第二章 文獻探討
第三節 型式教學活動對擬訂解題計畫能力影響之分析
擬訂解題計畫能力係指當數學學習障礙學童運用紙卡成功解決搬移4個 圓盤和搬移5個圓盤的問題後，測試數學學習障礙學童是否可以口述出自己剛 剛所擬訂的解決「搬移4個圓盤」問題的解題計畫，以及測試數學學習障礙學 童是否可以經由排列步驟卡的方式，排出解決「搬移5個圓盤」的解題計畫。
研究者將數學學習障礙學童口述擬訂的解決搬移4個圓盤的解題計畫，記 錄在附錄＜十四＞；此外，將數學學習障礙學童經由排列步驟卡的方式，所 排出的解決「搬移5個圓盤」的解題計畫，記錄在附錄＜十五＞，並加以分析。
讓數學學習障礙學童自己反思搬移4個圓盤和搬移5個圓盤的解題計畫 中，有哪些具有相同的型式概念，此種反思可以幫助數學學習障礙學童類化 到搬移更多的圓盤、難度更深一層的問題解決上。
一、以口述紀錄方式擬訂解題計畫（搬移 4 個圓盤）
（一）實施方法
數學學習障礙學童將其操作的過程用自己的話，有順序的說出來，或是 將解題步驟用排列名片卡的方式排列出來，這就是數學學習障礙學童自己思 考所擬訂的解題計畫。將數學學習障礙學童口述的、或排列的解題計畫流程 和河內塔遊戲操作流程圖（圖 3-1-2）的細目條列（表 4-3-1）做核對，如果 主要的項目和邏輯順序都有口述或排列出來，表示該數學學習障礙學童在解 決河內塔的搬移問題時，具有擬訂解題計畫的能力。
搬移 4 個圓盤的解題計畫是讓數學學習障礙學童採用口述的方式，將整 個解題流程說出來、老師紀錄。 將三位受試口述的解決 4 個圓盤的流程紀錄 如下（表 4-3-1、表 4-3-2、表 4-3-3），並加以分析。
表 4-3-1 河內塔遊戲操作流程圖之細目條列表 14 個步驟流程--檢核項目
步驟 1 取出起始卡、取出終點卡
步驟 2 選擇 2 的 pattern、或 3 的 pattern 當參照
步驟 3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從 6 種情形中找出正確的 pattern 當參照
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡 步驟 6 是否做有效分組？
步驟 7 是否可以寫出一張對應卡
步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應） 步驟9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟11 第1張、第2張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 12 所有「等待檢查區」的卡片是否都檢查完畢？
步驟13 將第1張卡片放到「答案區」，第2張卡片成為第1張卡片，再從「待 檢區」的卡片中再取出第一張卡片
步驟 14 將此張卡片依序放入「答案區」中
127
14 檢查兩張卡是否一個步數就可以完成？（如果是） 11 15 將第一張卡放入答案區中，第二張卡往上移到第一張卡的位置
（變成第一張卡），再從「待檢區」中拿出一張卡，當作第二張 卡
13
16 檢查兩張卡是否一個步數就可以完成？（如果不是） 11 17 插入 2 張空白卡。說明：
觀察後知道移動的圓盤數是 2 個時，就要補 2 張空白卡（亦即要插入
「2 的 n 次方-2」空白卡。2 的 2 次方-2＝2）
4
18 觀察上下兩張卡中「非固定數字」的位置，將中間的空白卡填好 數字
5、8 19 將所有的卡片，依序收入「等待檢查區-待檢區」。 9 20 從「待檢區」拿出前兩張卡，放入「操作工作板」的主要操作區
中
10 21 ---（一直重複）省略
22 一直寫到「待檢區」中的卡片全部都拿光了 12、14 小憲一共說了22個步驟（不計算中間因重複而省略的步驟），對於河內塔 遊戲的操作流程圖之14個步驟都有包含在內，可見小憲對解決搬移4個圓盤的 解題計畫的擬訂，都有掌握到解題策略的重點，小憲所擬訂的解題計畫堪稱 完備。
129
10 收進待檢區。
將所有的卡片，依序收入「等待檢查區-待檢區」。
9 11 拿出 1、2 張。
從「待檢區」拿出前兩張卡，放入「操作工作板」的主要操作區 中
10
12 有沒有一個步驟。
檢查兩張卡是否一個步數就可以完成？（如果是）
11 13 如果可以一個步驟就完成，放入「答案區」，拿出 1、2 張。
將第一張卡放入答案區中，第二張卡往上移到第一張卡的位置
（變成第一張卡），再從「待檢區」中拿出一張卡，當作第二張 卡
13
檢查兩張卡是否一個步數就可以完成？（如果不是） 11 插入 2 張空白卡。說明：
觀察後知道移動的圓盤數是 2 個時，就要補 2 張空白卡（亦即要插入
「2 的 n 次方-2」空白卡。2 的 2 次方-2＝2）
4
觀察上下兩張卡中「非固定數字」的位置，將中間的空白卡填好 數字
5、8 將所有的卡片，依序收入「等待檢查區-待檢區」。 9 從「待檢區」拿出前兩張卡，放入「操作工作板」的主要操作區
中
10 14 ---（一直重複）省略
15 到沒了。
一直寫到「待檢區」中的卡片全部都拿光了
12、14
小彥一共說了15個步驟（不計算中間因重複而省略的步驟），對於河內塔 遊戲的操作流程圖之14個步驟都有包含在內，可見小彥對解決搬移4個圓盤的 解題計畫的擬訂，都有掌握到解題策略的重點，小彥所擬訂的解題計畫堪稱 完備。
131
說明：觀察後知道移動的圓盤數是 2 個時，就要補 2 張空白卡（亦即
133 步驟2 選擇2的pattern、或3的pattern當參照 去選：
要比照搬2個，還是搬3個圓盤 步驟3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從6
種情形中找出正確的pattern當參照
從6個pattern中，去找到
同樣「從n柱搬到n柱」的那一個
步驟10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡從「待檢區」中
從6個pattern中，去找到
同樣「從n柱搬到n柱」的那一個
135
是否分成正確的2堆（3推） 第2張卡片成為第1張卡片，
再去拿出一張卡片
寫出「對應卡」 最後一張卡片，也放入「答案區」中 圖 4-3-1 14 疊步驟卡
（二）三位數學學習障礙學童擬定解題計畫的情形
三位數學學習障礙學童擬定解題計畫的情形如表 4-3-6、表 4-3-6、表 4-3-6 所示
表 4-3-6 擬訂解決搬移 5 個圓盤的解題計畫--排步驟卡（受試甲）
擬訂解題計畫的內容 （搬移 5 個圓盤）
排步驟卡 步驟 2 選擇 2 的 pattern、或 3 的 pattern 當參照
步驟 3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從 6 種情形中找出正確的 pattern 當參照 步驟 6 是否做有效分組？
步驟 7 是否可以寫出一張對應卡 步驟 1 取出起始卡、取出終點卡
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡 步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 11 第 1 張、第 2 張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡
步驟 3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從 6 種情形中找出正確的 pattern 當參照 步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應）
步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 11 第1張、第2張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 13 將第 1 張卡片放到「答案區」，第 2 張卡片成為第 1 張卡片，再從「待檢 區」的卡片中再取出第一張卡片
步驟 11 第 1 張、第 2 張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡
步驟 3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從 6 種情形中找出正確的 pattern 當參照 步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應）
步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 11 第1張、第2張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 13 將第 1 張卡片放到「答案區」，第 2 張卡片成為第 1 張卡片，再從「待檢 區」的卡片中再取出第一張卡片
․
․
․
步驟 11 第 1 張、第 2 張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡
步驟 3 找出會動數字的起始柱和終點柱，從 6 種情形中找出正確的 pattern 當參照 步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應）
步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 11 第1張、第2張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 13 將第 1 張卡片放到「答案區」，第 2 張卡片成為第 1 張卡片，再從「待檢 區」的卡片中再取出第一張卡片
步驟 12 所有「等待檢查區」的卡片是否都檢查完畢？
步驟 14 將此張卡片依序放入「答案區」中
受試甲一開始處在摸索的階段，後來漸漸穩定，從表 4-3-6 中可以明顯看 出該數學學習障礙學童有循環的步驟出現，漸漸有一個型式的模式產生出來。
137
表 4-3-7 擬訂解決搬移 5 個圓盤的解題計畫--排步驟卡（受試乙）
擬訂解題計畫的內容 （搬移 5 個圓盤）
排步驟卡 步驟 1 取出起始卡、取出終點卡
步驟 6 是否做有效分組？
步驟 7 是否可以寫出一張對應卡
步驟 2 選擇 2 的 pattern、或 3 的 pattern 當參照
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應）
步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 11 第 1 張、第 2 張卡是不是只有一個步驟就可以完成？
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡 步驟 5 若有不動之數字，就將該數字填入每一張空白卡 步驟 8 利用型式複製某一 pattern 至空白卡（完成對應）
步驟 12 所有「等待檢查區」的卡片是否都檢查完畢？
步驟 9 從起始卡依序收起所有卡片放入「待檢區」
步驟 10 從「待檢區」中取出第一張卡、第二張卡
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡
步驟 4 在起始卡和終點卡之間插入「2 的 n 次方-2」空白卡