與「長除法」相關之概念

本研究欲探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，在前面的節次 中，其實能利用多項式除法原理的「結構性」正確判斷題目的學生不到

5

^成，

即無法充分且善加使用「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)，其 中餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」此概念來解題。另外，也有學生會將商式 的次數與餘式的次數比大小關係，而有些則是無法將多項式的除法原理恆等式

「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」延伸成其他等式，甚至有學生會認為

「被除式 = 除式 × 商式 ⋯ 餘式；被除式 ÷ 除式 = 商式 + 餘式；

被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」是三個可互通的等式。若對於多項式除法原理的

「結構性」之概念心像符合概念定義的人數不多，那會影響「長除法的程序 性」嗎?

我們在多項式除法 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥)，可以使用長除法來得到商式和餘式，透過 長除法的運算思維，可以瞭解學生是否知道除到哪裡才該停，如此一來可判斷 學生能否將長除法的程序性運算經驗與結構性的「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式 次數」之思維做一個連結。此外，如果學生知道長除法的運算思維，是否也能 將長除法的運思連結到「多項式的除法原理恆等式」呢?

根據研究目的，將施測的問卷進行分析，探究高一學生對於「長除法」的 概念心像。在這個主題下，分成下列

2

^{個欲探討的問題：}

A.

在學生的概念心像中，會如何將多項式的除法連結到「長除法的運思」呢?

B.

在學生的概念心像中，會如何將長除法的運思連結到「恆等式」呢?

Question 6-1

^{（對照問卷第}

12

^、

13

^題）

在學生的概念心像中，會如何將多項式的除法連結到「長除法的運思」呢?

在學生的數學學習經驗中，都曾使用過長除法去計算整數除法和多項式除 法，對於學生來說，長除法運算是熟悉的，因此在教學現場，有些老師會以

「長除法的程序性運算思維」來連結結構性的「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次 數」之思維。

若學生對於多項式的除法原理之「結構性」不清楚時，是否因為沒有將程 序性的「長除法」運思連結到結構性的「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」

呢?還是，其實在長除法的運思就出現問題呢?

因此，搭配問卷第

12

^、

13

題，探討學生在「長除法」的程序性過程中，

具備哪些概念心像。

《施測題目》

◆

^問卷第

12

^題：

12.

利用長除法求下列關於「

𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟑

+ 𝟐𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟐 除以 𝒙 + 𝟏

^」

的問題。

⚫ 長除法過程：

⚫ 商式 𝒒(𝒙) =

^。

⚫ 餘式 𝒓(𝒙) =

^。

⚫ 「除法原理」表示：𝒇(𝒙) =

^。

◆

^問卷第

13

^題：

13.

^{小俊利用長除法計算「}

多項式 𝒇(𝒙) 除以 𝟒𝒙 + 𝟐

^{」的步驟如下：}

(1)

上面長除法是否完成?(備註：如果沒有，請完成。)



完成



^未完成

(2)

^{請用「除法原理}

」

表示：

𝒇(𝒙) =

^。

《題目分析》

問卷第

12

^、

13(1)

題在探討「長除法的程序性」，透過長除法的運思，不僅

可以瞭解學生是否知道除到哪裡該停，也可判斷學生能否將長除法的程序性運 算經驗與結構性的「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」之思維做一個連結。

問卷第

12

題，先讓學生實際計算基本的多項式除法，在「已知被除式 𝑓(𝑥) 為 𝑥³+ 2𝑥²+ 2𝑥 + 2 ，除式 𝑔(𝑥) 為𝑥 + 1」，透過長除法的運算，得出商 式和餘式分別是多少，目的是了解學生能否除到「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式 次數」即可。

𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 2，且目前的餘式 𝑟(𝑥) = −2𝑥 − 3」，瞭解學生認為當除式為一次

《概念心像分析》

1.

^在

156

^{位學生當中，有}

128

^{位學生(其中}

71

^{位中高程度，}

57

^{位中程度)}

在第

12

^、

13

題知道除到哪裡該停，有符合「餘式 = 𝟎 或餘式次數 < 除式 次數」，這類學生佔總人數的

82.1

%。顯示不論是「給定被除式和除式，

求商式和餘式」，或是「沒給被除式，但給定除式 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 2，而判斷 餘式 𝑟(𝑥) 是否可以為 − 2𝑥 − 3」，這

128

位學生在解題時，都能連結到 多項式除法原理的結構性「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。關於長除 法的運算中，有連結到「餘式 = 𝟎 或餘式次數 < 除式次數」此概念的學 生中，「中高程度」比中程度高出

15.9%

，顯示兩所不同程度學校的學生 在此概念是有明顯的差別。

2.

^問卷第

12

^、

13

題都是在看學生對於「長除法」的運算思維，不僅使用的 概念是一樣，且除式 𝒈(𝒙) 都設定為一次多項式，但餘式回答的正確比例 有明顯的差別（第

12

^題：

96.2%

^，第

13

^題：

82.1%

^{），表示學生對於}

「給定被除式和除式，直接求商式和餘式」是非常熟悉且擅長，知道除到 哪一步就該停。相對的，學生對於「沒給被除式 𝑓(𝑥) 的形式，但給定除 式 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 2，而判斷餘式 𝑟(𝑥) 是否可以為 − 2𝑥 − 3」就沒有這麼擅 長，此時較多人無法連結到多項式除法原理的結構性「餘式 = 0 或餘式次 數 < 除式次數」。

Question 6-2

^{（對照問卷第}

12

^、

13

^題）

在學生的概念心像中，會如何將長除法的運思連結到「恆等式」呢?

在

Question 6-1

的研究結果與發現，可以知道有

82.1%

^{的學生不論是}

「給定被除式和除式，求商式和餘式」，或是「沒給被除式，但給定除式 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 2，而判斷餘式 𝑟(𝑥) 是否可以為 − 2𝑥 − 3」，都能連結到多項式 除法原理的結構性「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。

約

8

^成

2

的學生對於「長除法的程序性」之概念心像是符合概念定義且穩 定，那麼是否可以將長除法的程序性運思連結到「多項式的除法原理恆等式」

呢?

《施測題目》

◆

^問卷第

12

^題：

12.

利用長除法求下列關於「

𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟑

+ 𝟐𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟐 除以 𝒙 + 𝟏

^」

的問題。

⚫ 長除法過程：

⚫ 商式 𝒒(𝒙) =

^。

⚫ 餘式 𝒓(𝒙) =

^。

⚫ 「除法原理」表示：𝒇(𝒙) =

^。

◆

^問卷第

13

^題：

13.

^{小俊利用長除法計算「}

多項式 𝒇(𝒙) 除以 𝟒𝒙 + 𝟐

^{」的步驟如下：}

(1)

上面長除法是否完成?(備註：如果沒有，請完成。)



完成



^未完成

(2)

^{請用「除法原理}

」

表示：

𝒇(𝒙) =

^。

《題目分析》

在

Question 6-1

^{的研究結果與發現，約}

8

^成

2

的學生對於「長除法的程 序性」之概念心像是符合概念定義且穩定，因此設計第

12

^、

13(2)

^{題的原因在}

於瞭解學生是否可以將長除法運算過程中得到的「四個式（被除式、除式、商 式、餘式）」，用「多項式的除法原理恆等式」來表示其各式間的關係，即

「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」，故將題目的形式固定為

「被除式 𝑓(𝑥) = 」之主要原因在於探討在學生的概 念心像中，將長除法的運算思維連結到恆等式時，恆等式的表示法會唯一嗎?

《概念心像分析》

1.

^在第

12

題關於「𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2𝑥² + 2𝑥 + 2 除以 𝑥 + 1」的問題中，有

150

位學生能利用長除法的程序性過程得到正確的商式 𝑞(𝑥) = 𝑥²+ 𝑥 + 1 和餘 式 𝑟(𝑥) = 1，其中的

143

^位學生(

76

^{位中高程度，}

67

^{位中程度)能將其運算}

過程轉成正確的「多項式的除法原理恆等式」之形式，即

「𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) × (𝑥²+ 𝑥 + 1) + 1」，其恆等式的結構性是有符合「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。

剩下的

7

位學生，雖然得到正確的商式和餘式，但卻無法將其轉成恆 等式的形式，他們對於多項式的除法原理恆等式之形式如下：

「𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) × (𝑥²+ 𝑥 + 1) ⋯ 1」、「𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 + 1 ⋯ 1」、

「𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐+ 𝒙 + 𝟏 + 𝟏 = 𝒙^𝟐+ 𝒙 + 𝟐」（此類學生將被除式 𝒇(𝒙) 表示成

「商式 + 餘式」）。

2.

^在第

12

題關於「𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 2𝑥²+ 2𝑥 + 2 除以 𝑥 + 1」的問題中，有

6

^位

學生無法順利使用長除法得到正確的商式和餘式，主要是因為「計算錯誤

（

4

位）」或是「不會長除法的運算（

2

^{位）」，但這}

6

^{位學生中，有}

4

^位能

寫成恆等式的形式，「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」，

且有符合「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」，只是計算的過程中有出現錯 誤。

3.

^在第

13

題關於「𝑓(𝑥) 除以 4𝑥 + 2 ，目前得到的商式為 2𝑥³+ 4𝑥² − 2𝑥，

餘式為 −2𝑥 − 3」之問題中，有

128

位學生能利用長除法的程序性過程得 到正確的商式 𝑞(𝑥) = 2𝑥³+ 4𝑥²− 2𝑥 −¹

2 和餘式 𝑟(𝑥) = −2，其中的

124

^位

學生(

69

^{位中高程度，}

55

位中程度)能將其運算過程轉成正確的恆等式之形

式，即「𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 2) × (2𝑥³ + 4𝑥² − 2𝑥 −¹

2) + (−2)」，其恆等式的結 構性是有符合「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。

4.

^在第

13

題關於「𝑓(𝑥) 除以 4𝑥 + 2 ，目前得到的商式為 2𝑥³+ 4𝑥² − 2𝑥，

餘式為 −2𝑥 − 3」之問題中，有

28

位學生認為題目給的商式和餘式就是答 案，其中的

25

^{位學生在第}

(2)

小題的表示法，將其寫成

「𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 2) × (2𝑥³+ 4𝑥²− 2) + (−2𝑥 − 3)」，未符合「餘式 = 𝟎 或 餘式次數 < 除式次數」。

5.

^在第

12

^、

13

題關於「長除法的運算思維連結到恆等式」之問題中，不論是

「給定被除式 𝑓(𝑥) 和除式，將其轉成 𝑓(𝑥) = 表示法」，

或是「沒給被除式 𝑓(𝑥)，但給定除式 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 2，目前得到的商式為 2𝑥³ + 4𝑥²− 2𝑥，餘式為 −2𝑥 − 3，將其轉成 𝑓(𝑥) = 表 示法」，有

124

位學生皆能轉成正確的恆等式形式，即「被除式 𝑓(𝑥) = 除 式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)，其中餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」，

這類學生佔總人數的

79.5

%，顯示他們能將「多項式除法連結到長除法」，

不僅可以呈現出長除法的程序性思維，也能「將其轉成正確的恆等式形 式」，是成熟且能將其應用的學生。

在文檔中 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 158-167)