第二章 文獻探討
第五節 理解型式概念，增強型式的認知：訪談記錄之分析
一、訪談的用意：
為探討以河內塔為內涵的型式教學後，數學學習障礙學童可否發現河內 塔遊戲中的型式、對應中的規則是什麼？如果他可以全部操作完畢，是否代 表理解型式概念，而增強型式的認知？研究者依自編的訪談紀錄單，予以受 試者訪談並加以分析（附錄＜十七＞）。
二、訪談的目的：
探討以河內塔為內涵的型式教學後，數學學習障礙學童可否發現河內塔 遊戲中包含有關「型式、對應、類化」的內涵是什麼？理解型式概念，而增 強型式的認知。
三、訪談的題目：一共有四大題，十五個小題，題目如下
訪談紀錄單--探討是否理解型式概念，而增強型式的認知 一、 小朋友，你覺得搬移 2 個圓盤【型式】
（一）有哪 6 種搬移的型式？
（二）這 6 種搬移的型式，你覺得哪些地方「一樣」？
二、 小朋友，你覺得搬移 3 個圓盤【型式】
（一）有哪 6 種搬移的型式？
（二）這 6 種搬移的型式，你覺得哪些地方「一樣」？
三、 搬移 4 個圓盤時，一開始，你無法用最少的 15 個步驟就完成搬移，你 只好把 4 個圓盤當作 2 個圓盤或 3 個圓盤來搬？
（一）請問「把 4 個圓盤當作 2 個圓盤」，你要如何分堆才有效？【型式】
（二）為什麼一定要這樣分才有效（才能成功比照 2 個圓盤的型式來搬 移）？【型式】
（三）請寫出「把 4 個圓盤當作 2 個圓盤」的對應關係【對應】
（四）請問「把 4 個圓盤當作 3 個圓盤」，你要如何分堆才有效？【型式】
（五）為什麼一定要這樣分才有效（才能成功比照 3 個圓盤的型式來搬 移）？【型式】
（六）請寫出「把 4 個圓盤當作 3 個圓盤」的對應關係【對應】
四、 搬移 5 個圓盤時【問題解決類化能力】
（一）假如第 1 張、第 2 張卡不是只有一個步驟就可以完成，就要做什 麼動作？【工作記憶】
（二）插入空白卡片後，然後要做什麼動作？【工作記憶】
（三）插入 2 張空白卡時，要比照「搬移幾個圓盤的型式」？
【型式、對應】
（四）插入 6 張空白卡時，要比照「搬移幾個圓盤的型式」？
【型式、對應】
（五）將第 1 張卡片放到「答案區」，請問第 2 張卡片成為什麼？ 接下 來要做什麼動作？【工作記憶】
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四、訪談的結果分析：
訪談紀錄單--探討是否理解型式概念，而增強型式的認知 一、小朋友，你覺得搬移 2 個圓盤【型式】
（一）有哪 6 種搬移的型式？
表 4-5-1 2 個圓盤之 6 種搬移的型式
受試者 回答的答案
小憲 A（柱）搬到 C（柱）、C（柱）搬到 A（柱）
B（柱）搬到 C（柱）、C（柱）搬到 B（柱）
A（柱）搬到 B（柱）、B（柱）搬到 A（柱）
小彥 由 A（柱）搬到 B（柱）、由 A（柱）搬到 C（柱）、 由 B（柱）搬到 A（柱）、由 B（柱）搬到 C（柱）、
由 C（柱）搬到 A（柱）、由 C（柱）搬到 B（柱）。
小儒 A（柱）到 C（柱）、C（柱）到 A（柱）、 B（柱）到 A（柱）、C（柱）到 B（柱）、
B（柱）到 C（柱）、A（柱）到 B（柱）。
操作結果分析：
這三位數學學習障礙學童在基線期之前，有先養成其搬移 2、3 個圓盤的 型式的基本能力，針對這一題，這三位數學學習障礙學童均可正確答出 六種搬移的型式，可見其搬移 2、3 個圓盤的型式的基本能力在追蹤期後 仍有保留其學習成效。
（二）這 6 種搬移的型式，你覺得哪些地方「一樣」？
表 4-5-2 2 個圓盤之 6 種搬移的型式一樣的地方
受試者 回答的答案
小憲 第一個（圓盤）都搬到沒有要去（註：不是終點柱。一共三根柱子，扣 掉起始柱和終點柱，就只剩一根柱子可以搬過去）的那裡（那根柱子）
註：
小憲自己發現「搬移 2 個圓盤時，如何可以搬移出最少步驟」的要訣。
小彥 有一樣。
（老師：哪裡一樣？）
搬得速度一樣！
（老師：你移移看，由 A（柱）搬到 B（柱）、由 A（柱）搬到 C（柱），
哪裡一樣？）
搬得位置一樣！
（該數學學習障礙學童一邊正確的移動 2 個圓盤，一邊想不出用詞）說：
有一樣
（老師：搬得方式一樣對不對？）
對！搬得方式一樣。
小儒 都會放在 C（柱）。
B 和 C 很像（B 柱和 C 柱上都有圓盤）。
都會搬回來。
都一樣！（一直說都一樣）
都會一直 A 搬到 B、B 搬到 C。
操作結果分析：
這三位數學學習障礙學童都有發現這六種搬移，就是這三根柱子做排列 組合，輪流當起始柱和終點柱。小憲觀察的比較深入，知道如果要以「最
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少步數去完成搬移」，則移動的第一步必須要搬移到「非起始柱，也非終 點柱」的那根柱子上。三人均具有型式的基本概念。
二、小朋友，你覺得搬移 3 個圓盤【型式】
（一）有哪 6 種搬移的型式？
表 4-5-3 3 個圓盤之 6 種搬移的型式
受試者 回答的答案
小憲 A（柱）搬到 C（柱）、C（柱）搬到 A（柱）
B（柱）搬到 C（柱）、C（柱）搬到 B（柱）
A（柱）搬到 B（柱）、B（柱）搬到 A（柱）
小彥 由 A（柱）搬到 B（柱）、由 A（柱）搬到 C（柱）、 由 B（柱）搬到 A（柱）、由 B（柱）搬到 C（柱）、
由 C（柱）搬到 A（柱）、由 C（柱）搬到 B（柱）。
小儒 A（柱）到 C（柱）、A（柱）到 B（柱）、 B（柱）到 A（柱）、B（柱）到 C（柱）、
C（柱）到 A（柱）、C（柱）到 B（柱）。
操作結果分析：
這三位數學學習障礙學童的回答和第一大題搬移 2 個圓盤的回答差不 多，這三位數學學習障礙學童均可正確答出六種搬移的型式，可見其搬 移 2、3 個圓盤的型式的基本能力在追蹤期後仍有保留其學習成效。
（二）這 6 種搬移的型式，你覺得哪些地方「一樣」？
表 4-5-4 4 個圓盤之 6 種搬移的型式一樣的地方
受試者 回答的答案
小憲 第一個（圓盤）都搬到要搬的（註：「要搬的」就是指「終點柱」）那裡
（那根柱子）
註：
小憲自己發現「搬移 3 個圓盤時，如何可以搬移出最少步驟」的要訣 小彥 老師，你剛剛那一題（第一大題的第 2 小題）說那兩個字（該數學學習
障礙學童手指著＂方式＂）怎麼講？
（老師：方式）
對！方式一樣。
小儒 都有放。
都一樣！
（老師：哪裡一樣？）
都這樣子搬來搬去。
操作結果分析：
這三位數學學習障礙學童都有發現這六種搬移，就是這三根柱子做排列 組合，輪流當起始柱和終點柱。小憲觀察的比較深入，知道如果要以「最 少步數去完成搬移」，則移動的第一步必須要搬移到「終點柱」的那根柱 子上。小彥和小儒的口語表達能力較弱，有感覺出這六種搬移有類似的 操作方式，但只能用簡短的話來表達，基本上，三人均具有型式的基本 概念。
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習障礙學童會從中體會出正確分組的型式。由上述三位數學學習障礙學 童的操作作答，可知小憲和小彥在實驗處理期中所做過的分堆試驗，到 追蹤期過後，仍具有型式認知概念的保留成效；只有小儒還必須當場實 際操作一番才可獲知答案。
（二）為什麼一定要這樣分才有效（才能成功比照 2 個圓盤的型式來搬 移）？【型式】
表 4-5-6 4 個圓盤分成正確的 2 堆之理由
受試者 回答的答案
小憲 因為會疊不上去（放不進去柱子裡），不能大疊小（若放進同一個柱子時，
會產生大的圓盤去壓在小的圓盤上面，違反遊戲規則）
小彥 不然，一個（圓盤）一個（圓盤）搬不進去（柱子裡）。
小儒 不知道。
分堆分錯的話，會放不進去，大的（圓盤）會壓到小的（圓盤）。
操作結果分析：
1.這三位數學學習障礙學童剛好都只回答「分堆不成功的其中一種原因」。
若將「1、3」號圓盤分為一堆，「2、4」號圓盤分為另一堆，這樣要將 這 4 個圓盤放進柱子內，不管是「1、3」號，還是「2、4」號先放，在放 入第二堆時，就會發現有「大的圓盤壓到小的圓盤」這樣違反遊戲 規則 的情形，就「搬不進去了」。
分堆不成功的另一種原因，就是如果分堆分成「1、2」號圓盤分為 一堆，「3、4」號圓盤分為另一堆，這樣一開始是可以順利放入起始柱子中，
但搬移到中途的時候，數學學習障礙學童會發現無法繼續再做搬移，因為 下一步的搬移會發生「大的圓盤壓到小的圓盤」這樣違反遊戲規則的情形，
就無法繼續搬移、無法完成目標了。
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2.「1、2、3」分在同一堆，這種堆疊情形，在進入「實驗期」之前，該數 學學習障礙學童已先具備移動此「3 個圓盤」的能力，已經會了；就是利 用已經會的經驗（移動 3 個圓盤）來解決移動「4 個圓盤」這個問題（也 屬於類化能力的一種）。
3.分堆的要訣是：「最大的圓盤」必需自己形成一堆，保證「一個步驟」就 可以搬移過去。若有 n 個圓盤（由小到大，從 1、2 到 n 做編號），要分 成兩堆的話，就是 n 號原盤自己形成第二堆，其餘 1 到 n-1 號成第一堆；
要分成三堆的話，就是 n 號原盤自己形成第三堆，n-1 號原盤自己形成第 二堆，其餘 1 到 n-2 號成第一堆。
（三）請寫出「把 4 個圓盤當作 2 個圓盤」的對應關係【對應】
表 4-5-7 4 個圓盤分成正確的 2 堆之對應關係
1 → 1 2 3 2 → 4
三位數學學習障礙學童都可以慢慢寫出上面的對應卡，可見三位數學學習 障礙學童對應的基本觀念都有建立。
（四）請問「把 4 個圓盤當作 3 個圓盤」，你要如何分堆才有效？
【型式】
表 4-5-8 4 個圓盤如何分成正確的 3 堆
受試者 回答的答案
小憲 該數學學習障礙學童把 4 個圓盤擺成「1、2」「3」「4」三堆（會操作表示，
不太會講）
註：「1」表示最小的圓盤，依數字越大，圓盤的直徑越大。
小彥 該數學學習障礙學童把 4 個圓盤擺成「1、2」「3」「4」三堆（會操作表示，
不太會講）
註：「1」表示最小的圓盤，依數字越大，圓盤的直徑越大。
小儒 慢慢也可以把 4 個圓盤擺成「1、2」「3」「4」三堆
操作結果分析：
在實驗處理期中，曾讓三位數學學習障礙學童自己去嘗試錯誤，將四個 圓盤分成兩三堆<附錄五：分堆紀錄表>，每一次作好分堆之後，都當場 放入柱子中搬移試試看，看看是否可以完成目標、搬移成功，數學學習 障礙學童會從中體會出正確分組的型式。由上述三位數學學習障礙學童 的操作作答，可知三位數學學習障礙學童在實驗處理期中所做過的分堆 試驗，到追蹤期過後，仍具有型式認知概念的保留成效。
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（五）為什麼一定要這樣分才有效（才能成功比照 3 個圓盤的型式來搬 移）？【型式】
表 4-5-9 4 個圓盤如何分成正確的 3 堆
受試者 回答的答案
小憲 一開始說「不知」
想一想之後說「才不會大壓小，才不會「卡住」不能搬了。」
小彥 不然，一個（圓盤）一個（圓盤）搬不進去（柱子裡）。
註：該數學學習障礙學童只想到這個理由。
小儒 分堆分錯的話，沒辦法搬（分堆分錯的話，一開始或搬移到中途的時候
小儒 分堆分錯的話，沒辦法搬（分堆分錯的話，一開始或搬移到中途的時候