第二章 文獻探討
第二節 加減法應用題的相關理論與研究
在國小最初的學習階段中，加減法的計算、推演與應用等問題是低 年級學生相當重要的數學課程，尤其加減法應用題更是許多低年級學生在 學習數學中所面臨到的第一個挑戰，因為學生在解題時，除了需要閱讀應 用題的文意，理解題意中已知、未知的關係及要求外，更須要熟悉計算的 過程來解決問題。因此，以下本章節將依序介紹加減應用題的本質、加減 法應用題的結構類型、加減法應用題的解題策略、以及加減法應用題的表 徵應用與層次。
一、加減法應用題的本質
在國小的數學教育課程中，主要是希望能培養學生數學的基本能力，
這包括計算、邏輯推理（歸納、演繹、類化、轉化等）、幾何實測（長度、
面積、時間、容量、溫度）和解決實際問題等的能力，其中「應用題」常 常以日常的生活事件為材料，且用語文型態來描述的數學問題情境，它比 一般計算題涉及更複雜的認知歷程（Cummins，1991）。
計算題通常只牽涉到學童的運算能力，而應用問題則牽涉到許多不同 類型的能力，例如學童需要具備語文能力，才能理解題目意思；需要具備 表徵能力，才能將語文符號轉換成數學符號；需要懂得如何使用解題策略 的能力，才能計算出答案。因為應用問題包含這些不同的能力，只要缺乏 其中某項能力，就無法算出正確的答案，也就顯得比計算題困難多了（涂 金堂、林佳蓉，2000）。
質而言，應用題是藉由文字來敘述的一種計算題型式，學生在解數學 應用題時，不僅要熟悉計算的過程，同時也要能閱讀問題的文意部分，並 理解問題要問什麼及所提供的條件，然後能進行運算的工作。因此我們可
知，應用問題是以語文的敘述方式要求解題者結合數學概念進行運算解題 的一種數學問題形式（Mayer，1987）。而國內學者張新仁(1989b)也表示，
應用問題本身是一個特殊的文體，學生在解題時必須先整理題意，把「語 文理解」轉換為「形式數學」，依照題意列式，然後再進行計算過程，而 困難的地方就是按照題意列式。在轉換的過程中，解題者的一般語文知識 和相對應的數學概念均扮演著重要的角色。
二、加減法應用題的結構類型分析
從加減法應用題的本質中，可以發現除了必須精熟數學的基本計算 外，還要有「從文本中解題」的能力，要能夠針對文字脈絡作解碼、觸接、
並理解題意，形成「問題模式」(problem model)或「情境模式」(situational model)的問題脈絡，然後將這些脈絡經由自然語言轉譯成算術語言，形成 數字運算程序，並正確執行，最後才能解題 (Mayer, 1993)。換言之，在解 題之前，針對加減法應用題的結構類型之分析是相當必要的，如此才能真 正進入有效的解題過程。
關於加減法應用題的結構類型，有以「問題情境」、「運算符號」、「語 意結構」等為標準者(Marshall, 1995)。然而，近年來許多研究指出，造成 加減法文字題難度差異的主要因素往往是在於「題目本身的語意結構」
（Carpenter, 1985 ; Nesher, 1982），且目前許多研究者均對於以「語意結構」
作為加減法文字題分類的依據有相當一致的看法（Carpenter & Moser, 1982；翁嘉英，1988；古明峰，1998b、1999；李貞慧，2002），所以本研 究將採用Nesher、Greeno與Riley(1982)按照語意結構(semantic categories) 所分的改變類(change)、合併(combine)與比較(compare)等三類加減文字題 型作為依據。下列就針對此三類加以分析說明（古明峰，1996）：
（一） 改變類的問題：
指一個數量經過增減改變之後，形成另一個數量的問 題，對於數量的增減產生行為作動態描述，包括增加和減少 兩種類型，可細分為「結果量未知」、「改變量未知」和「起 始量未知」三種。
（二） 合併類的問題：
探討一個大集合和兩個互補子集合之間的關係，對於問 題中兩個數量作靜態描述。可分為兩種類型，第一是先給大 集合的總數和其中一個子集合的個數，求另一個子集合的個 數。另一類為先給兩個子集合的個數，求大集合的總數，也 就是「子集合未知」和「總數未知」的問題。
（三） 比較類的問題：
比較兩個數量大小或多寡的問題，題中兩個數量屬靜態 描述，可分為「差異量未知」、「被比較量未知」和「參照 量未知」。
綜上所述，茲將加減應用題的分類題型與例子整理如表2-1所示：
（資料來源：改自古明峰，1999，p.22）
表 2-1 數學加減應用題的分類
類型 未知量 以錢幣為例子 語意
關係 (1) 小明有 5 元，小英又給小明 3 元，問小明現在有幾元？ 增加 結果量
未知 (2) 小明有 8 元，其中 3 元給小英，問小明剩下多少元？ 減少
(3) 小明原有 5 元，小英給小明幾元後，小明會有 8 元？ 增加 改變量
未知 (4) 小明有 8 元，小明給小英幾元後，小明會剩下 5 元？ 減少
(5) 小英給小明 5 元後，小明現有 8 元，問小明原來有幾元？ 增加
改變類
起始量
未知 (6) 小明給小英 5 元後，小明剩下 3 元，問小明原來有幾元？ 減少 (1) 小明有 8 元，小英有 5 元，問小明比小英多幾元？ 比多 差異量
未知 (2) 小明有 8 元，小英有 5 元，問小英比小明少幾元？ 比少 (3) 小明有 5 元，小英比小明多 3 元，問小英有幾元？ 比多 被比較量
未知 (4) 小明有 8 元 小英比小明少 3 元 問小英有幾元？ 比少
(5) 小明有 8 元，小明比小英多 3 元，小英有幾元？ 比多
比較類
參照量
未知 (6) 小明有 5 元，小明比小英少 3 元，問小英有幾元？ 比少
總數
未知 (1) 小明有 5 元，小英有 3 元，問小明和小英共有多少元？ －
合併類
子集合
未知 (2) 小明和小英共有 8 元，小英有 3 元，問小明有都少元？ －
面對上述不同語意結構類型的應用題，本研究主要針對改變類加減法 應用題的題型來進行相關研究，其原因一方面考量到改變類加減應用題的 語意結構困難層次適中，利於教師直接教學模擬，符合輕度智能障礙學生 的理解程度等因素。
另一方面，改變類加減法應用題的六個子題在語意結構和運算結構涵 蓋範圍多種類，適用不同的解題基模，於此訓練學生面對不同問題基模的 挑戰，有助於解題學習。茲將改變類六個子題型的語意和運算結構分析於 表2-2：
表 2-2 改變類題型的語意結構和運算結構之分析與比較
未知量 關係句 例題 語意結構
等式
運算結構 等式 增加型 小明有A元，小英又給小明 B
元，問小明現在有幾元？ A＋B＝□ A＋B＝□
求結果量
減少型 小明有A 元，其中B元給小
英，問小明剩下多少元？ A－B＝□ A－B＝□
增加型 小明原有 A 元，小英給小明
幾元後，小明會有C元？ A＋□＝C A－C＝□
求改變量
減少型 小明有 A 元，小明給小英幾
元後，小明會剩下C元？ A－□＝C A－C＝□
增加型 小英給小明 B 元後，小明現
有C元，問小明原來有幾元？ □＋B＝C C－B＝□
求起始量
減少型 小明給小英 B 元後，小明剩
下C元，問小明原來有幾元？ □－B＝C C＋B＝□
（資料來源：改自張淑芳，2001，p.17）
三、加減法應用題的解題策略理論
許多數學知識在「解題」中創造出來。美國數學教師協會（NCTM）
在其 Agenda for Action 一書中提出：「解題（problem solving）必須為學 校數學的焦點」（引自劉秋木，1996，p.139）。解題到底是什麼呢？ Gagne’
(1985)認為是學習者綜合先前習得的規則，用以獲得一個新問題答案的歷 程；劉錫麒（1993）認為解題是一個不斷省思的歷程，解題者需要有豐富 的相關知識基模，也需要策略的引導搜尋，否則解題是盲目的；洪義德
（2001）認為解題是解題者面臨一個陌生的問題情境時，運用本身已知舊 有經驗，思考並歸納出解決此目標問題的複雜心理過程。綜合上述學者的 看法，解題可說是透過內在思考的過程，逐步形塑出有效的問題解決策 略，進而成功解決問題的複雜歷程。
然而，學者們對於此複雜的解題過程，至今仍未有一致的見解，也因 而產生出許多不同的解題策略理論。不過一般而言，最早的解題策略之研 究，其實可以追溯到Dewey的五階段論：遭遇問題、界定問題所在、提出 可能的方法、考慮可能的結果、決定解決方法。爾後，波蘭數學家Polya
（1945）進一步將Dewey的解題策略理論修正為四階段，奠定往後解題理 論的基礎。至於其他著名的解理策略研究之學者，還包括Kilpatrick、
Schoenfeld、Mayer等人的理論。以下就針對這些相關的數學解題理論分述 如下：
（一）Polya 的解題策略歷程
Polya於1945年所著的《How to Solve It》中，提出解題歷程是從輸入 階段的閱讀與問題瞭解，經處理階段的擬訂計畫，至輸出階段的計畫實 行，最後加以回饋驗證解答，形成解題表徵與解題執行兩階段歷程（Mayer, 1992），而其解題策略的歷程與步驟可以分為四階段（Polya, 1945）：
1. 瞭解問題：
必須弄清楚題目要求什麼，能指出問題的主要成份，即：未 知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？可畫個圖解表示題 意，或引用合適的符號。
2. 擬定計畫：
必須弄清楚各個項目間是如何關聯，找出未知數和已知數之 間的關係，並設想為了獲得解題概念，可能需要什麼計算、運算 或作圖，檢驗是否利用了所有的已知數及條件？在這個階段，會 使用許多策略以解決問題，例如回想過去解決過的類似問題、分 析次目標等。
3. 實行計畫：
根據之前擬定的計畫，仔細地執行每一個步驟。並檢查每一 個步驟的正確性，以免產生錯誤，此時所需要的是耐心。
4. 回顧解答：
回顧已完成的解答，當解決了一個問題之後檢查一下結果，
考慮這個結果是否合理？是否合邏輯？能不能以不同的方法解決 問題？解決問題的結果與方法能不能用於其他的問題？
表 2-3 運用 Polya 四個解題階段學解題策略
Polya 認為每一個階段都是很重要而且是必要的，有些學生在解題過 程中會因為忽略了其中某一階段，而漏掉主要的解題關鍵，造成解題的困 難或失敗，所以每個解題的階段與歷程都是需要受到重視的（張沛雯、黃 麗珠、黃桂君，1999）。
（二）Kilpatrick 的解題策略歷程
Kilpatrick（1967a）又依據 Polya 的解題歷程模式設計了一個問題解
Kilpatrick（1967a）又依據 Polya 的解題歷程模式設計了一個問題解