透過建模與多重表徵教學探討高二學生的建模能力與概念改變－以空間概念為例

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(1)國立台灣師範大學科學教育研究所碩士論文. 指導教授：邱美虹博士. 透過建模與多重表徵教學探討高二學生的建模能力與概念改變－以空間概念為例. 研究生：蔡春風. 中華民國九十八年八月.

(2) 謝誌踏出了從知識消費者轉變為知識生產者的第一步，這本論文背後所背負的不僅是微薄的學術價值與個人的成長，更是眾多參與者與支持者默默地貢獻心力的凝聚體現。很慶幸當初選擇了科學教育研究所作為進一步提升自我的根據地，在長時間的書香洗禮與老師們的悉心教導下，每每都能明顯感受到自己在這段日子的收穫已非單純用「獲益良多」就可以形容。時至今日，這棟磚紅色的建築儼然已成為我心目中的學術聖地，能有機會在此學習是件值得回味咀嚼的事，我以曾經在這裡徘徊出入為榮。. 感謝指導教授邱美虹老師，用心栽培每一位投靠門下的研究生。從我們踏入這扇門開始，老師就持續地培養我們閱讀文獻、批判思考、撰寫報告與執行研究的能力。在課堂上，老師總是提供我們最新的文章與豐富的資源；在討論中，老師總是給予我們最多的建議與突破性的觀點。無論是課業、論文或國科會計畫的進行遇到瓶頸，老師總會適時地伸出援手，指出問題所在並鼓勵我；沒有邱老師，就沒有今日的春風。. 感謝口試委員傅恆霖老師與譚克平老師，細心地審閱我的論文。老師們的建議與鼓勵不但使我能在研究架構與分析深度上進一步加強，更帶給我從不同的領域檢視論文研究的觀點。感謝李田英老師、楊文金老師與吳心楷老師，打開了我的視野，也充實了我的知識基礎，使我在進行研究時能夠從不同面向多方考量。. 感謝鐘曉蘭老師，提供我在本研究中的教學場所，並持續關心我的進度；不僅是一位令人欽佩的指導老師，同時也是一位樂於提攜後進的學姐。感謝陳坤稜老師、謝進生老師、蔡宗佑老師、蕭莉婷老師、王嘉瑜老師與顏貽隆老師，大方出借課堂與學生讓我進行研究、或提供我教學所需的資源，或給予寶貴的意見，減輕我的負擔。感謝王哲宇老師、陳怡文老師與林雅婷老師，不厭其煩地協助教具製作與錄影工作。感謝所有參與.

(3) 教學、施測與訪談的學生們，雖然我們的師生關係只維持了半年，但我會一直記得每個人的名字和笑容；沒有你們大方地提供資料、分享與回饋，就沒有這本論文的誕生。. 感謝志康學長對我研究與分析架構的提點，並在老師忙碌時協助指導我。感謝慧蓉學姐、焙琪學姐與文龍學長的包容，使我能在參與國科會計畫的同時進行研究。感謝柏融學長與育倩學姐的細心，使我能在撰寫論文的同時得到關照。感謝惠如的陪伴，我會記得你的快速球和謹慎負責的態度。感謝佩君的相挺，我會記得你的大肚魚和努力逐夢的精神。感謝婉約的知音，我會懷念白天討論、晚上在地下室拉小提琴的日子。感謝蓓榮的認真，我會懷念早上專討、下午書報以及跟你同組的報告。感謝欽瑋的辛苦，時常替我蹲捕的你，總能紓解我的壓力，讓我放鬆心情。感謝勝安的耐勞，時常替我跑腿的你，總能挑戰我的想法，讓我更上層樓。感謝怡瑩、珮琪、百興與鴻嘉在課業上的砥礪敦促，相信我們在經過這些訓練之後，可以發揮更大的潛能。感謝佳穎、姿瑩、馨梅與卉珍在口試時的聆聽協助，相信你們在見過拙作展現之後，可以作出更好的研究。. 感謝來自遠方的支援與祝福，包括昱丞分享教學經驗，宥全協助論文寄送，權益、任亭與紀葳安排訪談時程，以及其他人的心力貢獻。最後，感謝父母親對我的資助與包容，讓我能沒有後顧之憂地完成研究與學業。感謝弟妹對我的關心與著想，讓我能在忙碌之餘享受天倫及手足之樂。學位的取得不是終點，更是一個全新的起點；在此期許自己能發揮所學回饋社會，並進一步自我提升。此刻要感謝的人太多，無法逐一列舉；今後我將帶著各位的祝福與期許步出這扇門。謹以此論文獻給邱老師與我的家人。.

(4) 透過建模與多重表徵教學探討高二學生的建模能力與概念改變－以空間概念為例. 摘要本研究旨在透過科學建模與科學概念改變理論的觀點來探討學生在學習數學上的空間概念時的建模能力與概念改變。在本研究中，研究者發展了一套為期六週、以建模與多重表徵為設計基礎的數學課程，並在一所普通高中內實際進行教學。研究者將三個班級（共 125 位高二學生）透過方便性取樣分為建模與表徵組(MR)、表徵組(R)與控制組(C)等三組。其中建模與表徵組（簡稱建表組）與表徵組由研究者進行教學，而控制組則由該校一位經驗豐富的數學教師進行教學。. 在本研究中，研究者修改了張志康和邱美虹（2009）所提出的「建模能力分析指標 (Modeling Ability Analytic Index, MAAI)」，發展了一套多面向的概念試題，在每單元結束後各施測一次，以作為評量與分析的依據。該試題共有五個單元，每個單元均包含許多開放性問題；學生必須完整地進行答題與解釋，才能獲得高分。在後測結束後，每位學生均接受為時 20 至 30 分鐘訪談，以協助研究者確認對學生所持之心智模式的歸類是合理的。此外，研究者尚挑選了 27 位持有不同心智模式與建模能力的標的學生進行為時 1 小時的深度訪談；此深度訪談旨在深入探討這些學生的心智模式與建模能力，以作為典型個案的呈現。本研究所有的研究工具均經過信效度檢驗，並達到合理標準。. 經過資料編碼與分析，本研究顯示出以下結果：首先，三組學生在接受過建模與多重表徵教學後，在概念理解上均有顯著的進步，其中又以建表組的進步幅度最大，表徵組的學生次之，而控制組的學生進步幅度最小。在這當中，建表組與表徵組學生的進步.

(5) 幅度也顯著地較控制組來得大。其次，學生所持有的空間概念心智模式是多元且多樣的。本研究根據先前文獻與試測結果，將學生的心智模式分為科學模式、斜角模式、有界模式、符號模式、實體模式、二維延伸模式、以及其他等七類。在教學前，持有二維延伸模式與有界模式的學生是最多的，隨著教學活動的進展，二維延伸模式的學生開始減少，取而代之的是實體模式與符號模式。有界模式雖然一直都有學生持有，但卻不是比例最高的。在教學的尾聲以及教學完畢後，持有科學模式與符號模式的學生則是最多的。這樣的結果符合了研究者的教學目標，也符合了先前的研究發現。接下來，在學生所使用的建模歷程上，建表組的學生所使用的建模歷程顯著地較表徵組與控制組來得高。學生在六個建模歷程當中，以模型選擇、模型建立與模型應用的表現較為理想。建表組的學生在模型效化、模型調度與模型重建三個歷程上，所使用的次數與表徵組及控制組的學生有顯著的差異。接下來，在學生的建模能力方面，建表組學生的平均建模能力（2.81 分）顯著地比表徵組（2.03 分）與控制組（1.98 分）來得高。56%的建表組學生在教學結束後具備了進階的建模能力，然而三組學生在答題層次上並未展現出顯著差異。接下來，在學生所採用的表徵形式與種類上，學生最常使用的表徵種類為數學表徵，其次是言語表徵與具體表徵。學生較少使用視覺與動作表徵。造成這樣的差異的主要來源，乃是由於建表組的學生在進階建模能力上的得分顯著地比其他兩組來得好。最後，根據回饋單、情意問卷與課堂錄影等資料顯示，學生對這樣的課程持有相當正向的態度，且在課程中有著良好的師生互動。根據本研究的結果，研究者建議教師設計建模與多重表徵課程，並以外顯化的方式實施，以提升學生的建模能力並促進概念改變。. 關鍵詞：空間概念、建模、多重表徵、心智模式、概念改變.

(6) Investigating High School Students' Modeling Ability and Conceptual Change about the Concept of Three-Dimensional Space Using Modeling and Multiple Representation Teaching Approaches. Abstract This empirical study aims to investigate high school students' modeling ability and conceptual change about the concept of three-dimensional space in mathematics. In this study, the researcher developed a 6-week high school mathematics curriculum and put it into teaching via the use of modeling and multiple representation approaches. According to the research design, three different classes with 125 11th grade students in total were assigned into three different groups correspondingly, named as the Modeling and Multiple Representation Group (MR), the Multiple Representation Group (R), and the Control Group (C). During the 6-week teaching schedule, the two experimental groups were taught by the researcher, while the control group was taught by an experienced mathematics teacher in the same school.. In order to improve the accuracy on investigating and measuring students' modeling ability and conceptual change, the researcher modified the "Modeling Ability Analytic Index (MAAI; Chang & Chiu, 2009)", and then developed and conducted a set of tests after each unit. Each test contained several open-ended problems, in which students' full explanations were required to score high and solve the problem progressively and completely. After the posttest, each student was interviewed to clarify the researcher's classification toward students' mental models. Furthermore, the researcher selected 20 target students with different mental models and different modeling abilities, interviewed individually for an hour to reveal their modeling and conceptual change paths as typical cases. All the research tools were.

(7) examined with proper validity.. After data coding and analysis, the results showed: first, on the perspective of conceptual understanding, all the three groups of students scored significantly higher in the posttest and delayed test than in the pretest. Also, the improvement of students' conceptual understanding in both two experimental groups (MR & R) were significantly better than the students in the control group. Second, students' understanding of three-dimensional space was classified into seven different mental models, named as scientific model (SC), inclined angle model (CL), boundary model (BD), symbolic model (SY), concrete model (CN), two-dimensional extension model (EX), and others (OT). Most students held EX and CN mental models in the first two units, whereas many of them turned to held the SY model in the middle of the curriculum. After instruction, 47.2% students held the scientific model, but there was no significant difference among the three groups at this stage. Third, students showed different types of modeling processes in three groups. Students in the MR group conducted model validation, model deployment, and model reconstruction more frequently than those in the R and C groups. Fourth, students in the MR group scored significantly higher in modeling ability tests; 56% of them were able to retrieve advanced modeling ability. However, there was no significant difference in basic and advanced problem-response ability among the three groups. Fifth, students in MR & R groups used more concrete, verbal, visual and gestural representations than those in the control group. Finally, students in MR and R groups showed positive attitudes toward the curriculum. It is suggested that teachers should develop modeling and multiple representation curriculum and implement in their teaching.. Key Words: Three-Dimensional Space, Modeling, Multiple Representation, Mental Model, Conceptual Change.

(8) 目錄目錄. ................................................................................................................................ I. 表次. ................................................................................................................................ III. 圖次. ................................................................................................................................ IV. 第壹章. 緒論. ................................................................................................................ 1. 第一節. 研究背景與動機. ........................................................................................ 2. 第二節. 研究目的與問題. ........................................................................................ 6. 第三節. 名詞釋義. 第四節. 研究的重要性. 第五節. 研究範圍. 第貳章. 理論架構. .................................................................................................... 9 ............................................................................................ 11. .................................................................................................... 13 ........................................................................................................ 15 ................................................................................ 16. 第一節. 概念改變與心智模式. 第二節. 模型與建模. 第三節. 建模能力. .................................................................................................... 29. 第四節. 多重表徵. .................................................................................................... 34. 第五節. 透過科學教育觀點檢視數學學習. 第六節. 空間概念. 第參章. 研究方法. ................................................................................................ 21. ............................................................ 37. .................................................................................................... 40 ........................................................................................................ 49. 第一節. 研究設計. .................................................................................................... 50. 第二節. 研究對象. .................................................................................................... 52. 第三節. 教材設計. .................................................................................................... 53. 第四節. 研究工具. .................................................................................................... 56. 第五節. 研究流程. .................................................................................................... 58. 第六節. 資料處理與分析. ........................................................................................ 61. I.

(9) 第肆章. 研究結果. ........................................................................................................ 64 ................................................................................ 66. 第一節. 學生的概念理解情形. 第二節. 學生的心智模式與概念改變. 第三節. 學生的建模歷程. ........................................................................................ 87. 第四節. 學生的建模能力. ........................................................................................ 91. 第五節. 學生的表徵使用. ........................................................................................ 95. 第六節. 建模與多重表徵課程中的師生互動與情意表現討論. 第陸章. 結論與建議. 附錄. .................................... 101. ................................................................................................................ 109. 第伍章. 參考文獻. .................................................................... 74. .................................................................................................... 113. ........................................................................................................................ 115. ................................................................................................................................ 125 ............................................................ 126. 附錄一. 建模歷程結合多重表徵教案範例. 附錄二. 建模歷程概念試題設計範例. 附錄三. 建模歷程與答題層次雙向細目表. ............................................................ 134. 附錄四. 建模歷程結合多重表徵教材範例. ............................................................ 136. .................................................................... 129. II.

(10) 表次表 2-3-1 建模能力分析指標. ......................................................................................... 32. 表 2-5-1 數學建模歷程與科學建模歷程的對應. ......................................................... 39. 表 3-1-1 本研究的教學處置與研究組別之間的對應. ................................................. 51. 表 3-3-1 空間中的平面與直線各子單元之單元細目、對應的學習目標與所需的先備知識. ..................................................................................................... 53. 表 4-1-1 全體參與者在概念試題中的得分情況. ......................................................... 67. 表 4-1-2 全體參與者在概念試題中得分的組間差異性檢驗. ..................................... 68. 表 4-1-3 全體參與者在概念試題中前測、後測與延宕測驗得分的差異性檢驗表 4-2-1 全體學生在空間概念中的心智模式分布情形. ............................................. 77. 表 4-2-2 學生所持有之空間概念心智模式的可能演變路徑表 4-3-1 學生在空間概念中的建模歷程使用情形表 4-4-1 建模能力分析指標. ..... 70. ..................................... 85. ..................................................... 88. ......................................................................................... 92. 表 4-4-2 次模型「空間坐標系」試題的科學架構與要素. ......................................... 92. 表 4-4-3 次模型「空間坐標系」分析編碼表. ............................................................. 93. 表 4-4-4 學生在空間概念中的建模能力表現. ............................................................. 94. 表 4-5-1 學生在回答空間概念問題時的表徵使用情形. ............................................. 96. 表 4-6-1 建表組在建模概念教學時使用的教材範例. ................................................. 102. 表 4-6-2 表徵組在多重表徵教學時使用的教材範例. ................................................. 104. III.

(11) 圖次圖 2-3-1. Biggs (1999)所提出的四個答題層次. 圖 2-3-2 各學者對建模歷程的分類方式. ..................................................................... 31. 圖 2-3-3 各學者對概念認知能力的分類方式圖 3-5-1 研究流程圖. ............................................................ 30. ............................................................. 32. ..................................................................................................... 60. 圖 4-1-1 全體參與者在概念試題中的得分情況. ......................................................... 71. 圖 4-2-1 建表組學生在空間概念中的心智模式分布. ................................................. 80. 圖 4-2-2 表徵組學生在空間概念中的心智模式分布. ................................................. 80. 圖 4-2-3 控制組學生在空間概念中的心智模式分布. ................................................. 81. 圖 4-3-1 建模歷程之 SOLO 分類法. ............................................................................. 88. 圖 4-3-2 學生在建模歷程使用上的情況. ..................................................................... 90. 圖 4-3-3 學生在建模歷程使用上的情況. ..................................................................... 90. 圖 4-5-1 學生使用多重表徵的情形. ............................................................................. 99. 圖 4-5-2 學生使用多重表徵的情形. ............................................................................. 100. 圖 4-5-3 學生使用多重表徵的情形. ............................................................................. 100. 圖 4-6-1 教材、教師、學生與評量面向的關係. IV. ......................................................... 108.

(12) 第壹章緒論透過不斷精進的教學設計來促進學生的科學學習，乃是科學教育的重要目標之一；而教學活動的形式與內容，則對學生學習的成果有著舉足輕重的影響。若缺少了必要的教學，學生可能會同時失去知識建構的來源、引導與輔助。而不適當的教學形式與內容，則可能造成學生無法如預期地習得正確的科學概念，學生甚至會將他們的生活經驗與科學概念結合，產生迷思概念，甚至持有合成的心智模式(Vosniadou & Brewer, 1992)。. 除了教學之外，學生的學習成果也是科學教育主要的關注議題之一。無論是處於標準化的課室情境或日常生活當中，我們往往期望學生能朝著科學家的思考途徑看齊，主動地建構符合科學典範的知識。然而這其中卻牽涉到一個重要的問題：身為一個教育工作者，如何得知並分析學生究竟學到了什麼呢？學生對科學概念的心智模式，是我們難以直接觸接(Access)的(Harrison & Treagust, 2000)。而傳統偏重於知識面的評量工具與指標，似乎已無法完整地回答這個問題。學生的程序性知識（例如外顯的實驗技巧，或內隱的建模歷程等等）往往需要更進一步的探測與擷取才能獲得；因此在關注教學之餘，發展相關的評量與分析工具，也是有必要的。. 本章共分為五節，針對本研究的全貌作一概觀性的描述。第一節呈現了本研究的研究背景，以及由此背景中所浮現的研究動機。在第二節中，研究者根據研究動機，提出了具體化的研究目的；並根據這些研究目的，進一步提出相對應的研究問題。在第三節中，研究者列舉一些在本研究中常用到的專有名詞或術語，給予操作型定義。第四節則根據本研究之相關領域目前的發展，指出研究的重要性。最後，在第五節中，研究者界定了本研究的範圍，並提出一些在研究過程中，可能面臨的限制與困難。. 1.

(13) 第一節. 研究背景與動機. 在本節中，研究者指出本研究的研究背景，以及由此背景中所浮現的研究動機。根據文中所述，可了解研究者為何要進行本研究，以及進行本研究的價值所在。. 一、研究背景在傳統的中學數學課室中，經常可以看到以下的畫面：教師一邊在講台上講述抽象難懂的數學概念，一邊用粉筆寫下充滿符號的函數或方程式，而學生則試圖在有限且單調的話語與文字中，理解這些函數與方程式，並在腦中還原出最根本的數學概念。Hatano (2003)指出，學生在面對隨堂練習、測驗或作業時，所使用的往往是一種「常規型專業知識(Routine Expertise)」：學生們在尚未深入理解該概念的情況下，即將表面的形式予以複製，套用到各個題目中。透過這樣反覆的機械化操作，學生們甚至可以快速且精確地完成各種的數學習題。這樣的教學、學習與解題方式，是身為教育工作者的我們真正希望見到的嗎？我們到底希望學生在數學課室中學到哪些知識？具備哪些能力？. 近年來，關於建模(Modeling)的研究，分別在科學教育與數學教育中各掀起了一股熱潮。這無疑是為教師在科學與數學課室中的教學、學生的學習、以及相關的研究，投入了一股新的契機。然而值得注意的是，透過科學教育的觀點來看待建模，與透過數學教育的觀點，在本質與面向上並不全然相同。在一般的數學教育觀點中，所謂「模型 (Model)」指的是針對現實情境中的問題，所對應到的數學形式表徵（如公式、函數圖形或演算法）或其他表徵（如模擬）；而所謂建模則是指從現實情境問題衍伸發展到這些數學形式表徵的過程(Niss, Blum & Galbraith, 2007)。. 這種問題導向的觀點相對於科學教育中所談論的模型與建模而言，顯得稍微狹隘。又或者我們可以說，在數學教育中所談論的模型與建模，對應到科學教育的觀點之後， 2.

(14) 僅能算是包含於科學教育的觀點中，亦即兩者具有不同等大小的範圍界定。在科學教育的觀點中，模型的範圍相當廣泛；它可以是一個物件、事件、想法或現象的表徵(Gilbert & Boulter, 2000)，因此數學形式的表徵當然也包含在上述範圍內。而建模指的即是基於此觀點，建構這些表徵，並加以效化、驗證；舉例來說，Halloun (1996)即指出建模的歷程包含了模型選擇(Model Selection)、模型建構(Model Construction)、模型效化(Model Validation)、模型分析(Model Analysis)與模型調度(Model Deployment)。. 根據(Gilbert & Boulter, 2000)對模型的定義，模型在我們的生活中，其實是無所不在的；而我們每天也都針對這些模型進行著建模的活動。在學校中，學生的學習行為，也算是一種建模的表現；例如在科展實驗中，學生選定一個主題，決定解決問題的機制（模型選擇）、進行裝置設定（模型建立）、重複測量檢驗（模型效化）並分析數據（模型分析），就是一套典型的建模歷程。依據建模歷程而設計的研究雖然在科學課室中被廣為施行(Halloun, 1996; Hestenes, 1996; Justi & Gilbert, 2002)，然而卻少有研究者將它運用到數學課室中並據此檢視學生的學習。造成此現象的可能原因至少有以下兩點：首先，在數學教育中，已經有一套如上所述的模型與建模的理論傳統，因此數學建模的相關研究多半根據這個理論傳統來進行(deBock, Dooren & Janssens, 2007; Usiskin, 2007)，而沒有刻意使用科學教育中的建模觀點。此外，回歸到本質上的差異問題，有些學者認為數學與科學之間存在著不同形式的本質(Corry, 1993; Dauben, 1984; Kitcher, 1992; Niss, Blum & Galbraith, 2007)，因此並未嘗試透過科學學習的相關理論來檢視數學學習。. 雖然數學與科學在其典範(Paradigm)的本質上有所差異，然而這並不代表兩個領域之間是格格不入的。許多研究指出，數學學習與科學學習是具有相似性與共通性的；例如 Moskal & Magone (2000)與 Resnick et al. (1989)即認為先前知識在數學上所扮演的角色，與一般在科學教育理論上所談論的並沒有不相容。而 Crowe (1992)也提出一些證據指出，有些數學概念經歷的改變並不能單純用累積來描述。Boulter & Buckley (2000)在對表徵的分類中，也將數學表徵納入表徵的其中一種形式。上述文獻顯示，科學教育對 3.

(15) 模型與建模所採取的是一種較普適且廣義的觀點，建模活動是無所不在的；這跟在數學教育中所採取的高度學科化的、較狹義的觀點是有所區別的。. 二、研究動機綜觀先前的研究，過去探討學生在數學課室中的建模活動之相關文獻，大部分都是採取數學教育的觀點(deBock, Dooren & Janssens, 2007; Usiskin, 2006; 林福來、楊凱琳、陳嘯虎和呂又寧，2003；楊凱琳和林福來，2006)，而少有採用科學教育對模型與建模之較普適的觀點。然而為了能更深入且完整地探討學生在數學課室中的建模歷程，採取科學教育中的觀點來檢視學生的建模活動，至少具備以下兩個優勢：首先，由於對模型與建模的定義更加廣泛且普適化，因此較不容易失去（或錯過）學生有意義的學習片段。當我們將傳統的數學建模觀點引進課室時，所涉及的「有意義的」觀察範圍就僅限於學生從事數學表徵建構的情境。然而課室是一個相當複雜的情境，學生並不一定只有透過數學表徵建構才能進行學習，許多非正式、任務外(Off Task)的學習仍然涉及知識的建構；甚至與他人的互動、個人反思、教師回饋等等，也可能是影響學生建構模型的要素 (Justi & Gilbert, 2002)，而這些要素在傳統強調數學本質的建模觀點中，是會被忽略不計的。因此本研究希望能採取一個比過去更廣泛的觀點，重新檢視學生在數學課室中的建模活動，以避免遺漏重要的學習片段。. 其次，科學教育強調學生透過多重表徵來學習科學概念；而在建模歷程中，學生往往會使用到不同的表徵，甚至模型本身就是一種多重表徵(Multiple Representation)的呈現(Boulter & Buckley, 2000; Duit & Glynn, 1996)。這樣的觀點使得教學者在與建模相關的教材設計上融入多重表徵時，獲得了相當程度的理論支持。多重表徵在教學設計中，通常被使用在較抽象、複雜且難以學習的科學概念上(Knuth, 2000; Pratt, 2000; Spada, 1994)；教師使用多種訊息傳遞媒介（如圖表、動畫、模擬或方程式等等）將抽象且複雜的概念具體化、簡單化，以讓學生容易理解吸收。由於研究者具備數學學科背景，因. 4.

(16) 此對中等數學概念在科學教育中的研究相當感興趣。高中數學課程中的「空間中的直線與平面」章節，即包含了諸如平面法向量、直線參數式等關於空間座標系的概念，是一個典型的抽象且複雜的概念單元；然而傳統上，教師僅能透過二度空間（平面）的教材－通常是黑板與粉筆，來進行三度空間概念的教學。這樣的教學不僅違反了空間座標系的概念本質，也會影響到學生的空間推理能力(Clements & Battista, 1992)。. 基於上述觀點，研究者希望能根據先前研究，建立起數學與科學建模之間的橋樑；根據科學教育中對模型與建模的廣義定義，重新檢視高中生的數學建模活動。因此在本研究中，研究者期望能發展出一套融入多重表徵與建模歷程的高中數學教材，針對「空間中的直線與平面」章節進行多重表徵與建模教學，並發展一套檢視與分析學生建模歷程的工具，以期能進一步探討學生的學習，強化數學課室中的建模情境。. 5.

(17) 第二節. 研究目的與問題. 本節承接上述的研究背景與動機，進一步明確地指出本研究的六個主要目的，以及相對應於這些目的之具體化的研究問題。為了使本研究的主軸與結構更加明確，研究者將會以此六個研究目的作為本文的主軸，而在第貳章「理論架構」與第肆章「研究結果」中，則依序以此六個研究目的作為各節的結構編排，並進行論述。. 一、研究目的本研究採取了科學教育對多重表徵、模型與建模歷程的廣義觀點，並將此觀點自科學課室轉移到數學課室中，設計一套多重表徵融入建模教學活動，期能以一更完備的分析向度來檢視學生的數學學習。基於這個原則，研究者主要關心的議題有六，分別是學生的概念理解情形、學生的概念改變情形、學生所使用的表徵、學生的建模歷程、學生答題時的建模能力，以及建模教學情境的建立。因此本研究有以下六個研究目的：. （一）探討學生在學習空間概念時，對概念的理解情形。（二）探討學生在學習空間概念時，所持有的心智模式與概念改變的情形。（三）探討學生在學習空間概念時，所採用的建模歷程。（四）探討學生在學習空間概念時，所具備的建模能力。（五）探討學生在學習空間概念時，所使用的表徵種類與形式。（六）探討建模與多重表徵課程中的師生互動與情意表現。. 二、研究問題本研究基於第一個研究目的「探討學生在學習空間概念時，對概念的理解情形」，有以下四個研究問題： 1-1. 在教學進行之前，學生對空間概念的理解情形為何？ 6.

(18) 1-2. 在教學進行之後，學生對空間概念的理解情形為何？ 1-3. 在教學進行的過程中，學生對空間概念的理解情形如何演變？ 1-4. 教學的實施如何影響學生對空間概念的理解情形？. 本研究基於第二個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所持有的心智模式與概念改變的情形」，有以下四個研究問題： 2-1. 在教學進行之前，學生所持有的空間概念的心智模式為何？ 2-2. 在教學進行之後，學生所持有的空間概念的心智模式為何？ 2-3. 在教學進行的過程中，學生所持有的空間概念的心智模式如何演變？ 2-4. 教學的實施如何影響學生所持有的空間概念心智模式？如何促進學生的概念改變？. 本研究基於第三個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所採用的建模歷程」，有以下四個研究問題： 3-1. 在教學進行之前，學生所採用的建模歷程為何？ 3-2. 在教學進行之後，學生所採用的建模歷程為何？ 3-3. 在教學進行的過程中，學生所採用的建模歷程如何演變？ 3-4. 教學的實施如何影響學生所採用的建模歷程？. 本研究基於第四個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所具備的建模能力」，有以下四個研究問題： 4-1. 在教學進行之前，學生所具備的建模能力為何？ 4-2. 在教學進行之後，學生所具備的建模能力為何？ 4-3. 在教學進行的過程中，學生所具備的建模能力如何演變？ 4-4. 教學的實施如何影響學生所具備的建模能力？. 7.

(19) 本研究基於第五個研究目的「探討學生在學習空間概念時，所使用的表徵種類與形式」，有以下四個研究問題： 5-1. 在教學進行之前，學生所使用的表徵種類與形式為何？ 5-2. 在教學進行之後，學生所使用的表徵種類與形式為何？ 5-3. 在教學進行的過程中，學生所使用的表徵種類與形式如何演變？ 5-4. 教學的實施如何影響學生所使用的表徵種類與形式？. 本研究基於第六個研究目的「探討建模與多重表徵課程中的師生互動與情意表現」，有以下五個研究問題： 6-1. 在建模與多重表徵課程中，師生互動的情況為何？ 6-2. 在建模與多重表徵課程中，學生的情意表現為何？ 6-3. 實施建模與多重表徵課程的優勢、劣勢、機會與威脅為何？. 8.

(20) 第三節. 名詞釋義. 在本研究中，經常會出現多重表徵、模型、建模與建模能力等幾個名詞，然而不同的學者對這些名詞的定義也不盡相同。研究者在本節中指出本研究所採取的觀點，並給予這些常用到的名詞一個操作型定義。. 一、多重表徵(Multiple Representation) 本研究採取 Boulter & Buckley (2000)對表徵的分類，Boulter & Buckley (2000)將表徵分為以下五種類型：具體的(Concrete)、言語的(Verbal)、視覺的(Visual)、數學的 (Mathematical)、動作的(Gestural)以及混合(Mixed)上述幾種類型的。而在一情境中使用兩種以上的表徵，即稱為多重表徵。舉例來說，教師若同時透過言語與視覺表徵來介紹正六面體，則我們可以說該教師透過多重表徵來進行六面體的教學。多重表徵的形式，則是用以展現知識或表徵目標的形式。一種表徵類型可以包含多種表徵形式；舉例來說，數字、符號、方程式、矩陣與函數圖形，就都屬於數學表徵的範圍。. 二、模型(Model) 本研究對模型的定義，採取科學教育學者 Gilbert & Boulter (2000)所提出之較廣義的觀點。在此觀點中，模型通常被視為是一個物件、事件、想法或現象的表徵。這個表徵乃是介於來源(Source)和目標(Target)之間，透過部份性質的轉換，在目標與來源之間尋找可被理解的相似程度（邱美虹，2007）。相對於本研究對模型的定義，在數學教育中，一般所謂的模型指的是針對現實情境中的問題，所對應的數學形式表徵(Niss, Blum & Galbraith, 2007)。在本研究中，除非研究者特別指出「數學教育觀點」中的模型，否則全文所指的模型均是採用 Gilbert & Boulter (2000)對模型的定義。. 9.

(21) 三、建模(Modeling) 在本研究中，「建模」指的是建構模型的六個歷程要素。Halloun (1996)將建模分為五個歷程，包括模型選擇(Model Selection)、模型建構(Model Construction)、模型效化 (Model Validation)、模型分析(Model Analysis)與模型調度(Model Deployment)。後來 Halloun (2004)與邱美虹（2007）曾針對此歷程架構作後續修正，因而又增加模型應用 (Model Application)與模型重建(Model Reconstruction)兩個歷程要素。這些建模歷程要素經過整理與重新排列後，依序剩下模型選擇、模型建構、模型效化、模型應用、模型調度與模型重建等六個建模歷程要素。相對而言，在數學教育的觀點中，建模則是指從現實情境問題衍伸發展到這些數學形式表徵的過程(Niss, Blum & Galbraith, 2007)。. 四、建模能力(Modeling Ability) 本研究所指的建模能力，乃是指學生針對一個問題，在各階段的建模歷程上所能達到的答題層次；故建模能力必須透過兩方面來評估，一是建模的六個歷程，二則是答題時的六個層次。在答題層次方面，Biggs (1999)將學生的答題層次分為四個階層：單一結構的(Unistructural)、多重結構的(Multistructural)、關係的(Relational)以及延伸抽象的 (Extended Abstract)。張志康和邱美虹（2009）又將此分類法加以修改，增加「無結構（經驗反應，Level 0）」與「科學理論(Level 5)」等兩個層次。針對同樣的問題，學生可能展現不同的答題層次。舉例來說，當問到「空間中的兩條直線之間的關係可能為何」時，學生若只回答「不相交」，則該生的答題層次屬於第一個層次（單一結構）；若學生回答「若兩直線互相平行，則必定不相交；若兩直線不平行，則有可能相交，或為歪斜線而依然不相交」，則該生的答題層次就屬於第三個層次（關係）。綜合建模歷程與答題層次兩個方面，研究者參考了張志康和邱美虹（2009）提出的建模能力分析指標(Modeling Ability Analytic Index, MAAI)，並將指標中的定義加以修改，使其更符合數學學習的檢視觀點（原本乃針對科學學習所設計），即為本研究所提及之建模能力。. 10.

(22) 第四節. 研究的重要性. 本研究透過多重表徵與建模理論，在高中數學課室中設計並進行教學。因此在當前科學教育的研究領域中，本研究具有下列幾項重要性，茲分述如下。. 一、提供一個有別於傳統檢視與分析學生數學建模歷程的觀點傳統上，研究者習慣採用數學教育中對建模的觀點來檢視學生的建模活動；然而這種強調數學本質的觀點，容易使研究者忽略以非數學表徵形式出現於數學課室中的學習活動，乃至於失去了部分有意義的資料與訊息。這些以非數學表徵形式呈現的學習活動，不管是對教師或研究者而言，都是用來檢視並分析整個數學課室建模歷程的重要資訊；因此透過科學教育較普適且廣義的觀點來檢視數學課室中的學習，應有助於對學生建模歷程具備更全盤的了解。. 二、促進高中生對多重表徵與建模的了解，以輔助學習與反思除了教師對教學的反思之外，本研究所發展的工具也可以提供學生作為學習與反思的參考。學生可透過空間概念與建模歷程問題的回答，檢視自己的學習歷程，進而發現學習上的困難，乃至尋求更好的學習策略。此外，本研究針對部分的學生進行關於表徵使用與建模歷程的訪談；訪談者在探測學生概念理解的同時，也引導學生進行回溯性思考，回顧並檢視自己的學習歷程，以促進反思。. 三、開發分析學生建模能力的工具，以作為教師評量時的參考傳統的紙筆測驗較適合用於學生所持有之事實性知識(Factual Knowledge)的評估；而對學生的建模歷程與問題解決等程序性知識(Procedural Knowledge)則較無法精確偵測。本研究所發展的試題工具，除了探測學生的概念理解之外，尚可檢視學生在問題解. 11.

(23) 決、建構模型與多重表徵使用上的層次與適切性。因此當教師進行多重表徵融入建模教學後，這份試題工具可作為評量學習成就的參考。. 四、提供高中數學教師進行教學設計的參考有別於傳統數學課室中的教學活動，本研究發展了一套融入多重表徵的數學課程，透過實物、圖形、動畫、模擬等多重表徵，進行空間座標系的教學。教師可透過多重表徵的使用，讓學生接觸不同的表徵形式，並藉由對這些表徵其功能與意涵的理解，來學習空間中的平面與直線。此外，研究者在教材設計時，加入了建模歷程的階段指標，因此教師在教學時，可參考教材中相對應的建模歷程，在適當的時機引入並加以外顯化，以作為協助學生進行建模活動的參考。. 五、提供一套促進師生互動與概念理解的建模教學課程模式對教學的反思(Reflection)是教師改善並提升教學品質的重要活動之一，而在能夠有效地進行教學反思之前，必須先明確地了解學生在教學活動中的學習型態與表現，以及學生的認知學習過程。教師可透過本研究所提出的一套促進學生在數學課室中的學習表現與概念理解的師生互動機制，以分析教材的表徵與建模安排情況，並進行教學反思。此外，本研究所發展的、用以檢視並分析學生建模歷程的工具，亦可作為教師用來檢視學生建模歷程與表徵使用的情況。對於考慮在數學課室中進行行動研究的教師而言，應是一套具參考價值的教材、工具與準則。. 12.

(24) 第五節. 研究範圍. 基於前述的研究背景、目的與問題，本研究具有一定的研究範圍。由於研究具有特定的範圍，因此也勢必將有所限制，在此將本研究的範圍與限制列舉如下。. 一、研究對象本研究主要的研究對象為台北縣一所國立高中二年級的學生，考慮到不同的年齡、地區與背景之學生，在學習表現上可能會有所差異，因此本研究的結果不宜過度推論至其他對象。此外，由於本研究並非普查研究，參與的人數有限，因此不宜推論至大樣本的參與者；而學生的表現亦不宜過度詮釋或類化。. 二、概念範圍無論是教師的教學活動或學生的學習活動，本研究主要針對的概念主題為高級中學數學科當中的「空間中的平面與直線」單元，以及該單元中附屬的相關子概念，不宜過度推論至其他概念的教學與學習。且本研究所涉及的空間概念，主要根據教育部（2004）所提出的「高級中學課程綱要草案」當中的數學概念進行設計，因此亦不宜過度推論至其他不屬於該課程綱要的空間概念中。. 三、教學本研究的教學依照相關理論與參考文獻，結合課程單元主題進行設計，經過預試 (Pilot Test)之後進行正式教學。而無論是在課程設計、課程編排、教學情境、教學策略與學校政策等方面，均可能因人、時、地而異；因此本研究的教學設計與教學成果不宜被過度詮釋，亦不宜過度推論至其他教學活動中。. 13.

(25) 四、研究方法與工具本研究所採用的試題工具需要研究對象寫下他們建構模型與解題的歷程、想法等等，而這可能會受到學生的歸納、表達能力或書寫能力的影響，造成檢視學生學習歷程上的誤差。針對此限制，本研究另外針對研究對象進行訪談，以期能透過學生的口語表達，進一步探測詳細學習內容，並降低上項限制可能造成的誤差。然而研究所進行的訪談亦可能受到研究者與研究對象的陌生感與不信任，或受訪者有限的口語表達能力，而導致無法完全探測出受訪者的想法，此乃一般質性研究中共同且難以避免的限制。. 五、資料分析本研究從概念理解、概念改變、多重表徵與建模等四個面向來探討高中生的數學學習活動，因此不宜過度推論至其他研究面向上。由於目前尚未有大量透過科學教育觀點檢視數學概念學習的研究，因此本研究在所關注的議題與面向上應保持審慎的態度。此外，數學與科學在本質上的差異，也是本研究不宜過度推論的原因之一。. 14.

(26) 第貳章理論架構基於前述研究背景與目的，本章針對先前的研究與文獻進行回顧性的整理、探討與分析，以建立本研究的理論架構。本研究的理論架構主要涉及以下六個方向：第一節針對概念改變理論與心智模式的相關議題進行探討，主要從 Vosniadou (1994)、Vosniadou & Brewer (1992)、Vosniadou & Brewer (1994)與 Vosniadou & Ioannides (1998)等人的觀點出發，探討心智模式的特性與概念改變的機制。此外，研究者尚探討了先前關於空間概念學習的研究，找出一些學生在空間概念的學習上所出現的困難與挑戰，透過這些研究的結果與本研究的試測(Pilot Test)歸類出本研究所採用的七種心智模式。第二節針對模型與建模相關的文獻進行回顧，而其中又可分為數學與科學上的模型與建模，在本研究中，主要採取的觀點乃是 Gilbert & Boulter (2000)對模型的定義，以及 Halloun (2004)對建模歷程的觀點。第三節則以張志康和邱美虹（2009）所提出的建模能力分析指標為主要出發點，結合 Biggs (1999)所提出的答題層次與 Halloun (2004)所提出的建模歷程，探討學生在數學問題解決上可能的建模能力表現。第四節研究者以 Boulter & Buckley (2000)所提出的多重表徵觀點為基礎，探討表徵的功能，以及表徵方式對學習的影響，作為教材設計的參考。針對前四節的文獻回顧，在第五節中，研究者將科學教育理論與數學學習作聯結，探討透過科學教育理論來檢視數學學習的可行性與適切性。最後，在第六節中，研究者從數學學科知識的角度出發，整理了數學文本（教科書）對空間概念的描述。研究者將學生在「空間中的平面與直線」一章中所必需學到的主要概念進行分節與整理，進一步作為課程設計時的安排參考。. 15.

(27) 第一節. 概念改變與心智模式. 所謂「概念改變(Conceptual Change)」，乃是將某種型態的學習予以特徵化，在這種型態的學習當中，待學的新資訊以跟先前知識（通常來自生活經驗的基礎）衝突的形式出現。在這種情況下，先前知識必須被重新組織，也就是概念改變的發生。在過去二十年中，已有很多這種例子在其他領域被指出，舉例來說，Chi, Slotta & deLeeuw (1994) 指出，學生在學習「力(Force)」的科學概念時，其實與他們在日常生活中所觀測到的實體性質有所衝突。Vosniadou & Brewer (1994)則指出學生在學習太陽系的概念時，科學概念也跟地心說互相衝突。除了在科學領域之外，在數學中也是如此；例如學生要習得正確的分數概念，則必須先對自然數的先前概念進行根本的(Radical)改變(Hartnett & Gelman, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004)。. 概念改變是一種不同於其他學習方式的學習；它必須透過不同的機制以及不同的教學干預來達成。大多數的學習都只是增加(Addition)與豐富(Enrichment)的過程，然而概念改變卻無法單純透過這些過程達成。更進一步來說，有時候單純透過增加與豐富來學習概念，反而可能是造成另有概念(Alternative Conception)的主要原因。另有概念最常見的一種類型，就是由於將新資訊增加在不相容(Incompatible)的基礎上所造成的，因此在教學中，教師應該提醒學生避免單純使用累加的方式來學習這些概念。更具體地來說，培養學生後設認知的能力是很重要的，因為如此才能讓學生們檢視這些不同類型的學習型態，進而找出最有效的策略(Vosniadou, 2003)。. 一、概念改變理論許多學者均提出關於概念改變的理論，而本研究所採取的則是 Vosniadou 所提出的觀點。由於科學教育學者看到了科學史理論的改變與學生學習科學的類比關係，因此概念改變的管道從哲學與科學史被帶到科學教育中(Kuhn, 1970; Lakatos, 1970; Posner et al., 16.

(28) 1982)。在概念改變理論興起後，許多學者都將研究投注於這塊領域上，進而發現學生在許多物理、化學、生物與地球科學概念學習上的困難，以及可能的解決策略(Vosniadou, 1994, 2003; Ioannides & Vosniadou, 2001)。這些研究的結果顯示，學生在回答科學概念時普遍具有內在一致性(Internal Consistency)，且這種內在一致性顯示了狹窄且融貫 (Coherent)的初始解釋架構的存在。學習科學是一個緩慢且持續的過程，在這個過程中，學生通常不斷地添加新訊息到他們的初始解釋架構上，瓦解這些解釋架構的融貫性，並創造「合成模式(Synthetic Model)」(Vosniadou & Brewer, 1992)。. Vosniadou & Brewer (1994)將概念系統區分為架構理論(Framework Theory)與特殊理論(Specific Theory)兩部份。在 Vosniadou & Brewer (1994)的概念改變理論中，他們認為孩童的心智模式跟預設(Presupposition)有關，預設通常是跟實體有關的陳述，且預設又包含了認識論（解釋因果關係）與本體論（本質探討）兩方面，這個部份統稱為孩童的架構理論(Framework Theory)。這些預設會形成一種信念(Belief)，而當信念受到了在特定文化情境下觀察的影響後，便會形成心智模式(Mental Model)，這部份則統稱為孩童的特定理論(Specific Theory)。心智模式可分為三種：初始（基於日常生活）、科學（基於科學知識）與綜合（基於以上兩種）；當日常生活經驗與所學科學知識同時影響時，孩童就可能產生綜合心智模式。此外，Vosniadou & Ioannides (1998)針對概念改變的本質與機制提出解釋，並認為概念改變具有以下兩種不同的形式：（一）豐富化(Enrichment) 豐富化是較簡單的概念改變形式，即單純地把新的概念加入原有的概念系統內。當新知識的內容與舊有概念系統內容一致時，學生可以很快地接受新的概念。（二）修正(Revision) 所謂修正是當新資訊與原有概念系統中的信念或預設不一致時，所必須發生的轉變。這類型的概念改變必須部分重建先前的架構理論，因而比單純的豐富化來得難以達成。 17.

(29) 從實際的例子來看，Vosniadou & Brewer (1992)在針對孩童對地球形狀的研究中認為，孩童由於持有「沒有被支撐的物體會往下掉落」的預設，因此對地球形狀的認知會與科學相違背。此外，Vosniadou & Brewer (1994)在針對孩童對日夜循環心智模式的研究中又指出，兒童對地球（與太陽）形狀的概念，會影響到他們對日夜循環的心智模式。換句話說，在兒童尚未建立球體地球的概念之前，他們無法對日夜循環的現象作出正確的解釋；而唯有當學生了解地球是球體後，才能建立正確的日夜循環概念。Vosniadou 的觀點意味著，概念學習是具有階層性(Hierarchy)的；換句話說，當學生無法正確地建立起一個概念時，牽涉到此概念的後續概念學習可能將會遭遇到更大的困難。. 二、心智模式根據 Vosniadou & Brewer (1994)的觀點，學生所持有的心智模式跟他們的概念學習與概念改變息息相關。那麼究竟心智模式指的是什麼呢？心智模式在概念學習與概念改變上扮演什麼角色呢？各學者對心智模式的解釋並不盡然相同，Vosniadou (1994)指出，心智模式指的是一種在認知運作中所產生的、特別的心智表徵或類比表徵。Vosniadou & Brewer (1992)認為心智模式的產生是為了回答並解決問題，以進行互動處理的一種動態結構，並受到個體所持有的概念架構的影響與限制。Johnson-Laird (1983, 1989)認為，心智模式代表內心對現象或事物狀態的描繪；可讓個體產生推論、預測與解釋現象、決定並控制行動的進行，並產生對新現象的經驗。Norman (1983)則認為心智模式是個人內在對物件和想法的描述；它是因人而異的、且是透過與對應目標系統的交互作用而產生的。本研究中所提及的心智模式，主要乃是參考 Vosniadou (1994)與 Vosniadou & Brewer (1992)等學者的觀點，指的是學生對概念組成成分之間的聯結、因果關係與推論關係的動態結構，這些結構主要透過訪談與施測被探測。. 那麼，心智模式有什麼性質與特性呢？Sutton (1992)認為心智模式提供連結的意. 18.

(30) 象，使得建模成為有效的思考和學習過程；但這些特徵同時也使得心智模式更加地個人化、動態，且難以觸接。Chi & Roscoe (2002)將心智模式分為融貫的(Coherent)心智模式與片段的(Fragmented)心智模式。所謂融貫的心智模式指的是該心智模式中不具有彼此矛盾、衝突或不相容的概念聯結。融貫的心智模式又可分為正確的(Correct)心智模式與有瑕疵的(Flawed)心智模式；學生持有融貫的心智模式並不代表他必然持有正確的科學概念，而有瑕疵的心智模式指的正是這種雖融貫卻不具有正確概念理解的心智模式。此外，當學生面對包含同一個概念的不同問題時，均能採取同樣的心智模式觀點來回答此概念，則稱此學生在該概念上的心智模式具有內在一致性(Internal Consistency)。. 研究者透過回顧先前對空間概念學習的研究，找出學生所持有之另有概念的類型，並根據這些另有概念類型歸納出學生在空間概念上常見的心智模式，以作為後續資料分析之用。由於在目前的數學學習相關研究中，很少有透過科學概念學習理論觀點，分析學生心智模式與概念改變的研究；因此研究者除了將先前的文獻納入歸類心智模式的考量之外，亦將預試(Pilot Test)的結果用在心智模式種類的判別中。. 學生在學習空間概念之前，所持有的概念觀點是多元的。李虹霈（2005）指出，十至十二年級的學生，在空間幾何的概念理解上有顯著的差異。蘇祐琮（2004）則指出，透過平面呈現三度空間結構，學生不容易了解空間的關係；而透過視覺化立體圖像的融入，則可有效輔助學生的學習。此外，透過 GSP 與 Cabri3D 等視覺化工具設計教材，可促進學生對立體概念的理解（李吉彬，2006）。在先前的文獻中可發現，學生對空間概念理解的差異有一部分來自其建構空間結構的方式。根據這個特性，研究者將學生在空間概念中所持有的心智模式分為以下七種。（一）科學模式：持有科學模式的學生，對空間概念的理解達到科學的觀點，換句話說即具有正確且良好的理解。（二）斜角模式：斜角模式就好比是類科學模式，持有斜角模式的學生，在空間中的物件如點、直線、平面的運算是沒有問題的。這類型的學生僅 19.

(31) 在建構空間坐標軸時會忽略「坐標軸必須兩兩垂直」這個特性。雖然從數學上來看，即使使用斜角坐標也可以表示出空間中的任何一個點，但這會使得在解決現實中某些問題時（例如透過空間概念測量距離）發生誤差，因此還是歸類為另有模式。（三）有界模式：學生認為空間或直線、平面不是無限延伸的。這類型的學生有時會在答題中出現矛盾（時為有界，時為無界，或須看情境而定），但因為有界的特徵容易判別，故沒有分類上的困難。（四）符號模式：學生高度依賴符號來回答問題或解決問題。這類型的學生經常因為過度依賴符號表徵，使得其在將實際情境數學化之後，僅能解決數學學科上的問題，而無法與現實作連結或呼應。（五）實體模式：學生需要透過實體進行輔助，才能完整建立空間坐標系及其中的物件。這類學生對於無法用實體表達的抽象概念理解較差（例如空間中的向量），且會設法找出可供參考的實體坐標軸（例如牆角、壁緣等）以進行模型建構。（六）二維延伸模式：學生直接將二維中的情況推演，例如加一條坐標軸、或在方程式中加一個變數等。不適當的推論經常是造成此模式的學生無法正確習得概念的主因。（七）其他模式：被歸類到此處的學生有兩種類型，首先是持有合成模式的學生。由於持有合成模式的學生並不多，因此當學生同時持有上述兩種以上的心智模式時，則被歸類到其他。另一類則是沒有回答或無法判定是何種心智模式的學生。研究者若在施測與訪談後仍無法判定學生的心智模式，則歸類為此項。在本研究中，研究者針對上述七種心智模式加以個別分析，並統計持有各種心智模式的學生人數，透過學生在概念試題與半結構式訪談的表現，分析並提煉其認知特徵，並比較在不同的單元與不同的教學策略下，學生所持有的心智模式差異。. 20.

(32) 第二節. 模型與建模. 為了區別數學教育與科學教育所談論的模型，在本節中，研究者必要時會以「數學模型」、「數學建模」與「科學模型」、「科學建模」來區分模型與建模在數學教育與科學教育中的不同；然而在一般情況下的使用，通常是不會如此刻意地區分的。本節首先從數學的觀點探討模型與建模的本質，接著再引入科學教育的觀點，並比較兩者間的異同，進而提出在本文中所採取的觀點。. 一、數學模型傳統上，數學與科學被視為兩門本質上不相同的領域(Kuhn, 1970)；而當談到模型與建模時，數學教育與科學教育學者也給了這兩個名詞不同的理解意義與詮釋。一般而言，數學教育學者習慣將 Model 稱為「模式」而非「模型」，然而也有部分的學者仍將 Mathematical Model 稱為數學模型。那麼，什麼是數學模型呢？從數學教育的觀點來看， Niss, Blum & Galbraith (2007)指出，所謂「模型(Model)」指的是針對現實情境中的問題，所對應到的數學形式表徵（例如公式、圖形或演算法）。此處要注意的是，數學本質在模型當中被視為是一個不可或缺的元素，亦即當一個表徵缺乏外顯或內隱的數學表徵時，就不再是一個數學模型。舉例來說，Niss, Blum & Galbraith (2007)即指出，諸如實體物件(Physical Objects)、心智模式(Mental Models)與模型例證(Models as Instantiations) 等，均不在數學教育中對模型的討論範圍內。. 楊凱琳和林福來（2006）指出，模式(Model)是一個有機的系統，這個系統包含了被操作的元素、操作規則、以及元素或規則間的相關性；透過這個系統，我們可以有效地描述、解釋或預測某些物件的行為。從數學教育的觀點來看，世界可被分割成兩個部份，即數學內 (Mathematics) 與數學外 (Extra-Mathematics) 的世界 (Niss, Blum & Galbraith, 2007)；在數學內世界的物件即被稱為數學物件。此處的物件即為被表徵的對象，物件 21.

(33) 的來源大致可分為數學與非數學兩種，而這之間的區隔則可從表徵的方式與內容來區分（楊凱琳和林福來，2006）。如果表徵方式涉及到數學形式或數學符號，則可稱此物件為數學物件；倘若表徵的方式不屬於數學形式或符號（例如文字：「一個收斂的數列」），則必須判斷表徵的內容。在上例中，「一個收斂的數列」雖然是言語表徵，但內容仍跟數列有關，因此被視為是一個屬於數學內世界的物件，換言之，它是一個數學物件。而在數學上所謂的模型，即是特定的元素根據特定的操弄規則，與數學物件相互作用而產生的系統（例如兩個函數之間的加減乘除），具有預測、解釋與描述的功能。. 二、數學建模數學建模(Mathematical Modeling)在現今的數學教育相關領域中，一直是個熱門的研究議題；舉例來說，Niss (2002)將數學建模列為八項基本的數學素養能力(Mathematical Competency)之一。Niss, Blum & Galbraith (2007)指出，建模的目的是為了理解或抓取 (Tackle)現實生活中的問題的某些環節(Segment)；此處所指的問題不僅是實務上的問題，也包含了智識上(Intellectual)的問題。Lesh et al. (2003)指出，一個完整的建模歷程，包含了模型啟動 (Model Eliciting) 、模型探究 (Model Exploring) 與模型調適 (Model Adapting)。其中模型啟動主要在初始階段引起建模者的思考與想法，模型探究則為中期數學表徵形式的引入與使用，而模型調適則強調模型後期的整合與應用。. Lesh & Lehrer (2003)指出，許多研究將模型與建模的觀點視為是一個重要的概念架構（引自楊凱琳和林福來，2006）。Gravemeijer (1994)則將數學建模的產物（即所建構的數學模型）分為以下幾類：情境模型(Situation Model)、特定模型(Model of)、一般化模型(Model for)與形式化模型(Formal Model)。Verschaffel (2002)認為，建模應透過一套融貫的課程發展，在基礎學習階段就讓學生認識它在適當的數學情境中出現的基要性。 Greer & Verschaffel (2007)則根據活動性質的不同，將建模活動分為以下三個層次：（一）內隱建模(Implicit Modeling). 22.

(34) 學生無意中經歷了不自覺的建模活動。學生只要具備「常規型專業知識 (Routine Expertise)」即可達成內隱建模。常規型專業知識被定義為：在尚未深入理解的情況下，可以快速且精確地完成學校的數學習題(Hatano, 2003)。學生很容易將此常規型專業知識發揮到極致，甚至因此產生 deBock et al. (2007)所指出的「線性幻影」現象。（二）外顯建模(Explicit Modeling) 學生意識或實際體驗到自己正在進行建模的歷程。deBock et al. (2007) 認為外顯建模需要「適應型專業知識(Adaptive Expertise)」，才符合建模的本質。Houston (2007)認為建模是數學活動中最擬真的部份，且通常是一種團體的活動。Verschaffel, Greer & deCorte (2000)也指出，模型往往需要經由溝通、辯論、選擇等社會形式決定。（三）批判性建模(Critical Modeling) 建模在數學、科學、社會等領域中扮演的角色，被建模者批判性地檢驗。 Skovsmose (2000)認為當某部份的現實世界被建模時，這個歷程也影響到了現實世界本身被如何賦予意義，因此大部分的人都是在「消費」數學建模的產品。Blomhoj & Jensen (2006)則強調對建模各歷程之批判性態度的重要性，此外他們也指出數學能力應包括對數學應用、歷史發展與數學本質的取決性理解。. 另一方面，我們亦可從教學與建模能力的觀點來探討數學建模的歷程。PISA 定義數學素養為「辨識與理解數學在世界上扮演的角色，對未來的生活作出妥善的數學判斷，並成為一個具有建設性與反思能力的人民的個別能力」(OECD, 1999)。Weinert (2001) 將「能力(Competence)」定義為「用來解決問題的意願、批判性的行為、及所擁有或可學習之能力與技巧的總和」。Henning & Keune (2007)指出，目前在數學教育界中，建模教學與學習至少有下列兩種方向：（一）成分描述(Component Description) 23.

(35) 所謂成分描述乃是針對學生所必備的建模能力、技巧與態度進行描述。 Maab (2004)認為建模能力包含對建模歷程重要的能力、技巧、態度與調度的意願（引自 Henning & Keune, 2007）。Blum (2002)則將建模能力定義為組織結構的能力、數學化(Mathematization)的能力、闡釋與解決問題的能力、處理數學模型的能力、效化模型的能力、批判性地分析與評鑑模型的能力、以及自我調節建模歷程的能力。（二）層次描述(Level Description) 所謂層次描述，乃是針對學生的建模歷程進行探討。Henning & Keune (2007)指出，學生的能力是無法直接被觀察出的，必須透過觀察學生解決問題的行為來判定。Henning & Keune (2007)同時認為建模活動具有三個面向，即建模能力的層次、複雜性（如情境、方法、技巧）的層次、以及教育上的層次。其中建模能力的層次包括： 1. 層次一（辨識與理解建模）學生具有辨識與描述建模歷程的能力，並能分辨與定位建模歷程的狀態。 2. 層次二（獨立建模）學生具有分析與結構問題及抽象數量的能力，接納不同的觀點、建立數學模型、處理模型並闡釋模型使用的結果與陳述、效化模型；此階段的學生已可在各情境中獨立解決問題。 3. 層次三（對建模的後設反思）學生可以批判性分析建模歷程、將評估模型的準則公式化、反思建模目的、反思模型在數學上的應用。第三層次的學生已經完整地理解的建模概念，且已經具備批判性反思與辨識重要關係的能力；此外並能理解建模在不同學科領域中扮演的角色。透過上述關於數學建模的文獻可以發現，在數學教育中所談論的數學建模著重於將學生的建模能力或技巧分層描述；然而這樣的分層描述多半只注重層級上的差異，而並未再 24.

(36) 將整個建模活動或這些層次進行分解，因此對建模活動的詮釋仍然趨向一個比較巨觀的面向，對於更詳細的建模歷程則較少描述。. 三、科學模型在科學教育中，無論是教師或學生，往往習慣透過特定或較熟悉的表徵形式來理解或詮釋較抽象或難以理解的概念與想法，而「模型」即是一種介於來源與目標之間的表徵；透過這些模型或表徵，我們得以理解、描述或詮釋目標(Duit & Glynn, 1996; Gilbert, 1993)。Gilbert & Boulter (2000)認為模型通常被視為是一個物件、事件、想法或現象的表徵。Gilbert, Boulter & Elmer (2000)曾根據模型的本體地位，依序區分出學校課室中常見的八種模型：（一）心智模型(Mental Model)：即心智模式，是一個由個體與外界互動所形成的、高度個人化且內隱的認知表徵。（二）表達模型(Expressed Model)：由個人或小組的公眾領域（通常是在與其他人的互動過程中）透過一個或更多表徵的使用所產生的模型。（三）一致模型(Consensus Model)：在經過討論與實驗之後，不同的小組均認同所呈現的表達模型，因此形成一個一致模型。（四）歷史模型(Historical Model)：上述的一致的模型是在特殊的歷史情境產生，並且隨後被取代，因此算是一種歷史模型。（五）課程模型(Curricular Model)：若將歷史或科學模型加以設計，並納入正式課程，經過簡化以後，即成為一個課程模型。（六）教學模型(Teaching Model)：在一般的情境下，產生一致模型、歷史模型和課程模型是非常困難的；而教學模型即是為了促進這些歷程，藉由教師或學生來發展的模型。（七）混合模型(Hybrid Model)：藉由合併每個不同模型的特徵，組成一個具有內在一致性的整理，而使用在課程與課堂教學當中的模型。. 25.

(37) （八）教育模型(Pedagogy Model)：教師在課堂中使用的模型，其中包括科學本質、科學教學本質與科學學習本質等三方面的考量。. Harrison & Treagust (2000)則對模型進行了以下的分類：科學性與與教學性模型、用來建立概念知識的教學類比模型、描述多重概念、過程、實體與理論的個人化模型（引自邱美虹，2007）。而這些分類又可細分為十種模型，包括比例模型、教學類比模型、圖像或符號模型、數學模型、理論模型、地圖、圖形與表格、概念過程模型、模擬、心智模型，以及綜合模型。陳瑞麟（2004）則將模型依據科學哲學的觀點與存有的狀態，分為以下六類：實物模型、圖像模型、概念模型、數學模型、邏輯模型與電腦模型。. 那麼，模型在科學上有哪些功能呢？又怎樣才算是一個好的模型呢？林靜雯和邱美虹（2007）指出模型在科學上有七個功能，即簡化複雜現象，使之易於思考；提供一個更容易理解的方式來了解理論；給予理論的預測能力一個結構化與機械化的向度；強化理論的預測能力；提供理論發展的方式；提供相關理論深刻理解與想像的媒介；以及提供實驗與觀察的理論推導關係(Leatherdale, 1974；引自 Gilbert, 1993)。此外，Mayer (1989) 透過實徵研究與分析，指出一個好的模型具有下列七個標準（引自周金城，2007）：（一）完整：模型必須包含目標系統中的基本要素。（二）簡明：模型必須提供給學習者適當且簡要的細節。（三）清晰：模型必須讓學習者能夠清楚地操作。（四）具體：模型必須以適當的形式呈現給學習者。（五）概念化：模型必須能清楚地解釋目標系統是如何運作的。（六）正確：模型的主要部份能夠和目標系統或真實世界相對應。（七）審慎：模型能以學習者的表達與組織方式被傳遞。. 四、科學建模 26.

(38) 在探討建模之前，我們先來看學生對模型的認識與理解觀點。Grosslight et al. (1991) 透過實徵研究，指出學生對模型的認識依序可分為以下三個層次：（一）層次一：模型與實體之間有一比一的相對應關係，是真實物體的複製品；此外，學生認為模型是正確的，不會去尋找模型的形式或目的。（二）層次二：學生專注於實體的構成元素，仍相信模型保持了真實世界的物體或事件的形式，而不是想法的表徵；模型的主要目的是作為溝通的工具，而不是探索想法。（三）層次三：學生了解模型的使用是用來發展和檢驗特定的目標，可以是抽象的想法，而不僅是實體的描述。此外，模型是多重的思考工具，且具有一定程度的解釋與預測能力。. 根據上述研究結果，Grosslight et al. (1991)參考學生對模型的理解，來判斷他們的建模能力。該研究的結果顯示，學生對模型的認識與理解多半停留在前兩個層次；這意味著學生並不了解模型的本質，及其被建構、用以檢驗與應用的形式。Ingham & Gilbert (1991)的觀點呼應了 Grosslight (1991)的研究結果，認為類比模型的建構是一種較進階的過程技能，而發展建模能力則是培養科學素養的一部分；Hestenes (1995)也認為建模是一個相當複雜的歷程，包括許多活動與技能。Justi & Gilbert (2002)的研究顯示，不僅是學生，甚至有些中學與大學教師，對模型與建模歷程依然沒有符合科學觀點的理解。. Schwarz & White (2005)認為建模的相關知識應包括模型的本質(Nature of Models)、建模過程的本質(Nature of Process of Modeling)、模型的評鑑(Evaluation of Models)、以及模型使用(Utility)的目的。而 Halloun (1996)則將建模分為五個歷程：模型選擇(Model Selection)、模型建構(Model Construction)、模型效化(Model Validation)、模型分析(Model Analysis)與模型調度(Model Deployment)。後來 Halloun (2004)與邱美虹（2007）曾針對此歷程架構作後續修正，因而又增加模型應用(Model Application)與模型重建(Model Reconstruction)兩個歷程要素。這些建模歷程要素經過整理與重新排列後，依序剩下模 27.

(39) 型選擇、模型建構、模型效化、模型應用、模型調度與模型重建等六個建模歷程要素。. Saari (2003)指出，建模是一個相當抽象的歷程，它不僅是簡單地對實體的複製，也包括建構抽象或無法觀察到的物體或事件。由於模型的發展與應用是建模過程中很重要的活動，因此有必要設計建模歷程教學，促進學生更高層次的理解，並使學生具備更高階的抽象思考能力，以讓學生明白建模的本質與歷程(Hestenes, 1996)。邱美虹（2009）也指出，在缺乏外顯的建模歷程教學的情況下，建模的知識難以從教師身上轉移到學生端，因而無法確保學生的建模能力有所提升。此外，鍾曉蘭、江文瑋、劉俊庚和邱美虹（2007）透過實徵研究發現，建模教學對學生建立正確的科學模型有所幫助；而未接受建模教學的學生，則容易在教學結束後持有混合的心智模式。基於上述文獻，研究者設計了一套針對空間概念的建模課程；在該課程中，研究者引入了 Halloun (2004)與邱美虹（2007）的觀點，將建模歷程視為是不可或缺的元素，並在教學中加以外顯化。. 28.