（ Concept definition & Concept image ）
壹、 「概念 定義與概念心像」的背景
學校的數學教育核心在於教師與學生之間存在「教」與「學」的認知活 動。因此，我們必須瞭解學生在面對問題時，究竟是如何「思考」?腦中所呈現 的數學概念或思考與教師所教的有所差異嗎?
在上一節「概念」的探討中，我們可以瞭解概念的形成與學習是抽象的，
而
Vinner
（1983
）對於抽象概念的認知結構，提出「心靈圖像」（mental picture
），其主要由兩種元素組成，即「概念定義」（concept definition
）與概念心像（
concept image
）。Vinner
假定每個概念的認知結構中存在兩個 不同的組成元素，一個是概念定義，另一個是概念心像，有可能其中一個是空 的，也有可能兩個都是空的。雖然它們是獨自形成，但是兩者之間還是有可能 存在交互作用。什麼是「概念定義」（
concept definition
）呢?根據Vinner
（1983
）的說法：「概念定義是以一種不會循環的方式精確解釋概念的文字定義。」
（
The concept definition that accurately explains the concept in a noncircular way.
）而Tall
（1988
）認為「概念定義是用來界定某個概念的文 字。」（The concept definition is a form of words used to specify that concept.
）這兩位學者的說法被廣泛的接受。數學概念都有一個形式化且嚴謹的概念定義，這些定義會出現在課本上或
教師所表達出來，可能是透過口頭說明和解釋，或是呈現在黑板上的方式，都 是概念定義。綜合以上，本研究的概念定義界定為「課本或講義上對於某個數 學概念所下的文字定義，或教師在教學的過程中對某個數學概念所呈現的定義 形式」。
就教學現場的狀況而言，教師往往會面臨以下問題：「我已經把數學概念
或題目解釋得很清楚了，為什麼學生還是不懂?學生的想法到底是長怎樣?學生 究竟是如何思考?學生怎麼會這樣想?為什麼不是按照我上課教得去想?」綜合上 述問題，相較於課本上的概念定義，學生本身所具備的也是概念定義嗎?還是具 備其他的?關於這個問題，
Vinner
（1991
）認為：「當學生看到或聽到某個概 念的名稱時，它會對刺激學生的記憶，並且在學生的記憶中喚醒某些東西，儘 管這個被喚起的東西有它的定義，但通常不會引出定義，而是喚起學生的概念 心像。」什麼是「概念心像」（
concept image
）呢?根據Tall
與Vinner
（1981
）的說法：「我們使用概念心像這個詞來描述那些跟概念相關聯的所有認知結 構，包含所有的心靈圖像（
mental picture
），以及相關的性質與過程。」而Vinner
（1983
）對「心靈圖像」這個概念進一步說明：「若
C
表示某個概念，而P
表示某一個人，則P
對C
的心靈圖像就是
P
的腦中所有與C
相關聯的圖像之集合。在此使用的圖像（
picture
）是十分廣義的，它包含這個概念的任何 視覺表徵（甚至符號）。 ⋯ ⋯ 除了一個概念的心靈影像，也包含在P
的腦中與這個概念相關的性質。 ⋯ ⋯ 這些性質連同心靈圖像的集 合就稱為概念心像。」 （Vinner
，1983
）另一個研究中，
Vinner
與Dreyfus
（1989
）也描述學生的概念心像，並 做了相似的界定：「學生的概念心像指的是，在學生心中所有跟這個概念的名稱所關聯 的心靈圖像之集合，以及表現它們特性的全部性質。其中，心靈圖像 指的是任何形式的表徵，如圖像（
picture
）、符號形式（symbolic form
）、圖表（diagram
）、圖形（graph
）等。」（
Vinner & Dreyfus
，1989
）由上述
Vinner
（1983
）、Vinner
與Dreyfus
（1989
）的研究得知，在討論概念心像時，「視覺表徵」是非常重要的元素之一，圖像（
picture
）這個觀念容易是學生記憶中所喚起的第一物件，但不排除其他形式的表徵，像是當我 們提到「函數」時，學生腦中喚起的可能是函數圖形（直線、拋物線等）、
𝑦 = 𝑓(𝑥)、集合的對應圖，或是特殊函數（𝑦 = sin 𝑥、𝑦 = log 𝑥 等），這些都 是學生對「函數」這個概念的概念心像。
貳、 「概念 定義與概念心像」在「教學上」的相關研究
對學生來說，概念心像是跟著概念形成一起發展的。在學一個新概念時，
學生就會建構屬於自己的概念心像，而這個概念心像卻往往不是完整的。那什 麼時候概念心像才會比較完整呢?根據波蘭數學家
Semadeni
（2008
）說法：「概念心像的發展與學生的思維與直觀有關，隨著學習的深入，概念心像也會 越來越完整。」此處的「直觀」，亦即心理學所指的「心像」。
再深入一點的探討，身為數學教育者的我們，期望學生在學習概念之後，
面對題目時能夠使用概念定義來解題，而什麼時候學生的概念心像會慢慢接近 概念定義，甚至是一致呢?依據
Vinner
與Dreyfus
（1989
）的說法：「學生的概念心像是關於該概念的例子與非例子的經驗所形成的結果。」所以，學生接 觸適合該概念的例子越多，其概念心像的發展會越接近概念定義。但我們不能 強求學生的概念心像馬上就要接近概念定義，因為
Tall
與Vinner
（1981
）認為「概念心像的發展並非一夕可成，是經年累月透過各種的經驗所建構起來，
並且隨著個體受到新刺激或新經驗越趨向成熟，進而產生變化。」即概念心像 比概念定義更像是個體對概念形成過程中的心理產物。
身為教師的我們，會想知道學生是如何思考?或是，想知道學生在面對題目 時，腦中會喚起怎樣的數學概念?上述的兩個問題，都是關於學生的概念心像之
「運作」方式。從
Tall
與Vinner
（1981
）的研究中可以發現學生的概念心像 具有「多樣性」的特點。學生對於特定概念會有許多的概念心像，在不同的時 間點或不同情境下，腦中會喚起不同的概念心像來面對問題。他們提出：
「在特定的時間內，只有某部分的概念心像會被喚起（
evoked
），我們稱這些為『被喚起的概念心像』（
evoked concept image
）。不同的時間，被喚起的概念心像彼此間可能會產生衝突，只有當這些 相互衝突的概念心像同時被喚起，才會感覺到它們之間的衝突。」
（
Tall & Vinner
，1981
）解讀上述這段話後，可以得到以下三件事：
•
不同的時間點，學生會使用不同的概念心像，表示「情境」對不同的概念心像之喚起有明顯的影響。因此，若要探討學生較多元的概念心像，一定要有 多樣化的情境來輔助。
•
由於不同的時間點、多樣性的情境，學生會喚起不同的概念心像。這也說明 為何學生會表現出對某個概念有時候理解，有時候又出現概念迷失的情形。•
當相互衝突的概念心像同時被喚起，學生才會感受到這些心像之間的衝突，造成認知衝突（
cognitive conflicit
），學生可藉由「認知衝突」來促進學習 效果。【例子
1
】小學生一開始在學兩個正數的減法時，他可能會觀察到「減」這 個動作會讓答案變小，此時「減去一個數字會變小」就成為他概 念心像的一部份，但後來遇到減去負數的題目時，就會造成認知 衝突。【例子
2
】學生認為 0. 9̅ = 0.9999999 ⋯ 永遠小於 1，但之後在學循環小數 化成分數的方法後，才體會到 0. 9̅ = 1 是對的，當這兩個互相衝 突的概念心像同時被喚起，他們才會感受到這兩個心像之間的衝 突，進而產生認知衝突。另外，「學生的解題認知歷程」也是教師們很在乎且重視的。
Vinner
（
1981
）利用【圖2-3-1
】表示兩種不同的解決問題認知歷程，左圖是一般教 師假設學生處理問題的認知歷程，右圖是大部分學生解題的實際歷程。▼【圖
2-3-1
】藉由概念定義與概念心像探討兩種不同的解決問題認知歷程(左圖) 一般教師假設學生處理問題 的認知歷程
(右圖) 大部分學生解題的實際歷程
教師通常認為學生在解題時，一開 始是想到相關的定義，然後藉由概 念心像幫助他們解題。
多數學生在一開始接觸問題時，最先 進入思考工作區的是相關的概念心 像，而不常使用概念定義。
藉由【圖
2-3-1
】的說明，可知概念心像在學生學習的過程中是扮演非常 重要的角色。參、 本研究的論點
概念心像與概念名稱之間的連結因人而異，也就是說同一個概念名稱對不 同人來說，可能會喚起不同的概念心像。而本研究為了要更深入瞭解學生的概 念心像，參考
Vinner
（1991
）的說法：「如果你想知道某個人是否知道某個 特定的概念定義，你只要要求他寫下來。然而要研究某個人的概念心像，研究 者必須問不直接的問題（indirect questions
），這樣才能讓受訪者的概念心像真正呈現出來。」所以，想要判斷學生是否具備某個概念，光說出名稱或是 處理同樣的情境是不夠的，必須讓學生面對不同的情境，並根據學生的回答深 入探討，才能真正瞭解學生較全貌的概念心像。本研究基於以上的內容與看 法，問卷的設計以多種的情境和非直接的問題為主，為了瞭解學生是否能夠理 解並應用「多項式的除法原理」所包含的數學概念，才能真正探討和觀察到學 生的概念心像。