本節將針對第一個研究目的「探討學生在學習空間概念時，對概念的理解情形」，
回答以下四個問題。
1-1. 在教學進行之前，學生對空間概念的理解情形為何？
1-2. 在教學進行之後，學生對空間概念的理解情形為何？
1-3. 在教學進行的過程中，學生對空間概念的理解情形如何演變？
1-4. 教學的實施如何影響學生對空間概念的理解情形？
一、教學進行前，學生對空間概念的理解情形
本研究之全體參與者在概念試題中的得分情況如表 4-1-1 所示，而在各次施測時的 組間差異性檢驗則如表4-1-2 所示。在前測中，三組學生的得分透過 Analysis of Variance (ANOVA)檢驗，並沒有達到顯著差異（ (2,122) 0.19
F
= ，p
>0.05）。這樣的結果意味著 三組學生在概念理解的程度上，其初始狀態並沒有顯著的差異。由於本研究採方便性取 樣，因此所進行研究的班級包括自然組與社會組的班級。然而在本研究中，由於研究者 進行教學的期間是在高二分組後的第一個學期，因此不同類組之學生間的差異性尚不會 太大。透過表 4-1-1 可發現，前測最高分的表徵組（為社會組班級）與最低分的控制組（為自然組班級）之差異僅有2.14 分，而三組之間的差異更是微乎其微，也沒有出現一 般所預期的「自然組學生之概念理解普遍優於社會組學生」的情形。根據上述結果，本 研究所針對的三組研究對象，在概念理解的初始狀態上，是可以視為沒有差異的。
在前測中，幾乎所有的學生均未對空間概念具有良好的理解。本研究三個組別的前 測平均為33.32 分，這意味著學生們在學習空間概念前，普遍只對此概念持有 30%左右 的科學理解。而這三成左右的答對率，則集中在對空間概念的基本認識或公設中。根據 本研究所使用的文本，空間的構成具有以下四個基本公設：
（一）相異兩點決定一直線；直線是向兩端無限延伸的。
（二）不共線的三點決定一平面；平面是向前後左右無限延伸的。
（三）若一直線上有相異兩點在同一平面上，則此直線上所有的點都在這個平面上。
（四）若兩相異平面有一個共同的點，則它們所有共同的點會構成一條交線。
在前測中，這四個公設被普遍地使用，尤其是公設（二），共有87 位學生(69.6%)使用了 這個公設作為其答題輔助。舉例來說，學生MR-S12 便表示在空間中，不共線的三點決 定一平面；且平面是向四面八方無限延伸的。
在空間中，隨便取三個點 A、B、C，再把這三點連起來，好像會變成一個三角形 ABC，但是實際上，他是一個平面，就是那個三角形所在的那個平面（在試題上畫 出一個很大、但邊界模糊的四邊形，代表所要表達的平面，並將三角形 ABC 包在 其中）。ABC 就好像我們現在在的平面（指地板），只是剛好我們所在的平面是水 平的而已。(MR-S12-T2-1-2-1-CN)
表4-1-1 全體參與者在概念試題中的得分情況
概念試題得分（動態評量）
施測別
組別 前測 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 後測 延宕
平均 33.71 45.87 55.89 57.06 72.21 78.43 82.73 72.11 建表組
標準差 16.78 14.65 13.42 14.26 16.21 17.87 16.01 20.10 平均 34.20 47.44 56.00 59.38 68.93 73.73 75.81 59.03 表徵組
標準差 17.91 18.22 17.56 17.13 16.08 15.44 20.65 21.50 平均 32.06 48.21 56.71 58.05 64.05 64.54 65.90 60.62 控制組
標準差 15.99 13.36 16.54 15.67 16.65 16.68 14.12 15.90
前述之學生 MR-S12 對空間概念在教學前即有一定程度的理解，然而大部分的學生 仍然無法在答題時正確地使用空間中的性質來陳述，或是出現了一些關於空間的另有概 念。舉例來說，學生R-S02 就認為空間中要有四個點才能構成一個平面；而且只要超出
這四個點所構成的四邊形範圍，就算是「掉出」了這個平面，也就是「掉」到空間中。
這樣的觀點也使得該生在心智模式歸類時，被歸到有界模式當中。
隨便取四個點當作一個四邊形的四個角落，這時候這個四邊形就是一個平面，…，
所以空間中可以有很多這種四邊形，只要他們都不相交就好。…只要超出這個形狀 的範圍，就是掉到空間裡面去。(R-S02-T2-1-2-2-CN)
表4-1-2 全體參與者在概念試題中得分的組間差異性檢驗
組別 統計量 df SS MS F Sig.(2-tailed)
Treatment 2 106.27 53.13 0.19 p>0.05 前測
Error 122 34892.68 286.01
Treatment 2 29486.61 59.39 0.25 p>0.05 2-1
Error 122 29605.38 241.69
Treatment 2 30988.88 8.38 0.03 p>0.05 2-2
Error 122 31005.64 254.01
Treatment 2 30188.22 55.58 0.22 p>0.05 2-3
Error 122 30299.38 247.44
Treatment 2 32474.49 710.14 2.67 p>0.05 2-4
Error 122 33894.77 266.18
Treatment 2 33995.42 2105.62 7.56 p<0.01 2-5
Error 122 38206.66 278.65
Treatment 2 35872.76 3013.29 10.25 p<0.01 後測
Error 122 41899.35 294.04
Treatment 2 45508.85 2099.39 5.63 p<0.01 延宕
Error 122 49707.63 373.02
二、教學進行後，學生對空間概念的理解情形
從表 4-1-1 中可以發現，無論是哪一組的學生，在經過為期一個半月的教學後，其 對空間概念的理解都有明顯的提升。表4-1-3 呈現了透過 Paired t-Test (2-Tailed)檢驗前 測、後測與延宕測驗之間的差異情形，在建表組中，學生的後測成績顯著地高於前測成 績（
t
(40) 19.14= ，p
<0.001），延宕測驗成績也顯著地高於前測成績（t
(40) 13.33= ，0.001
p
< ），而延宕測驗成績則顯著地低於後測成績（t
(40)= −3.77，p
<0.001）。在表 徵組中，學生的後測成績顯著地高於前測成績（t
(40) 13.82= ，p
<0.001），延宕測驗成 績也顯著地高於前測成績（t
(40) 8.07= ，p
<0.001），而延宕測驗成績則顯著地低於後 測成績（t
(40)= −5.10，p
<0.001）。在控制組中，學生的後測成績顯著地高於前測成績（
t
(42) 14.74= ，p
<0.001），延宕測驗成績也顯著地高於前測成績（t
(42) 11.75= ， 0.001p
< ），而延宕測驗成績則顯著地低於後測成績（t
(42)= −2.31，p
<0.05）。這些 檢驗結果顯示，無論是何組的學生，在經過教學後，其對概念的理解情形都有顯著的提 升，且提升的程度達到相當顯著的水準。從表 4-1-2 中可發現，三組學生在後測與延宕測驗中的組間差異也有顯著的不同。
進一步使用Tukey’s Honestly Significant Difference (HSD) Test 來進行檢驗，可發現在後 測中，建表組與表徵組之間的差異並未達到顯著差異（d
= 6.92
，q
d =9.21），但建表組 與控制組之間（d= 16.83
，q
d =9.21）、以及表徵組與控制組之間（d= 9.91
，q
d =9.21）， 均達到顯著差異。換句話說，三組學生在後測中的顯著差異主要來自建表組與控制組、以及表徵組與控制組之間。在延宕測驗中，三組學生的表現依然具有顯著差異，而這樣 的差異則主要來自建表組與表徵組（d
= 13.08
，q
d =10.38）、以及建表組與控制組之間（d
= 11.49
，q
d =10.38）的差異；至於表徵組與控制組之間則沒有顯著差異（d= 1.59
， 10.38q
d = ）。整體而言，建表組的學生無論是在後測或延宕測驗上，其表現均較控制組 與表徵組來得好。表徵組雖然在後測上顯著地優於控制組，但值得注意的是，在延宕測 驗的表現上，表徵組退步到比控制組還要低的分數。在延宕測驗中，建表組與表徵組退步的情況較明顯，這可能是由於學生經過研究進行後，再度接受傳統教學，使得其概念 理解逐漸與控制組的學生趨向同等化所致。
表4-1-3 全體參與者在概念試題中前測、後測與延宕測驗得分的差異性檢驗
組別 施測比較 df Dbar SDbar T Sig.(2-tailed) 前測─後測 40 49.02 2.56 19.14 p<0.001 前測─延宕 40 38.40 2.88 13.33 p<0.001 建表組
後測─延宕 42 -10.62 2.82 -3.77 p<0.001 前測─後測 40 41.61 3.01 13.82 p<0.001 前測─延宕 40 24.83 3.08 8.07 p<0.001 表徵組
後測─延宕 42 -16.78 3.29 -5.10 p<0.001 前測─後測 40 33.84 2.30 14.74 p<0.001 前測─延宕 40 28.56 2.43 11.75 p<0.001 控制組
後測─延宕 42 -5.28 2.29 -2.31 p<0.05
在延宕測驗中，三組學生均呈現顯著的退步現象，而其中又以建表組與表徵組的學 生退步的幅度較大。除了可能是由於學生經過研究進行後，再度接受傳統教學之外，也 有可能是由於延宕測驗施測於後測結束後一個月所致。在這一個月的期間，學生並未接 觸任何關於空間概念的複習或補充教材；換句話說，在延宕測驗進行時，學生的空間概 念多半已呈現自然衰退狀態，因此各組的的分顯著下滑是可以預期的。
三、教學進行過程中，學生對空間概念的理解情形演變
本研究之全體參與者在概念試題中的得分如圖 4-1-1 所示。透過圖 4-1-1 中可發現，
三組學生在概念的理解上的確有明顯的提升，且隨著教學的進行，各組學生對概念的理 解也逐步上升，至後測時為其概念理解的最高點所在。圖 4-1-1 中有兩個地方值得我們
注意。首先，在前測到2-3 教學完畢這段期間，三組學生的概念理解情形幾乎是同步成 長的，直到單元2-4 開始，三組學生之間才開始有了較明顯的差異（而直到 2-5 才開始 有顯著差異）。造成這種情形可能的原因是，由於各單元有難易度與順序的編排考量，
因此在較基礎的單元如2-1 至 2-3 中，學生並不見得需要透過刻意安排的建模或多重表 徵教學才能順利地習得科學概念。在基礎的空間概念單元中，學生可能僅透過傳統教學 就可以具有科學的理解。然而在較進階的概念中，建模與多重表徵策略下的教學似乎就 突顯了其對於提升學生概念理解的重要性；反觀控制組的學生則進步有限，從單元 2-4 開始，其得分即維持在 65 分左右。姑且不論延宕測驗退步的情形為何，單就本章節的 概念學習來看，建模與多重表徵教學對學生的概念理解的確是有所助益的。
30 40 50 60 70 80 90
PRE 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 POS DEL
建表組 表徵組 控制組
圖4-1-1 全體參與者在概念試題中的得分情況
另一個值得注意的地方是，圖 4-1-1 中各組概念理解的成長趨勢大致上可以分為兩 階段來看。第一階段是從教學前到單元2-2 教學結束後，這段期間學生的概念理解有明 顯的提升，而到2-3 時則進步幅度趨緩。在經過單元 2-3 後，各組又開啟了另一波明顯 的成長，即2-4 至後測這段期間。造成這種 M 型兩段式成長的可能原因，乃是由於單元 2-3 是空間向量，而該單元為空間概念中一個重要的概念；學生若在空間向量上具有良 好的理解，對其在建構空間中的平面與直線會有很大的幫助。從這個觀點來看，我們可
以將單元2-3 視為是空間概念中的關鍵單元；在此單元之前屬於較基礎的概念，之後則 屬於較進階的概念。假設學生能學好此單元，在後續的學習中很可能會掀起另一波的高 潮。此外，建模與多重表徵教學在提升進階概念學習的功效上也不容忽視。
四、教學的實施對學生理解空間概念的影響
建模與多重表徵教學對學生的概念理解具有正面的影響。在建模方面，由於學生可 透過模型選擇、模型建構等一連串的步驟來進行概念學習或問題解決，因此在回答問題 時較容易有參考的準則。有一部分的學生在面對問題情境時，並不清楚該從何處著手，
或應該先處理此問題的哪個部分。然而有學生表示，在學過建模歷程後，對其在問題解 決的能力上有所幫助。以下即為學生MR-S23 在訪談中所舉出的例子。
或應該先處理此問題的哪個部分。然而有學生表示，在學過建模歷程後，對其在問題解 決的能力上有所幫助。以下即為學生MR-S23 在訪談中所舉出的例子。