學生的表徵使用

本節將針對第五個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所使用的表徵種類與形 式」，回答以下四個問題。

5-1. 在教學進行之前，學生所使用的表徵種類與形式為何？

5-2. 在教學進行之後，學生所使用的表徵種類與形式為何？

5-3. 在教學進行的過程中，學生所使用的表徵種類與形式如何演變？

5-4. 教學的實施如何影響學生所使用的表徵種類與形式？

表 4-5-1 列出三組學生在空間概念中的表徵使用情形，表中的數字代表該組學生使 用該類表徵的平均次數。透過表4-5-1 可發現，建表組(MR)與表徵組(R)學生，無論是在 何種類型的表徵使用上，均明顯較控制組來得多；而在建表組與表徵組之間則沒有顯著 差異。在此單元中，建表組的學生每人的平均值為2.51，這意味著學生在回答每個子問 題時平均使用了多達2.51 種的表徵；而表徵組的學生每人的平均值為 2.49，顯示該組的 學生在每個子問題上也平均使用了2.49 種的表徵。換句話說，這兩組學生在此單元中均 普遍使用了多重表徵來回答問題。相較之下，控制組的學生在每個子問題上平均只使用 了1.37 種表徵；綜觀這之間的差異可發現，多重表徵教學的外顯與否，最可能是影響學 生使用表徵之種類多寡的因素。

若從表徵的種類上來看，學生最常使用的還是數學表徵。由於本研究乃是在高中數 學課室中進行，而在課程中舉凡文本的敘述、教師的講解、公式的推導等等，多半均透 過數學表徵來表達，因此數學表徵可說是數學課程中不可或缺的要素之一。在某些情況 下，學生仍然必須使用數學表徵，才能將其欲表達的想法以數學的形式嚴謹地呈現出 來；是故幾乎所有的學生都會在每個子問題中嘗試以數學表徵的形式來回答該問題（但 並非所嘗試的唯一形式），因此造成使用數學表徵的次數相當地接近子問題的（編碼之

最小單位）的數目。

除了數學表徵之外，三組學生在此單元中使用頻率次高的表徵均為具體表徵，而視 覺表徵的主要形式則是實體模型。由於大部分的空間概念不易直接透過單純地思考來建 構，因此多數學生會嘗試將該子問題的情境、或回答問題所需要使用的空間架構，以手 邊擁有的實物的方式呈現出來；因此在這個單元中，學生使用具體表徵的頻率也顯得較 頻繁。學生在具體表徵與言語表徵上的使用頻率並沒有顯著的差異，大約都維持在 0.4 左右，這意味著學生平均在一半的問題中會使用具體表徵與言語表徵（然而兩者的使用 時機並無明顯相關）。由於言語表徵的判定方式是「學生在回答該子問題時，寫出解釋 性的描述語句，或以口頭方式進行表達」；因此即使學生寫下了簡略的推演符號或連接 詞（例如因為、或、且等等）與數學符號，研究者仍不將其判定為言語表徵。為了更進 一步區分言語表徵與非言語表徵，研究者引入了系統功能語言學(Systematic Functional Linguistics, SFL)的觀點，Halliday (1995)指出，事件是意義的單位，而每一個意義單位 則由語言中的小句(Clause)來呈現（引自林文杰和楊文金，2008）。李哲迪（2006）則指 出，小句必需包含以下三個要素：

（一）小句表達完整的意思。

（二）小句具有概念功能、人際功能和語篇功能。

（三）小句是以單一過程成分為核心的語言單位。

在本研究中，言語表徵必須是一個小句，因此具有語氣、語意與邏輯上的連貫性，當學 生採口頭描述時，則一律判定為言語表徵、但若學生採用文字描述，則對是否為言語表 徵的判定就趨向嚴格。最後，學生在這單元中最不常使用的表徵種類是視覺表徵，學生 MR-S12 就表示「這是我們第一次接觸到空間概念，所以一時之間還沒辦法用圖形畫出 來，有些圖形我們可能不知道長什麼樣子」。

表4-5-1 學生在回答空間概念問題時的表徵使用情形

表徵種類

平均 - 0.25 0.16 0.21 0.67 0.08 1.37 全體總平均 - 0.42 0.38 0.33 0.70 0.29 2.12

此外，從所收集的資料中可以發現，無論是在哪個單元中，建表組與表徵組所使用 的表徵種類均顯著地比控制組要多。然而在表徵使用次數上，學生在單元2-3 與 2-5 中 均有減少的現象。由於單元2-3 是空間向量，因此學生可能較難將向量予以表徵化，造 成使用的頻率較低。而在2-5 空間中的直線單元中，由於此單元為本課程最後一單元，

難度較高，因此已有部分學生無法以任何表徵形式（含數學）來作答，即將試題處留白，

因此造成學生在整體表徵使用的次數上減少。

無論是在哪個單元中，使用數學表徵似乎都是學生最基本且不可或缺的選擇。在多 數情況下，學生使用數學表徵的平均次數與子問題的數量之間的微小差異，都是由於有 少數學生整題未作答所致；換句話說，幾乎所有有作答的學生，都使用到數學表徵。在 其他表徵種類上，言語表徵的使用頻率有隨著課程演進而增加的情況，其他三種表徵則 無明顯改變。探究其原因，可能是因為隨著概念的困難度增加，學生無法輕易舉出實際 上的例子（具體表徵）或比出動作（動作表徵），因此只好改以解釋的方式呈現，以回 答問題。學生使用多重表徵的情況如圖4-5-1 至圖 4-5-3 所示。

圖 4-5-1 顯示學生接受外顯化的多重表徵教學時的情形。學生必須理解各種不同類 型表徵的意義並舉出實例，才能順利地回答這個單元的問題。圖 4-5-2 顯示學生在例題 2-0-4「我們可以透過哪幾類表徵來理解有機化合物的分子結構？每類型請各舉一例。」

以及例題 2-0-5「陳老師在「無名小站」架設教學部落格，並在網誌中講解一元二次方 程式的判別式與函數圖形，請問陳老師是否使用多重表徵？如果是，他共使用了哪幾種 類型的表徵？」中的答題情況。學生往往能舉出多種不同的例子來說明各種可能被使用 的表徵形式。圖4-5-3 顯示學生在例題 2-5-4「下課時，育銓將寫好的數學作業放在桌上，

就跑出了教室；回來後他發現數學作業的右上角被阿黃剪去摺紙飛機，而左下角則被高 咩撕去墊貢丸湯，只剩下以下的部份。由於這張作業佔總成績的

50%

協助育銓脫離補考的命運。」的答題情形。這個問題則是需要學生在不同的表徵形式之 間作轉換，以確保學生可以理解同樣的數學物件在不同表徵下的表示方法。

圖4-5-1 學生使用多重表徵的情形

圖4-5-2 學生使用多重表徵的情形

圖4-5-3 學生使用多重表徵的情形

第六節 建模與多重表徵課程中的師生互動與情意表現

本研究基於第六個研究目的「探討建模與多重表徵課程中的師生互動與情意表 現」，有以下五個研究問題：

6-1. 在建模與多重表徵課程中，師生互動的情況為何？

6-2. 在建模與多重表徵課程中，學生的情意表現為何？

6-3. 實施建模與多重表徵課程的優勢、劣勢、機會與威脅為何？

一、師生互動

本研究的教材設計由研究者獨立進行，此外尚有兩位大學教授與一位高中數學教師 負責審查並給予意見。研究者採取「獨立設計、公開討論」的方式產生課程，首先會在 每週的互動討論中撰寫教案、訂定內容，提出課程安排提案，經過該數學教師同意後實 施。每個單元的課程為期約一個星期，所設計的課程除了教材與講義外，尚包含其他必 須的輔助教具，包括投影片、指引手冊或學習單等。數學教師在研究者設計完一個單元 的課程後，於討論中提出建議，修正後才進行教學。

當時間允許時，研究者會針對所設計的教材進行試教。試教的場地乃是利用多餘的 空教室，而教學的對象則是該校其他的實習教師。該校之實習教師共 15 位，其中數學 科共有3 位；當研究者進行試教時，至少會請 1 位數學科實習教師，以及 1 位其他科目 實習教師到場觀摩並給予意見。除了試教外，負責教材審訂的高中數學教師亦主動出借 其所任教的其他班級供研究者進行試教。研究者在正式的課程進行前，總共進行了至少 10 節課的試教活動，如此可確保研究者在正式研究階段，不會由於自身的不穩定因素，

導致研究結果失真，甚至影響到參與學生的權益。

研究者將所設計的教材分為四個版本，其中又針對建表組與表徵組，各分為教師版

與學生版。在兩組的教材中，學生版並未添加建模歷程與多重表徵的教學指引，但有加 入多重表徵與建模的概念與範例，以力求達成概念的外顯化。在教師版中，除了加上教 學目標、時間分配、教具教材、建模歷程指標、多重表徵指標、以及教學指引等等。無 論是何種版本，建模與多重表徵的概念均被刻意地外顯化；下表 4-6-1 是建表組在建模 概念教學時的教材範例，而表4-6-2 則是表徵組在多重表徵概念教學時的教材範例。

表4-6-1 建表組在建模概念教學時使用的教材範例

◎科學知識的革命性

在日常生活中，我們通常把數學、物理、化學、生物、地球科學、資訊與生活科技等領域統稱 為 。在大多數人的概念中，「科學」就是「精確」的代名詞；且意味著分毫不差、對錯分明。

不僅是日常生活中，當我們將目光移到學校或補習班中，也經常可以發現科學教師灌輸學生「絕對真 理」的存在。這種現象甚至延伸到考試中：假使我們仿照國文解釋、英文翻譯、以及公民申論題的方

式來寫數學、物理與化學題目，那麼所得到的分數將會趨近於

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式來寫數學、物理與化學題目，那麼所得到的分數將會趨近於

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