本節將針對第二個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所持有的心智模式與概 念改變的情形」，回答以下四個問題。
2-1. 在教學進行之前，學生所持有的空間概念的心智模式為何？
2-2. 在教學進行之後，學生所持有的空間概念的心智模式為何？
2-3. 在教學進行的過程中，學生所持有的空間概念的心智模式如何演變？
2-4. 教學的實施如何影響學生所持有的空間概念心智模式？如何促進學生的概念 改變？
一、教學進行前，學生所持有的空間概念的心智模式
下表 4-2-1 呈現了全體學生在空間概念中的心智模式分布情形，表中粗體字代表在 該次施測中，最多人所持有的心智模式。在前測中，有34.4%的人持有二維延伸的心智 模式。該模式主要的特徵為透過部分二維（平面坐標系）的觀點來描述、推論或建構空 間坐標系，因此此類型的學生可能會存有維度轉換上的另有概念。舉例來說，學生R-S06 在判斷空間中的直線方程式時，直接將平面坐標系上的情形作延伸。在平面坐標系中，
方程式形如 ax by+ = ( , ,
c a b c
∈ )代表平面上的一條直線，而 R-S06 則據此認為空間中R
的直線方程式應該會以 ax by cz+ + = ( , , ,d a b c d
∈ )的形式呈現。然而在空間坐標系中，R
方程式 ax by cz+ + = 所代表的是空間中的平面而非直線，空間中的直線應該是以參數d
式、兩面式或比例式如x x
0y y
0z z
0l m n
− = − = − 的形式呈現。該生在沒有考慮到設定參數
的情況下，直接將二維中的方程式加上一個變數，是被歸類到二維延伸模式中的學生很 常見到的一種情形；其對直線方程式的描述如下。
「啊因為平面上，（直線的）方程式是x
+
y等於多少嘛。你看這個，在平面上它是 這樣（在紙上畫出平面坐標系，任意取一條直線）。…對啊，所以在空間中，嗯我想應該是多一個 z 吧！我猜就會像是x
+ +
y z等於多少這樣。」(R-S06-I1)心智模式的歸類，有時並不是簡潔明確或一目了然的。以二維延伸模式來說，由於 持有該模式的學生，往往會直接基於所學過之平面坐標系中的概念，來預測或建構空間 中的情形，而導致另有概念的產生。然而，並非所有平面坐標系的概念都無法透過單純 地維度增加，推廣到空間當中。事實上，大部分空間中的概念都可以視為是平面中的該 概念的延伸，例如點坐標從
P x y 轉變為 ( , , )
( , )P x y z ，區域畫分從
22 = 個象限轉變為4 23 = 個卦限（因為平面區域畫分可視為一個邊長為 2 的正方形；而空間區域畫分可視8 為一個邊長為 2 的正方體）。因此如果僅從學生的答題情況來判斷該生的心智模式，有 時候其實並不容易確定學生的概念究竟是從二維假設推演而來，還是自己透過坐標系或 空間公設的建構，而持有正確的科學概念。基於這樣的挑戰，研究者將針對125 位學生 的訪談也納入心智模式的判斷中。根據第三章所述，訪談內容主要根據學生在概念試題 中的回答情形來設計；因此研究者得以針對學生在概念試題中所沒有清楚描述的問題，或難以判別其心智模式的問題加以進行深入的訪談。舉例來說，一位被歸類到二維延伸 心智模式的學生C-S18，在概念試題中並沒有針對其延伸推理的理由加以說明，該生在 試題中僅寫出其對空間向量的「直覺答案」。
（空間中的向量）應該是
u
v=(1,2,3)。(C-S18-T2-3-1-1-MM)
這樣的回答若從概念理解的觀點來看，無疑是有問題的；因為空間中的向量形式應 該是以未知數的形式表達，而不是直接回答已知的
u
v=(1,2,3)。但如果從心智模式的觀 點來看，這樣的回答究竟是學生真正理解空間中的向量形式，還是僅僅單純地由二維延 伸而來呢？研究者在針對該生的訪談中，進一步探測了其對空間向量的心智模式。該生 在訪談中提到，他覺得空間中就是直接把平面中的概念加上一個數字，因此他會有這樣 的回答其實是來自於直覺的推演，故雖然該生的回答符合了空間向量應有的形式，但他
還是被歸類到二維延伸模式中。
「…就直覺啊！空間的東西，不就是把之前（平面）的東西加一個數字嗎？就好像 (1,2) 變成 (1,2,3) 這樣。…其實我也不知道實際上應該會怎樣，我沒有補習，所以，…
嗯，我就覺得是這樣，直覺吧！」(C-S18-I1)
那麼在這種情況中，學生應該要具有什麼樣的描述，才算是具備科學模式呢？另一 位學生 R-S33 也是針對空間中的向量作出
u
v=( , , )a b c
的回答。然而在進一步的訪談中，
該生很明確地指出為何她會這樣思考，以及其建構空間向量形式的理由。因此雖然該生 與前述之C-S18 在概念試題中的回答極為相似，但學生 R-S33 卻被歸類到科學模式，而 學生C-S18 就僅被歸類到二維延伸模式。
「…為什麼喔，因為空間不是應該比平面還要多一條坐標軸嗎？所以如果是點的 話，它的坐標應該會像是( , , )
x y z 這種樣子，也就是多了一個 z 坐標。…所以我覺得
向量的情況，也要考慮到他在x、 y 、 z 上的分量，這樣才會朝向四面八方嘛！…我覺得考慮他在x、 y 、 z 的分量會變成像我寫的那樣，就是三個（分量）。…喔！
因為那時候以為只要寫簡答就可以了！…」(R-S33-I1)
在前測中，除了二維延伸模式外，有界模式也是很多學生持有的一種模式。該模式 的特徵是，學生會認為空間（或空間中的物件或概念，例如點、直線、平面等等）是有 邊界的，而超出這個邊界，就不在該物件所包含的範圍內。舉例來說，學生MR-S02 認 為平面就像是一個四邊形，超出這個四邊形，就算是超出了這個平面的範圍。
它（平面）就好像是一個四邊形，好像拿一塊板子嘛，板子的旁邊就是這個平面的 邊界。(MR-S02-T2-1-2-2-MM)
「…就這樣吧！嗯，我不確定如果一直過去（無限延伸）的話它會變成怎樣，我猜 應該就不屬於這個平面了吧…」。(MR-S02-I1)
表4-2-1 全體學生在空間概念中的心智模式分布情形
心智模 式類型
前測 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 後測 延宕
0 0 1 8 17 46 59 46 科學
0.0% 0.0% 0.8% 6.4% 13.6% 36.8% 47.2% 36.8%
13 10 4 5 2 0 0 1 斜角
10.4% 8.0% 3.2% 4.0% 1.6% 0.0% 0.0% 0.8%
35 24 22 21 11 5 4 3 有界
28.0% 19.2% 17.6% 16.8% 8.8% 4.0% 3.2% 2.4%
0 1 6 10 38 42 37 44
符號
0.0% 0.8% 4.8% 8.0% 30.4% 33.6% 29.6% 35.2%
17 29 37 35 21 8 11 12 實體
13.6% 23.2% 29.6% 28.0% 16.8% 6.4% 8.8% 9.6%
43 36 30 21 7 2 4 3
二維
延伸 34.4% 28.8% 24.0% 16.8% 5.6% 1.6% 3.2% 2.4%
15 23 23 23 27 19 8 14 其他
12.0% 18.4% 18.4% 18.4% 21.6% 15.2% 6.4% 11.2%
二、教學進行後，學生所持有的空間概念的心智模式
透過表 4-2-1 可發現，在教學進行後，持有科學模式的學生明顯增加，而且在所有 心智模式類型中佔了最大的比例（後測47.2%，延宕 36.8%）。在這個階段，大部分學生 對空間概念已有趨近科學的理解；在空間模型的組成要素與關係上，也都能進行適當的 連結。在本章第一節中提到，「空間向量」一單元可能是空間概念的關鍵單元，因為在 該單元的教學結束後，學生在概念理解上又掀起了另一波的提升。從後測來看，學生的
確利用空間向量之概念建立他們所認為的空間模型。
「…我現在覺得法向量的最大功能就是，它決定了一個平面。像這樣（畫出一個平 面及其法向量的方向）。因為，一個平面的法向量，它的方向是固定的嘛（比出向 上和向下的手勢），所以它不可能跑掉，這個平面會被固定在這個地方。所以我如 果想知道這個平面的方程式，可以先看它的這個法向量是多少。」(MR-S13-I2)
有些學生則更具體地指出空間中的向量、平面與直線的關係，這類型的學生同樣地 持有科學的心智模式，且其心智模式中各子概念或模型要素之間的連結是相當緊密、甚 至具有延伸關係的。
向量的功能可以用來求內外積，所以就可以求平面和直線的方程式。給一個平面上 的兩個向量，把它們外積之後就是平面的法向量，跟平面垂直。設一下（平面方程 式），找一個點代進去，就可以得到（平面方程式）了。(R-S25-T2-S-3-1-MM)
除了科學模式外，符號模式則是在後測與延宕測驗中，學生所持比例第二高的心智 模式（後測29.6%，延宕 35.2%）。這類型的學生高度地依賴符號（數學表徵）來解決問 題或進行詮釋。舉例來說，當這類型的學生面臨一個實際上的空間問題時，往往會先將 其坐標化為數學表徵，接著透過這套虛擬的坐標系解決這個問題。學生們多半可以在這 套自行建立的坐標系中設定點、直線與平面，但值得注意的是，當他們將這些由數學符 號或方程式組成的問題解決時，卻難以對應回原本的問題情境中，以致於還是無法真正 地解決或回答實際上的問題。舉例來說，學生可能不知道他所得到的方程式解，在實際 上代表什麼意義（如一直線或一平面），也有可能是雖然知道其幾何意義，卻無法在實 體中標出或呈現（如無法在大紙箱中拉出
x
+ + = 這個平面）。值得我們注意的是，y z
3 這樣的學生並不在少數；而且根據研究者的觀察，這類型的學生多半有接受補習。雖然 研究者沒有確切的數字供佐證，然而根據研究者的觀察與學生的描述，補習班強調的是 解題的能力，無論是題目、運算過程與解答，均以數學表徵（特別是符號與數字）形式 出現的比例較高。這樣的情形可能導致學生在多重表徵與建模教學結束後（或進行時），採取補習班所使用的方法，強調問題的速解；因此長時間下來便造成在符號具象化能力 上的衰退。以下是符號模式學生MR-S30 在延宕測驗中的回答情形。
（題目要求學生自行建構一空間坐標系，以求該班教室所在走廊之直線方程式。）
首先把校門口當作原點（畫一空間坐標的圖形，標出原點），一間教室是 1 單位長
（畫出單位長與走廊），過點(1,5,5) 與 (1,1,5)（將兩點用線段連起來）的直線方程式 是
x
=1,y
=t z
, =5,t
∈ 。(MR-S30-T2-S-2-1-MM)R
上述之學生MR-S30 無論是在具體的空間坐標建立，或是抽象化的數學式求解（即 求過空間中已知兩點的直線方程式）都是符合科學觀點的。該生主要的問題在於其無法 將兩種不同形式的表徵進行連結。該生在實體坐標系的建立上（即其所畫的圖中），是 將走廊的方向設為x軸，然而在其另外透過設點求出的直線方程式中，卻出現了y
=
t，上述之學生MR-S30 無論是在具體的空間坐標建立，或是抽象化的數學式求解（即 求過空間中已知兩點的直線方程式）都是符合科學觀點的。該生主要的問題在於其無法 將兩種不同形式的表徵進行連結。該生在實體坐標系的建立上（即其所畫的圖中），是 將走廊的方向設為x軸，然而在其另外透過設點求出的直線方程式中，卻出現了y