學生關於「多項式的除法原理」之核心的概念心像 - 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究

本研究欲探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，前面的二至六 節皆在探討學生對於「多項式的除法原理之『相關』概念」，而本節將聚焦在 學生對於「多項式的除法原理之『核心』的概念心像」。

學生在學完「多項式的除法原理」概念後，大部分的學生都會形成有關

「多項式的除法原理」之概念，其中有些學生形成的概念與教材相近，而有些學生形成的概念與教材有很大的落差，不論學生形成的概念為何，學生會有屬於自己對「多項式的除法原理」之概念心像。

概念的名稱與概念本身是密不可分，所以本節將探討學生對於「多項式的 除法原理」之名稱與其內涵之連結，瞭解學生在面對「多項式的除法原理」這 一個名稱的刺激下，腦中最先想到的畫面會是什麼?會浮現出什麼樣貌的概念心 像呢?

《施測題目》

1.

^{對您而言，什麼是「}

^{多項式的除法原理}

^」?

(請將所有知道的、想到的盡量表達出來，就是您的最佳答案呦 )

《題目分析》

問卷第

1

題為開放性問題，並獨立於其他題先行施測。先行施測的主要原因是避免學生受到其他題目的提示而影響其作答內容，而第

1

^{題的題目設計，}

是要探究學生對於「多項式的除法原理」這一個名稱的刺激下，腦中最先浮現出的概念心像為何?

《施測結果》

因為問卷第

1

題為開放性問題，所以學生的答案是包羅萬象。為了讓報導 更具有代表性的結果，【表

4-7-1

】中的分類並非完全獨立，有些學生的回答 可能同時會出現在不同的分類中，所以加總的人數會超過有效樣本的

156

6

^人，

3.8%

^）。

【註：第

(1)

(5)

項按照人數多到少依序排列。】

▼【表

4-7-1

】學生對於「多項式的除法原理」最先浮現出的概念心像之結果

 𝐴 = 𝐵𝐶 + 𝐷

(3)

^{被除式與餘式：}

 就是數學的一種運算原理，可以藉此獲得餘式定理的解釋

 除式 ≠ 0

 一個數學公式

 很多方程式 + −×÷

 多項式無唯一解

 餘式 < 除式

 餘式 ≤ 除式

 數學很難，不是很會，老師好像有教過

 很無聊，沒有用，以後出去不會用到，對我未來沒有幫助

 只會在考試用到的東西，在生活中絕對用不到的工具

7

^空 ^白 ^或 ^不 ^知 ^道

6

^人

3 . 8 %

將第

1

題的施測結果依照各類別的編碼與統計後，得到中高程度和中程度的學生面對「多項式的除法原理」名稱之刺激下最先浮現出的概念心像之人數 與百分比，如【表

4-7-2

】。而關於中高程度和中程度的學生面對「多項式的 除法原理」名稱之刺激下最先浮現出的概念心像之結果以長條圖呈現，如【圖

4-7-2

】。

▼【表

4-7-2

4 (5.1%) 8 (10.4%) 12 (7.7%)

其他

13 (16.5%) 20 (26.0%) 33 (21.2%)

空白或不知道

6 (7.6%) 0 (0%) 6 (3.8%)

註：

⚫ 為了讓報導更具有代表性的結果，【表

4-7-2

】中的分類並非完全獨立，有 些學生的回答可能同時會出現在不同的分類中，所以加起來的總人數會超 過有效樣本的

156

^人。

⚫ 表格中「底色加深」的為中高程度和中程度學生在某項分類中的「百分比 差距超過

10%」。

學校類型分類內容

▼【圖

4-7-2

】中高程度和中程度的學生對於「多項式的除法原理」名稱之刺

2.

^{【發現一】有}

75

^{位學生(其中}

32

^{位中高程度，}

43

^{位中程度)知道並寫出}

「多項式的除法原理」是由「

4

個式（被除式、除式、商式、餘式）」所組成的，其中主要有兩種回答形式，分別為：「文字、符號」和「長除法」，其 中以「文字、符號」呈現的學生，大多都寫出「恆等式」的形式，如：

「被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」、「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」，但也發現 在某些學生的概念心像中，對於「被除式 ÷ 除式 = 商式 + 餘式」或

「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」都比「恆等式」的形式還要深刻許多。

而用「長除法」呈現的學生，是以自己舉的例子去說明「被除式、除 式、商式和餘式」各式間的關係，如【圖

4-7-1

^{】中高程度}

56

^號同學一

樣，最後會轉成「被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式」的形式，雖然並非以恆等 式的形式呈現，但透過學生程序性的運算過程中，可以清楚的知道這些學生是知道除到哪一步該停，對於「餘式的限制條件」是清楚的。

而能喚起「各式間的關係」此概念心像的學生，「中程度」學校的比例

（

43

^人，

55.8%

^{）比中高程度（}

32

^人，

40.5%

^）高出

15.3%

^。

3.

【發現二】在「次數 degree」的部分，兩所不同程度學校的學生出現的比 例是差不多的（中高

22.8%

^，中

20.8%

），但中高程度的學生較多人寫到關 於「餘式的限制條件」，如：餘式的次數 < 除式的次數，而中程度的學生不 僅較少提到「餘式的次數 < 除式的次數」，而且主要是寫「餘式 < 除式」或

「餘式 ≤ 除式」，因這兩種寫法中並未提到「次數」或「degree」，故將「餘 式 < 除式」和「餘式 ≤ 除式」放在「其他」項目中。

關於其他各式間的次數關係，如：「除式的次數 < 被除式的次數；商式的次數 < 除式的次數；餘式的次數 < 商式的次數；被除式的次數是各式中

最大的」等概念心像的出現，主要來自於「中程度」學校的學生。

4.

【發現三】在「多項式除法原理的用途或限制」的部分，學生普遍認為長除 法的程序性運算比綜合除法慢，且較容易計算錯誤，這也是學生為什麼提到

「多項式的除法原理」此概念名稱的刺激下，有可能會喚醒「綜合除法」的原因之一。

也是有同學能發現恆等式「被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」是很重要的式子，因為往後學到的餘式定理和因式定理都是由結構性的「恆等式」為 出發點，因此在學生的概念心像中，對於「多項式的除法原理、餘式定理 和因式定理」彼此間的概念是有連貫性的，所以才有學生會認為「多項式 的除法原理」可以找到餘式和因式。

而能喚起「多項式除法原理的用途或限制」此概念心像的學生，「中高 程度」學校的比例（

14

^人，

17.7%

^{）比中程度（}

5

^人，

6.5%

^）高出

11.2%

。中高程度的學生比較能夠發現多項式的除法原理之「用途」，也較能夠將此概念與餘式定理和因式定理做連結，而中程度的學生普遍認為綜合除法比多項式的除法原理更簡單、方便與快速。

5.

【發現四】學生面對「多項式的除法原理」這一個概念名稱的刺激下，會先 聯想到「多項式」，對他們來說，多項式有「很多項和很多 𝒙」的意思，而 且多項式中一定要有未知數 𝑥，這也就是為什麼約

5

^{成的學生會在問卷第}

3

題的選項

(1)

(3)

同時認為「−5

、

₀

、

5 都不是 𝑥 的多項式」之原因，因為 在學生的心像和經驗中，會認為「多項式一定要有未知數 𝒙」，可能受到多 項式的「名稱」之影響，或受到常見的多項式中有出現變數「𝒙」的既定印 象。

6.

【發現五】雖然喚醒「一次因式檢驗法」、「牛頓插值法」或「虛根成對定 理」等相關內容的學生人數不多，整體來說，算是比較不核心的概念心像，

但對浮現這些概念心像的學生來說，表示他們對一次因式檢驗法、牛頓插值法或虛根成對定理等是特別有感覺的，我們不應該忽視這些概念心像。

7.

【發現六】有部分同學寫的是對於「多項式的除法原理」此概念名稱之態度 或價值觀，屬於情意面，雖然情意面不會與概念心像一併討論，且情意面也不是本研究欲探討的主題，但是可以知道學生對於此概念的印象都是很難、

很討厭，甚至有學生認為這個對人生沒有實質幫助，只是為了考試而學的內容。

8.

【發現七】關於兩所不同程度的學生對於「多項式的除法原理」這一個概念 名稱的刺激下，「中高程度」的學生喚醒此概念的概念心像較符合概念定 義，而「中程度」的學生雖然浮現的概念心像較不符合概念定義，但是在填 答意願方面則較踴躍，大多是用較淺顯易懂的文字來呈現他們的概念心像，

其中不少學生能喚醒

2

4

項不同類別的概念心像。

第伍章結論與建議

本研究之目的是在探討高一學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。

本章將對研究結果進行論述，並對往後教學與後續研究提出建議。

在文檔中高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 167-179)