一、 抽象在字面上的意涵
“Abstract”一字，中文通常翻譯為「抽象」。 "Abstract" (Barnhart, 1988) 源 自於拉丁文 abstractus，其字義為 drawn away (抽離)。其中，ab(s) 的原意為 away，
意即離開；tractus 一字起源於拉丁文 trahere， 原意為 draw，意即提取。 Abstract 最初以形容詞的方式出現於 1387 年，有人以 abstract 一字表達「深奧難懂」的 意思。一直到 1557 年，abstract 開始具有描繪「從實體物質中抽離出來」的意 涵；到了 1914 年，現代藝術崛起，人們開始以「抽象表現主義」，abstract expressionism，表示出對「抽象」一字的另一個觀點，Herzog (1919) 提到：
「抽象表現主義 … 是一種純粹的創造，它捕捉了心靈上的流動過程，將其 投射出一種具體的呈現。它並未向真實世界借物表現，它創造了屬於自身的客體。」
利用 abstract 的名詞形式作為「文章的總結與摘要」最早出現於 1528 年
12
(Barnhart, 1988)，而其動詞形式則最早被記錄於 1542 年。
在牛津英語字典中 (Oxford English Dictionary, 2009)，則描述了 abstract 一 字在現代生活之中常見的字面涵義。abstract 作為形容詞的意涵為：
1. 存在於想法之中但並不具有物質或具體的存在，與想法有關而非事件，
基於理論而並非特殊實例，表示想法、屬性、或狀態而並非具體物件。
2. 在藝術上利用形狀、顏色、質地紋理來達到藝術家欲表現的效果，而並 非嘗試表達外在的真實實體，例如：抽象畫。
Abstract 在名詞方面的意涵為：
1. 對書籍、文章、演講內容的總結、摘要。
2. 指一件抽象的藝術作品。
Abstract 在動詞方面的意涵有：
1. 以理論化的方式思考。
2. 自某客體萃取、移除、抽離出來。
3. 對文章或書籍作摘要。
13
以上是 abstract 一字在一般生活語言中所使用的意涵，然而，在數學概念的 發展過程中，教育學者們也經由彼此不同的觀點，提出了其心目中針對數學概念 發展過程中的「抽象」所代表的意涵。以下研究者企圖由知識論之中的經驗主義、
理性主義與建構主義出發，以解析教育學者們認為在數學概念發展過程中所建立 的「抽象」意涵。
二、 經驗主義、理性主義、與建構主義的調和
在西方哲學對知識論的研究觀點上，後人將其簡單區分為兩大學派：「經驗
主義」 (Empiricism) 與「理性主義」 (Rationalism) 。前者是由實體的後天感官 經驗出發，後者是由抽象的先天心智理性出發，進而建構出個人的知識系統。
提出「經驗主義」的學者們認為人類的知識起源於經驗 (伍振鷟、林逢祺、
黃坤錦、蘇永明，1999)。經驗的取得可來自兩方面：一方面來自外感官，通常 稱為「感覺」，如經由眼、耳、鼻、皮膚等等感官接觸外界事物而得；另一方面 則來自內感官，通常稱為「反省」，如透過知覺、記憶、推理、想像等等組合作 用而得。
「經驗主義」起源於古希臘哲學持有懷疑主義的哲士學派，著名的學者為普 羅塔哥拉斯與伊壁鳩魯，後來於 17 世紀時興起於大不列顛王國(英國)，著名的 學者有洛克與休謨。
洛克於其《人類悟性論》 (Essay Concerning Human Understating) (Locke, 1689) 的書中主張：
14
「人心最初猶如白板，並無先天觀念的存在，一切知識都來自於感覺與反省 所得的經驗。」
人類並非先有觀念才產生經驗，而是經由經驗的成果才產生了觀念；而觀念 會先由簡單的觀念演變為複雜的觀念，這些觀念會再進而產生各種知識。簡單的 觀念由感官、反省，或二者交織而得。複雜的觀念則分為三類：第一類是模式 (modes) 的觀念，由依附於本質的附屬性質而得，如：三角形。第二類是本質/
基質 (substance) 的觀念，如：光。第三類是關係 (relations) 的觀念，可經由比 較兩種以上的觀念而得。洛克並將知識分為三個層次：最低的層次為感覺的知識，
由感官直接接觸而得；中間是推論的知識，由演繹而得，如：數學的證明。最高 的層次為直覺的知識，是經由比較兩種以上的觀念，並且認識了其相關的異同性 質而得到的。而休謨主張所有觀念皆來自於感官印象(感官上的知覺)與內在感覺 (想像與記憶的知覺)，他在《人性論》(A Treatise of Human Nature) (Hume, 1739) 與
《人類悟性的探討》(Inquiry Concerning Human Understanding) (Hume, 1758) 二 書之中解析時間、空間、存在、因果等觀念，認為這些觀念皆為各種簡單觀念的 結合與排序。
提出「理性主義」(Rationalism)的學者們則認為知識是來自於推理 (reason) (伍振鷟等，1999)。理性主義者認為人類的理性是天賦的，而理性是一切知識的 基礎。
「理性主義」起源於古希臘哲學的自然哲學學派，著名的學者為希臘三哲，
蘇格拉底、柏拉圖與亞里斯多德，後來推廣發展於歐洲大陸，著名的學者有笛卡 爾、史賓諾莎、萊布尼茲。其主張理性為知識的終極起源，獨立於感知感官，認
15
為只有通過邏輯推理的方法，才能獲得真正的知識與真理。典型的理性主義者如：
史賓諾莎與萊布尼茲，認為人類首先以本能(或直覺)掌握一些基本原則，再根據 這些基本原則推理出其他知識，他們認為所有知識均能夠以一些基本原則推理出 來，但他們卻又不能否認，現實世界中，除了數學以外，人類難以透過單純推理 而推衍出其他知識。而笛卡爾認為，只有某些數學、科學、形上學的原則與真理 可以單純經由推理而拓展出新的知識範圍，而其他方面的知識仍須藉由生活經驗 與科學方法而取得。因此，也有人認為笛卡爾是理性的經驗主義者。
在 18 世紀時，著名的德國哲學家康德在其所著《純粹理性批判》(Critique of Pure Reason) 一書中提到 (Kant, 1781)：
「只有理性而無感官經驗的知識是空洞的，只有感官經驗而無理性的知識是 盲目的。」
他認為人的一切知識都是以感官經驗為基礎，但一些普遍與必然的知識並不 是來自經驗，而是來自人本身具有的理性與推理，而人的理性會去尋求建立感官 經驗之間的因果關係。在康德的論證中可以看見，在人類的學習與知識建立的過 程之中，「理性主義」與「經驗主義」的運用應是互相調和而相輔相成的。
自 80 年代開始，建構主義 (Constructivism) 的知識論逐漸受到心理學家與 教育學者的重視 (伍振鷟等，1998)。建構主義為一種探討知識構成的知識論，
包括了動態的認知歷程，以及靜態的知識產物。前者所涉及的探討面向包括：知 識是如何產生的？知識如何成長或變化？後者所涉及的研究面向包括：知識的結 構為何？知識與被認知的對象之間的關係為何？而建構主義對知識構成的觀點，
有三項重要的原則 (詹志禹，1996)：
16
1. 主動原則：知識是由認知主體主動建構而成，並非由認知主體被動接受 得到。
2. 適應原則：認知的功能在於適應，致知是組織個人經驗世界的適應過程，
但不可能發現客觀的主體實在。
3. 發展原則：知識的成長需透過同化、調適、與反思抽象等歷程逐漸發展 而成。
而上述的三項原則在知識的建構上是需要同時存在的。若是過分強調主動原 則，則容易掉入「理性主義」的極端，若是偏向強調適應原則，卻又是落入「經 驗主義」的另一個極端。經過第三項發展原則對於「理性主義」與「經驗主義」
的相互調和，建構主義描繪出知識成長與重建的歷程，也彰顯出「理性主義」與
「經驗主義」在知識建構的過程中內外相互交織的動態性。
而自柏拉圖與亞里斯多德以來，「抽象」一直是許多哲學家與數學家熱衷探 討的議題。直至今日，許多數學教育學者們仍不斷強調「抽象」對於數學學習，
特別是對於高等數學學習上的重要性，自二十世紀晚期至今，許多數學教育與教 育心理學者們試圖由不同的角度出發，找尋「抽象」在數學教育與數學學習上所 扮演的角色與其輪廓，例如：Jean Piaget (Piaget et al., 1977) 由經驗主義出發所 發 展 出 的 經 驗 抽 象 、 仿 經 驗 抽 象 、 與 反 思 抽 象 (empirical abstraction, pseudo-empirical abstraction, and reflective abstraction) ； 由 學 者 Hiebert 與 Lefevre (1986) 所發展出的階層抽象 (hierarchical abstraction)；由 Davydov (1972) 所發展出的辯證抽象/理論抽象 (dialectical abstraction/ theoretical abstraction)，以 及 Hershkowitz 等人 (Hershkowitz, Schwarz, & Dreyfus, 2001) 以 Davydov 的理論
17
抽象為基礎，發展出應用理論抽象在數學學習上的 RBC model (recognizing, building-with, constructing model)。在上述各種不同觀點底下所描繪出的抽象本質，
以及其理論應用在數學教學與學習的實例中，不難看出其抽象內涵背後所隱含著
「經驗主義」、「理性主義」、與「建構主義」相互調和的過程與產物。
三、 反思抽象 (reflective abstraction)
Piaget 由經驗主義出發，將抽象分為三種主要的形式：
1. 經驗抽象 (empirical abstraction)：經驗抽象是透過感官經驗獲得對客體 特質(特徵)的知識 (Beth & Piaget, 1966)，例如：一顆鵝卵石的重量與顏 色 (Ozmantar & Monaghan, 2007)。這些特質是建構在主體內在的，而這 種型態的抽象導出了由客體的相同性質萃取出來(extraction)的意涵，並 延伸至一般性 (generalization)。也就是由”某些”引申至”全部”，即由”特 定性”引申至”一般性” (Piaget & Garcia, 1983)。
2. 仿經驗抽象 (psudo-empirical abstraction)：仿經驗抽象是介於經驗抽象與 反思抽象的中間體；仿經驗抽象是指主體對客體在行動上 (action)的特 質 (Piaget,1985) ， 例 如 ：數 算 鵝 卵的 數 目 (Ozmantar & Monaghan, 2007)。
3. 反思抽象 (reflective abstraction)：Piaget 又將反思抽象稱為對行動的一般 性協調 (general coordination) (Piaget, 1980)，也就是說，反思抽象的來源 是主體本身並且完全運作在主體內部的，進而考慮到這些行動中間的內
18
部關係 (Ozmantar & Monaghan, 2007)，例如：在數算石頭的行動之中發 現了其中所內含的交換律 (commutativity)。這種型態的抽象導出另一種 不同的一般性 (generalization)，它具有建構性，在行動過程之中經過新 的合成 (syntheses) 而產生出具有新意義的特定法則 (Piaget & Garcia, 1983)。
然而，這些不同形式的抽象並非相互獨立的。形成仿經驗抽象與反思抽象的 行動 (action) 是由對客體特質的經驗抽象的知識所得到的；另一方面，經驗抽 象也需透過同化 (assimilation) 反思抽象所建構的基模而產生 (Piaget, 1985)。這 些不同形式的抽象彼此之間的依賴關係如下 (Dubinsky, 1991)：經驗抽象與仿經 驗抽象經由對客體的特徵與行動之中提取知識，反思抽象內化並協調這些既有行 動而產生新的行動與新客體，例如，不再使用物理實體 (physical) 的型態進行行 動，而使用數學 (mathematical) 的型態進行行動，例如，利用函數或群的型態；
而經驗抽象再將這些新客體繼續萃取出新的知識，並且不斷的持續下去，成為一 種回饋系統。
在經驗抽象中，主體觀察了許多客體，並抽象(萃取)出一個共同性質。仿經 驗抽象也是以同樣方式進行，但是是在行動之中發生。而反思抽象，相較之下則
在經驗抽象中，主體觀察了許多客體，並抽象(萃取)出一個共同性質。仿經 驗抽象也是以同樣方式進行，但是是在行動之中發生。而反思抽象，相較之下則