本研究欲探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，其中多項式的 除法原理中有「四個式」，分別為：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥) 和 餘式 𝑟(𝑥) 」，而學生會如何利用符號去表達這四個式之間的關係呢?
在整數的除法中，我們會寫出「25 ÷ 6 = 4 ⋯ 1」這類型的數學式，之後將
「被除數」表示成「被除數 (25) = 除數 (6) × 商數 (4) + 餘數 (1)」。而多項式 的除法其實和整數的除法相當類似：「被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式」，之後 一樣將「被除式」表示成「被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」，而我們會稱
「被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」為「多項式的除法原理恆等式」。
根據研究目的，將施測的問卷進行分析，探究高一學生對於多項式的除法 原理「恆等式」的概念心像。在這個主題下，分成下列
3
個欲探討的問題：A.
在學生的概念心像中，會如何利用以下四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」表達多項式的除法原理 恆等式呢?
B.
在學生的概念心像中，對於各式間的關係為「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，將如何改寫成其他等 式中沒有「⋯」呢?
C.
在學生的概念心像中，對於各式間的關係為「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，如何將這個等式延伸 成其他等式呢?
Question 5-1
（對照問卷第2
題）在學生的概念心像中，會如何利用以下四個符號：
「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」表達多項式的除法原 理恆等式呢?
在整數的除法中，我們會寫出「𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 ⋯ 𝑑」這類型的數學式，之後我 們就將「被除數 𝑎」表示成恆等式的形式「𝑎 = 𝑏 × 𝑐 + 𝑑」。
其實多項式的除法和整數的除法相當類似，在學生的概念心像中，會如何 透過以下四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」來表 達「多項式的除法原理恆等式」呢?
《施測題目》
2.
您的好朋友問您：老師昨天在介紹「多項式的除法原理」時，有講到下面 四個符號之間的關係
：「被除式 𝒇(𝒙)
、除式 𝒈(𝒙)
、商式 𝒒(𝒙)
、餘 式 𝒓(𝒙)
」。但我忘了，您可以教我嗎?聰明的您：老師昨天說這四個符號之間
有關係
，就是……《題目分析》
問卷第
1
題，在不給任何提示與符號的情況下，能探測出學生對於多項式 的除法原理之「核心」的概念心像。而問卷第2
題，在給定四個符號：「被除 式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」，學生要如何去表達「多項式的除 法原理恆等式」呢?Skemp
在1978
年出版的「數學學習心理學」（The psychology of learning mathematics
）一書中提到「符號」的功用：
「『概念』是純粹的內心事物 — 聽不見、看不到。既然我們無法直 接觀察別人的內心世界，我們必須找一些聽得到、看得見的方法傳達 自己的意思 — 說話或弄出其他聲音、寫字或寫其他符號都是。
所謂的『符號』就是心智概念的代言人，可以聽得到、看得見，而心 智概念是符號的實質意義，沒有附帶概念的符號是空洞的、無意義 的。」 （
Skemp
著，1987
，陳澤民譯）竟然「符號」有它的功用，所以在問卷第
2
題中，可以瞭解這「四個符號 間的關係」在學生的概念心像中具備的情形與樣貌，不僅可以瞭解「符號」對 學生的影響，也能知道學生如何透過符號來表達他們心目中的「恆等式」。《施測結果》
第
2
題的施測結果有以下兩部分：○ 「四個式間的關係」之施測結果與分類類別概述，如【表
4-5-1
】。○ 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第
2
題B-2
類搭配第14
題選項(1)
之▼【表
4-5-1
】「四個式間的關係」之施測結果與分類類別概述（第2
題）度)有額外說明「餘式 𝑟(𝑥) 的次數小於除式 𝑔(𝑥) 的次數」，但沒有同學有 再額外說明「餘式 𝑟(𝑥) 可以等於 0」的情況。學生從「整數除法」到
「多項式除法」，都曾有過「整除」的特殊經驗，此時餘數、餘式為 𝟎，
但在問卷第
1
題和第2
題中，卻是學生較不容易被喚起的概念，有可能 是學生認為「多項式 0 是常數多項式，而常數多項式的次數均為 0」，所 以寫「餘式 𝑟(𝑥) 的次數小於除式 𝑔(𝑥) 的次數」就有包含「餘式 = 0」的 情況。不論中高程度或中程度學校的學生，都有
9
成以上的學生能利用符號「𝒇(𝒙)、𝒈(𝒙)、𝒒(𝒙)、𝒓(𝒙)」來表達「多項式的除法原理恆等式」。
2. B
類【𝒇(𝒙)÷𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙) 或 𝒇(𝒙)÷𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)】：在156
位學生當中，有41
位學生(其中22
位中高程度，19
位中程度) 在第
2
題所浮現的概念心像為「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 123 4」，這類學生佔總人數的
26.3
%。顯示有41
位學生浮現出的心像會與「除的 符號 ÷」做一個連結，這類學生又分成以下兩種類型：• B-1
類【𝒇(𝒙)÷𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)】：有26
位學生(其中14
位中高程度，
12
位中程度)對於多項式除法原理中的「四個式」，浮現的概 念心像為「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) ⋯ 餘式 𝒓(𝒙)」，這類 型的學生對於四個式間的關係與整數除法連結性高。• B-2
類【𝒇(𝒙)÷𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)】：有15
位學生(其中8
位中高程度，
7
位中程度)對於多項式除法原理中的「四個式」，浮現的概念 心像為「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)」，從訪談 的過程中，有學生認為「餘式 𝑟(𝑥) 有剩餘的意思」，所以就用「加的符號 +」表示。
B-2
類15
位學生，再搭配第14
題的選項(1)
之交叉分析，如【表
4-5-2
】所示，可以瞭解這15
位學生對於「多項式的除法原理 恆等式」之概念心像是否會因為題目給的資訊不同，而浮現出不同的 概念心像來解題呢?還是，不論題目怎麼問，都會自然的浮現出「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」是「多項式的除法原理恆等式」表示 法呢?
第
14
題選項(1)
可以看出學生對於數學式「被除式𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑥 = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 1」，當轉成「𝑓(𝑥)
𝑥 」的形
式時，會如何延伸成其他等式呢?
【
問卷第14
選項(1)】
14.
已知「 𝒇(𝒙) ÷ 𝒙 = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝟏 」
，請將正確的項目打「
」， 錯誤的打「✘
」。 (1)
𝑓(𝑥)𝑥 = 𝑞(𝑥) + 1
商式 餘式
▼【表
4-5-2
】「概念心像穩不穩定」之施測結果（第2
題B-2
類搭配第14
式的兩邊共同除以 𝑥，得到數學式「 𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑞(𝑥) +1
𝑥 」。
顯示這
8
位學生遇到「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」的數學關係式 時，可以將其自然地轉換成恆等式「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」，但利 用符號表達「多項式的除法原理恆等式」時，最先擷取的概念心像為「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」，表示在他們的心像中，可能認為數學式
「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」中的「⋯」有「+」的意思。
藉由第
2
題和第14
題(1)
的填答狀況，有8
位學生對於以下三個關係式：「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」、「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」
和「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」認為是「三個相等且可直接互通的數 學關係式」。
4. C
類【主動將「恆等式」延伸成其他等式，做等式間的轉換】：在156
位學生當中，有
12
位學生(其中7
位中高程度，5
位中程度) 在第2
題所浮現的概念心像為「將恆等式『𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)』延伸成其他等式，做 等式間的轉換」，如「𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥)」等形式，這類學生佔總人 數的
7.7
%。從訪談的過程中，有學生會認為等式間的轉換是公式，當題目 給被除式、商式和餘式，此時學生就會套用「公式」求出除式。5.
在156
位學生當中，高達146
位學生(其中74
位中高程度，72
位中程度)對於多項式除法原理中的四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、
餘式 𝑟(𝑥)」之間的關係，所浮現的概念心像為「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙) 或 𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」，有高達
93.6
%的學生可以利用四個符號來 表達四個式之間的正確關係式。Question 5-2
（對照問卷第11
題）在學生的概念心像中，對於各式間的關係為
「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，將如何改寫成其他 等式中沒有「⋯」呢?
關於「多項式的除法原理恆等式」中，各式間的關係為
「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)，其中 𝑟(𝑥) = 0 或 deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑔(𝑥)」。
在問卷第
2
題的施測結果，有高達93.6%
的學生可以利用四個符號來表達 四個式之間的正確關係式，浮現出的概念心像為「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙) 或 𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」。而「多項式的除法原理」中有一個結構性的式 子，稱之為「多項式的除法原理恆等式」，即為我們熟知的「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」。而在問卷第
2
題，對於四個式之間的關係為「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」的同 學，會如何將這個關係式改寫成其他等式中沒有「⋯」的情況下，是直接將
「⋯」改成「+」嗎?還是，在學生的概念心像中，認為多項式的除法原理恆等 式有兩種寫法，分別為「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」和
「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」呢?
《施測題目》
11.
將「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)」
改寫成新的式子中不含
「 ⋯ ⋯ 」
的等式。《題目分析》
問卷第
2
題，在給定四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘 式 𝑟(𝑥)」，約9
成4
的學生能藉由上述的符號表達各式間的關係，浮現的概念 心像為「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 」或「 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」。關於「多項式的除法原理恆等式」，我們總會將被除式 𝑓(𝑥) 表示成
「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」，但對於浮現出的概念心 像只有「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」的同學來說，他們會認為數學式中的
「⋯」就是「+」的意思，所以直接將「⋯」改成「+」，就可以成為兩個相同 且可互通的等式嗎?
藉由問卷第
11
題，我們可以瞭解「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」和「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」這兩個數學式，在學生的概念心像中所代表的意 思，也可瞭解學生對於數學式中的「⋯」所具備的情形與樣貌。
餘式 被除式 除式 商式
我會這樣改寫：
《施測結果》
《概念心像分析》
1. A
類【被除式𝒇(𝒙) = 除式 𝒈(𝒙) × 商式 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)】：在156
位學生當中，有
126
位學生（其中64
位中高程度，62
位中程度）在面對第11
題關於「將數學式 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥) 改寫成等式中沒有『⋯』」的 問題時，所浮現的概念心像是符合「多項式的除法原理恆等式」，為
「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」，這類學生佔總人數的
80.8
%。顯示約8
成1
的學生能將「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ 𝒓(𝒙)」此數學 式，轉成多項式的除法原理恆等式「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」。2. B
類【主動將「恆等式」延伸成其他等式，做等式間的轉換】：在156
位學生當中，有
18
位學生（其中8
位中高程度，10
位中程度）在第11
題所浮現的概念心像為「將『被除式 𝒇(𝒙) = 除式 𝒈(𝒙) × 商式 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)』
延伸成其他等式，做等式間的轉換」，這類學生佔總人數的
11.5
%。搭配第
2
題的交叉作答，有11
位學生在第2
題（C
類）和第11
題（
B
類）皆寫出「等式間的轉換『公式』」，其中以商式 𝑞(𝑥) 表達的同學最 多，即為「商式 𝑞(𝑥) = (被除式 𝑓(𝑥) − 餘式 𝑟(𝑥)) ÷ 除式 𝑔(𝑥)」，學生認 為當題目給被除式、除式和餘式，此時就能套用「公式」立刻求出商式。3. C
類【被除式 ÷ 除式 = 商式 + 餘式】：在156
位學生當中，有13
位學生（其中
4
位中高程度，9
位中程度）在第11
題所浮現的概念心像為「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)」，這類學生佔總人數的
8.3
%。對這類學生來說，數學式「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」中的「⋯」有「剩下」的意思，而剩下多少就用「加的符號 +」表示，所以直接將
「⋯」改成「+」，就可以成為兩個相等的數學關係式。
Question 5-3
（對照問卷第14
題）在學生的概念心像中，對於各式間的關係為
「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，如何將這個等式延 伸成其他等式呢?
在問卷第
2
題和第11
題的施測結果，皆有超過8
成的學生能利用四個符號「被除式 𝒇(𝒙)、除式 𝒈(𝒙)、商式 𝒒(𝒙)、餘式 𝒓(𝒙) 」表達各式間的關係，為
「多項式的除法原理恆等式：𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) × 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)」，也能「將數學式 被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) ⋯ 餘式 𝒓(𝒙) 表示成多項式的除法原理恆 等式：被除式 𝒇(𝒙) = 除式 𝒈(𝒙) × 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)」。
若能在第
2
、11
題皆喚起「多項式除法原理」中「結構性」的式子 –「恆 等式」之學生，較有可能利用此式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」來延伸成其 他等式並解題。在面對問卷第14
題「𝑓(𝑥) ÷ 𝑥 = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 1」這樣的問題時，真的能浮現出適當的概念心像來解題嗎?還是，會受到題目的符號影響較多呢?
《施測題目》
14.
已知「𝒇(𝒙) ÷ 𝒙 = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝟏」
，請將正確的項目打「
」， 錯誤的打「✘
」。 (1)
𝑓(𝑥)𝑥 =
𝑞(𝑥) + 1 (2)
𝑓(𝑥)𝑥 =
𝑞(𝑥) +
1𝑥
(3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 1 (4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) + 1
《題目分析》
問卷第
2
題和第11
題，在給定四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商 式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」，皆超過8
成的學生能藉由符號表達多項式的除法原理恆 等式「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥) 」，且也能將「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥) 」轉成多項式的除法原理 恆等式，對於這兩個數學式間的轉換是成熟的。
若能有
8
成以上的學生對於「多項式的除法原理恆等式」此概念是成熟 的，能否使用此概念「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」來判斷其 他等式呢?因此設計「𝑓(𝑥) ÷ 𝑥 = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 1」這樣的問題，目的就是更進一步 的瞭解學生在面對多項式除法的問題時，能否轉成「恆等式」的形式並解題呢?問卷第
14
題的選項(1)
和選項(2)
之設計，在於能瞭解學生對於餘式 1 前面商式 餘式
的「⋯」浮現的概念心像具備的情形與樣貌為何?直接將「⋯」改成「+」，就
的「⋯」浮現的概念心像具備的情形與樣貌為何?直接將「⋯」改成「+」，就