一、 量化研究工具的內容
本研究採問卷作為量化的研究工具。以受測者對函數極限定義所形成的抽象 感為探索核心，將問卷共分為六個部分：
問卷的第一部分為個人的基本資料的填寫，主要的目的在於區分受試者的不 同屬性，例如：性別、學校、年級。
問卷的第二部分在調查受試者於大一學習基礎微積分時，老師所使用的教科 書以及教學方式是否較偏向於理論證明或應用計算？以及學生在大一上學期學 習基礎微積分時的成就表現。
問卷的第三部分為瞭解受試者在學習函數極限的 ε-δ 形式化定義時，老師在 教學策略上曾經利用哪些不同的方式來講解函數極限形式化定義，並請受試者回
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想自己在學習函數極限形式化定義，自己的學習情況如何？若是當時對此定義不 甚瞭解時，個人的處理方式為何？並且是否會對此定義感到抽象？以及受試者是 否經過學習初階或進階的數學分析課程之後，對函數極限的ε-δ 形式化定義有更 加深刻的瞭解？
問卷的第四部分則以 Spivak (1967) 所著的基礎微積分教科書中陳述的五項 函數極限定義作為主軸，並利用前一節所述的成對比較法，將敘述方式不同的函 數極限定義兩兩成對編為一組，進行兩個選項之間抽象程度強弱差異的比較，形 成一系列成對比較的題組。
問卷的第五部分承接了第四部分的成對比較法，在受試者比較過不同敘述方 式的函數極限定義的抽象程度之後，請受試者回想自己在第四部分作答時的抽象 程度判定依據。本題提供不同的選項，例如：難以使敘述圖形化、難以在腦中進 行動態化操作、符號太多、等等可能形成受試者抽象感的理由，讓受試者可依其 當時的判準依據按重要程度的順序填入，受試者亦可自行填入並未列入選項之中 的理由。
問卷的第六部分則列出了在第四部分的成對比較法之中，所有函數極限定義 的表達方式，以及可能形成受試者抽象感的原因，如：口語化程度、符號化程度、
在腦中操作動態圖像化的難易程度，以其定義敘述的嚴謹程度；以 1 ~ 10 分，從 最低到最高，最容易到最困難，讓受試者逐一評分。這一個階段主要是為了利用 多元尺度法形成知覺圖，瞭解這些不同函數極限定義的表達方式使受試者形成的 抽象感與可能形成抽象感原因的趨勢是否有正相關的情形，以量化的方式評估不 同函數極限定義的表達方式造成受試者抽象感的主要可能原因。
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此將相對抽象程度定為由中間值 1 往左往右分別到 5，距離量尺則介於 0 ~ 4 之 間。最終，在第三版初試問卷中，於正式進行 10 個成對比較題組之前，先行置 入一個示範練習題向受試者說明選項之間抽象程度差異的趨勢，並讓受試者瞭解 有那些選項可供選擇；並將成對比較法分為兩個階段，第一個階段先讓受試者在 兩種不同函數極限表達方式的定義 A 與定義 B 之間選擇出一個較為抽象的選項，
第二階段再請受試者比較定義 A 與定義 B 抽象之間抽象程度差異，由左到右直 接以數值分為 1 ~ 9，數字越小表示 A 相對於 B 越抽象，數字越大表示 B 相對於 A 越抽象，並未加入任何文字敘述，以求更加貼近受試者本身真正的心理量尺，
此時，若將中間值 5 視為定義 A 與定義 B 同等抽象，將此點的距離量尺視為 0，
則第三版測試問卷的距離量尺與第二版測試問卷的距離量尺相同，均介於 0 ~ 4 之間。
三、 量化研究工具的修正
1. 預試問卷第一版的測試與修正 (問卷請參照附錄 A-1)
(1) 問卷量化資料分析—成對比較選項
對於 Spivak (1967) 所陳述的五項的函數極限定義，在第一版問卷 中，僅採用第 1 ~ 4 項定義，因此，在成對比較法之中，四個選項 總共成對交叉排列 6 次。
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a. 抽象程度量尺
在抽象程度量尺上，第一版問卷的選項相異距離量尺幅度較大，
採 0 ~ 8 不同的距離量尺供受試者評分(以數字 1 表示 AB 之間 的距離為 0)。
b. 受試者的背景與教育程度
第一版問卷的受試者為一名數學教育研究人員，女性，國立大 學數學系畢業，修過基礎微積分、高等微積分、複變數函數論 等數學分析科目，以下簡稱 T1 同學。
c. 受試者量化統計資料
(a) 成對比較距離評分矩陣
表 3-4-1 第一版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣 定義 1 2 3 4
1 2
23
2 44
6 7 6(b) MDS 配合度分析
經過 SAS 計算，其 PROC MDS 的配合度(Badness-of-Fit
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Criterion)為 9.3058 10-6，表示此單筆數據對 SAS 所提供之 MDS 模型的配合度近於完全配合(perfect)等級。
(c) MDS 知覺圖與知覺圖上各點的位置座標
在知覺圖上，AA1 表定義 1(選項 A)，AA2 表定義 2(選項 B)，A3 表定義 3(選項 C)，AA4 表定義 4(選項 D)。
由問卷作答及以下知覺圖的 1 號維度投影及其表格中的 1 號 維度位置座標 (知覺圖中 dimension 1 的投影，座標表格中 dim1 的座標)由小到大排列依序為：定義 4 定義 3 定 義 1 定義 2。由知覺圖的 2 號維度投影及其表格中的 2 號維度位置座標 (知覺圖中 dimension 2 的投影，座標表格 中 dim2 的座標) 由小到大排列依序為：定義 3 定義 1 定 義 4 定義 2；但由各定義於圖中的位置可以發現：定義 1, 2, 3 彼此之間位置較為相近，但定義 4 則離開其他定義較遠。
以各定義於知覺圖的 1 號維度投影位置推測會造成受試者 形成抽象感的可能原因為：口語化的差異、符號的差異、定 義嚴謹度的差異、或邏輯化的敘述方式，對於上述諸多原因，
定義 4 與其他定義的相異性較大。但為進一步瞭解受試者對 此抽象程度差異的判斷準則，本研究對此預試的受試者進行 了更深入的訪談，一方面瞭解其對於此四項函數極限定義的 抽象感所由何來；一方面修正研究題目，使研究方向與研究 對象更為明確，並修正問卷，使之後的受試者更加明瞭問卷 之中的題目敘述。
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圖 3-4-1 第一版問卷受試者的知覺圖
表 3-4-2 第一版問卷受試者知覺圖上各點的位置座標 定義 Dim1 Dim2
1 0.66 -0.04 2 1.08 0.80 3 0.42 -0.96 4 -2.15 0.20
(2) 晤談資料分析
a. 以下為問卷第一版受試者 T1 同學的晤談資料，晤談的內容著 重於研究與問卷的修正、受試者對四項不同函數極限定義的敘 述(第一份問卷僅測試前四項函數極限定義)產生抽象感的情形，
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以設定一個區間看看這裡有沒有極限的存在。
d. 四個函數極限定義的表達方式由抽象到具體的排列次序
以四個函數極限定義之中，將最口語化的函數定義(定義 1)與最 偏向數學形式化的函數定義(定義 4)，請受試者 T1 同學比較何 者較具體時，T1 同學選擇了定義 4 最具體，這個定義是最偏向 數學形式化的函數定義，T1 同學認為具體的理由是因為 δ 與 ε 的出現，可以幫助她界定好一個範圍，以幫助其判斷函數的極 限值是否存在，反之，定義 1 利用「靠近」一詞來劃分適當範 圍時，在受試者腦海中動態操作的情形如同相機鏡頭放大靠近 一般，但卻缺乏一個能夠確切界定待探究函數有無極限的範圍 的操作，因此，T1 同學認為定義 1 雖然最口語化且最便於閱讀，
但在真正尋找函數有無極限的功能上是不佳的，也因此在深入 晤談之後，T1 同學會認為定義 1 是較為抽象的，而定義 4 是較 為具體的。
然而，在晤談之中，T1 同學最後所判斷各定義由抽象到具體的 排列順序卻是與其最初在問卷中所填入的量化資料是有所衝 突的，並且與其在訪談中一開始所說帶給其抽象感的是「符號」
的出現與假設性語句的後置也具有相互衝突的現象；並且在訪 談一開始時，受試者回想其在問卷之中判斷抽象的依據時，受 試者說明了自己判斷抽象感的原因是因為符號的出現與假設 語句的後置，但是當訪談的最後要受試者直接比較定義 1 與定 義 4 何者較為抽象時，受試者卻意外地選擇了定義 1，定義 1
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(3) 第一版問卷到第二版問卷的主要修正部分
從第一版問卷到第二版問卷，主要的修正部分為：將施測對象由大 一學生擴大為所有數學系(或相關科系)有修過基礎微積分與高等 微積分等相關分析課程之學生。在成對比較的部分，將原本的四個 定義選項(定義 1、定義 2、定義 3、定義 4)擴增為五個定義選項(定 義 1、定義 2、定義 3、定義 4、定義 5)；並且將原本距離量尺由 1~9 改為 1~5 供受試者評分。
2. 預試問卷第二版的測試與修正 (問卷請參照附錄 A-2)
(1) 問卷量化資料分析—成對比較選項
由於在測試問卷的第一版中，受試者對於 Spivak (1967) 的前四項 函數極限定義進行六次成對比較時，受試者的作答意願並未隨題數 的增加而削弱，因此在測試問卷的第二版中，將 Spivak (1967) 的 五項函數極限定義全數加入，受試者共需進行十次的成對比較。
a. 抽象程度量尺
在抽象程度量尺上，第二版問卷的選項相異距離量尺幅度較第 一版問卷小，採 0 ~ 4 不同的距離量尺供受試者評分(以數字 1 表示 AB 之間的距離為 0)。
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b. 受試者的背景與教育程度
第二版問卷的受試者為一名數學教育研究所學生，女性，國立 大學數學系畢業，數學系研究所碩士班畢業，修過基礎微積分、
高等微積分、複變數函數論等數學分析科目，以下簡稱 T2 同 學。
c. 受試者量化統計資料
(a) 成對比較距離評分矩陣
表 3-4-3 第二版問卷受試者的成對比較距離評分矩陣 定義 1 2 3 4 5
1
2
13
2 04
1 2 25
2 3 3 0(b) MDS 配合度分析
經過 SAS 計算，其 PROC MDS 的配合度(Badness-of-Fit Criterion)為 0.003652，表示此單筆數據對 SAS 所提供之 MDS 模型的配合度近於完全配合(perfect)等級。
(c) MDS 知覺圖與知覺圖上各點的位置座標：
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在知覺圖上，AA1 表定義 1(選項 A)，AA2 表定義 2(選項 B)，A3 表定義 3(選項 C)，AA4 表定義 4(選項 D)，AA5 表 定義 5(選項 E)。
由問卷作答及以下知覺圖的 1 號維度投影及其表格中的 1 號 維度位置座標 (知覺圖中 dimension 1 的投影，座標表格中
由問卷作答及以下知覺圖的 1 號維度投影及其表格中的 1 號 維度位置座標 (知覺圖中 dimension 1 的投影，座標表格中