在此將本研究第一章第二節的研究問題分為以下四個子題，利用第五章量化 分析與第六章質性訪談的結果加以討論與說明：
一、數學系學生在學習基礎微積分時，對於函數極限的形式化定義是否會感到抽 象？
在本研究問卷的第三部分的問題中，我們詢問了 200 位來自三所學校不同年 級的數學系學生，其在大一基礎微積分課程接觸到函數極限的ε - δ 定義時，是 否會感到抽象？抽象的程度為何？在問卷結果(表 6-1-1)中，我們可以發現，僅有 6.00% 的學生說明自己對於函數極限 ε - δ 定義幾乎不會感到抽象，其餘 94% 的 學生大一在學習函數極限ε - δ 定義時，確實會感到抽象，甚至有 24%的學生說 明自己當時面對函數極限的ε - δ 定義，會感到極為抽象。
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進一步在本研究第四章第三節的 Bradley-Terry 模型分析之後，根據表 4-3-7，不 同集群對各定義的價值參數及參數由小到大排序，我們可以發現，選擇判斷抽象 的理由為「難以使敘述圖形化」、「難以在腦中進行動態化操作」、「符號太多」、
以及「(較多)邏輯化的敘述方式」的受試者，除了定義 4 與定義 5 的順序略有對 調以外，其對於五項定義由具體到抽象的排序大致趨勢為定義 1，2，3，4，5(選 項 ABCDE)，但選擇判斷抽象的理由為「定義敘述不夠嚴謹」的受試者，其對於 五項定義由具體到抽象的排序大致趨勢卻是為定義 5，4，3，2，1(選項 EDCBA)；
並且，選擇判斷抽象的理由為「難以使敘述圖形化」、「難以在腦中進行動態化 操作」、「符號太多」、以及「(較多)邏輯化的敘述方式」的受試者人數佔總人 數的 83%，而選擇判斷抽象的理由為「定義敘述不夠嚴謹」的受試者人數僅佔總 人數的 15%。
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在問卷的第五部分的問題裡，我們請學生將其判斷本研究中五項函數極限相 關定義的抽象程度依據，按照重要的順位依序填入；在第一順位中，最多人選擇 了「難以在腦中進行動態化操作」作為形成抽象感的理由；但在問卷的第六部分 的第三個問題中，我們發現對於各定義在腦中進行動態(圖像)化操作的難易度，
會有兩種不同的表現類型：多數的人會認為越為「數學形式化的定義」(如定義 5)越難以動態操作，但也有另一部分的人會認為越為「生活口語化」(如定義 1) 的定義越難以動態操作。
當我們對 13 位數學系學生經過深入訪談之後，發現覺得「數學形式化的定 義」(如定義 5)較難以動態操作的學生，對於五項函數極限相關定義從具體到抽 象的排列順序大致上的趨向為定義 1，2，3，4，5(即問卷中的選項 ABCDE)，而 真正使「數學形式化的定義」難以在腦中進行動態操作的的原因是因為定義中「符 號的增加」，如：│x - a│ │f(x) - L│ ε δ 的符號出現，使得定義變為複雜化 而抽象。這一類的學生多傾向將數學問題或定義以圖形化方式進行理解，因此會 認為定義 3，4，5 過於「符號化」，使定義變得較為難以利用圖形操作，其傾向 以「定義 1 與定義 2」的敘述在腦中形成較簡易的圖形化表徵的原型，因而見到 較為符號化的定義 3，4，5 時，需要轉譯為定義 1 與定義 2 來進行動態(圖形)化 操作，由於越符號化的定義需要轉譯的步驟越多，受訪者也因而覺得較為抽象。
但對於部分的大一、大二學生來說，還尚未瞭解到「ε 符號」之中隱含了用 來描述「無限小」的動態逼近意涵，因此無法理解定義 3，4，5 的敘述，亦無法 形成任何動態操作的表徵，因此，定義 3，4，5 對其而言，不僅是抽象，亦為難 懂。
相反地，覺得「生活口語化」(如定義 1)的定義越難以動態操作的學生，對
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於五項函數極限相關定義從具體到抽象的排列順序大致上的趨向為定義 5，4，3，
2，1(即問卷中的選項 EDCBA)，這一類型的學生通常較擅於將數學問題或定義 以「符號化」方式進行思考，符號的增加對其而言，反而在理解上得以更加清晰 而快速，成為幫助而非阻礙。這一類的學生反而認為定義 1，2，3 過於「口語化」，
使定義產生缺漏而不完整，其傾向以定義 5 的敘述在腦中形成函數極限較完整的 符號化表徵的原型，因而見到口語化的定義 1，2，3 時，需要補足其定義上的缺 漏，並轉換至定義 4 與定義 5，來幫助理解與進行動態操作，由於越口語化(越不 夠嚴謹)的定義需要轉譯的步驟越多，受訪者也因而覺得較為抽象。
另外，在訪談之中，我們也發現到學生對於函數極限形式化定義在語法與語 意上的理解困難，而形成抽象感。例如：一般函數極限定義中出現的兩次 “for all…”(在本研究中的定義為：”for every ε…, for all x….”)，這兩者在語法上的功 能，前者有「指定任何一個」的意涵，後者有「給定條件」的意涵，如果不清楚 兩者之間功能上的差異，可能會造成書寫上的敘述錯誤或給錯條件的情況。
在語意上理解困難的部分，還有函數極限定義裡面的「存在」一詞，有受訪 者指出，定義中的「存在」二字，其實已「膠囊化」了一整段「尋找出一個適合 的δ，既與 ε 對應，又能滿足其後述與 x 有關條件」的動態歷程，在第五章第三 節的第三段中，受訪者說明自己如何透過反思去釐清原本的錯誤理解與迷思，並 形成新的動態歷程。
最後，有受訪者提出，由於一般在學習函數極限定義時，尚未建立「連續」
的概念，因此學生無法理解本研究定義 2 中所指出的「當│x - a│變小時，│f(x) - L│
也會一同變小」的情況，直到其後來建立了連續的概念之後，再回過頭反思，才 理解到「函數極限」與「連續」之間在條件給定上的差異情形，也發現函數極限
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的定義裡面，其實隱含了連續的概念，受訪者認為自己在這個部分的反思與釐清，
對其大二時理解高等微積分課程裡「連續」與「均勻連續」的定義與兩者之間的 條件差異也有許多幫助。
三、他們通常會如何處理及面對自己感到抽象的概念？
根據本研究第四章第一節的表 4-1-11，學生對於函數極限 ε - δ 定義不理解時 的處理方式：有 57.00% 的受訪者會請教老師、助教、同學；有 49.00% 的受訪 者會反覆思考；44.00% 的受訪者會選擇背誦下來；9.00% 的受訪者採不予理會 的方式，也有 1.50% 的受訪者說明自己採取了圖像思考、以及練習相關題型的 方式。
在訪談的過程中，我們也發現，當受訪者對於許多定義中較為抽象的概念時，
例如：「ε 符號」之中所隱含了用來描述「無限小」的動態逼近意涵；「存在」
二字所「膠囊化」了一整段「尋找出一個適合的δ，既與 ε 對應，又能滿足其後 述與 x 有關條件」的動態歷程；以及「當│x - a│變小時，│f(x) - L│也會一同變小」
的情形；受訪者通常會先進行反思，但若反思結果尚未明朗之前，會選擇以背誦 下來的方式進行作業與考試，但當其經由作業、考試，或請教老師、助教、同學，
而反思並釐清這些抽象概念時，反而會使得這些原本視為抽象的符號或概念，不 但變為具體，並且在日後與函數極限相關的定義與概念之中，能夠繼續產生更多 的推廣與延伸。
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四、學生們心中的抽象直覺與文獻中的抽象意涵是否具有相關性？或者要如何界 定？
在本研究中，學生們心中對函數極限五項定義的抽象直覺大體上可以分為三 種類型：
1. 當學生對於定義中某些符號或某些字詞(例如：ε，存在)所隱含並膠囊化 的動態概念尚未建立起來之前，學生的抽象直覺是來自於「難懂」；此 時，一但定義中出現了讓學生感到「難懂」的符號或字詞，學生會認為 這些定義都「一樣抽象」，並且分不出抽象的層次與程度。
2. 當學生傾向以較為口語化的「定義 1 與定義 2」的敘述在腦中形成較簡 易的圖形化/動態化表徵的原型，其見到較為符號化的定義 3，4，5 時，
需要轉譯為定義 1 與定義 2 來進行動態(圖形)化操作，若需要轉譯的步 驟越多，受訪者也會覺得較為抽象，此時學生可以藉由轉譯步驟的多寡 來區分抽象的層次與程度。
3. 當學生傾向以函數極限的形式化定義 --「定義 5」的敘述在腦中形成函 數極限較完整的符號化表徵的原型，當其見到口語化的定義時，需要補 足其定義上的缺漏，再轉換至定義 5，來幫助理解與進行動態操作，由 於越口語化(越不夠嚴謹)的定義需要轉譯的步驟越多，受訪者也因而覺 得較為抽象，此時學生亦可以藉由轉譯步驟的多寡來區分抽象的層次與 程度。
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在訪談之中，我們發現，部分的學生經過問卷中的成對比較，或訪談中在各 定義之間逐步進行差異性比較之後，其排列五項定義由抽象到具體的順序會由上 述的第二種類型的傾向，轉換為第三種類型的傾向；也就是說，其建構抽象與具 體程度的判準，在定義之間的比較過程中發生了改變，產生了不同與以往的建構 方式。
雖然學生們心中對函數極限五項定義的抽象直覺與文獻中的抽象(思考)意 涵並不相同，但在問卷中的成對比較，以及訪談中在各定義之間逐步進行差異性 比較的過程中，我們確實可以觀察到學生們在進行 Piaget (1985)所說的「反思抽 象」，也在其中發現到「反思抽象」的特性：這種型態的抽象具有建構性，在行 動過程之中經過新的合成 (syntheses) 而產生出具有新意義的特定法則 (Piaget
& Garcia, 1983)。各種新的數學建構都是透過反思抽象而進行的 (Piaget, 1985)，
這 就 是 所 有 邏 輯 - 數 學 結 構 (logico-mathematical structures) 被 導 出 的 方 法 (Piaget, 1971)。Piaget 認為反思抽象能夠以數學的想法將過程自內容中分離出來，
並且以數學家的思考方式將過程本身轉換為內容的客體 (Piaget, 1972)。
在此可以對照 6 號受訪者亦說明其在問卷的成對比較法過程中，改變了他對 抽象與具體程度判準的原因：
本來以為只是一般的問卷，所以一開始只是憑直覺去寫，一直到第四部份的
本來以為只是一般的問卷，所以一開始只是憑直覺去寫，一直到第四部份的