與「多項式」相關之概念

本研究欲探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，因為多項式的 除法原理都是在談「𝑥 的多項式」，所以「𝒙 的多項式」就像是「多項式的除法 原理」中最基本的元素，之間有著緊密的關係。首先，在這一節探討「與多項 式相關之概念」。

在做預測問卷時，有學生會將之前具備「整數的除法」之觀念延伸過來，

導致學生在學多項式的除法時，有可能會除到餘式出現分式「¹

𝑥」這類型的答 案，但對照對「多項式」的概念定義，我們知道分式「¹

𝑥」不是多項式。

研究目的是要探測學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。因此，研 究者從最一開始的「多項式」談起，第

3

題的設計，主要是要探測學生對於多 項式除法原理中的「各式（被除式、除式、商式、餘式）」可以出現哪些「𝑥 的多項式」之形式，如二次多項式「𝑥²+ 𝑥 +⁷

6」、一次多項式「^𝑥

6+ 3」、常數 多項式「5」等，其他不常出現的類型就不放進選項中。

本節根據研究目的，將施測的問卷進行分析，探究高一學生對於「多項 式」的概念心像。在這個主題下，分成下列

3

^{個欲探討的問題：}

A.

在學生的概念心像中，會認為「常數（如 − 5

、

₀

、

_{5）」也是「𝑥 的多}

項式」嗎?

B.

在學生的概念心像中，會認為數學式中有出現「變數 𝑥」就是「𝑥 的多項 式」嗎?

C.

綜合前面兩項內容，在學生的概念心像中，關於「𝑥 的多項式」相關概念

Question 2-1

^{（對照問卷第}

3

^題

(1)

^~

(3)

^選項）

在學生的概念心像中，會認為「常數（如 − 5、0、5）」也是「𝑥 的多項 式」嗎?

在學生的數學學習經驗中，學生對於多項式的既定印象為數學式中「有出 現變數 𝑥」，如 𝑥 − 2、𝑥²+ 2𝑥 + 1 等類型，那在學生的概念心像中，數學式 中「沒有出現變數 𝑥」，如 −5

、

₀

、

5 等常數也能算是「𝑥 的多項式」嗎?

《施測題目》

3.

^把是

^{「𝒙 的多項式」}

^{之項目打「}

^

^{」，不是的打「}

^✘

^」。



(1) −5



(2) 0



(3) 5

《題目分析》

多項式除法原理中的「各式（被除式、除式、商式、餘式）」其實就是由

「𝑥 的多項式」所組成，因此「𝑥 的多項式」就如各式的子概念一般。

多項式的定義：「設 𝑛 是正整數或 0，而 𝑎₀，𝑎₁，⋯，𝑎_𝑛−1，𝑎_𝑛 是 (𝑛 + 1) 個給定的常數，凡是可以寫成 𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ 形式的樣子，

稱為 𝑥 的多項式，簡稱多項式。」在問卷第

3

^題的選項

(1)

^~

(3)

^{，是在探測學生}

的概念心像中，當數學式中「沒有出現變數 𝑥」，像是 −5

、

₀

、

_{5 等常數也能算}

是「𝑥 的多項式」嗎?

《施測結果》

▼【表

4-2-2

】「多項式中沒有變數 𝑥」之施測結果（第

3

^題

(1)

^~

(3)

^之交叉勾

中的一種，即為常數多項式，這類學生佔總人數的

39.1%

^（選項

(1)

^~

(3)

的答對率）。顯示這類學生對於「多項式」的概念心像是符合概念定義。

3. B

^類【

3(1)

^~

3(3)

^{✘✘✘】：在}

156

^{位學生當中，高達}

75

^{位學生(其中}

34

位中高程度，

41

位中程度)認為「常數（如 −5

、

₀

、

_{5）不是 𝑥 的多項}

式」

，

這類學生佔總人數的

48.1%

^。顯示這

75

位學生對於「常數也是 𝑥 的多項式」此概念是不清楚的，在這些學生的經驗中，有可能是受到常見 的多項式中有出現變數「𝒙」的既定印象。

4.

^在第

3

^題的選項

(1)

^~

(3)

之回答中，中高程度和中程度學校都各有將近

4

成的學生關於「常數多項式是多項式的一種」之概念心像是符合概念定 義，也表示約

6

成的學生對於「常數是多項式的一種」之概念心像並不是 建立得很完整，顯示大多數學生在解題的時候，會用概念心像來思考，而 非概念定義，和

Vinner

^與

Dreyfus

^（

1989

^{）的論點相近。}

Question 2-2

^{（對照問卷第}

3

^題

(4)

^~

(6)

^選項）

在學生的概念心像中，會認為數學式中有出現「變數 𝑥」就是「𝑥 的多項 式」嗎?

在學生的經驗中，常見的多項式類型主要為「𝑥 − 2」、「𝑥²+ 2𝑥 + 1」、

「−2𝑥²+ 5𝑥 − 4」等數學式中有出現「變數 𝑥」，那在學生的概念心像中，數 學式中只要出現「變數 𝑥」就是「𝑥 的多項式」嗎?還是在學生的概念心像中，

會認為「變數 𝑥」其實是有限制出現的地方呢?

《施測題目》

3.

^把是

^{「𝒙 的多項式」}

^{之項目打「}

^

^{」，不是的打「}

^✘

^」。



(4) 𝑥²+ 𝑥 +⁷

6



^{(5) 𝑥}

6

+ 3



⁽⁶⁾

7 +

⁶

𝑥

《題目分析》

多項式除法原理中的「各式（被除式、除式、商式、餘式）」其實就是由

「𝑥 的多項式」所組成，因此「𝑥 的多項式」就如各式的子概念一般。

多項式的定義：「設 𝑛 是正整數或 0，而 𝑎₀，𝑎₁，⋯，𝑎_𝑛−1，𝑎_𝑛 是 (𝑛 + 1) 個給定的常數，凡是可以寫成 𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ 形式的樣子，

稱為 𝑥 的多項式，簡稱多項式。」在問卷第

3

^題的選項

(4)

^~

(6)

^{，是在探測學生}

的概念心像中，數學式只要出現「變數 𝑥」就是「𝑥 的多項式」嗎?其中選項

(4)

是學生經驗中較常看到的多項式例子，而選項

(5)

^和

(6)

^{可以瞭解學生在「長除}

法」的程序性過程中，「各式（被除式、除式、商式、餘式）」有可能會出現

「變數 𝒙」在分母或分子的情形嗎?

《施測結果》

第

3

^題選項

(4)

^~

(6)

的施測結果有以下兩部分：

○

3(4)

^~

3(6)

之各選項勾選狀況，如【表

4-2-3

^】。

○

3(4)

^~

3(6)

之交叉勾選狀況，如【表

4-2-4

^】。

▼【表

4-2-3

】「多項式中有變數 𝑥」之施測結果（第

3

^題

(4)

^~

(6)

^{之各選項勾}

他情形的詳細答案。

3. B

^類【

3(4)

^~

3(6)

】：在

156

^{位學生當中，有}

20

^{位學生(其中}

5

^位中

高程度，

15

位中程度)認為「𝑥²+ 𝑥 +⁷

6 、^𝑥

6+ 3 和 7 +⁶

𝑥 都是 𝑥 的多項 式」，這類學生佔總人數的

12.8%

^{。顯示出這}

20

^{位學生認為數學式中有}

出現變數 𝒙 即是「𝒙 的多項式」，對於「𝒙 不能放在分母」此概念是不清楚 的，其中有高達

75.0%

來自於「中程度」學校的學生。

搭配問卷第

12

^題：

「利用長除法求 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 2𝑥² + 2𝑥 + 2 除以 𝑥 + 1 的商式及餘式」，

這

20

位學生都知道除到哪一步該停，而不會硬是要除到有「分式」出現 為止，顯示他們在長除法的程序性過程中，知道多項式除法原理中的「各 式（被除式、除式、商式、餘式）」是由「𝑥 的多項式」所組成，所以餘 式不會有分式的形式出現，只要滿足「餘式 = 0 或餘式的次數 < 除式的 次數」之條件即可，但未連結到多項式定義的概念性結構。

4.

^在第

3

^題的選項

(4)

^~

(6)

^中，約

9

^成

1

^{的中高程度學生和}

7

^成

4

^的中程度

學生，對於「多項式中有變數 𝑥」之概念心像是符合概念定義，而「中高 程度」的學生比中程度學校的學生高出

17.1%

，顯示出兩所不同程度學 校的學生在選項

(4)

^~

(6)

^{是有明顯的差別。}

Question 2-3

^{（對照問卷第}

3

^題）

綜合前面

2-1

^和

2-2

內容，在學生的概念心像中，關於「𝑥 的多項式」相 關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?

《施測結果》

▼【表

4-2-5

】「多項式有無變數 𝑥 的影響」之施測結果（第

3

^題

(1)

^~

(6)

^之交

叉勾選狀況）

學校類型 中 高 程 度 (

7 9

^{人 )}

中 程 度 (

7 7

^{人 )}

合 計

(

1 5 6

^{人 )}

     ✘ 30 (38.0%) 29 (37.6%) 59 (37.8%)

✘✘✘✘ 30 (38.0%) 23 (29.9%) 53 (34.0%)

✘✘✘ 3 (3.8%) 14 (18.2%) 17 (10.9%)

 ✘    ✘ 10 (12.6%) 2 (2.6%) 12 (7.7%)

其 他

6 (7.6%) 9 (11.7%) 15 (9.6%)

註：

•

表格中「底色加深且數據加粗」的為第

3

^題選項

(1)

^~

(6)

^{的正確答案。}

•

表格中的勾選情形按照人數多到少依序排列。

•

^{✘✘✘✘表示選項}

(1)(2)(3)(6)

^{皆打✘，選項}

(4)(5)

打，其餘以此類推。

•

「其他」表示還有其他情形，但每種情形的回答人數都不超過

7

^人，也就

是不到總人數的

5%

，代表性小，而且也不是本研究的重點，因此未列出其 他情形的詳細答案。

勾選情形

《概念心像分析》

1. 156

^{位學生當中，有}

59

^{位學生(其中}

30

^{位中高程度，}

29

^{位中程度)在第}

3

^題的選項

(1)

^~

(6)

的回答中，浮現的心像為「多項式中不一定要出現變 數『𝑥』的符號，而是可以考量到有變數 𝑥 時，是不能放在分母，這類學 生佔總人數的

37.8

^%（第

3

題的答對率）。顯示出這些學生在面對「多項 式」時，浮現出的概念心像是符合概念定義，而且這類學生同時在問卷第

12

題關於「長除法」之程序性過程中，都知道除到哪一步該停，而不會 除到有「分式」出現，知道多項式除法原理中的「各式（被除式、除式、

商式、餘式）」是由「𝑥 的多項式」所組成，所以餘式不會有分式的形式 出現，而是滿足「餘式 = 0 或餘式的次數 < 除式的次數」之條件，不論 在「結構性」或「程序性」都是完全成熟且能將其應用的學生。

2. 156

^{位學生當中，約}

6

^成

2

的學生對於「多項式」的概念心像並不是建

立得很完整。這些學生浮現的概念心像主要有：

＊

^有

53

^{位學生(其中}

30

^{位中高程度，}

23

位中程度)在「面對『數學式 中有變數 𝑥』時，其概念心像是符合概念定義，但對於『常數（如 −5

、

₀

、

5）是 𝑥 的多項式』此概念是不清楚的」，這類學生佔總人 數的

34.0

%。顯示他們是能夠能考量到多項式中的變數 𝒙 不能在分 母，但「常數也是多項式的一種」之概念心像並不是建立得很完整，

有可能是受到多項式常伴隨著變數 𝒙 出現的既定印象，其中有將近

6

成是來自於「中高程度」學校的學生。

＊

^有

17

^{位學生(其中}

3

^{位中高程度，}

14

位中程度)認為多項式中一定要 出現變數 𝑥，這類學生佔總人數的

10.9

%。顯示出這些學生沒有連結

到長除法的程序性過程，他們在問卷第

12

^{題，能用長除法計算出}

「𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2𝑥²+ 2𝑥 + 2 除以 𝑥 + 1 ，得到的商式 = 𝑥²+ 𝑥 + 1 及餘式 = 1，但卻在多項式中，不認為常數（如 −5

、

₀

、

_{5）是 𝑥 的}

多項式，可知學生對於長除法的程序性是比多項式的結構性還要清 楚。

＊

有

12

^{位學生(其中}

10

^{位中高程度，}

2

位中程度)知道多項式中的變數 𝑥 不能在分母，也知道 5 和 − 5 都是多項式，但卻不認為「0 是多項 式」，這類學生佔總人數的

7.7

%。在他們的心像中，有可能認為

「𝟎」這個數字代表「沒有的」、「空的」，所以才會認為「0 不是多項 式，但 5 和 − 5 都是多項式」的心像浮現出來。這

12

^{位學生當中，}

高達

83.3

%來自於「中高程度」學校的學生。

3.

^{整份問卷只有第}

3

^題的選項

(4)

是全部學生皆答對，表示學生是可以處理

「𝒙^𝟐+ 𝒙 +^𝟕

𝟔 是 𝒙 的多項式」之問題，且願意填答。

4. 156

^{位學生當中，雖然只有}

59

位學生對於「𝑥 的多項式」所浮現的概念心

像是符合概念定義，但在問卷第

12

^題：

「利用長除法求 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 2𝑥² + 2𝑥 + 2 除以 𝑥 + 1 的商式及餘式」題目 中，有高達

150

位學生能正確的使用長除法的程序性，知道除到哪一步該 停，不會除到餘式有分式的形式出現，能對照到多項式除法原理中的「各式

（被除式、除式、商式、餘式）」是由「𝑥 的多項式」所組成。不論中高程 度或是中程度學校的學生，對於長除法的「程序性」遠比多項式的「結構 性」還要清楚且擅長。

在文檔中 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 64-76)