第二章 文獻探討
第二節 型式認知概念建立的過程之分析
針對數學學習障礙學童在型式認知概念的建立過程中，在基本能力的培 養、處理期、追蹤期都有設計教學活動及評量，慢慢建立起數學學習障礙學 童的型式認知概念，分基本能力的培養、在處理期之型式認知概念的建立、
在追蹤期之型式認知概念的建立三大部分如下。
一、基本能力的培養
讓數學學習障礙學童先認識搬移河內塔2、3個圓盤時一共有12種型式
（pattern），並讓數學學習障礙學童實際操作解決搬移河內塔2、3個圓盤的 問題，測量數學學習障礙學童可以用最少步數完成目標的次數（用○表示該 數學學習障礙學童是用最少步數完成目標，○個數越多，則表示該數學學習 障礙學童是用最少步數完成目標的次數越多）。
依型式的基本能力評量一和型式的基本能力評量二的評量結果作為學習 成效的指標，其說明如下。
（一）型式的基本能力評量一：寫出12種的型式（pattern）
1.計分標準：
寫搬移3個圓盤的六種pattern（型式）：每寫出一種就得1分，最高 可得6分。寫搬移2個圓盤的六種pattern：若寫出一種就得1分，寫出二、
三種，均可得2分，寫出四、五種均可得3分，寫出全部六種可得4分，所 以，寫滿十二種pattern，最高可得10分。
型式的基本能力評量（一）必須一直測試到連續三次的得分均在八 分以上，才算是具備搬移2、3個圓盤（pattern）的基本能力。受試者必 需要具備搬移2、3個圓盤的基本能力，才能進入基線期。
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3.操作結果分析：
三位數學學習障礙學童對於搬移2個圓盤和3個圓盤都一樣充滿解題動 機，幾乎都可以將十二種搬移的pattern（型式）全部寫出來，過程中如果不 小心寫錯，都堅持要重新再操作一次，不願意讓老師打叉，如果自己發現怪 怪的，而自行馬上修正錯誤，則不予扣分。
小憲錯誤的地方在於同一根柱子中有「1、2」兩個不同大小的圓盤，小 憲先把數字大的圓盤搬移出來，要是實際操作，應該就不會犯此錯誤，本測 驗可以自己靠邏輯寫出答案，不一定要經過操作過程。
小彥的錯誤在於搬移一個圓盤，就要寫一次紀錄，小彥少紀錄其中一個 步驟，所以會發生搬完的時候，其總步驟竟然比最少步驟還要少的奇怪現象。
有時候小彥也會搬錯位置，多一次來回操作，就無法以最少步驟完成，造成 扣分。
小儒的錯誤在於搬移3個圓盤時的步驟比較多，比較多時，小儒搬到一半 就開始混淆了，忘記下一個步驟怎樣搬才對，搬來搬去，紀錄就擦來擦去。
搬移2個圓盤時，一開始，第一個圓盤要搬到「非終點柱」，小儒將第一個圓 盤搬到「終點柱」，就會造成無法以最少的步驟完成的錯誤情形。
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（二）型式的基本能力評量二：搬移河內塔2、3個圓盤之操作評量
1.計分標準：
10分：連續第一次、第二次、第三次均以最少步數完成。
9分：連續第一次、第二次均以最少步數完成。
8分：第一次失敗；第二次、第三次均以最少步數完成。
7分：在第三次、第四次連續以最少步數完成。
6分：在第四次、第五次連續以最少步數完成。
5分：在第五次、第六次連續以最少步數完成。
4分：以最少步數通過兩次以上，但並未連續通過。
3分：以最少步數通過一次。
2分：有完成目標二次以上，但不是用最少步數完成。
1分：有完成目標一次，但不是用最少步數完成。
0分：六次完全沒有完成目標。
測試數學學習障礙學童由A柱、B柱或C柱搬移2個圓盤、3個圓盤到指定的 其他柱，如果連續第一次、第二次、第三次均以最少步數完成，就可得10分；
如果連續三次收集到資料都是10分，表示該數學學習障礙學童具備搬移2個圓 盤，和搬移3個圓盤之型式的基本能力，則該數學學習障礙學童才有資格當作 樣本，而接著進行其搬移4個圓盤資料點的收集
2.操作結果評量：
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小 儒
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二、處理期之型式認知概念的建立
在實驗處理期中，讓數學學習障礙學童從不斷的分堆、嘗試錯誤的操作 中去建立型式認知的概念，老師教導數學學習障礙學童一套解決河內塔搬移 遊戲的策略，從中建立型式認知的概念。
將「河內塔遊戲之型式的教學」的解題步驟分為三大階段，在實驗處理 期中做教學，並在每節教學完之後做形成性成效評量，包括形成性成效評量
（一）、形成性成效評量（二）、形成性成效評量（三），評量內容放在附錄＜
四＞、附錄＜六＞、附錄＜七＞，其中分堆紀錄表（附錄＜五＞）是讓數學 學習障礙學童從不斷的分堆、嘗試錯誤的操作中去建立型式認知的概念。三 個形成性成效評量的評量結果作為學習成效，將這三個形成性評量的正確率 整合在附錄＜八＞之中、說明如下。
（一）形成性成效評量一：找起始柱與終點柱、參照寫入
1.計分標準：
本評量共有五題，每題都有4個目標（目標1：找出非固定數字的起始柱 和終點柱。目標2：從12種情形中找出正確的pattern當參照。目標3：找出固 定不動之數字。目標4：將固定不動之數字填入每一張空白卡），只做對1個 目標得0分，做對2個目標就得1分，做對3個目標得1分，做對4個目標得2分，
每題都有4個目標，每題最高得2分，本評量共有五題，共計最高可得10分。
實驗處理期共分成三個階段，有形成性成效評量（一）、（二）、（三），在 形成性成效評量（一）中，必須一直測試到連續三次的得分均在八分以上，
第一階段的學習成效達到穩定，才能進入實驗處理期的第二個階段之學習。
2.操作結果評量：
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移3個圓盤，而且是由A柱搬移到B柱」的pattern（型式），就是正確的答案 了。
小彥大多錯在「目標1：找出非固定數字的起始柱和終點柱」，其次錯在
「目標3：找出固定不動之數字」，少數一、兩題錯在「目標3：找出固定不 動之數字」，分析這些錯誤，可以知道小彥在觀察「起始柱和終點柱」中，
「非固定之數字和固定不動之數字」就常看錯了，以致有5分、7分、8分的分 數，分數不佳。
小儒第一天大多是錯在「目標1：找出非固定數字的起始柱和終點柱」，
和「目標4：將固定不動之數字填入每一張空白卡」，從第二天之後，都是錯 在「目標1：找出非固定數字的起始柱和終點柱」，其中「目標3：找出固定 不動之數字」只粗心錯了一次。第一天時，因為不熟悉照著找到的pattern
（型式），就「一對一」一張一張的對應抄寫過去，常常抄錯，五題錯了四 題，待熟悉抄寫過程應該專注在一張一張的對應好，之後的評量，就都沒出 現同樣的錯誤了。小儒常犯的錯誤在「目標1：找出非固定數字的起始柱和終 點柱」，可見小儒在觀察「起始柱和終點柱」中的數字，對「非固定的數字」
的移動常看走眼。
三位受試者在形成性成效評量（一）中，均有出現連續三次的得分在八 分以上，表示實驗處理期的第一階段的學習成效達到穩定，三位受試者都有 資格進入實驗處理期的第二個階段之學習。
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小 彥
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數學學習障礙學童經過各種分堆法後，也會發現有些分堆法雖然一開始 可以放進柱子中，但經過不斷操作，細部分解到一次只能搬移一個圓盤時，
會發現有大的圓盤壓到小的圓盤的違規情形，搬移導致分堆不成功，例如：
將1、2號圓盤分為一堆，將3、4號圓盤分為另一堆。
同樣的分堆不成功的情形，也發生在將4個圓盤分成3堆的時候。
三位受試者在不斷的操作中，做測試，驗證所想的分堆成不成功，最後 三位受試者都是測試到分堆成功之後才停止搬移，可見河內塔遊戲是一個有 趣的教學媒材。
115 目標3（是否會利用型式複製某一pattern至空白卡，完成對應？）：有六題，
一題1分，最高可得6分
表4-2-21 有效分組、寫出對應卡、複製至空白卡之評量結果（受試丙）
測驗次第 該評量之題數
測驗 第一次
測驗 第二次
測驗 第三次 目標1 對2/2-2分 對2/2-2分 對2/2-2分 目標2 對2/2-2分 對2/2-2分 對2/2-2分 目標3 對5/6-5分 對4/6-4分 對5/6-5分
計分 9分 8分 9分
3.操作結果分析：
三位受試者在形成性成效評量（二）中，均有出現連續三次的得分在八 分以上，表示實驗處理期的第二階段的學習成效達到穩定，三位受試者都有 資格進入實驗處理期的第三個階段之學習。
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（四）形成性成效評量三：操作動作之檢核表
1.計分標準：
附錄<七>有十題，滿分是10分：做對一題得1分，全部有10題，滿分是10分
2.操作結果評量：
表4-2-22 解決搬移4個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試甲）
第一次 第二次 第三次 檢核10題 對10題/10題 對10題/10題 對10題/10題
計分 10分 10分 10分
表4-2-23 解決搬移4個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試乙）
第一次 第二次 第三次 檢核10題 對9題/10題 對9題/10題 對10題/10題
計分 9分 9分 10分
表4-2-24 解決搬移4個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試丙）
第一次 第二次 第三次 檢核10題 對10題/10題 對10題/10題 對10題/10題
計分 10分 10分 10分
3.操作結果分析：
三位受試者在形成性成效評量（三）中，均有出現連續三次的得分在八 分以上，表示實驗處理期的第三階段的學習成效達到穩定，三位受試者對三 個階段的實驗教學都有穩定的學習成效。
（五）三個形成性成效評量的正確率
1.循序漸進的形成性成效評量
實驗處理期共分成三個階段，有形成性成效評量（一）、形成性成效評量
（二）、形成性成效評量（三），在形成性成效評量（一）中，必須一直測試 到連續三次的得分均在八分以上，亦即第一階段的學習成效達到穩定，才能 進入實驗處理期的第二個階段之學習。在實驗處理期第二個階段之形成性成 效評量（二）中，必須一直測試到連續三次的得分均在八分以上，亦即第二
（二）、形成性成效評量（三），在形成性成效評量（一）中，必須一直測試 到連續三次的得分均在八分以上，亦即第一階段的學習成效達到穩定，才能 進入實驗處理期的第二個階段之學習。在實驗處理期第二個階段之形成性成 效評量（二）中，必須一直測試到連續三次的得分均在八分以上，亦即第二