為瞭解受試者對於 Spivak (1967) 的五項函數極限定義抽象程度的感知差 異，本研究利用多元尺度法將受試者於第三版問卷第四部分--階段 2 所提供的作 答資訊(兩兩選項之間的距離，即非相似性，dissimilarity，採 0 ~ 4 不同的距離量 尺)展示於知覺定位圖上，進而探討可能影響受試者判斷抽象程度的重要因素，
以及重要因素與五個函數極限定義選項之間的關係。本研究的處理方式為先整理 出受試者對於五個函數極限定義選項的不相似性資料矩陣，再透過 SAS 9.3 版的 PROC MDS 程式分析輸出知覺圖(perceptual map)，圖中各點(各定義選項：點 AA1 表示定義 1—第三版問卷中第 15 頁的選項 A，點 AA2 表示定義 2—第三版問卷 中第 15 頁的選項 B，點 AA3 表示定義 3—第三版問卷中第 15 頁的選項 C，點 AA4 表示定義 4—第三版問卷中第 15 頁的選項 D，點 AA5 表示定義 5—第三版 問卷中第 15 頁的選項 E)之間的距離表示其不相似程度，距離越近表示兩者在受 試者心目中越相似，反之，距離越遠表示越不相似。並且，經由 SAS 的 PROC MDS 所運算的配合度分析(Badness-of-Fit Criterion)，即 SAS 的 PROC MDS FORMULA=1(以距離量尺差異的絕對值進行 Kruskal’s STRESS 分析)的計算 (Kruskal and Wish, 1978)，此分析可以說明其知覺圖的配合度。以下為本研究問 卷中受試者的不相似性矩陣以四維的空間座標(表 4-2-1)與 1-2 維的知覺圖展示 (圖 4-2-1)：
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表 4-2-1 多元尺度分析知覺圖的四維空間座標 定義 Dim1 Dim2 Dim3 Dim4
1 1.36 0.04 1.47 -0.08 2 0.76 1.19 -1.41 -0.04 3 0.15 -1.83 -0.76 0.21 4 -1.13 0.45 0.43 1.52 5 -1.15 0.15 0.27 -1.60
圖 4-2-1 多元尺度分析的知覺圖
由圖 4-2-1 的知覺圖及表 4-2-1 的一維座標(Dim1)，可發現在 Dimension 1 投 影的選項順序由小到大排列依序為：定義 5 定義 4 定義 3 定義 定義 1 ，依照問卷的第六部分，表 4-1-16 函數極限定義選項 ABCDE 的在不同評斷方 法的評分平均值分析，Dimension 1 可以作為「口語化程度」、「符號化程度」、
「操作動態圖像」、「定義敘述嚴謹程度」影響受試者判斷選項抽象程度的解釋；
在 Dimension 2 投影的選項順序由小到大排列依序為：定義 3 定義 1 定義 5
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定義 定義 4，其中定義 3 的位置距離其他定義較遠，推測 Dimension 2 可能影響受試者判斷選項抽象程度的因素是「文字與符號混用以致無法想像」，
也可能是因為一般常見的函數極限定義為定義 1、2、4、5，而定義 3 只出現 ε 卻未出現δ 的選項，則並非一般在高中時學習微積分較常見的口語化定義 1 與定 義 2，或是在大學時較常見的符號化定義 4 與定義 5。並且由圖 4-2-1 中可發現，
無論由 Dimension 1 或 Dimension 2 來觀察，定義 4 與定義 5 的位置非常相近，
表示不管是由「口語化程度、符號化程度、操作動態圖像、定義敘述嚴謹程度、
文字與符號混用以致無法想像」其中的任何方法判定，受試者均認為定義 4 與定 義 5 在抽象程度上的相似性非常高。
在 Dimension 1 與 Dimension 2 的交互作用下，由圖 4-2-1 中可以發現，定義 1 與定義 4、定義 5 受到 Dimension 1 的影響較大，並且是呈現相反作用的影響(定 義 1 在 Dimension 1 的投影位置為+1.36，定義 4 與定義 5 在 Dimension 1 的投影 位置則為-1.13 與-1.15)，而定義 2 與定義 3 受到 Dimension 2 的影響較大，並且 也是呈現相反作用的影響(定義 2 在 Dimension 2 的投影位置為+1.19，定義 3 在 Dimension 1 的投影位置則為-1.83)。
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表 4-2-2 多元尺度法的配合度分析 Iteration Type Badness-of Fit
Criterion
Chhange in Criterion
Convergence Measures Monotone Gradient 0 Initial 0.823600 - - - 1 Monotone 0.209200 0.6143 0.5890 0.8832 2 Gau-New 0.106400 0.1028 - - 3 Monotone 0.043300 0.0631 0.0897 0.8670 4 Gau-New 0.042600 0.0007 - - 5 Monotone 0.023500 0.0191 0.0253 0.9919 6 Gau-New 0.018600 0.0049 - - 7 Monotone 0.015700 0.0029 0.0088 0.8867 8 Gau-New 0.007264 0.0084 - 0.0324 9 Gau-New 0.007260 3.8203*106 - 4.5517*106
在壓力係數分析的部分，SAS PROC MDS 所提供的配合度為 0.007260(表 4-2-2)，
表示此量化資料對於上述 MDS 模型的配合度(Goodness-of-Fit)近於完全配合 (perfect)等級。
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