一、文字敘述與絕對值符號的差異(定義 1 與定義 2 之間的比較)
在五項函數極限定義中，定義 1 與定義 2 分別以不同方式描述動點 x 與 定點 a 之間的相對位置。定義 1 的敘述為：「若 x 足夠靠近 a」；定義 2 的 敘述為：「若│x - a│足夠小」。定義 1 完全採口語化的敘述方式，而定義 2 則採取了絕對值加上口語化的敘述方式。不同類型的受訪者對於這兩種敘述 方式在腦中所形成的表徵有所不同，偏好符號表徵的受訪者會將定義敘述中 的文字改以「符號」取代，偏好圖形表徵的受訪者會試著將定義敘述中的文 字改以「圖形」詮釋；但在比較定義 1 與定義 2 的敘述時，我們發現，定義 1 以文字說明「若 x 足夠靠近 a」時，文字中會缺乏了明確提供動點 x 往定 點 a 移動的「方向性」的資訊，有些受訪者會解讀為點 x 往點 a 單一方向的 移動，並顯示於其擅長的表徵之中；但是，當定義 2 以絕對值符號說明「若
│x - a│足夠小」時，所有受訪者都能夠解讀為點 x 往點 a 兩個方向的移動，
並且，對於偏好圖形表徵的受訪者而言，絕對值的符號「│ │」能夠幫助其 將點 x 到點 a 之間的距離展示為「範圍界定」或「區間」的型態；因此，有 些受訪者會認為以絕對值符號表示時，敘述中所提供的資訊會比較正確完整，
而感到具體；但也有受訪者會認為絕對值符號的增加會使得敘述變為抽象，
並且無法轉換為實際的圖形或是形成任何表徵在腦中進行動態操作。
以下為 1 號受訪者的訪談內容，1 號受訪者為一位數學系一年級的男性 學生，其傾向將定義 1 與定義 2 的文字敘述轉換為「符號表徵」，由於函數
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極限定義中未說明任何函數，所以並不會出現圖形表徵，但其在一開始受訪 時表示自己認為符號越多會越抽象，因此會認為定義 2 較定義 1 抽象。
Re0101F: 你覺得這五個選項彼此之間是否有差異性？
Fr0102M: 乍看起來很像，可是其實不太一樣。
Re0103F: 可以比較一下 AB 兩個選項之間的差異，這兩種敘述在你腦中呈 現的情況有什麼不同？
Fr0104M: 我覺得選項 B 比較抽象，選項 B 比較用符號表示，選項 A 比較是 用文字表示，所以我覺得 B 會比 A 抽象一點；這裡 B 比 A 多出 的符號有絕對值│x - a│、│f(x) - L│，和不等式 x a。
Re0105F: 當你看到 AB 兩個選項的時候，你腦中會出現圖形嗎？
Fr0106M: 這些定義的敘述都沒有交待任何函數，所以腦中並不會出現圖 形。
以下為 2 號受訪者的訪談內容，2 號受訪者為一位數學系一年級的女性 學生，其傾向將定義 1 與定義 2 的文字敘述轉換為「圖形表徵」，但是 2 號 受訪者所形成的圖形表徵是以定義 2 為主，當其閱讀到定義 1 的敘述時，傾 向先將定義 1 的敘述轉換回定義 2 的敘述，再轉換為定義 2 的圖形，由於 2 號受訪者在思考定義 1 點 x 往點 a 的移動方向時，是以左右兩邊同時逼近來 表徵，因此，定義 1 與定義 2 的敘述對其理解「點 x 往點 a 的移動方向」卻 是沒有問題的，均為兩個方向。由於 2 號受訪者傾向定義 2 所形成的圖形表 徵在腦中進行操作，因此，受訪者認為定義 2 較為具體，定義 1 較為抽象。
Re0201F: 你覺得這五個選項彼此之間是否有差異性？
Fr0202F: 有，我覺得選項 A 比較文字化，用比較多的文字去敘述，越往底
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下的選項(BCDE)越數學化。
Re0203F: 當你看到選項 AB 兩種不同的敘述方式，比如第一句話，選項 A 寫的是「若 x 足夠靠近 a」，選項 B 寫的是「若│x - a│足夠小」，
你腦中對這兩句話會有什麼不同的想法？可以試著寫出來或畫出 來。
Fr0204F: (如圖 5-1-1) 我覺得兩者表達距離和靠近的方式不太一樣，選項 A 的話，圖形上就只有一點 a，x 會由左右兩邊逼近 a，但選項 B 的 話，圖形上面會有 a 和│x - a│所形成的距離區間。
Re0205F: 所以選項 AB 你都會想到 x 往 a 逼近的方向都會有兩個？
Fr0206F: 對。
圖 5-1-1 2 號受訪者將選項 AB 的文字轉換為圖形化表徵
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Re0401F: 你覺得這五個選項彼此之間是否有差異性？
So0402M: 有差異。A 選項的敘述就很直觀，高三下學基礎微積分時，高中 老師就是用 A 選項這種方式講解的，老師就是用很逼真、很口語 的「很靠近」來作說明，並不會講到有 ε 與 δ 的定義，老師只會 說 x 會非常靠近 a，但又沒有真正到達 a 點，敘述上最多就是教 到像選項 B 用絕對值表示距離，但選項 CDE 都不會出現。課本 可能會寫出選項 B 的定義，但老師教的時候都是用選項 A 比較口 語化的方式講解，高中時老師沒有特別著重定義，只要大家有個 概念，會計算就好了。所以跟選項 A 比較起來，選項 B 就會比較 抽象，因為選項 B 比選項 A 多了一個絕對值的符號，你便得要自 己去理解，這裡的絕對值到底是做什麼用的。
Re0403F: 當你看到 AB 兩個選項的時候，你的腦海中會出現圖形嗎？
So0404M: 如果是 A 選項的話，圖形會是有一點 a 在這裡，x 是一個點會往 a 的方向跑過來(如圖 5-1-2)，x 會越來越接近 a，但又永遠到不了 a。
圖 5-1-2 4 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵
Re0405F: 選項 B 會跟選項 A 的圖形有所不同嗎？
So0406M: 選項 B 以絕對值表示的話，我會先畫出一個點 a (如圖 5-1-3)，a 的左右兩邊有兩條直線表示 x 可以移動的範圍。
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圖 5-1-3 9 號受訪者將選項 B 的文字轉換為圖形化表徵
Re0407F: A 選項的「x 足夠靠近 a」與 B 選項的「│x - a│足夠小」，這兩句 話在 x 往 a 靠近的方向上，你覺得有沒有差別？
So0408M: 如果是選項 A 的描述，我只會想到一個方向，而且是從右邊向左 邊移動，因為習慣來說通常會想到正的方向，而不會想到負的方 向；但如果是選項 B 的話，由於有絕對值的關係，我會想到 x 是 由兩個方向往 a 點逼近。
Re0409F: 所以你會覺得選項 B 加入絕對值之後會比較抽象？
So0410M: 對，尤其是│f(x) - L│的部分，我一開始在學的時候，沒有辦法把
│f(x) - L│和│x - a│對應起來，我沒有辦法想像為什麼當│x - a│很 小的時候，│f(x) - L│就會變得很小。
So0411M: 對，因為在選項 AB 的敘述裡面，並沒有交待│x - a│和│f(x) - L│
之間的關係，讓人會有把│x - a│和│f(x) - L│分成兩部分來看的錯 覺，所以會找不到兩者之間的對應關係。
Re0421F: 如果有白話文、圖形、符號、和邏輯推理的表達方式讓你選擇，
你會覺得用哪一種方式表達定義對你來說會最好理解？
So0422M: 我覺得白話文和圖形是可以一起用來搭配的，你可以先畫一個圖 形，再用白話文加以解釋，所以可以用圖形輔助說明白話文的意 思。
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Re0423F: 如果不需要講解，只是用來讓自己方便理解呢？
So0424M: 我會比較傾向利用畫圖的方式，因為符號太多會讓我覺得比較困 擾。
以下為 5 號受訪者的訪談內容，5 號受訪者為一位數學系二年級的女性 學生，受訪者僅能將定義 1 的文字與符號敘述轉換為「圖形表徵」，並且，
定義 1 的文字敘述對其會形成點 x 往點 a 移動的「單一方向」的缺漏；在一 般情況下，5 號受訪者傾向以「圖形」搭配文字來理解數學問題，而非「符 號」，因此，敘述中的「符號」越多會讓 5 號受試者感到有理解上的困難，
尤其是在定義 2 的敘述中的│f(x) - L│，使其無法理解進而產生圖形，所以 5 號受試者會覺得定義 2 比定義 1 抽象。
Re0501F: 你覺得這五個選項彼此之間是否有差異性？
So0502F: 有。我覺得選項 A 比較好想像，比如說(如圖 5-1-4)這裡是 x，這 裡是 a，x 會越來越靠近 a，往 a 點的方向移動。
圖 5-1-4 5 號受訪者將選項 A 的文字轉換為圖形化表徵
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由於 6 號受訪者個人比較喜好定義 1 的表示方法，因為受訪者認為定義 2 敘 述中的「絕對值」與「足夠小」需要進行更多步驟的轉換，才能夠轉換到定 義 1 敘述中的「夠靠近」的概念，因此會覺得定義 1 較定義 2 具體。在點 x 往點 a 移動的「方向性」上，受訪者對定義 1 與定義 2 的「圖形表徵」均呈 現出左右兩個方向往點 a 逼近的圖示，因此，受訪者對於兩個定義在理解「點 x 往點 a 的移動方向」是沒有問題的，均為兩個方向。
Re0601F: 你覺得這五個選項彼此之間是否有差異性？
So0602M: 有。
Re0603F: 你覺得選項 A 和選項 B 的差別在哪裡？
So0604M: 我覺得差別在於有沒有用符號寫下來。
Re0605F: 當你看到 AB 兩個選項的時候，你的腦海中會出現圖形嗎？
So0606M: 有。
Re0607F: 你覺得選項 A 和選項 B 的圖形是的一樣嗎？
So0608M: 不一樣。選項 A 的話，我會畫成這樣(如圖 5-1-5)，會把 x 想成是 一個動點從左右兩邊去靠近 a；選項 B 的話，因為絕對值符號的 關係，我會在 a 點的左右兩邊隔成一個區間，而區間會逐漸縮小。
Re0609F: A 選項的「x 足夠靠近 a」與 B 選項的「│x - a│足夠小」，這兩句 話在 x 往 a 靠近的方向上，你覺得有沒有差別？
So0610M: 兩個選項我都會想成是雙向的。A 選項的話，我會把 x 想成是一 個動點，左右兩邊同時去靠近 a；B 選項的話，我會想成是一個 區間，左右兩邊同時向 a 點往內縮。但如果比較起來，我會比較 喜歡 A 選項的表示方法，會覺得 A 選項比 B 選項具體。
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圖 5-1-5 6 號受訪者將選項 AB 的文字轉換為圖形化表徵
Re0617F: 如果比較選項 AB 敘述裡的「夠靠近」和「足夠小」呢？
So0618M: 我會覺得選項 B 的「足夠小」比選項 A 的「夠靠近」更抽象。因 為到底怎麼樣才叫「小」？而且「足夠小」比「夠靠近」又多加 了一道程序，提到「足夠小」的時候，必須先想到 x 與 a 相減，
再去取絕對值，然後要使絕對值趨近於零，才能聯想到 x 與 a 夠 靠近這件事；但如果是選項 A 的話，我會很直接想成 x 是一個動 點跑過去靠近 a；選項 B 是因為多了「相減」、「取絕對值」、
「趨近於零」的過程，會讓我覺得稍微比選項 A 抽象一點點。
以下為 7 號受訪者的訪談內容，7 號受訪者為一位數學系三年級的男性 學生，其能夠將定義 1 與定義 2 的文字與符號敘述轉換為「圖形表徵」，但 定義 1 的文字敘述對其會形成點 x 往點 a 移動的「單一方向」的缺漏，因此，
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7 號受訪者認為定義 1 較為抽象，定義 2 較為具體，因為定義 2 所敘述的資 訊會比較完整。
Re 0711F: 所以作完這 10 題之後，可以比較一下你現在心目中選項 A (定義
Re 0711F: 所以作完這 10 題之後，可以比較一下你現在心目中選項 A (定義