本節首先回到數學與科學在本質上的差異，並透過概念學習的觀點來檢視數學學 習。雖然一些數學史學家發現孔恩式的概念革命管道可帶來豐碩的研究成果，但哲學家 與科學史學家卻不情願將它運用到數學上(Corry, 1993; Dauben, 1984; Kitcher, 1992)。事 實上，數學建立在演繹證明的基礎上、極度容許異例(Anomaly)、且在革命前後並沒有 顯示強烈的不可共量性(Incommensurability)等等性質，都是 Kuhn (1970)將它排除於科學 之外的原因。跟科學不同的是，新理論的公式化通常將數學帶往更普適的分析層級，且 提供一個較以往無法公式化時更寬廣的解題觀點(Corry, 1993; Dauben, 1984)；這些論點 使得一些在學習的概念改變上的辯論得到光明。更具體地說，一些研究者指出：即使在 自然科學的概念改變中，也只能見到「正確」科學理論的取代，而非促進學生以較大的 普適能力培養多重觀點與更抽象的解釋架構(Driver et al., 1994; Spada, 1994)。
蔡春風和邱美虹（2007）指出，傳統上數學被視為人類知識中一個例外的領域，它 擁有一些與其他學科不同的特徵。Crowe (1992)認為數學是具累積性的，因為數學理論 一旦被建立，就不會被推翻（例如歐氏幾何與非歐幾何）；雖然分析指出，數學與科學 比我們想像中還要具有相似性，然而數學上的改變的確不能用自然科學的方法來分析，
而Kuhn (1970)也表示數學並不具有他所謂的「革命性」。然而 Crowe (1992)等人也提出 一些證據指出，有些數學概念經歷的改變並不能單純用累積來描述。例如從畢氏到尤氏 對「數」與「比值」的概念，便是從本體樹中的「過程」類別轉移到「物件」類別(Sfard, 1991)，這樣的論點與 Chi, Slotta & deLeeuw (1994)的科學概念改變觀點是一致的。
那麼在數學中，是否如同Vosniadou & Brewer (1994)所提出概念改變理論一樣，有 一個「特定領域(Domain-Specific)」的知識系統呢？Carey & Spelke (1994)等人則指出，
數字的離散性是構成支撐人類「數字」領域的先天系統的核心原則之一，這意味著一些
對數字的學習可能較容易學習，而其他概念相對則否。因此兒童對自然數的了解還可能 潛在地促進對無窮與相關符號的理解。Vosniadou & Verschaffel (2004)也指出，事實上學 生在數學與科學上遭遇相同的情況：當學生在日常生活中發展「素樸物理」的時候，也 發展了「素樸數學」。所謂素樸數學，可能是以神經科學為基礎，包含某些特定的核心 原則或前提；這些原則或前提，就如同概念改變理論所提到的，可能分別促進或阻礙某 些種類的學習(Dehaene, 1998; Gelman, 2000; Lipton & Spelke, 2003)。
然而上述這些都不是最早注意到「素樸數學與高階數學可能擁有衝突」的研究。
Fischbein (1987)是首先注意到直覺信念可能造成學生在數學上的系統性錯誤的學者之 一，而緊接著在代數、有理數、加法與減法等方面的相關研究也陸續出爐(Greeno, 1991;
Merenluoto & Lehtinen 2002; Vergnaud, 1989)。許多研究均指出，先前知識在數學上所扮 演的角色，與一般在科學概念改變理論上所談論的並沒有不相容(Moskal 和 Magone, 2000; Resnick et al. 1989)。在數學上，先前知識同樣地可能阻礙後續學習，也同樣可用 來預測學生在學習時可能遭遇的困難。
在本研究中，研究者所關心的另一個議題是：數學教育中所談論的模型與建模，是 否可以透過科學教育的觀點來檢視並分析？針對這個問題，在本章第一節中即指出，科 學教育中對模型普遍持有一個較普適化的觀點。由於在數學教育中對模型的描述僅限於 含有數學表徵、或包含數學物件的系統，因此數學模型屬於科學教育中所定義的「模型」
的其中一種形式，是非常明顯的。這意味著透過科學教育對模型的觀點來檢視數學模 型，是不會有所排斥或遺漏的。
此外在建模歷程的描述上，先前的文獻探討顯示，數學教育中所談論的建模僅著重 於將學生的建模能力或種類分層描述；這樣的分層描述多半只注重層級上的差異，而並 未再將整個建模活動或這些層次進行分解，因此對建模活動的詮釋仍然趨向一個比較巨 觀的面向，對於更詳細的建模歷程則較少描述。而科學教育中對建模歷程的描述，由於
所包含的歷程要素較多且明確，因此在核對兩個領域之間對建模歷程要素的定義，進而 加以對應時，並不會產生難以呼應的情形。舉例來說，在 Lesh, Cramer, Doerr, Post &
Zawojewski (2003)所提出的三個建模歷程當中，根據 Lesh 等人的定義，模型啟動可對應 並細分至 Halloun (2004)所提出的模型選擇與模型建立等兩個歷程，模型探究則可對應 並細分至 Halloun (2004)所提出的模型建立與模型效化當中，而模型調適則可對應並細 分至 Halloun (2004)與邱美虹（2007）所提出的模型調度、模型應用與模型重建等三個 歷程中。表 2-5-1 列出了一些數學教育學者提出的建模歷程觀點，與本研究所採取之 Halloun (2004)的建模歷程觀點的對應。基於上述觀點，本研究透過科學教育的角度來檢 視並分析學生的數學學習與建模活動是適當且可行的。
表2-5-1 數學建模歷程與科學建模歷程的對應
學者 Lesh et al. Henning & Keune 林國源 Halloun; 邱美虹
辨識與理解建模
問題理解、解釋 抽象分析、簡化
模型選擇 模型啟動
假設、建立模型 模型建立
提煉變量 模型效化
模型探究
獨立建模
- 模型分析
- 求解模型 模型應用
模型調適
- 預測現實問題 模型調度
建模 歷程
- 對建模的反思 - 模型重建
第六節 空間概念
在本節中，研究者從數學學科知識的角度出發，整理了數學文本（教科書）對空間 概念的描述。研究者根據林福來、陳冒海、陳順宇、陳創義、邱顯義、徐正梅、許清土、
葉善雲和林信安（2008）所編撰的「普通高級中學數學第三冊」一書中的第二章「空間 中的平面與直線」中，學生所必需學到的主要概念與子概念或命題進行分節與整理，進 一步作為課程設計時的安排參考。該書同時也是本研究之對象所採用之教科書。
一、空間概念
在單元 2-1「空間概念」中，學生主要透過對空間公設的理解，建立起空間概念的 雛形。本單元的四個重點概念為空間的基本性質、點、直線與平面的關係、直線與平面 的垂直、以及二面角，茲整理如下。
（一）空間的基本性質
1. 歪斜線：不相交又不平行的兩條直線。
2. 決定直線：
(1)相異兩點。
(2)不平行的兩平面。
3. 決定平面：
(1)不共線的三點。
(2)一直線與線外一點。
(3)交於一點的兩直線。
(4)兩平行線。
（二）點、直線與平面的關係
1. 點與直線：
(1)點在直線上。
(2)點在直線外。
2. 點與平面：
(1)點在平面上。
(2)點在平面外。
3. 直線與直線
(1)兩直線重合。
(2)兩直線交於一點。
(3)兩直線互相平行。
(4)兩直線互相歪斜。
4. 直線與平面：
(1)直線在平面上。
(2)直線交平面於一點。
(3)直線與平面平行。
5. 平面與平面：
(1)兩平面重合。
(2)兩平面交於一直線。
(3)兩平面平行。
（三）直線與平面的垂直 1. 直線的垂直線：
(1)給定直線 L 與 L 上一點 A ，則有無限多條直線通過 A 且垂直於 L 。 (2)給定直線 L 與 L 外一點 P ，則恰有一條直線通過 P 且垂直於 L 。 2. 直線的垂直平面：
(1)給定直線 L 與 L 上一點 A ，則恰有一個平面通過 A 且垂直於 L 。
(2)給定直線 L 與 L 外一點 P ，則恰有一個平面通過 P 且垂直於 L 。 3. 平面的垂直線：
(1)給定平面 E 與 E 上一點 A ，則恰有一條直線通過 A 且垂直於 E 。 (2)給定平面 E 與 E 外一點 P ，則恰有一條直線通過 P 且垂直於 E 。 4. 平面的垂直平面：
(1)給定平面 E 與 E 上一點 A ，則有無限多個平面通過 A 且垂直於 E 。 (2)給定平面 E 與 E 外一點 P ，則有無限多個平面通過 P 且垂直於 E 。 5. 直線垂直平面判別定理：設平面 E 與直線 L 相交於 A，若存在通過 A 點的相異
兩直線
M 、
1M ，使得
2M
1⊥ 且L M
2 ⊥ ，則 L EL
⊥ 。（向量的垂直）6. 三垂線定理：設 A 為平面 E 外一點，AB⊥ 於 B，
E
BC與 L 均在 E 上，且BC⊥
L 於C，則AC⊥
L。（畢氏定理）（四）二面角
1. 兩平面
E 與
1E 相交於直線 L ， P 為 L 上一點，且 PA
2 suur、 PBsuur垂直於 L，其中 A 、
B 分別在平面 E 、
1E 上，則
2 ∠APB
稱為E 與
1E 的二面角。
2 （餘弦定理、向量的 夾角）2. 邊長為a的正四面體，其表面積為 3a ；高為2 6
3
a ；體積為
2 3 12a 。
二、空間坐標系
在單元 2-2「空間坐標系」中，學生主要透過對空間的坐標化，建立起空間坐標系 的概念。本單元的兩個重點概念為空間坐標系與空間中的距離，茲整理如下。
（一）空間坐標系
1. 空間坐標系由原點O、x軸、 y 軸、 z 軸與單位長構成。
2. 空間中任意一點均可用坐標表示為 ( , , )
P a b c 。
3. 三條坐標軸可將空間分為
8
個卦限，其中x> 0
、y
> 、0 z> 0
的卦限稱為第一 卦限。4. 設 ( , , )
P a b c 為空間中一點，則：
(1) P 投影於原點的點為 (0,0,0) ；對稱於原點的點為 (− − − 。
a
,b
,c
) (2) P 投影於x軸的點為( ,0,0)a
；對稱於x軸的點為( ,a
− − 。b
,c
) (3) P 投影於 y 軸的點為 (0, ,0)b
；對稱於 y 軸的點為 (−a b
, ,− 。c
) (4) P 投影於 z 軸的點為 (0,0, )c ；對稱於 z 軸的點為 (
− −a
,b c
, )。 (5) P 投影於 xy 平面的點為 ( , ,0)a b
；對稱於 xy 平面的點為 ( , ,a b
− 。c
) (6) P 投影於xz平面的點為( ,0, )a c ；對稱於
xz平面的點為( ,a
−b c
, )。 (7) P 投影於 yz 平面的點為 (0, , )b c ；對稱於 yz 平面的點為 (
−a b c
, , )。（二）空間中的距離
1. 設
P x y z 、
( , , )1 1 1Q x y z
( , , )2 2 2 ，則：(1)線段長PQ
= (
x2−
x1)
2+ (
y2−
y1)
2+ (
z2−
z1)
2 。 (2) PQ 中點 M 的坐標為( 1 2 , 1 2, 1 2)2 2 2
x
+x y
+y z
+z
。
三、空間向量
在單元 2-3「空間向量」中，學生主要透過對空間向量的認識，建立起整個向量空 間(Vector Space)的結構概念。本單元的 3 個重點概念為空間向量的基本性質、空間向量 的內積、以及空間向量的外積，茲整理如下。
（一）空間向量的基本性質 1. OP
uuuv
與x軸正向、 y 軸正向、 z 軸正向的夾角分別為α 、
β
、γ
，稱之為為OPuuuv
的方向角。
2. 兩向量外積之長|
u v
v v× |(3)
k E
1 1+E
2 = （不包含0E ）
1 。在單元 2-5「空間中的直線」中，學生主要透過對空間中之直線的認識，理解方向
(1)若 t 恰有一解，則
L 交
1L 於一點。
2第參章 研究方法
在第貳章中，許多相關的先前研究、理論與文獻已被回顧、探討；而本研究的研究 方法則是以這些理論與先前研究為背景，結合第壹章提及的研究目的與問題來設計。在 設計的同時，研究者一方面進行思考實驗，檢驗研究歷程與思路的流暢性與邏輯性，一 方面事先預想資料的處理方式，以及可能面臨的挑戰，並隨時修正方法與工具。透過這 樣的檢視與修正，研究者力求使整體研究設計成為一個可動態調整的迴圈，而非固定不 變且單向的流程表。
本章所提及的研究方法可分成六個部份來探討。在第一節中，研究者呈現了本研究 整體的設計與架構，跟研究目的與問題進行再次的呼應。第二節描述了本研究的研究對 象，包含預試與實測研究對象的介紹。在第三節中，研究者呈現本研究所使用的教材，
包括其內容綱要訂定的依據，以及教學活動與教材發展的過程。第四節所提到的研究工
包括其內容綱要訂定的依據，以及教學活動與教材發展的過程。第四節所提到的研究工