為了區別數學教育與科學教育所談論的模型，在本節中，研究者必要時會以「數學 模型」、「數學建模」與「科學模型」、「科學建模」來區分模型與建模在數學教育與科學 教育中的不同；然而在一般情況下的使用，通常是不會如此刻意地區分的。本節首先從 數學的觀點探討模型與建模的本質，接著再引入科學教育的觀點，並比較兩者間的異 同，進而提出在本文中所採取的觀點。
一、數學模型
傳統上，數學與科學被視為兩門本質上不相同的領域(Kuhn, 1970)；而當談到模型 與建模時，數學教育與科學教育學者也給了這兩個名詞不同的理解意義與詮釋。一般而 言，數學教育學者習慣將 Model 稱為「模式」而非「模型」，然而也有部分的學者仍將 Mathematical Model 稱為數學模型。那麼，什麼是數學模型呢？從數學教育的觀點來看，
Niss, Blum & Galbraith (2007)指出，所謂「模型(Model)」指的是針對現實情境中的問題，
所對應到的數學形式表徵（例如公式、圖形或演算法）。此處要注意的是，數學本質在 模型當中被視為是一個不可或缺的元素，亦即當一個表徵缺乏外顯或內隱的數學表徵 時，就不再是一個數學模型。舉例來說，Niss, Blum & Galbraith (2007)即指出，諸如實 體物件(Physical Objects)、心智模式(Mental Models)與模型例證(Models as Instantiations) 等，均不在數學教育中對模型的討論範圍內。
楊凱琳和林福來（2006）指出，模式(Model)是一個有機的系統，這個系統包含了被 操作的元素、操作規則、以及元素或規則間的相關性；透過這個系統，我們可以有效地 描述、解釋或預測某些物件的行為。從數學教育的觀點來看，世界可被分割成兩個部份，
即 數 學 內(Mathematics) 與數學外(Extra-Mathematics)的世界(Niss, Blum & Galbraith, 2007)；在數學內世界的物件即被稱為數學物件。此處的物件即為被表徵的對象，物件
的來源大致可分為數學與非數學兩種，而這之間的區隔則可從表徵的方式與內容來區分
（楊凱琳和林福來，2006）。如果表徵方式涉及到數學形式或數學符號，則可稱此物件 為數學物件；倘若表徵的方式不屬於數學形式或符號（例如文字：「一個收斂的數列」），
則必須判斷表徵的內容。在上例中，「一個收斂的數列」雖然是言語表徵，但內容仍跟 數列有關，因此被視為是一個屬於數學內世界的物件，換言之，它是一個數學物件。而 在數學上所謂的模型，即是特定的元素根據特定的操弄規則，與數學物件相互作用而產 生的系統（例如兩個函數之間的加減乘除），具有預測、解釋與描述的功能。
二、數學建模
數學建模(Mathematical Modeling)在現今的數學教育相關領域中，一直是個熱門的 研究議題；舉例來說，Niss (2002)將數學建模列為八項基本的數學素養能力(Mathematical Competency)之一。Niss, Blum & Galbraith (2007)指出，建模的目的是為了理解或抓取 (Tackle)現實生活中的問題的某些環節(Segment)；此處所指的問題不僅是實務上的問 題，也包含了智識上(Intellectual)的問題。Lesh et al. (2003)指出，一個完整的建模歷程，
包 含 了 模 型 啟 動(Model Eliciting) 、 模 型 探 究 (Model Exploring) 與 模 型 調 適 (Model Adapting)。其中模型啟動主要在初始階段引起建模者的思考與想法，模型探究則為中期 數學表徵形式的引入與使用，而模型調適則強調模型後期的整合與應用。
Lesh & Lehrer (2003)指出，許多研究將模型與建模的觀點視為是一個重要的概念架 構（引自楊凱琳和林福來，2006）。Gravemeijer (1994)則將數學建模的產物（即所建構 的數學模型）分為以下幾類：情境模型(Situation Model)、特定模型(Model of)、一般化 模型(Model for)與形式化模型(Formal Model)。Verschaffel (2002)認為，建模應透過一套 融貫的課程發展，在基礎學習階段就讓學生認識它在適當的數學情境中出現的基要性。
Greer & Verschaffel (2007)則根據活動性質的不同，將建模活動分為以下三個層次：
（一）內隱建模(Implicit Modeling)
學生無意中經歷了不自覺的建模活動。學生只要具備「常規型專業知識 (Routine Expertise)」即可達成內隱建模。常規型專業知識被定義為：在尚未 深入理解的情況下，可以快速且精確地完成學校的數學習題(Hatano, 2003)。
學生很容易將此常規型專業知識發揮到極致，甚至因此產生 deBock et al.
(2007)所指出的「線性幻影」現象。
（二）外顯建模(Explicit Modeling)
學生意識或實際體驗到自己正在進行建模的歷程。deBock et al. (2007) 認為外顯建模需要「適應型專業知識(Adaptive Expertise)」，才符合建模的本 質。Houston (2007)認為建模是數學活動中最擬真的部份，且通常是一種團 體的活動。Verschaffel, Greer & deCorte (2000)也指出，模型往往需要經由溝 通、辯論、選擇等社會形式決定。
（三）批判性建模(Critical Modeling)
建模在數學、科學、社會等領域中扮演的角色，被建模者批判性地檢驗。
Skovsmose (2000)認為當某部份的現實世界被建模時，這個歷程也影響到了 現實世界本身被如何賦予意義，因此大部分的人都是在「消費」數學建模的 產品。Blomhoj & Jensen (2006)則強調對建模各歷程之批判性態度的重要 性，此外他們也指出數學能力應包括對數學應用、歷史發展與數學本質的取 決性理解。
另一方面，我們亦可從教學與建模能力的觀點來探討數學建模的歷程。PISA 定義 數學素養為「辨識與理解數學在世界上扮演的角色，對未來的生活作出妥善的數學判 斷，並成為一個具有建設性與反思能力的人民的個別能力」(OECD, 1999)。Weinert (2001) 將「能力(Competence)」定義為「用來解決問題的意願、批判性的行為、及所擁有或可 學習之能力與技巧的總和」。Henning & Keune (2007)指出，目前在數學教育界中，建模 教學與學習至少有下列兩種方向：
（一）成分描述(Component Description)
所謂成分描述乃是針對學生所必備的建模能力、技巧與態度進行描述。
Maab (2004)認為建模能力包含對建模歷程重要的能力、技巧、態度與調度的 意願（引自Henning & Keune, 2007）。Blum (2002)則將建模能力定義為組織 結構的能力、數學化(Mathematization)的能力、闡釋與解決問題的能力、處 理數學模型的能力、效化模型的能力、批判性地分析與評鑑模型的能力、以 及自我調節建模歷程的能力。
（二）層次描述(Level Description)
所謂層次描述，乃是針對學生的建模歷程進行探討。Henning & Keune (2007)指出，學生的能力是無法直接被觀察出的，必須透過觀察學生解決問 題的行為來判定。Henning & Keune (2007)同時認為建模活動具有三個面向，
即建模能力的層次、複雜性（如情境、方法、技巧）的層次、以及教育上的 層次。其中建模能力的層次包括：
1. 層次一（辨識與理解建模）
學生具有辨識與描述建模歷程的能力，並能分辨與定位建模歷程的狀 態。
2. 層次二（獨立建模）
學生具有分析與結構問題及抽象數量的能力，接納不同的觀點、建立數 學模型、處理模型並闡釋模型使用的結果與陳述、效化模型；此階段的學生 已可在各情境中獨立解決問題。
3. 層次三（對建模的後設反思）
學生可以批判性分析建模歷程、將評估模型的準則公式化、反思建模目 的、反思模型在數學上的應用。第三層次的學生已經完整地理解的建模概 念，且已經具備批判性反思與辨識重要關係的能力；此外並能理解建模在不 同學科領域中扮演的角色。
透過上述關於數學建模的文獻可以發現，在數學教育中所談論的數學建模著重於將學生 的建模能力或技巧分層描述；然而這樣的分層描述多半只注重層級上的差異，而並未再
將整個建模活動或這些層次進行分解，因此對建模活動的詮釋仍然趨向一個比較巨觀的 面向，對於更詳細的建模歷程則較少描述。
三、科學模型
在科學教育中，無論是教師或學生，往往習慣透過特定或較熟悉的表徵形式來理解 或詮釋較抽象或難以理解的概念與想法，而「模型」即是一種介於來源與目標之間的表 徵；透過這些模型或表徵，我們得以理解、描述或詮釋目標(Duit & Glynn, 1996; Gilbert, 1993)。Gilbert & Boulter (2000)認為模型通常被視為是一個物件、事件、想法或現象的 表徵。Gilbert, Boulter & Elmer (2000)曾根據模型的本體地位，依序區分出學校課室中常 見的八種模型：
（一）心智模型(Mental Model)：即心智模式，是一個由個體與外界互動所形成的、
高度個人化且內隱的認知表徵。
（二）表達模型(Expressed Model)：由個人或小組的公眾領域（通常是在與其他人 的互動過程中）透過一個或更多表徵的使用所產生的模型。
（三）一致模型(Consensus Model)：在經過討論與實驗之後，不同的小組均認同所 呈現的表達模型，因此形成一個一致模型。
（四）歷史模型(Historical Model)：上述的一致的模型是在特殊的歷史情境產生，
並且隨後被取代，因此算是一種歷史模型。
（五）課程模型(Curricular Model)：若將歷史或科學模型加以設計，並納入正式課 程，經過簡化以後，即成為一個課程模型。
（六）教學模型(Teaching Model)：在一般的情境下，產生一致模型、歷史模型和課 程模型是非常困難的；而教學模型即是為了促進這些歷程，藉由教師或學生 來發展的模型。
（七）混合模型(Hybrid Model)：藉由合併每個不同模型的特徵，組成一個具有內 在一致性的整理，而使用在課程與課堂教學當中的模型。
（八）教育模型(Pedagogy Model)：教師在課堂中使用的模型，其中包括科學本質、
科學教學本質與科學學習本質等三方面的考量。
Harrison & Treagust (2000)則對模型進行了以下的分類：科學性與與教學性模型、用 來建立概念知識的教學類比模型、描述多重概念、過程、實體與理論的個人化模型（引 自邱美虹，2007）。而這些分類又可細分為十種模型，包括比例模型、教學類比模型、
圖像或符號模型、數學模型、理論模型、地圖、圖形與表格、概念過程模型、模擬、心 智模型，以及綜合模型。陳瑞麟（2004）則將模型依據科學哲學的觀點與存有的狀態，
分為以下六類：實物模型、圖像模型、概念模型、數學模型、邏輯模型與電腦模型。
那麼，模型在科學上有哪些功能呢？又怎樣才算是一個好的模型呢？林靜雯和邱美 虹（2007）指出模型在科學上有七個功能，即簡化複雜現象，使之易於思考；提供一個
那麼，模型在科學上有哪些功能呢？又怎樣才算是一個好的模型呢？林靜雯和邱美 虹（2007）指出模型在科學上有七個功能，即簡化複雜現象，使之易於思考；提供一個