得對所有的 x 而言，若 0 < │x - a│ < δ，則│f (x) - L│< ε。
在問卷的設計上，本研究以 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中陳述 的五項函數極限定義作為主軸，發展出一套用來比較數學系學生對於這五項定義 所產生抽象感之差異化程度的一系列問題，並利用統計的方法進行數據分析，評 估形成學生對函數極限定義產生抽象感的可能原因。
經由量化數據分析初探可能影響受試者決定各個定義抽象程度的潛在因素 之後，由受試者中抽樣進行個別深入訪談，以瞭解受訪者心目中決定客體抽象程 度的各種原因，以及探討受訪者在建構函數極限概念與其形式化定義的過程中，
在認知上所產生的抽象(思考)意涵。
32