河內塔遊戲教學對數學學習障礙學童型式認知之研究探討

國立台中教育大學特殊教育與輔助科技研究所

碩士論文

指導教授：高明志博士

河內塔遊戲教學對數學學習障礙學童

型式認知之研究探討

研究生：辛淑菁撰

中華民國九十五年六月

河內塔遊戲教學對數學學習障礙學童型式認知之研究探討

摘 要 本研究本著「從遊戲中學習，從操作中認知」的理念，冀望藉由河內塔遊戲的解 題過程中學習解決問題，提升數學學習障礙學童問題解決類化的能力。本研究旨在探 討河內塔遊戲的型式教學介入對於國小數學學習障礙學童之學習成效。研究方法採單 一受試研究法中的跨受試多基線設計。研究對象為台中市某國小資源班三名三、四、 五年級的數學學習障礙學童。教學材料係自行設計之型式認知操作活動或評量。學習 效果以研究對象在河內塔遊戲的型式教學中，依最少步數搬移河內塔遊戲的次數多寡 為指標，將所得資料以圖或表的方式呈現，最後再進行視覺分析。此外，並探討河內 塔遊戲的型式教學後，對數學學習障礙學童擬定解題計畫能力、問題解決類化能力的 影響做分析，以及探討此學習是否為可以理解複雜型式概念，進而增強型式認知。 本研究結果如下： 一、 河內塔遊戲的型式教學後，數學學習障礙學童依最少步數搬移河內塔遊戲的次 數皆得到立即提升且顯著的學習成效。 二、河內塔遊戲的型式教學後，數學學習障礙學童對河內塔遊戲內涵的的型式概念， 有良好的保留成效。 三、河內塔遊戲的型式教學後，數學學習障礙學童可以將搬移四個圓盤的解題策略類 化到解決搬移五個圓盤複雜度更高的問題上。 四、河內塔遊戲的型式教學後，數學學習障礙學童可以擬定出自己的解題計畫。 五、河內塔遊戲的型式教學後，數學學習障礙學童可以理解複雜型式概念，進而增強 型式認知。 關鍵字：河內塔、型式、數學學習障礙、單一受試法

A study of pattern teaching on Tower of Hanoi for pupils with

mathematic learning disabilities

Abstract

This study emphasizes on the concept of “learning from playing, recognizing from operating,” hoping to let pupils learn how to solve problem from solving the Tower of Hanoi and to enhance pupils’ ability to solve analogue problems.

This study investigates the effect of pattern teaching intervention in the Tower of Hanoi puzzle on the pattern learning performance of pupils with mathematic learning disabilities. The design of multiple probe across subjects was adopted in this study. The 3 subjects of this study are math learning disabilities students in the third, fourth and fifth grade of some elementary school of Taichung City respectively. The teaching assisted materials are self-designed play pattern and cognition activities and assessments. The learning performance index is the number of times pupils can transfer the entire tower to one of the other pegs in the minimum number of moves needed to solve the puzzle in the pattern teaching activities. The obtained data were analyzed by using the visual analysis. Moreover, the effect on pupils’ analogizing and problem-solving planning abilities is investigated.

The major results of this study were as follows:

1. The effect of learning was immediate and significant in the intervention phase. 2. The effect of learning was sustained during the retention phase.

3. The effect of evaluation upon analogical problem solving is positive. Pupils can analogize their strategy on solving the Tower of Hanoi puzzle with four disks to the puzzle with five or more disks.

4. Pupils can make their own and efficient plan of problem solving instead of operating by trial and error.

5. The effect of learning pattern finding is positive. Pupils have learned that the pattern relationship is useful to manage complexity in the Tower of Hanoi problem solving.

目 錄

第一章 緒論

第一節 研究動機… … … 1 第二節 研究目的與待答問題… … … 4 第三節 名詞解釋… … … 6 第四節 研究範圍與限制… … … 8

第二章 文獻探討

第一節 數學學習障礙的學習特徵與相關研究 一、數學學習障礙學童的學習特徵… … … …… … 9 二、數學學習障礙的相關研究… … … 14 第二節 數學學習障礙的教學法… … … …… …… … …19 第三節 型式和遊戲 一、型式的重要性… … … 22 二、型式的意義… … … 23 三、遊戲的意義… … … 24 四、遊戲的益處… … … ……… … … … …… …… … 26 五、遊戲的分類… … ………… … … ………… …… …… 26 第四節 問題解決類化能力 一、問題解決類化能力的意義… … … … … … …… … … 27 二、數學學習障礙學童之問題解決類化能力的重要性… … ……30

第三章 研究方法

第一節 研究程序 一、解決河內塔遊戲問題之策略的研究過程… … … … … 35 二、本研究整體之研究程序… … … … … … … 39 第二節 研究設計 一、實驗設計… … … 40 二、實驗教學架構及變項… … … … …… … 48 三、本研究數學學習障礙學童的教學法… … … … …… … 58 第三節 研究對象 一、試探性研究對象… … … … … 61 二、正式研究對象… … … … … … … 67 第四節 研究工具 一、魏氏兒童智力量表第三版… … … … … 74 二、基礎數學概念評量… … … … … … … 75 三、國民小學數學科診斷測驗… … … … … 75 四、自編的學習成效評量… … … ……… … … 76 五、擬定解題計畫能力的評量… … … … … 78 六、問題解決類化能力的評量… … … … … 79 七、自編的訪談紀錄… … … … ……… … … … 79 八、自編的型式認知評量… … … … … … … … 79 第五節 教學材料 一、教學者… … … … … … … 80 二、教學之編製依據… … … … ……… … … … 80 三、教學程序… … … … … …… … … 82 四、教學時間之安排… … … … … … … … … … … 84 第六節 資料處理… … … … … … … 85

第四章 結果與討論

第一節 型式教學活動的學習成效之分析… … … … …… … … 88 第二節 型式認知概念建立的過程之分析 一、基本能力的培養 （一）型式的基本能力評量一… … … … … … … 100 （二）型式的基本能力評量二… … … … … … … 103 二、處理期之型式認知概念的建立 （一）形成性成效評量一… … … … … …… … …107 （二）形成性成效評量二… … … … … …… … …111 （三）形成性成效評量二… … … … … …… … …115 （四）形成性成效評量三… … … … … …… … …117 （五） 三個形成性成效評量的正確率… … … … …… … 118 三、追蹤期之型式認知概念的建立 （一）短期保留成效評量… … … … ……… … …122 （二）長期保留成效評量… … … … ……… … …124 第三節 型式教學活動對擬訂解題計畫能力影響之分析 一、以口述紀錄方式擬訂解題計畫… … ……… … 125 二、以排步驟卡方式擬訂解題計畫… … ……… … 133 第四節 型式教學活動對問題解決類化能力影響之分析 一、實施方法… … … … … …… … … 141 二、實施結果… … … … … …… … … 141 第五節 理解型式概念，增強型式的認知：訪談記錄之分析 一、訪談的用意… … … … … …… … … 143 二、訪談的目的… … … … … …… … … 143 三、訪談的題目… … … … … …… … … 143 四、訪談的結果分析… … … … … …… …145 第六節 理解型式概念，增強型式的認知：河內塔的型式認知之分析 一、實施方法… … … … … …… … … 161 二、實施結果… … … … … …… … … 161 第七節 理解型式概念，增強型式的認知：星形的型式認知之分析 一、實施方法… … … … … …… … … 170 二、實施內容… … … … … …… … … 170 三、研究者的口語提示… … … … … …… … 171 四、實施結果… … … … … …… … … 173 第八節 討論… … … … … ……… 177

第五章 結論與建議

第一節、結論… … … … … …… …… … …… … 182

第二節、建議… … … … … …… …… … …… … 185

參考文獻

… … … …… … … …188

附 錄

基本能力評量

附錄＜一＞型式的基本能力評量（一）： 寫出 12 種的型式 … … 193 附錄＜二＞型式的基本能力評量（二）：搬移 2、3 個圓盤操作評量…196

學習成效

附錄＜三＞基線期以最少步數完成目標的次數評量表… … … … …198

實驗處理期

附錄＜四＞形成性成效評量（一）：找起始與終點柱、參照寫入… 199 附錄＜五＞形成性成效評量（二）：分堆紀錄表… … ………200 附錄＜六＞形成性成效評量（二）：分組、寫對應卡、複製… ……201 附錄＜七＞形成性成效評量（三）：操作動作之檢核表… … … …202

學習成效

附錄＜八＞三個形成性成效評量的正確率… … … … … 203 附錄＜九＞處理期以最少步數完成目標的次數評量表… … … … 204

追蹤期

附錄＜十＞短期保留成效評量… … … …… … … … …… … …205 附錄＜十一＞長期保留成效評量… … … … 206

學習成效

附錄＜十二＞追蹤期以最少步數完成目標的次數評量表… … … …207 附錄＜十三＞三期之以最少步數完成目標的次數評量統計表…… …208

型式能力一：擬訂解題計畫能力

附錄＜十四＞搬移 4 個圓盤採口述紀錄方式… … … … 209 附錄＜十五＞搬移 5 個圓盤採排步驟卡方式… … … … 210

型式能力二：問題解決類化能力

附錄＜十六＞解決搬移 5 個圓盤的問題… … … 212

型式能力三：探討是否理解型式概念，增強型式認知

附錄＜十七＞訪談紀錄單… … … … …… … … …213 附錄＜十八＞型式認知評量單（河內塔）… …… … …… … … 216 附錄＜十九＞型式認知評量單（星形-1、星形-2）… …… … … 220

表 次

表 2-1-1 數學學習障礙學童的特徵相關研究… … … … …… … …… … 10 表 2-1-3 數學學習障礙之相關研究… … … … …… … … …… 14 表 2-5-1 問題解決能力之相關研究… … … … …… … … …… 30 表 3-2-1 實驗階段與各階段所用到的評量單、訪談單或檢核表之對照表………42 表 3-2-2 研究者自編的河內塔遊戲教學… … … … … … ……… … ……45 表 3-2-3 基本能力評量、形成性成效評量的計分標準…… … …… … …… 54 表 3-3-1 學科能力測驗、魏氏智力測驗、鑑定結果表…… … …… … …… 62 表 3-3-2 魏氏兒童智力量表中兩兩分測驗相減後的值…… … …… … …… 62 表3-3-3 學業成就測驗百分等級測驗資料… … … … … …… … …………63 表3-3-4 魏氏兒童智力量表之施測結果…… … …… … … …… … …… 64 表3-3-5 基礎數學概念評量之施測結果…… … …… … … …… … …… 65 表 3-3-6 基礎數學概念評量之施測結果…… … …… … … …… … …… 65 表3-3-7 國民小學數學科診斷測驗之施測結果… … …… …… …… …… 66 表3-3-8 魏氏兒童智力量表之施測結果（受試甲）… … … … …… … … 69 表3-3-9 基礎數學概念評量之施測結果（受試乙）… … … … …… …… …70 表3-3-10 基礎數學概念評量之施測結果（受試丙）… … … …… …… …… 71 表3-3-11 基礎數學概念評量之施測結果… … … … … … … …… …… 71 表 3-3-12 三位受試者在國民小學數學科診斷測驗之施測結果… ……… …… 72 表 3-3-13 三位受試者在學習困難項目的檢核表… …… … … … …… …… 73 表 3-5-1 教學階段、教學活動和授課時數對照表… … ……… ………… ……81 表 3-5-2 實驗教學時間安排表… ………… … ……… …… … … … …… 84 表 3-6-1 階段內變化分析… …… ……… … ……… …… … … 86 表 3-6-2 階段間變化分析… …… ……… … ……… …… … … 87 表4-1-1 基線期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試甲）… … 88 表4-1-2 處理期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試甲）… … 89 表4-1-3 追蹤期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試甲）… … 89 表4-1-4 以最少步數完成目標的次數評量總表（受試甲）…… … … ………… 89 表4-1-5 以最少步數完成目標的次數之視覺分析摘要表（受試甲）… … ………90 表4-1-6 基線期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試乙）… … 92 表4-1-7 處理期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試乙）… … 93 表4-1-8 追蹤期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試乙）… …93 表4-1-9 以最少步數完成目標的次數評量總表（受試乙）…… …… … … … 93 表4-1-10 以最少步數完成目標的次數之視覺分析摘要表（受試乙）…… … … 94 表4-1-11 基線期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試丙）… …96 表4-1-12 處理期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試丙）… …97 表 4-1-13 追蹤期末期評量：以最少步數完成目標的次數評量表（受試丙）… …97

表 4-1-14 以最少步數完成目標的次數評量總表（受試丙）…… …… ……… …97 表 4-1-15 以最少步數完成目標的次數之視覺分析摘要表（受試丙）… ……… …98 表 4-2-1 寫出 12 種的型式之評量結果（受試甲）…… … … …… … … … 101 表 4-2-2 寫出 12 種的型式之評量結果（受試乙）…… … … …… … … … 101 表 4-2-3 寫出 12 種的型式之評量結果（受試丙）…… … … …… … … … 101 表 4-2-4 搬移 2 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試甲）…104 表 4-2-5 搬移 3 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試甲）…104 表 4-2-6 搬移 2 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試乙）…105 表 4-2-7 搬移 3 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試乙）…105 表 4-2-8 搬移 2 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試丙）…106 表 4-2-9 搬移 3 個圓盤，且依最少步數完成目標的次數之評量結果（受試丙）…106 表 4-2-10 找起始柱與終點柱、參照寫入空白卡之評量結果（受試甲）… … … 108 表 4-2-11 找起始柱與終點柱、參照寫入空白卡之評量結果（受試乙）… … … 108 表 4-2-12 找起始柱與終點柱、參照寫入空白卡之評量結果（受試丙）… … … 109 表 4-2-13 4 個圓盤分成 2 堆之分堆紀錄（受試甲）…… … … …… … … … 111 表 4-2-14 4 個圓盤分成 3 堆之分堆紀錄（受試甲）…… … … …… … … … 111 表 4-2-15 4 個圓盤分成 2 堆之分堆紀錄（受試乙）…… … … …… … … … 112 表 4-2-16 4 個圓盤分成 3 堆之分堆紀錄（受試乙）…… … … …… … … … 112 表 4-2-17 4 個圓盤分成 2 堆之分堆紀錄（受試丙）…… … … …… … … … 113 表 4-2-18 4 個圓盤分成 3 堆之分堆紀錄（受試丙）…… … … …… … … … 113 表 4-2-19 有效分組、寫出對應卡、複製至空白卡之評量結果（受試甲）… … … 115 表 4-2-20 有效分組、寫出對應卡、複製至空白卡之評量結果（受試乙）… … … 115 表 4-2-21 有效分組、寫出對應卡、複製至空白卡之評量結果（受試丙）… … … 116 表 4-2-22 解決搬移 4 個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試甲）… …… … … … 117 表 4-2-23 解決搬移 4 個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試乙）… …… … … … 117 表 4-2-24 解決搬移 4 個圓盤問題的操作動作之檢核表（受試丙）… …… … … … 117 表 4-2-25 處理期的三個形成性成效評量之正確率（受試甲） … …… … … … 119 表 4-2-26 處理期的三個形成性成效評量之正確率（受試乙） … …… … … … 119 表 4-2-27 處理期的三個形成性成效評量之正確率（受試丙） … …… … … … 119 表 4-2-28 短期保留成效評量之評量結果（受試甲）…… … … …… … … … 122 表 4-2-29 短期保留成效評量之評量結果（受試乙）…… … … …… … … … 123 表 4-2-30 短期保留成效評量之評量結果（受試丙）…… … … …… … … … 123 表 4-2-31 長期保留成效評量之評量結果（受試甲）…… … … …… … … … 124 表 4-2-32 長期保留成效評量之評量結果（受試乙）…… … … …… … … … 124 表 4-2-33 長期保留成效評量之評量結果（受試丙）…… … … …… … … … 124 表 4-3-1 河內塔遊戲操作流程圖之細目條列表…… … …… … …… … … 126

表 4-3-2 設計解決搬移 4 個圓盤的解題計畫--口述紀錄（受試甲）…… … … … 127 表 4-3-3 設計解決搬移 4 個圓盤的解題計畫--口述紀錄（受試乙）…… … … … 129 表 4-3-4 設計解決搬移 4 個圓盤的解題計畫--口述紀錄（受試丙）…… … … … 131 表 4-3-5 專業化用詞改成口語化用詞對照表…… … ……… …… … … … ……133 表 4-3-6 設計解決搬移 5 個圓盤的解題計畫--排步驟卡（受試甲）…… … … … 135 表 4-3-7 設計解決搬移 5 個圓盤的解題計畫--排步驟卡（受試乙）…… … … … 137 表 4-3-8 設計解決搬移 5 個圓盤的解題計畫--排步驟卡（受試丙）…… … … … 139 表 4-4-1 問題解決類化能力（搬移 5 個圓盤）--檢核表（甲乙丙）… …… … … 141 表 4-5-1 2 個圓盤之 6 種搬移的型式………… … ……… …… … … … ……145 表 4-5-2 2 個圓盤之 6 種搬移的型式一樣的地方 … … … … … …… … … 146 表 4-5-3 3 個圓盤之 6 種搬移的型式………… … ……… …… … … … ……147 表 4-5-4 4 個圓盤之 6 種搬移的型式一樣的地方 … … … … … …… … … 148 表 4-5-5 4 個圓盤如何分成正確的 2 堆………… … ……… …… … … … ……149 表 4-5-6 4 個圓盤分成正確的 2 堆之理由………… … ……… …… … … ……150 表 4-5-7 4 個圓盤分成正確的 2 堆之對應關係 … … … … … …… … … 151 表 4-5-8 4 個圓盤如何分成正確的 3 堆………… … ……… …… … … … ……152 表 4-5-9 4 個圓盤分成正確的 3 堆之理由………… … ……… …… … … ……153 表 4-5-10 4 個圓盤分成正確的 3 堆之對應關係 … … … … … …… … … 154 表 4-5-11 兩張卡之間非一個步驟的下一個動作 … … … … … …… … … 155 表 4-5-12 插入空白卡後的下一個動作………… … ……… …… … … … ……157 表 4-5-13 插入兩張卡是比照搬移幾個圓盤的型式 … … … … … …… … 158 表 4-5-14 插入六張卡是比照搬移幾個圓盤的型式 … … … … … …… … 159 表 4-5-15 第 2 張卡如何處理………… … ……… … … … …160 表 4-5-16 如何處理………… … ……… … … … …160 表 4-6-1 河內塔型式認知測驗結果-1………… … ……… …… … … … ……161 表 4-6-2 河內塔型式認知測驗結果-2………… … ……… …… … … … ……164 表 4-6-3 河內塔型式認知測驗結果-3………… … ……… …… … … … ……166 表 4-6-4 河內塔型式認知測驗結果-4………… … ……… …… … … … ……168 表 4-8-1 利用表 3-3-13（三位受試者的學習困難項目）檢核表的再評估… … …178

圖 次

圖 3-1-1 解決河內塔遊戲問題之策略的研究流程… … … 36 圖3-1-2 河內塔遊戲操作流程圖… … … … …… … … 38 圖3-1-3 本研究整體之研究程序… … … … …… … … 39 圖 3-2-1 實驗階段與程序圖… … … …… …… … 41 圖3-2-2 實驗設計架構圖… … … …… 48 圖4-1-1 以最少步數完成目標的次數之曲線圖（受試甲）… … … 90 圖4-1-2 以最少步數完成目標的次數之曲線圖（受試乙）… … … 94 圖4-1-3 以最少步數完成目標的次數之曲線圖（受試丙）… … … 98 圖 4-2-1 型式的形成性成效評量之正確率（受試甲乙丙）… … … 120 圖 4-3-1 14 疊步驟卡… … … …… … … ……134 圖4-7-1 大小不同的待選的pattern … … … …… …… 171 圖4-7-2 星形二的第4個完成圖（受試甲） … … … …… 174 圖4-7-3 星形二的第4個完成圖（受試乙） … … … …… 175 圖4-7-4 星形二的第4個完成圖（受試丙） … … … …… 176

第一章 緒論

第一節 研究動機

本研究之研究動機可分述如下： 一、鼓勵數學學習障礙學童發展問題解決的技巧、類化能力 教育部八十二年的國小數學課程標準中提到：「養成運用數學知識與 方法，解決問題的能力」，而八十九年公佈九年一貫數學領域內涵，除了 數學知識、生活應用能力外，更強調了解推理、解題的思考過程及數學溝 通的能力。為配合九年一貫的精神，目前數學教育的重心已慢慢轉移◎至 問題解決能力的培養上。問題解決就是指利用各種方法或策略，使個人從 「呈現狀態」到「目的狀態」（鄭昭明，1993）。 鼓勵特殊兒童獲得問題解決的技巧，就是提供一種能讓他們更自力更 生、更能成功運作生活的方式。如果讓孩童自己去解決可以自己處理的問 題，就能幫助他們獲得問題解決的技巧和自尊心（黃世毅譯，2002）。 關於學習障礙學童的研究方面大多是從事「解題」方面的研究，問題 解決能力低落的重要問題卻很少人研究。 本研究起源於研究者真實教學情境中所發現的，研究者在國小資源班 任教，自任教以來，資源班的學童大多是學習障礙，研究者在教學情境中 發現，數學學習障礙學童對於型式、序列、對應等認知能力較差，無法將 所學過的知識或技巧有效的類化到同一類型的事物上，進而解決新的問 題，導致學習困難。問題解決類化能力對學習障礙兒童很重要，而且是可 以經由遊戲教學來培養，使數學學習障礙學童能提升問題解決類化能力。

二、從遊戲中學習，從操作中認知 在國小數學科教學中，若透過以動手做數學的數學遊戲教學方式，並 選擇適當的數學遊戲教學策略能有助於數學學習困難學童，有助於提升數 學科學習困難學童的學習興趣與學習表現（李香慧，2006）。 數學遊戲教學採取動手做數學，從做中學的活動化學習理念，融入遊 戲活動於數學教學情境之中。在遊戲化的教學情境中，兒童的內在動機自 然地被引發，而樂於主動參與活動，活動過程中兒童充滿愉快感，自然而 然的樂於主動參活動與而非被動的參加。因此，遊戲數學教學在使兒童經 驗快樂的數學學習活動，也使兒童更有信心處理生活經驗中（李香慧， 2006）。 身心障礙兒童，由於遺傳、腦傷等因素，造成發展遲緩的現象，在進 行認知活動時，常受限於孩子本身的能力，事倍功半。為避免上述的情形， 指導者常需藉助一些教具，讓身心障礙者的語言、認知、肢體動作等得到 充分的發展。此時，若能採用遊戲式的教具，較能吸引兒童的興趣，提高 學習效果。很多學者專家都覺得透過遊戲的學習，可以很自然的獲得一些 日常生活中必備之技能（王寵惠、彭素真，1999），學習上比較活潑化， 可以提高學習動機和學習效率。 河內塔的遊戲具有益智及教育特色的玩具，充份達到寓教於樂的學習 效果，是一種遊戲規則易懂的益智遊戲，並且具有思考性、啟發性、操作 性、可親性等特點，可訓練手眼協調、手部精細動作的能力，此外，河內 塔的益智遊戲能明確指出遊戲規則、起始狀態和終點目標，數學學習障礙 學童心理必須考慮在既有的規定下，如何去達成顯見的終點目標，數學學 習障礙學童的心中很容易引起「有目的，但不知如何到達」的心理困境， 而形成一個待解的問題，加上河內塔本身屬於操作型的遊戲，很容易成為 挑戰問題的動機。 九年一貫綱要的能力指標（2003）指出，學童要能辨識具規則性的 數列，能理解等差數列的樣式、規則性及未知量，能理解等差數列的樣式、

規則性及理解未知量求法等，而學習pattern（型式）概念正能契合九年 一貫的精神，利用河內塔遊戲，有操作、有探索、有遊戲，會讓學童的學 習生動有趣、親切自然，並且不再那麼枯燥抽象（林壽福,95年）。因此， 本研究本著「從遊戲中學習，從操作中認知」的理念，冀望藉由河內塔遊 戲的解題過程中學習解決問題，提升學童類化和問題解決的能力。

第二節 研究目的與待答問題

一、研究目的 根據上述研究動機，本研究以就讀國民小學中、高年級數學學習障礙 學童為研究對象，並以研究者所設計以河內塔遊戲為內涵之問題解決類化 活動進行型式教學，藉以探討河內塔遊戲之型式教學對國小數學學習障礙 學童之問題解決類化能力的影響。因此，本研究主要的目的如下： （一）探討河內塔遊戲之型式教學對國小數學學習障礙學童的型式概念 之學習成效。 （二）探討河內塔遊戲之型式教學對國小數學學習障礙學童的型式概念 之保留成效。 （三）探討河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童之擬訂解 題計畫能力的影響。 （四）探討河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童之問題解 決類化能力的影響。 （五）探討河內塔遊戲之型式教學後，對數學學習障礙學童可否理解型式 概念，增強型式認知。 註：1.「型式概念之學習成效」是指經過處理期之後，測試該數學學習障 礙學童以最少步數搬移成功的次數是否有顯著的增加，如果有顯著 的增加，表示該處理期的型式教學有學習成效。 2.「可否理解型式概念，增強型式認知」可從三方面來看： （1）訪談紀錄：三位數學學習障礙學童對於搬移2、3個圓盤的12 種搬移型式、以及將四個圓盤有效的分成2或3堆並寫出對應 卡、以及思考插入2、6張空白卡時，是比照搬移幾個圓盤的

型式，以測試三位受試者對型式認知之概念。 （2）河內塔的型式認知測試：要數學學習障礙學童去觀察紙卡上 圓盤的位置是由哪根柱子搬移到哪根柱子、去思考可將此問 題看作是搬移幾個圓盤的問題之答案、並從問題解決之內容 參照之6種pattern去挑選一個最適當的pattern來貼入空白 卡中。 （3）星形的型式認知測試：挑選出正確的pattern圖形，在研究者 的口語提示完之後，依照型式邏輯貼出第三個或第四個圖 形。 二、待答問題 由上述的研究目的所列出的待答問題如下： （一） 河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童的型式概念 之學習成效的影響如何？ （二） 河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童的型式概念 之保留成效的影響如何？ （三） 河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童之擬定解題 計畫能力的影響為何？ （四） 河內塔遊戲之型式教學後，對國小數學學習障礙學童之問題解決 類化能力的影響為何？ （五） 河內塔遊戲之型式教學後，數學學習障礙學童可否理解型式概 念，增強型式認知？

第三節 名詞解釋

一、河內塔遊戲

河內塔遊戲起源於古老印度的傳說。1883 年，法國的數學家 Edouard Lucas 教授將其命名為河內塔(Tower of Hanoi)。傳說在古老的印度，有 一座神廟，有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，僧侶們能將 64 片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界 末日即隨之來到，萬物都將至極樂世界。（引自九章出版社，2004）。 本遊戲為在一塊有三根木柱的木板，在其中的一根木柱上放入數個大 小不同的圓盤，依規則從指定的木柱上全部移動至另一根木柱上，其規則 有三： 規則一：直徑大的圓盤不可以壓住直徑小的圓盤。 規則二：一次只能移動一個圓盤。 規則三：不能將圓盤移到柱子以外的地方。 最少的移動次數可以證明是2n −1 （n＝圓盤數） 遊戲的定義紛歧（潘怡吟，2001；饒見維，1996；廖信達，2004；郭 靜晃等，2005）。本研究認為之遊戲是一種複雜的行為，是兒童將內心想 法表達出來的行為方式之ㄧ，遊戲可以讓兒童去探索、學習並形成經驗， 用來理解周圍事物，當作應付未來實際生活所做的預習（潘怡吟，2001）。 本研究要讓數學學習障礙學童從河內塔的遊戲中探索、學習型式的概念。 河內塔遊戲教學是指採用河內塔這種三根柱子的教具及其遊戲三規 則，並使用紙卡記錄搬移的步驟，以減低記憶的負擔，讓數學學習障礙學 童學會用最少的步數去成功搬移四個以上的圓盤，並從中體會到型式的概 念。

二、型式 簡單型式(Simple Pattern)通常指重覆出現，有規則性的圖案、花樣、 動作、聲音、或事件等（周淑惠，1999）；型式(Pattern)乃表徵事物每次 出現的狀況和變化都類似，而且都有其根源可尋（林壽福，2006）。 本研究之型式(Complicated Pattern)是指植基於低層次的型式概 念，藉由高層次的邏輯推理和擬訂解題計畫能力所產生出來的重覆出現， 有規則性的圖案、動作或事件等型式。 三、數學學習障礙（MLD）學童 本研究之數學學習障礙學童是指在「魏氏智力量表第三版」（WISC-Ⅲ, 1992）中之全量表智商分數在70 以上，且在柯華葳（1999）所編製 「基礎數學概念評量」之大部分測驗成績不及格，在「答對／全部題數﹪」 以及「答對／做完題數﹪」之成績有差距者，即表示其有數學基本概念之 困難。 四、問題解決能力 問題解決能力的定義為，個體在遭遇到問題時，能運用本身既有的知 識或經驗等，然後加以應用，以解決個體所面臨的問題，而達到目的能力 （曾望超，2003；張春興，1991；D＇zurilla 和Nezu，1987，引自曾望 超，2003）。本研究之問題解決能力是指受試者在單一受試研究方法結束 後，讓數學學習障礙學童解決搬移五個圓盤這個問題，驗證該受試者在實 驗教學之後，是否可以將搬移四個圓盤解題策略應用到搬移五個圓盤、複 雜度更深一層的問題上。如果受試者可以運用所學的解題策略去解決搬移 五個圓盤這個問題，就代表實驗教學活動對問題解決能力之增進有影響。

第四節 研究範圍與限制

本研究之研究限制如下： 一、本研究僅探討三位就讀台中市某國民小學資源班數學學習障礙學童， 接受以河內塔遊戲教學活動之教導後，數學學習障礙學童在學習河內 塔遊戲之保留成效，故只能解釋該三位數學學習障礙學童在類化能 力、問題解決能力的學習表現。 二、本研究受限於研究對象之特殊性、樣本數太少，故採用單一受試法做 研究設計，以了解數學學習障礙學童個別化的學習情況。

第二章 文獻探討

第一節 數學學習障礙的學習特徵與相關研究

一、數學學習障礙學童的學習特徵 數學學習障礙指個體智力正常，非因智能不足、視覺、聽覺、動作、 情緒等之障礙或因文化不利因素的影響，而於數學符號運用能力的學習上 有困難，致使數學能力低下者，即為數學學習障礙。一般而言，身心障礙 學童中，遭遇到學習數學困難的情形不少，約有26%的學障學童須接受數 學困難的協助，更有50%學習障礙學童的IEP目標中，列有數學的項目（侯 禎塘，2004）。可見數學學習障礙的學童數很多，大多數的身心障礙兒童 都有需要加強數學的指導。 數學學習障礙學童的特徵為︰注意力缺陷、記憶缺陷、理解困難、動 作不靈活、固執和形象背景區分不易（陳麗玲，1992）。而林穎義（2001） 綜合Brainbridge、郭靜姿、林秀柔、林美和、蕭金土等學者之研究列舉 數學學習障礙學童的特徵如下：缺乏理解問題的能力、數學語言表達有困 難、計算方面有困難、注意力不足、對數學基本概念理解有困難、策略應 用的能力不足、視覺辨識有困難、記憶能力有缺陷、知覺缺陷、學習態度 因素，詳如表2-1-1

表 2-1-1 數學學習障礙學童的特徵相關研究（林穎義，2001） 數學學習障礙學童的 特徵 Brainbridge （1981） 郭靜姿 （2000） 林秀柔 （1989） 林美和 （1987） 蕭金土 （1995） 缺乏理解問題的能力 9 9 9 數學語言表達有困難 9 9 9 計算方面有困難 9 9 9 注意力不足 9 9 9 9 對數學基本概念理解 有困難 9 9 9 9 策略應用的能力不足 9 9 9 9 視覺辨識有困難 9 9 記憶能力有缺陷 9 9 9 知覺缺陷 9 9 9 學習態度因素 9 侯禎塘（2004）認為具有數學學習困難的特教需求學童，在學習數學 時可能面臨到如下列的難題：將數字看錯及寫顛倒、無法記住數字的基本 概念、計算須複雜解題步驟的題目有困難、試題包含很多子題時，會將子 題混淆、抄寫有困難、寫字潦草、花太多時間寫數字、建構數學試題上的 困難、剛學會的技巧及概念，很容易又忘了、無法運用數學名詞或無法闡 釋已理解的數學名詞、使用問題解決策略時，有選擇及監控上的困難。 由以上來看，因為數學學習障礙學童在使用問題解決策略時，有選擇 及監控上的困難，所以本研究在教學時提供河內塔解題策略的流程圖（圖 3-1-2）幫助數學學習障礙學童監控自己的解題步驟。

資源班老師認為導致學習障礙學童出現解題錯誤類型的成因，最高前 三項分別為「閱讀和數學表徵能力不好」、「注意力不集中易分心」、「理 解和推理能力差」（林穎義，2001）。 由以上來看，因為學習障礙學童的數學表徵能力不好，所以本研究將 蘊涵於河內塔遊戲內的型式概念，用紙卡的方式去引導學童從中體會型式 的奧妙，此外，又因為學習障礙學童的注意力不集中易分心，所以本研究 以河內塔遊戲的方式，企圖讓學習障礙學童從遊戲中學習、從操作中認知。 學習障礙的學童發生數學學習困難的原因，則可能有下列項目(洪儷 瑜，1995)：符號閱讀困難、空間、序列、順序概念困難、語文閱讀困難、 記憶能力有問題、缺乏數學學習策略、訊息處理困難、視知覺或視動作協 調有問題、數學焦慮等。 本研究之受試者在符號閱讀、空間概念、序列概念、順序概念、語文 閱讀、訊息處理等方面皆有困難；記憶能力較一般學童差很多，遇到數學 就焦慮煩躁，明顯缺乏數學學習策略，所以以河內塔遊戲為內涵，提升其 符號閱讀、空間概念、序列概念、順序概念、訊息處理等能力，直接教導 其解題策略，用河內塔當媒介，從遊戲中去學習分類、型式和對應的數學 概念，引起其學習動機，降低其數學的焦慮。 影響數學學習障礙學童解題錯誤的因素有：1.注意力不集中易分心2. 缺少驗算3.記憶能力差4.受到過多挫敗經驗5.理解和推理能力差6.學習 動機不足7.策略運用能力不足林穎義（2001）。由於河內塔遊戲，寓教於 樂，數學學習障礙學童容易形成學習的動機，操作的過程中，不易分心， 容易集中注意力；一開始搬移圓盤的時候會有挫敗的感覺，但由於河內塔 遊戲相當有趣，遊戲規則淺顯易懂，數學學習障礙學童在學習河內塔遊戲 的解題策略之後，很容易獲得成功，從中建立對自我的自信心。

林穎義（2001）認為當資源班老師面對數學學習障礙學童的解題錯誤 類型時，他們大多會選擇以「直接教學法」來進行補救教學，這是最快速、 有效提昇數學學習障礙學童的學習效果和數學能力的補救教學法，其次， 在教導需要多理解思考的問題中或解題態度信心不足的數學學習障礙學 童時，「輔導發現教學法」被數學資源班老師使用的比例逐漸提高。 在河內塔遊戲的型式教學中，本研究採用直接教學給數學學習障礙學 童充分的學習時間，一直要達到精熟的技巧才進入下一個學習階段。研究 者透過工作分析，分析出教學計畫的步驟，決定出三個連續性的教學階 段，然後實施一對一精準的教學，並由研究者設計與實施持續性的形成性 成效評量，一直要達到精熟的技巧才能進入下一個學習階段。河內塔遊戲 的型式教學符合輔導發現教學法，河內塔遊戲的型式教學將解決問題的作 業細步化，甚至安排出解決河內塔搬移問題的作業順序，因為概念或原則 的發現有時需要複雜的步驟，所以，將解決問題的作業細步化可以讓數學 學習障礙學童免於迷失在龐雜、混亂的資料中。 秦麗花（1995）對於數學學習障礙學童的解題錯誤類型，將之分為四 大類：（一）缺少檢驗工作，忽略答案合理性：有沒寫答案、沒寫單位、 單位寫錯、不知答案為何、省略步驟、抄寫錯誤等現象，（二）執行計劃 失誤，運算不熟練：有基本運算不熟練、不懂借位運算、二種運算混淆、 顧此失彼等現象，（三）基本概念不清，盲目運算：有缺少相關概念知識、 不懂數學語言、迷失於關鍵字中、加所有的數字、無法辨別數據大小、無 法辨別數據間的意義、只停留＋－運算缺少×÷概念等現象，(四)沒有解題 能力與作答動機：有不會閱讀、一知半解、畏懼作答等現象。 由以上可知數學學習障礙學童在數學學習上有執行計劃失誤、和沒有 解題能力與作答動機的困難，河內塔遊戲教學屬於課外輔導方式，河內塔

遊戲教學可以當作一種訓練的媒材，讓數學學習障礙學童經由河內塔遊戲 教學之後，可以養成「檢驗」的習慣，增加做計劃、和執行計畫的能力， 並容易引起數學學習障礙學童探索的作答動機。 蕭金土（1995）曾在他的博士論文中，探討到數學學習障礙學童的學 習行為特徵，在認知過程方面有序列問題，數學學習障礙學童沒有一對一 對應的概念、會將計算步驟中算式的數字順序寫錯。在數學符號方面，數 學學習障礙學童對大小區分及形狀辨識、問題的轉換有困難。 由以上可知數學學習障礙學童沒有一對一對應的概念、且問題的轉換 有困難，河內塔遊戲教學提供訓練數學學習障礙學童一對一對應的概念建 立的機會，並可以做圓盤大小區分的辨識訓練，協助數學學習障礙學童將 所面臨的問題轉換成操作流程

二、數學學習障礙的相關研究 數學能力是解決日常生活問題的重要能力，亦是學習科學的基礎，因 此在國民中、小學階段，數學被列為基礎的學習科目。然而，邱上真、詹 世宜、王惠川與吳建志（1995，取自江美娟，2001）整理國內或是國外的 正式或非正式的研究報告指出，數學科是國民中、小學學童最感學習有困 難的學科之一，因此如何幫助數學學習障礙學童有效的學習數學是教育的 重大課題。 國內外研究估計，大約有6% 的學童有嚴重數學缺陷( 陳麗玲， 1993;Fleishner & Marzola,1988，引自邱佳寧，2001)，且隨著年級提高 有增加的趨勢。由此可知， 在學齡階段， 有不少的數學學習障礙學童陷 於解題的困境之中。研究者針對國內對數學學習障礙學童的研究整理如表 2-1-3： 表 2-1-3 數學學習障礙之相關研究 研究者 研究內容 研究方法 研究對象 研究發現 王瑋樺（2001）數學學習障礙 學童加法文字 題解題歷程與 補救教學之研 究 質的研究。 訪談、錄音 錄影等。 國小三年級 數學學習障 礙學童 數學學習障礙學 童之語文知識不 足，嚴重影響數學 學習等。 林淑玲（1998）國小數學學習 障礙學童對比 較類加減應用 題解題表徵之 研究 質和量的的 研究。測 驗、訪談、 錄音等。 國小三、四 年級數學學 習障礙學童 學童在比較類加 減應用題的解題 表徵類型，使用 「書寫符號」的類 型佔 94%以上等。 陳家弘( 1998) 建構教學對國 小數學學習障 礙學童解四則 運算問題之研 究 質的分析。 錄影、教學 日誌、隨堂 紀錄、訪談 國小四年級 數學學習障 礙學童 數學學習障礙學 童的解題策略 有：括號的運用、 運算式的列法、具 體物為教具、偏好 加減法等。

周台傑、蔡宗政 （1997） 國小數學學習 障礙學童應用 問題解題之研 究。 量的研究 國小三、四 年級數學學 習障礙學童 和一般生 較高國語文程度 之數學學習障礙 學童的數學解題 能力優力優於較 低國語文程度的 數學學習障礙學 童等。 邱佳寧（2001）國小數學學習 障礙學童解題 策略之研究 質和量的研 究。晤談、 同質性考驗 國小四年級 數學學習障 礙學童和普 通學童 數線圖則可以增 進數學學障學童 解題能力、減少錯 誤策略的使用 江美娟（2001）後設認知策略 教學對國小數 學學習障礙學 童解題成效之 研究。 單一受試實 驗設計模式 中的跨個人 多基線設計 國小三、 四、五年級 數學學習障 礙學童 數學學習障礙學 童在接受後設認 知策略教學後，能 增進其主動驗 算、檢查答案的行 為。 秦麗花（1995）國小數學學習 障礙兒童數學 解題補救教學 實施成效之比 較 實驗研究法 國小數學學 習障礙學童 接受自我教導組 的兒童實驗後，改 變為正向、積極 性、建設性自我語 言等。 玆將上述之研究結果分述如下： 王瑋樺（2001）在探討數學學習障礙學童解加法文字題之解題歷程中 發現：（一）數學學習障礙學童之語文知識不足，嚴重影響數學學習，（二） 數學學習障礙學童對語意知識的題目組織能力極需加強，（三）語文知識 的補救教學宜採口語佈題與圖片展示加以協助，（四）語意知識的補救教 學應引導學童組織題目語句深入思考等。 由以上可知數學學習障礙學童語文知識較缺乏，故在河內塔遊戲中， 有一個測試數學學習障礙學童的擬定解題計畫能力之評量，就將較艱澀的 步驟之專業用詞，改用較口語化的用詞，以降低數學學習障礙學童閱讀的 負擔。

林淑玲（1998）的國小數學學習障礙學童對比較類加減應用題解題表 徵之研究中發現：（一）學童在比較類加減應用題的解題表徵類型，使用 「書寫符號」的類型佔 94%以上，（二）在解題表徵提示的提示效果上，必 須將數學學障學童的解題經驗從文字題的形式中，帶至親身經驗與角色扮 演的表徵方式中，方能更正錯誤的解題表徵形式，（三）數學學障學童在 比較類加減應用題中，出現解題表徵困難最多的是在解題表徵中「理解」 階段，其中尤其以「關鍵字解題」的表徵困難類型居多等發現。 由以上可知數學學習障礙學童容易有錯誤的解題表徵形式，故在河內 塔遊戲中，研究者指導數學學習障礙學童使用紙卡的方式去表徵整套的解 題步驟，從這樣具體的表徵中，數學學習障礙學童可以從操作紙卡中漸漸 形成型式的概念。 陳家弘(1998)在建構教學對國小數學學習障礙學童解四則運算問題 之研究發現：（一）數學學習障礙學童的解題策略有：括號的運用、運算 式的列法、具體物為教具、偏好加減法、猜測多於嘗試、喜計算題不喜文 字題、重視教師表情，（二）數學學習障礙學童進行數學解題的特徵有： 認為自己的答是案對的、認為同學抄襲他的、表面判斷不重意義、直式運 算、等號意義不明、不願多花時間、重答案輕過程、不願再思考、任意編 算式、遺忘規則、遺漏答案、質疑同學能力而非邏輯問題，（三）建構式 教學對數學學習障礙學童的影響有：藉由討論來確認本身的想法正確與 否、增進同學討論的意願、願意接受別人不同的說法、大家有參與感願意 與別人分享、增加學童的尊榮感。 由以上可知數學學習障礙學童的解題策略有以具體物為教具，故本研 究採用河內塔遊戲，讓數學學習障礙學童在具體的操作中去學得型式的認 知概念；此外，數學學習障礙學童多半不願再思考，所以研究者主動提供 解題策略讓數學學習障礙學童分三個階段去學習，如果數學學習障礙學童

可以學會整套河內塔遊戲的解題策略，就可以應用類化到去解決更深一 層、更難的河內塔的搬移問題了。 周台傑、蔡宗政（1997）的國小數學學習障礙學童應用問題解題之研 究也發現：（一）不論三年級或四年級，正常學童的數學解題能力，皆顯 著優於數學學習障礙學童，（二）除問題整合分項外，四年級數學學習障 礙學童的數學解題能力優於三年數學學習障礙學童，（三）較高國語文程 度之數學學習障礙學童的數學解題能力優力優於較低國語文程度的數學 學習障礙學童。 由以上可知較高國語文程度之數學學習障礙學童的數學解題能力優 力優於較低國語文程度的數學學習障礙學童，故在河內塔遊戲中，有一個 測試數學學習障礙學童的擬定解題計畫能力之評量，就將較艱澀的步驟之 專業用詞，改用較口語化的用詞，以降低數學學習障礙學童閱讀的負擔， 把重點放在是否可以將已學得的型式概念表現在成功的擬定出解題的計 畫上。 邱佳寧（2001）在國小數學學習障礙學童解題策略之研究發現：（一） 數學學障學童解題正確率明顯低於普通學童，（二）數學學障學童解題錯 誤原因較複雜。包含陳述句、關係句、問句理解困難、無法排除多餘訊息、 目標監控錯誤;普通學童則以關係句理解困難為主，（三）數線圖則可以增 進數學學障學童解題能力、減少錯誤策略的使用。 由以上可知數學學障學童解題正確率明顯低於普通學童，故本研究特 地在數學學習障礙學童形成型式的認知概念之後，以口述紀錄的方式和排 步驟卡的方式，去測試數學學習障礙學童是否有擬定解題計畫的能力，並 測試數學學習障礙學童是否有問題解決類化的能力。

江美娟（2001）在後設認知策略教學對國小數學學習障礙學童解題成 效之研究中發現：（一）數學學習障礙學童在接受後設認知策略教學後， 能顯著增加其應用問題解題測驗的整體、多餘訊息、二步驟題型的得分， 且在撤除教學四週後仍具有保留效果，（二）數學學習障礙學童在接受後 設認知策略教學後，其應用問題解題測驗的一步驟題型得分並未能顯著增 加，（三）後設認知策略教學能減少數學學習障礙學童在閱讀問題、分析 問題上的錯誤，增進其對題意的瞭解，（四）後設認知策略教學能減少數 學學習障礙學童使用關鍵字策略及猜測法來解題的情形，增進理解題意及 圖示策略的使用，（五）數學學習障礙學童在接受後設認知策略教學後， 能增進其主動驗算、檢查答案的行為。 由以上可知後設認知可以監控自己的行為，減少猜測的隨機性行為， 增加其主動檢驗答案的行為，而本研究所教導數學學習障礙學童的解題步 驟，是提供數學學習障礙學童在解決河內塔搬移問題時，時時監控自己的 解題過程，減少猜測的隨機性行為，循序漸進的達到解決河內塔問題的目 標，也是希望數學學習障礙學童在習得解題策略之後，能夠藉由監控自己 的操作行為，而成功的達到解題目標。 由以上之研究或文獻上看來，可以發現在研究數學學習障礙學童型式 的認知教學、訓練數學學習障礙學童高層次的邏輯推理，國內幾乎無人有 做相關之論文，故引發研究者想要研究數學學習障礙學童在學習型式認知 概念的成果為何，訓練數學學習障礙學童高層次的邏輯能力。

第二節 數學學習障礙的教學法

數學學習障礙學童的數學教學法說明如下： （一）從具體學習到抽象學習漸進法： 強調數學學習是一種持續性與漸進性的學習，學童在學習數學 的過程中，逐漸的建構其數學力量和增加其數學知識，從具體學習 到抽象學習，從不完全的知識到完全的知識（Ginsburg，1997； Baroody & Ginsburg，1991）。教導任一類別的數學，都可以在具 體、半具體與抽象層面中進行學習（Miller 和 Mercer，1997）。 1.具體層次：讓學童使用真實的材料或操作的教具，藉由身體的碰 觸、移動或操作來解決數學問題。 2.半具體層次：學童使用圖片、圖表、縮寫符號等代表具體物體， 進行數學解題。 3.抽象層次：學童逐漸以數字取代圖片或縮寫符號，最後直接以數 字進行數學解題。 （二）直接教學： 是改善學習障礙學童數學成就的有效教學法（Carnine，1997； Elliot & Shepiro，1990）。直接教學強調充分的學習時間、達到 精熟技巧的足夠練習和主要概念的重點教學（Simmons & Kameenui，1995）。其教學步驟如下： 1,教師決定長程與短程的教學目標。 2.教師經由工作分析計畫教學。 3.教師實施精準教學。 4.教師設計與實施持續性的評量。 （三）認知學習策略教學： 目的在協助數學障礙學童習得數學的學習策略，以及主導和監 控自己的數學學習活動。學童應用認知策略，進行自我對話和自我 詢問，藉以解答數學問題。（Lerner，2000，取自楊坤堂，2003）

（四）輔導發現教學法： 輔導發現教學法，它是由美國Robert Underhill 所提倡的，是一種 重視思考啟發之教學模式，它有明確的學習步驟，主要以形成概念或發現 原則的順序將學習作業做適當安排，並以適當的啟發引導兒童發現數學知 識。（劉秋木，1996，取自林穎義，2001） （五）DISTAR 數學模式：

Englemann & Carnine（1972，1975，1976，取自楊坤堂，2003）認 為針對數學學習障礙學童的教學而言，DISTAR 數學模式是建立於精熟學習 (Mastery Learning)的理論上，將複雜的作業程序分成小單元的技巧，並 利用操作制約的原理教導學童，由教師示範如何將分類的技巧組合成更複 雜的行為。

（六）知覺動作訓練模式：

凱伯在一九六 0 年發表「班級中的學習緩慢者」（The slow in the classroom），這是他致力於學習緩慢者之補救教學的名著。他強調要為此 等兒童施行「知覺--動作訓練」（perceptual-motor training），需要動 作的介入，經由知覺和動作的相互增強，構成穩定的知覺印象（包含視知 覺、聽知覺），因為動作學習和知覺學習是息息相關的，知覺動作的發展 是概念學習的基礎。抽象的認知能力是根源於具體的肌肉動作，凱伯說： 「行為發展始自肌肉活動，而且吾人所謂高層次的行為，也是植基於低層 次的動作，因此較高級的活動，係以肌肉的活動為基層結構」（許天威， 2002）。 （七）建構學習： 如果讓學童自己去發現或建構知識，並不容易，所以有需要給兒童一 些引導。這些引導包括以下幾項： 1.發現問題與理解問題 對於老師或同學所提出的問題，能否以自己的話來說明，若可以則 表示已了解，如不了解時，可與同學討論或由老師解釋。

2.將解決問題的作業細步化 將解決問題的作業細步化，甚至安排出作業順序。概念或原則的 發現有時需要複雜的步驟，兒童可能無法自己發現而迷失在龐雜、混 亂的資料中，所以安排作業的步驟是需要的，至於如何找出解決問題 的方針或策略？可以用討論的也可以由老師提示。 3.以問題引導兒童思考 可以採用問問題的方式，引導兒童去發現他們所要的解答，幫他 們發現新的觀念。如利用學過的策略來解決其他問題，以便發現其中 規則或共同性，即其中的關係或計算的原理。

第三節 型式和遊戲

一、型式的重要性

皮亞傑與尹荷德(Piaget & lnhelder,1964)在其合著之兒童的早期邏 輯發展(或見陸有銓、華意蓉譯，1989)一書中，將「分類」與「序列」列 為邏輯思維的二個重要內容；而序列在某種意義上也是「型式」的一種。 分類、型式、與序列三者都與辨識事物間的異同關係有關，而辨識異同是 邏輯思考的基礎(Worth, l990，引用周淑惠，1999），這三項相關邏輯的 活動與學童之生活經驗密不可分。 分類可幫助我們經濟地、有效地處理環境中的事物，可促進邏輯思 考，是數學推理的基礎；在日常生活中洋溢著型式，型式活動涉及高度的 思考推理能力，型式與概念的形成非常相近，研究型式可以幫助學童學習 辨認事物間的「關係」（周淑惠，1999）；在幼兒的世界裡常有序列的經驗， 例如晨間律動時，老師總是讓草莓班的小朋友依高矮順序排隊；小茵從二 歲起就開始把玩媽媽買的子母套盒；冰淇淋店裡的甜筒按大、中、小尺寸 排列供客人選購；服飾店櫃架上的 T 恤按尺寸由大而小地陳列；麥克筆盒 裡的筆按顏色的深淺序列擺放。所以序列的能力和日常生活息息相關，非 常重要。 綜合以上所述，分類與型式(包括延伸、探索、與創造型式)是數學思 考的二個基本過程，序列基本上也是型式的一種，所以，分類、型式和序 列三者都可視為解決問題的一種型態，這三種型態的活動均能提供發展邏 輯推理能力的機會(Van De Walle, l990，引用周淑惠，1999)。 研究者想讓數學學習障礙學童經由玩河內塔解題過程中之「分組活 動」，讓數學學習障礙學童學到依既定的規則做分類，而讓數學學習障礙 學童有效地操作河內塔，減少隨機的動作行為，學到問題解決。河內塔遊

戲包含很多型式，讓孩童經由搬移二個圓盤、三個圓盤的過程（型式）， 使其了解到這兩個型式之間的關係，而有能力去解決搬移四個以上圓盤的 問題。此外，研究者觀察到數學學習障礙學童玩河內塔遊戲充滿興趣，可 讓孩童經由教學活動而獲得情意方面的滿足。 二、型式的意義 「型式」（Pattern）是指重複出現，有規則性的圖案、花樣、動作、 聲音、或事件等；「型式辨認」意指辨識呈現於感官的一個重複性刺激 （Burton，1985），包含視覺（磁磚、地毯）、聽覺（兩種聲音重複出現）、 肢體動作（兩種動作重複做）或自然現象（四季的輪替變化）的各種型式。 周淑惠（1999）認為邏輯推理本身的包含的層面很廣，其中的「分類」 和「序列」是邏輯思維的兩大重要內涵（皮亞傑），而且「序列」在某種 意義上也是「型式」的一種，二種關係密切，所以教導孩童「分類」和「序 列」「型式」這三項邏輯內容的活動能提供發展邏輯推理能力的機會（Van De Walle ,1990）。「分類」同時包含分別（sorting）和組合（grouping） 兩個程序（Charlesworth & Radeloff ,1985），「分類」是處理一個類別 內與不同類別之間的關係，可以促進邏輯思考，是數學推理的基礎，分類 能讓人類經濟的、有效的處理環境中的事物。

有關序列能力，研究也證實學前兒童具有邏輯排序能力，比皮亞傑認 定的年齡表現還要早。布萊那(Brainerd, 1974)發現三歲幼兒能知覺到三 個順序排列的物體；柯斯勞斯基(Koslowski, 1980, cited from Gross， 1985)發現幼兒早在五、六歲之前就具有排序四根木棒的能力。

芮雷和蔡貝梭(Riley & Trabasso,1974, cited from Gross, 1985) 認為許多幼兒對遞移推理（即理解當「B＞A,C＞B 時，C 亦大於 A」的關係） 問題有困難是因為無法保留(記憶)所要推理事件的足夠資訊，遂以實驗來 測試此一假設，研究證實了記憶與所獲資訊對幼兒的遞移推論具有實質的 影響，若能獲得改善，必能增進幼兒的遞移推論能力（周淑惠，1999）。

三、遊戲的意義 遊戲，這耳熟能詳的字眼，許多時候我們並不困難分辨兒童是否在玩 遊戲，但定義分歧（潘怡吟，2001；饒見維，1996；廖信達，2004；郭靜 晃等，2005）。遊戲難以操作性定義界定它，但可以相關的觀點加以解釋， 廖信達（2004）以遊戲的六項特徵來說明「遊戲」：（ㄧ）遊戲由內在動機 引起，（二）遊戲重過程而輕結果，（三）遊戲具有歡樂的特徵，（四）遊 戲沒有外在強加的規則（遊戲規則隨時可以溝通調整），（五）幼兒自願且 主動參與遊戲，（六）遊戲是一種轉借行為，沒有固定的玩法。 由以上可知遊戲具有歡樂的特徵，且可自願且主動的參與，所以本研 究才想要使用河內塔這樣的遊戲性質的教具，促使數學學習障礙學童能從 遊戲中學習、從操作中認知，在歡樂與主動中建立型式的概念。 郭靜晃等（2005），廖信達（2004）綜合心理學者對遊戲的定義：遊 戲強調內在動機、自發性、自由選擇、具有正向的情感、能創造刺激、主 動參與，同時屬於內在人格特質的向度。所以本研究就是希望數學學習障 礙學童在本研究結束後，能在內在人格特質方面有所影響，可以使其注意 力更加集中，提升其對數學的興趣。 饒見維（1996）認為數學科遊戲教學在遊戲功能與使用時機來說，強 調「數、量、形」，可磨練學童在數和運算方面的能力。Piaget 認為知識 是透過活動逐漸建構發展出來的，個體主動建構知識，並非被動接受知 識，認知發展影響兒童的遊戲，亦即遊戲只是同化的過程。遊戲是一種複 雜的行為，是兒童將內心想法表達出來的行為方式之ㄧ，遊戲可以讓兒童 去探索、學習並形成經驗，用來理解周圍事物，當作應付未來實際生活所 做的預習（潘怡吟，2001）。藉由遊戲，兒童能透過想像去滿足現實生活

中不能滿足的欲望（廖信達，2004）。郭靜晃等（2005）、廖信達，（2004） 將兒童遊戲的原因，分成傳統兒童遊戲理論、現代遊戲理論，傳統兒童遊 戲理論又分為（ㄧ）能量過剩和休養、鬆弛論：將遊戲視為能量的調節， （二）重演和本能演練論：將遊戲視為人類的本能；清楚的解釋遊戲存在 的目的。 遊 戲 行 為 的 定 義 可 以 分 為 七 項 ：（ 一 ） 遊 戲 是 一 種 不 經 言 傳 （nonliteral）的行為，無固定模式，亦不能由外在行為或定義來區分， （二）遊戲出自內在動機，（三）遊戲重過程，（四）遊戲是自由選擇的， （五）遊戲具有正向的情感，（六）遊戲是主動的參與而且是動態的（七） 遊戲著重自我，目的在創造刺激（stimulus creation），而不同於探索行 為目的在獲得訊息：兒童在遊戲中重視的是：「我可以用這個物體來做什 麼」，而探索行為則強調「這物體是做什麼的」。 由以上可知遊戲是出自內在動機、重過程、具有正向的情感，所以本 研究才決定以河內塔這種遊戲的方式去學習數學的概念，並培養數學學習 障礙學童主動學習，加強注意力等正向的情感。 廖信達（2004）認為好玩的遊戲具有七項特色：（一）覺得遊戲有趣 好玩，（二）符合其能力，（三）能主動參與，（四）活動中的大部分時間 都能參與活動，（五）遊戲規則明確可立即判斷，（六）遊戲提供社會互動 機會，（七）允許其溝通協調變通遊戲的玩法。 本研究所採用的河內塔遊戲，連幼兒都可以玩得十分忘我，故符合大 多數的數學學習障礙學童的能力，並能引起數學學習障礙學童主動參與的 動機，且其遊戲規則十分簡單明確，讓數學學習障礙學童很容易在短時間 內就愛上河內塔的遊戲，玩得欲罷不能。

四、遊戲的益處

傅秀媚（2004）認為遊戲提供一個不可或缺的環境來支持孩子認知、 身體、心理、情緒及社會能力的發展。遊戲增加了學習機會。遊戲是天生 的而且容易的，它助長個人的滿足感並建立積極、自我概念和成就感 （Devoney，Curalnick， & Rubin，1974，取自傅秀媚，2004）。

對學童而言，遊戲是他們生活中最重要的一件事，藉由遊戲活動，學 童除了能夠增進身體的生理發展之外，更可以滿足其心理及社會的需要， 所以，遊戲對兒童而言，可以說是一種快樂的學習及教育的方式，更是一 種自我探索、自我成長最好的工具（蔡盈修，1993）。遊戲可以用來學習 事務並解決問題。 五、遊戲的分類 從認知發展層面來看，Piaget (1962) 將遊戲分為三類：練習遊戲 、 表徵遊戲和規則遊戲 。Smilansky (1968) 參照 Piaget 的分類，將認知 遊戲修訂為四類：功能性遊戲 、建構遊戲、戲劇性遊戲及規則遊戲。而 河內塔遊戲能夠讓孩童反覆抓握和操弄，是屬於功能性遊戲，可以滿足感 官的刺激和愉悅，河內塔遊戲也屬於建構遊戲，可以讓孩童「有目的」的 完成遊戲。擬定從河內塔這種操作圓盤、邏輯思考的行動遊戲中去學習， 以期能增進數學學習障礙學童之推理能力。

第四節 問題解決類化能力

一、問題解決類化能力的意義 問題解決能力的定義為個體在遭遇到問題時，能運用本身既有的知識 或經驗等，然後加以應用，以解決個體所面臨的問題，而達到目的能力（曾 望超，2003；張春興，1991；D＇zurilla 和Nezu，1987，引自曾望超， 2003）。 本研究之問題解決類化能力是指受試者在搬移四個圓盤的型式教學 後，所獲得的知識或經驗，讓數學學習障礙學童解決搬移五個圓盤這個問 題，驗證該受試者是否可以將搬移四個圓盤解題策略應用到搬移五個圓 盤、複雜度較大的問題上。如果數學學習障礙學童可以將搬移4個圓盤的 解題策略應用到搬移5個圓盤，亦即受試者可以運用所學的解題策略去解 決搬移五個圓盤這個問題，可以用最少步數搬移5個圓盤、搬移成功的話， 表示該數學學習障礙學童具有問題解決類化能力。 學校教育的重要任務之一就是在知識的傳遞與認知技能的教學，但我 們可以發現：不管是知識的傳遞或是認知技能的教學，其主要的功能皆著 重在於教導、培養孩子的問題解決能力。希望孩子能從豐富的知識領域中 得到解決問題的方式、方法或經驗；從認知技能中獲得解決問題的技巧（曾 望超，2003）。 而問題解決能力又是什麼？D＇zurilla 和Nezu（1987，引自曾望超， 2003）指出日常生活中，問題解決能力應包含下列幾個能力層面：（一） 察覺問題存在並辨識問題性質的敏感度，（二）設法解決問題的能力，（三） 逐步解決問題的能力，（四）預測後果的能力，（五）察覺行為動機的能 力。

在型式教學之後，培養數學學習障礙學童在面對解決四個以上（五個） 圓盤搬移的問題時，可察覺問題存在並辨識搬移五個圓盤時可以比照的型 式，設法並逐步解決搬移五個圓盤的問題。 張春興（1991）認為問題解決指的是個體在遭遇到問題時，如何運用 既有的知識去思考推理，找到適當的方法，達到目的歷程。Guilford （1997，引自李佳蓉）基於創造思考的觀點，認為新情境產生新反應便是 問題解決。Pigat則認為個體在遭遇困難時，會先比對問題與自己的基模 之關係，而後再予以同化或調適，以達成解決問題之目的（楊美雪，1994， 引自李佳蓉）。因此，綜合許多學者的意見認為問題解決是指個體在遭遇 到問題時，能運用本身既有的知識或經驗等，然後加以應用，以解決個體 所面臨的問題，而達到目的的歷程。 數學學習障礙學童在遭遇到搬移五個圓盤的問題時，能運用本身在基 本能力之養成，以及處理期學得的概念或經驗等，加以應用，以解決數學 學習障礙學童所面臨的問題，而達到以最少步數、成功搬移五個圓盤的目 的，就是一種問題解決類化的表現。 教師在設計培養數學學習障礙學童創造性問題解決能力之教學策略 時，需針對問題發現、原因分析、問題對策假設、對策假設驗證和問題解 決的概念整理等方面，提供數學學習障礙學童知識的探索和合作解決問題 的機會。創造性的教學策略，可從問題導向、主題教學、情境教學和目標 導向等方面，來培養數學學習障礙學童問題解決的能力(洪榮昭、曾愛晶， 1999，引自張振松，2001)。 研究者利用工作分析，設計一套可以解決河內塔搬移問題的策略，提 供給數學學習障礙學童學習，並從中發現型式的奧妙，藉由比照搬移 2 個

圓盤、或 3 個圓盤的搬移型式，數學學習障礙學童可在這套解題策略範圍 中，自己選擇不同的搬移型式做比照、並自己決定解題步驟的先後，在習 得的策略下，自己擬定計畫，將策略類化到更深一層的搬移問題上，設法 解決問題、達成目標。

二、數學學習障礙學童之問題解決類化能力的重要性 以下是研究者針對有關問題解決能力的相關研究，做一歸納整理，綜 合陳述如表2-5-1所示： 表 2-5-1 問題解決能力之相關研究 研究者 研究內容 研究方法 研究對象 研究發現 詹秀美（1989） 國小學童創造 力與問題解決 能力的相關變 項研究 量的研 究、統計分 析 國小四、五、 六年級學童 創造力與問題解決 能力之間有顯著的 關係等。 柳秀蘭（1993） 資優學童、普 通學童、山地 學童創造力與 問題解決能力 之比較研究 量的研 究、統計分 析 國小資優學 童、普通學 童、山地學童 資優學童在問題解 決測驗的五項基本 能力及總分均顯著 地優於普通學童與 山地學童等。 李佳蓉（1996） 電腦益智遊戲 對國小高年級 學童的推理能 力、問題解決 能力及電腦態 度之影響 實驗研究 法、量的分 析 國小六年級 學童 控制組與實驗組之 男女學童在實驗處 理、性別及交互作用 上，其問題解決能力 無顯著差異等。 吳坤銓（1997） 國小學童認知 能力、問題解 決能力與創造 向之相關研究 文獻探討 法、問卷調 查法 國小四、六年 級學童 問題解決能力的總 層面一般而言，女生 有優於男生的現象 等。 葉安琦(2000) 促進國小學童 創造性問題解 決能力的個案 研究 詮釋研究 法、問卷、 訪談 國小教師、國 小學童 個案學童對問題從 最初的單一表徵，發 展成為對問題多元 性、豐富性、結構性 的表徵結構，正是個 案創造性問題解決 能力的具體表現等。 曾繁鈞(2001) 社會科創造性 問題解決教學 對國小學童創 造性、問題解 決能力及社會 準實驗研 究法之不 等組前後 測設計、統 計分析 國小六年級 學童 社會科創造性問題 解決教學對國小六 年級兒童問題解決 能力方面，實驗組和 控制組在逆向原因

科學業成就 猜測並未顯著差異 等。 張振松（民 90） 自然科創造性 問題解決教學 對國小學童創 造力及問題解 決能力之研究 準實驗研 究法 國小學童 接受創造性問題解 決教學的實驗組學 童在解釋推論、猜測 原因等均顯著高於 接受一般教學的控 制組學童等。 趙梅華（2001） 電腦冒險遊戲 對國小高年級 學童的創造 力、問題解決 能力與成就動 機之影響 準實驗研 究法之不 等組前後 測設計、統 計分析 國小五年級 學童 國小高年級男女學 童，於電腦冒險遊戲 教學活動結束後，在 「問題解決測驗」總 量表與各分量表上 的後測得分未達顯 著差異等。 呂素雯（2002） 自然科創造性 問題解決教學 對國小六年級 學童問題解決 能力、態度及 學習成就之影 響 文獻探 討、準實驗 設計研究 國小六年級 學童 透過創造性問題解 決教學，能夠顯著增 進國小六年級學童 的問題解決能力等。 劉淑雲（2002） 臺灣中部地區 國小學童問題 解決能力及其 相關因素之研 究 問卷調查 法 國小四、六年 級學童 國小中高年級學童 問題解決能力均屬 中上以上等。 曾望超（2003） 國小教師創意 教學與學童後 設認知能力、 創造力及問題 解決能力之相 關研究 問卷調查 法 國小六年級 導師及學童 國小六年級學童的 問題解決能力，會因 接受創意教學的程 度不同而有顯著差 異等。 由以上的問題解決能力的相關研究來看，研究者們在研究問題解決能 力時，幾乎都是以普通學童或資優學童當做研究的對象，因為問題解決能 力對數學學習障礙學童而言太難，所以研究問題解決能力時都挑選學習上 無障礙的學童在研究。就以上的情形，研究者為了增進數學學習障礙學童