與多項式的除法原理中「各式間的關係」相關之概念

本研究欲探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，「多項式的除法原理」中有一個很重要的結論是「餘式的限制條件：○¹餘式 = 0 或○² 餘式的次數 < 除式的次數」之概念。上節，已經探討「除式和餘式」間的關係，本節 將探討其他各式間的關係，學生也會認為「餘式的次數也需要跟商式的次數比 大小嗎?」或認為「被除式的次數跟除式、商式及餘式之間有關係嗎?」等相關 問題。

研究目的是要探究學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，因此，研究者從多項式除法原理中的「四個式（被除式、除式、商式、餘式）」挑選

「商式 𝑞(𝑥) 和餘式 𝑟(𝑥) 」、「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥) 和商式 𝑞(𝑥)」出來討論。而「商式與餘式」、「被除式、除式及商式」間的相關概念，對於學生來說，自然浮現出哪些概念心像呢?

在問卷第

1

題開放式的問題中，能看出有些學生最核心的概念心像為「被 除式的次數 > 除式的次數 > 商式的次數 > 餘式的次數」，可以得知這類的學生 會認為「餘式的次數一定要比商式的次數小」，對於其他同學來說，也會認為

「餘式的次數一定要比商式的次數小嗎?」因此，在問卷中的第

6、7

^題，把學

生最常遇到的多項式類型拿出來討論，一個是已經知道「除式 𝑔(𝑥) 為一次多項式，商式 𝑞(𝑥) 為二次多項式」，另一個則是已經知道「除式 𝑔(𝑥) 為二次多項式，商式 𝑞(𝑥) 為一次多項式」，餘式 𝑟(𝑥) 可能會是「三次多項式」、「二次多項式」、「一次多項式」，或是「常數多項式」嗎?

問卷第

8

題則是已經知道「除式 𝑔(𝑥) = 𝑥²、商式 𝑞(𝑥) = 𝑥 + 3，餘式 𝑟(𝑥) = 𝑥 + 3 有可能發生嗎?」搭配學生陳述的理由，我們可以更準確的知道學生的心像為何，更加明確的分類學生的心像類型與具體的描述。

第

9

題則是已經知道「除式 𝑔(𝑥) 為二次多項式，且餘式 𝑟(𝑥) 為常數多項式」，那麼商式 𝑞(𝑥) 可能會是「四次多項式」、「三次多項式」、「二次多項式」、「一次多項式」，或是「常數多項式」嗎?

第

6、7、9

題都是探討商式 𝒒(𝒙) 與餘式 𝒓(𝒙) 之間有無關係，差別在於第

6、7

題是「給定除式 𝑔(𝑥) 和商式 𝑞(𝑥) 的次數，求餘式 𝑟(𝑥) 可能的次數」，

第

9

題則是「給定除式 𝑔(𝑥) 和餘式 𝑟(𝑥) 的次數，求商式 𝑞(𝑥) 可能的次數」，

因這三題所使用的概念是一樣的，不僅可以瞭解學生的概念心像是否穩定(前後一致)，也可以知道學生可能會受到什麼因素而影響其概念心像。

第

10

題是已知「除式 𝑔(𝑥) 為一次多項式，商式 𝑞(𝑥) 為二次多項式」，在沒有給定餘式 𝑟(𝑥) 的次數下，學生會認為被除式 𝑓(𝑥) 可能會是「四次多項式」、「三次多項式」、「二次多項式」、「一次多項式」，或是「常數多項式」嗎?在沒有給定餘式 𝑟(𝑥) 的次數下，學生要如何判斷被除式 𝑓(𝑥) 的次數?

本節根據研究目的，將施測的問卷進行分析，探究學生對於多項式的除法原理中「各式間的關係」之概念心像。在這個主題下，分成下列

4

^{個欲探討的}

問題：

A.

在學生的概念心像中，會認為多項式的除法中「餘式的次數需要跟商式的次數比大小」嗎?甚至會覺得「餘式的次數 < 商式的次數」嗎?

B.

在學生的概念心像中，會認為多項式的除法中「餘式可以等於商式」嗎?

C.

在學生的概念心像中，會認為多項式的除法中「被除式的次數只要比除式、商式及餘式的次數大就好了」嗎?

D.

綜合前面三項內容，在學生的概念心像中，關於多項式的除法原理中「各式間的關係」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?

Question 4-1

^{（對照問卷第}

6 、 ₇ 、 ₉

題）

在學生的概念心像中，會認為多項式的除法中「餘式的次數需要跟商式的次數比大小」嗎?甚至會覺得「餘式的次數 < 商式的次數」嗎?

「如果被除式是除式的倍式時，代表會整除，那麼餘式就是 0；如果被除 式不是除式的倍式時，代表不會整除，那們餘式的次數 < 除式的次數。」上述 內容即為多項式的除法原理中「餘式的限制條件：餘式 = 0 或餘式的次數 < 除式的次數」之概念。假設學生已經具備上述的概念，會認為其他式之間有關係 嗎?會認為「餘式的次數也需要跟商式的次數比大小」嗎?還是覺得「餘式的次 數 < 商式的次數」嗎?

Tall

^與

Vinner

^（

1981

）提到：「在特定的時間內，只有某部分的概念心 像會被喚起（

evoked

），我們稱這些為『被喚起的概念心像』（

evoked concept image

）。不同的時間，被喚起的概念心像彼此間可能會產生衝突，

只有當這些相互衝突的概念心像同時被喚起，才會感覺到它們之間的衝突。」

這個論點我們可以對照問卷的第

6

^、

7

^、

9

題，因為這三題所使用的概念是相 同，其中問卷的第

6

^題和第

7

題，所使用的概念和選項皆相同，因此，在《概

念心像分析》的部分，以第

6

題的勾選狀況為主軸，第

7

^{題的勾選狀況可以進}

一步瞭解學生的概念心像是否「穩定(前後一致)」?

《施測題目

¹⁰

^之交

2. A

^類【

6(1)

6(4)

✘✘✘】：在

156

^{位學生當中，有}

91

^{位學生(其中}

48 • A-1

^類【

7(1)

7(4)

✘✘】：

A

^類

91

^{位學生當中，高達}

78

^{位學生(其}

中

40

^{位中高程度，}

38

^{位中程度)在第}

7

^題選項

(1)

(4)

^{也認為「除式}

𝑔(𝑥) 為二次多項式，且商式 𝑞(𝑥) 為一次多項式時，知道餘式 𝑟(𝑥) 只能是一次多項式或常數多項式」，這類學生佔

A

^類的

85.7

^{%，且佔總人}

數的

50.0

^%。顯示

5

成的學生對於多項式的除法原理中「餘式的限制條 件」之概念心像是非常穩定且也符合概念定義，不論商式 𝒒(𝒙) 為幾次 多項式，學生都知道「餘式 = 𝟎 或餘式的次數 < 除式的次數」，不需要 比較商式與餘式間的次數關係。

• A-2

^類【

7(1)

7(4)

✘✘✘等勾選情形】：

A

^類

91

^{位學生當中，有}

13

位學生(其中

8

^{位中高程度，}

5

^{位中程度)在第}

6

^題選項

(1)

(4)

^勾選皆正

確，但在第

7

題「除式 𝑔(𝑥) 為二次多項式，且商式 𝑞(𝑥) 為一次多項式」時，卻無法正確判斷出餘式 𝑟(𝑥) 只可能為一次多項式或常數多項式，這類學生佔

A

^類的

14.3

%。顯示這些學生對於「餘式的限制條件」之概念心像是不穩定(前後不一致)，會因為除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥) 的次數同時變動後，而浮現出不同的概念心像來進行解題，其中以「中高程度」學校的學生較為明顯。

3. B

^類【

6(1)

6(4)

^{✘✘】：在}

156

^{位學生當中，有}

51

^{位學生(其中}

22

位中高程度，

29

位中程度)在面對「除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式，商式 𝒒(𝒙) 為二次多項式時，認為餘式 𝒓(𝒙) 可能是一次多項式或常數多項式」，這類 學生佔總人數的

32.7

%。顯示這些學生可能拿商式 𝑞(𝑥) 和餘式 𝑟(𝑥) 的次 數做比較，浮現的概念心像可能為「多項式的除法中，若不能整除，則餘

式的次數 < 商式的次數」，故認為餘式可以是一次多項式和常數多項式。

為了確認這類學生對於「餘式的限制條件」之心像是否為「餘式次數 < 商

對於「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) ⋯ 餘式 𝒓(𝒙)」這種表 徵形式時，「中程度」學校的學生比中高程度學校的學生更容易浮現出

「餘式 𝒓(𝒙) 的次數 < 商式 𝒒(𝒙) 的次數」此概念心像。

• B-2

^類【

7(1)

7(4)

^{✘✘】：這}

51

^{位學生當中，有}

18

^{位學生(其中}

12

^{位中高程度，}

6

^{位中程度)在第}

7

^題選項

(1)

(4)

認為「除式 𝑔(𝑥) 為二次多項式，且商式 𝑞(𝑥) 為一次多項式時，餘式 𝑟(𝑥) 可以是一次多項式或常數多項式」，此時浮現的概念心像是符合概念定義。他們對於多項式的除法原理中「餘式的限制條件」，有時候浮現出的概念心像為

「當不整除時，餘式的次數 < 商式的次數」，而有時卻為「當不整除時，餘式的次數 < 除式的次數」，這類學生佔

B

^類的

35.3

^{%，且佔總人}

數的

11.5

^{%。顯示這}

18

位學生在面臨相同概念時，不見得能夠浮現相 同的概念心像以進行解題，其概念心像不穩定(前後不一致)的現象，主 要來自「中高程度」學校的學生。

關於問卷的第

9

題浮現出不同的概念心像來進行解題，學生有可能 是受到什麼因素而影響其概念心像呢?

《施測題目》

9.

^已知

題是「給定除式 𝑔(𝑥) 和商式 𝑞(𝑥) 的次數，求餘式 𝑟(𝑥) 可能 的次數」，第

9

題則是「給定除式 𝒈(𝒙) 和餘式 𝒓(𝒙) 的次數，求商式 𝒒(𝒙) 可能 的次數」，可以進一步瞭解學生在面對「餘式 𝑟(𝑥) = 3 （固定的多項式）」下，

學生是否會認為商式的次數必需與餘式的次數比大小關係呢?最後，也可以探討學生在面對第

6

^、

7、9

題相同的概念下，所浮現出的概念心像會穩定(前後一致)嗎?

餘式

《施測結果》

第

9

題的施測結果有以下二部分：

○

9(1)

9(5)

之各選項勾選狀況，如【表

4-4-5

^】。

○

9(1)

9(5)

之交叉勾選狀況，如【表

4-4-6

^】。

▼【表

4-4-5

】「餘式 𝑟(𝑥) 為固定的多項式，判斷商式 𝑞(𝑥) 可能為幾次多項 式」之施測結果（第

9

^題

(1)

(5)

^{之各選項勾選狀況）}

學校類型中高程度 (

7 9

^{人 )}

中程度 (

7 7

^{人 )}

合計

(

1 5 6

18 (22.8%) 22 (28.6%) 40 (25.6%)

註：表格中「底色加深且數據加粗」的為該題正確答案。

選項

▼【表

4-4-6

】「餘式 𝑟(𝑥) 為固定的多項式，判斷商式 𝑞(𝑥) 可能為幾次多項

有

1

位可能會拿商式的次數和餘式的次數比大小關係。

2. A

^類【

9(1)

9(5)

】：在

156

^{位學生當中，有}

102

^{位學生(其中}

53

位中高程度，

49

位中程度)在面對「除式 𝒈(𝒙) = 𝒙^𝟐 ，且餘式 𝒓(𝒙) = 𝟑 時，知道商式 𝒒(𝒙) 可以是常數多項式、一次多項式、二次多項式、三次 多項式、四次多項式」，這類學生佔總人數的

65.4

^{%。顯示這些學生沒有}

因為「餘式 𝒓(𝒙) = 𝟑 （固定的多項式）」此條件，而影響判斷商式 𝒒(𝒙) 可 能的次數，對於多項式的除法原理中「餘式的限制條件」之概念心像是符 合其概念定義。另外，商式其實是由「被除式除以除式」而唯一決定的，

而題目沒有給被除式 𝑓(𝑥) 的形式與次數，所以商式 𝑞(𝑥) 的次數與形式是 沒有限制的。

3. B

^類【

9(1)

9(5)

✘】：在

156

^{位學生當中，有}

22

^{位學生(其中}

11

位中高程度，

11

位中程度)認為「除式 𝒈(𝒙) = 𝒙^𝟐 ，且餘式 𝒓(𝒙) = 𝟑 時，

餘式 𝒓(𝒙) 『不可能』是常數多項式」，這類學生佔總人數的

14.1

^%。顯示

這些學生可能會將商式 𝒒(𝒙) 的次數與餘式 𝒓(𝒙) 的次數比大小關係，而非 認為商式 𝑞(𝑥) 與餘式 𝑟(𝑥) 的次數其實是由「被除式 𝑓(𝑥) 除以除式 𝑔(𝑥)」

而決定的，其概念心像與教材上的概念定義有明顯的落差。

B

^類

22

^{位學生，分別搭配第}

6

^、

7

^題選項

(1)

(4)

^{的交叉分析，其中}

的 17 位學生在第

6

^、

7

^、

9

題皆浮現出「商式 𝒒(𝒙) 的次數需要與餘式 𝒓(𝒙) 的次數比大小關係」，這些學生對於多項式除法原理中「餘式的限制

的 17 位學生在第

6

^、

7

^、

9

題皆浮現出「商式 𝒒(𝒙) 的次數需要與餘式 𝒓(𝒙) 的次數比大小關係」，這些學生對於多項式除法原理中「餘式的限制

在文檔中高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 106-134)

1

6、7

8

9

6、7、9

6、7

9

10

4

A.

B.

C.

D.

Question 4-1

6 、 7 、 9

Tall

Vinner

1981

evoked

evoked concept image

6

7

9

6

7

6

7

《施測題目

》

6.

「𝑓(𝑥) ÷ (𝑥 + 3) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

商式 𝒒(𝒙) 為二次多項式

餘式 𝒓(𝒙) 可能



三次



二次



一次



常數

《題目分析》

6

7

《施測結果》

4-4-2

6

(1)

(4)

2. A

6(1)

6(4)

156

91

48

• A-1

7(1)

7(4)

A

91

78

40

38

7

(1)

(4)

A

85.7

50.0

5

• A-2

7(1)

7(4)

A

91

13

8

5

6

6 、 ₇ 、 ₉

^{「𝑓(𝑥) ÷ (𝑥}