高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究. 研究生：王俊皓. 中華民國一0八年六月.

(2) 謝. 誌. 研究所的生活走到這一刻，心中除了充滿喜悅、感動外，更多的是感謝！對我而言，在攻讀碩士學位的日子中，不僅是一本學位論文的產生，更多的是豐富我的數學教育觀。在論文完成的此刻，要非常感謝我的指導教授謝豐瑞老師，感謝老師您讓我自己去摸索我想要研究的主題，同時在我徬徨無助的時候，不畏辛勞的給我許多循循善誘，從中使我有機會在教學能力與專業知識上再次的省思與精進。同時，也感謝老師從大學到研究所的照顧、指導、包容與關愛，在老師的課堂中，能體會到當您的學生是一件很幸福且充實的事情，也感謝您對待每一位學生的看重與期許，我會帶著老師的祝福往新的階段邁進。本論文的完成有賴於兩位口試委員：鄭英豪教授與王婷瑩教授的協助，感謝您們百忙之中前來給予指導與提供許多寶貴的建議，使這本論文的架構與論述上更加豐富且完善，在此獻上最誠摯的感謝！感謝這一路相伴的柏宇與姿霖，每次的討論都能不厭其煩地給予深入的建議和溫暖的鼓勵，讓我更有動力的完成本論文，同時也讓我們對於彼此的研究主題能有更深入的了解，拓展做研究的視野與精神。感謝啓台學長、原榮學長、婉嘉學姐、嵐婷學姐、人俊學長、雲閔、智昇、禮安、聖懷、怡穎、雅婷、欣穎、信翰、馨尹，在課間與課後給予建議與見解，在問卷與論文分析上提供多元的看法與想法，給我許多信心。感謝怡寶學姐、軒豪學長和明霖學長在忙碌之中還前來大力相挺，聖懷、怡穎、雅婷和怡萱籌備口考的大小事情，讓我可以專心的準備口考，感謝您們！. I.

(3) 特別感謝我的家人一路上的支持與關愛，感謝我的父母親平時的養育與栽培，在我求學和生活上毫無保留的付出，讓我更有勇氣與動力朝著目標前進，沒有後顧之憂的完成碩士學位。感謝我的哥哥與姐姐時常的加油打氣與勉勵，使我可以更堅強的走在築夢、追夢與圓夢的道路上。最後，以最誠摯與感恩的心，將這篇論文獻給我的家人、師長、好友，以及正在看本論文的您！. 王俊皓于臺師大數學系中華民國 108 年 6 月. II.

(4) 摘. 要. 本研究探討高一學生關於「多項式的除法原理」之概念心像。本研究的研究方法為描述性研究（descriptive research），利用問卷與訪談的方式，蒐集質與量的資料。以歸納分析（inductive analysis）的方式進行質的資料之處理，也搭配量化的研究信念，提供較客觀的分析數據與報導。研究抽樣採立意取樣（purposive sampling），包括 79 位中高程度學生（會考積分約 28.6 分，基測 PR 值約 90），與 77 位中程度學生（會考積分約. 20.6 分，基測 PR 值約 80），共計 156 位大台北地區高中一年級學生。本研究的研究結果與發現，主要有以下 8 項：. 1. 高達 62%的學生對於「多項式」之概念心像並不是建立得很完整，其主要認為常數（如 −5、0、5）不是多項式，或認為分式（如 7 + 𝑥 ）也是多項 6. 式的一種。. 2. 不到 1 成的學生知道「餘式次數 < 除式次數」與「餘式 < 除式」是不一樣的意思，有 46%的學生會將「餘式 < 除式」中符號「<」解讀成「次數」的意思。. 3. 約 10%的學生在面對「商式 𝑞(𝑥) 及餘式 𝑟(𝑥) 之間的關係」時（問卷第 6、 7、8、9 題），認為其之間的關係為「餘式 𝑟(𝑥) 的次數必定小於商式 𝑞(𝑥) 的次數」，對於「餘式的限制條件」之概念心像與概念定義有明顯的落差。. 4. 能將數學式「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」主動轉成恆等式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」的學生有 8 成，但只有約 38%的學生 III.

(5) 𝑓(𝑥). 𝑟(𝑥). 知道「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」與「𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑔(𝑥)」是等價關係， 𝑓(𝑥). 與「𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」不是等價關係。. 5. 約 21%的學生認為「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」和恆等式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」與「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」代表相同的意思，對於什麼時候該「⋯」，什麼時候該「+」是不清楚的。. 6. 約 82%的學生在程序性的「長除法」運思中，可以正確知道除到哪一步才該停，有符合「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。能將長除法的運算連結到「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」此概念的學生中，「中高程度」比中程度高出約 16%，顯示兩所不同程度學校的學生在「長除法的運思」是有明顯的差別。. 7. 學生面對「多項式的除法原理」這一個概念名稱的刺激下，腦中主動擷取的概念心像主要有 3 類：「除法」（約 72%）、「各式間的關係」（約 48%），以及「次數」（約 22%）。其餘有「多項式除法原理的用途或限制」、「多項式」等概念心像。其中，能喚起「各式間的關係」此概念心像的學生，「中程度」比中高程度多出 15 %；能喚起「多項式除法原理的用途或限制」此概念心像的學生，「中高程度」比中程度多出 11%。. 8. 從整份問卷作答來看，「中高程度」的學生浮現的概念心像較符合概念定義，正確性較高，但概念心像的穩定性較低。相反地，「中程度」的學生浮現的概念心像較不符合概念定義，正確性較低，但概念心像的穩定性較高。. 關鍵字：多項式、多項式的除法原理、概念心像、概念定義 IV.

(6) 目. 錄. 第壹章緒論 ........................................................................... 1 第一節研究動機與背景 ................................................................................... 1 第二節研究目的暨研究問題 .......................................................................... 5 第三節名詞解釋 ............................................................................................... 6. 第貳章文獻探討 ................................................................... 7 第一節數學解題 ............................................................................................... 7 第二節概念...................................................................................................... 14 第三節概念定義與概念心像 ........................................................................ 20 第四節「多項式的除法原理」之相關研究 ............................................... 27. 第參章研究方法 ................................................................. 29 第一節研究架構 ............................................................................................. 29 第二節研究設計 ............................................................................................. 32 第三節研究樣本 ............................................................................................. 34 第四節研究工具 ............................................................................................. 35 第五節研究步驟與過程 ................................................................................. 44 第六節研究限制 ............................................................................................. 49. 第肆章研究結果與發現 .................................................... 50 第一節研究結果報導之架構 ........................................................................ 50 第二節與「多項式」相關之概念 ................................................................ 52 第三節與多項式的除法原理中「除式與餘式」相關之概念 .................. 64 V.

(7) 第四節與多項式的除法原理中「各式間的關係」相關之概念 .............. 94 第五節與多項式的除法原理「恆等式」相關之概念 .............................122 第六節與「長除法」相關之概念 ..............................................................146 第七節學生關於「多項式的除法原理」之核心的概念心像 ................155. 第伍章結論與建議 ......................................................... 167 第一節結論....................................................................................................167 第二節建議....................................................................................................172. 參考文獻 ................................................................................ 174 中文部分 ...............................................................................................................174 英文部分 ...............................................................................................................175. 附. 錄 ................................................................................ 177 附錄一施測說明與施測問卷 ......................................................................177 附錄二問卷勾選題之勾選狀況與答對率..................................................185. VI.

(8) 表. 次. 目. 錄. 第參章「研究方法」之第三節表 3-3-1. 研究樣本之分佈狀況 .............................................................................. 34. 第肆章「研究結果與發現」之第一節表 4-1-1. 「多項式的除法原理」之報導架構 ....................................................... 50. 第肆章「研究結果與發現」之第二節表 4-2-1. 「多項式中沒有變數 𝑥」之各選項勾選結果......................................... 54. 表 4-2-2. 「多項式中沒有變數 𝑥」之交叉勾選結果 ............................................ 55. 表 4-2-3. 「多項式中有變數 𝑥」之各選項勾選結果 ............................................ 58. 表 4-2-4. 「多項式中有變數 𝑥」之交叉勾選結果 ................................................ 58. 表 4-2-5. 「多項式中有無變數 𝑥」之交叉勾選結果 ............................................ 61. 第肆章「研究結果與發現」之第三節表 4-3-1. 「已知除式次數，判斷餘式可能為幾次多項式」之各選項勾選結果.. 67. 表 4-3-2. 「已知除式次數，判斷餘式可能為幾次多項式」之交叉勾選結果 ..... 68. 表 4-3-3. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(8)~(11) A 類搭配第 5 題. (8)~(11)之交叉勾選狀況）................................................................... 69 表 4-3-4. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(8)~(11) B 類搭配第 5 題. (8)~(11)之交叉勾選狀況）................................................................... 71 表 4-3-5. 第 4 題選項(3)~(7)與第 5 題選項(3)~(7)之設計原因 ........................ 75. 表 4-3-6. 「已知除式次數，判斷餘式可能的形式」之各選項勾選結果 ............. 76. 表 4-3-7. 「已知除式次數，判斷餘式可能的形式」之交叉勾選結果 ................. 77. 表 4-3-8. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(3)~(7) A 類搭配第 5 題. (3)~(7)之交叉勾選狀況） ..................................................................... 79 表 4-3-9. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(3)~(7) B 類搭配第 13 題. (1)之交叉勾選狀況） ............................................................................. 81 表 4-3-10 「『次數 degree』在餘式的限制條件」之各選項勾選結果 ................ 85 VII.

(9) 表 4-3-11 「『次數 degree』在餘式的限制條件」之交叉勾選結果 .................... 86 表 4-3-12 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(1)~(2) A 類搭配第 5 題. (1)~(2)之交叉勾選狀況） ..................................................................... 87 表 4-3-13 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 4 題(1)~(2) B 類搭配第 5 題. (1)~(2)之交叉勾選狀況） ..................................................................... 89 表 4-3-14 「『餘式 < 除式』中的符號『<』所代表的意思」之施測結果（第 4 題(1)~(2)和第 5 題(1)~(2)B-1 類搭配第 4 題(8)~(11)之交叉勾選狀況） ............................................................................................. 91. 第肆章「研究結果與發現」之第四節表 4-4-1. 「商式、餘式兩者間的關係」之各選項勾選結果 ................................ 98. 表 4-4-2. 「商式、餘式兩者間的關係」之交叉勾選結果 .................................... 99. 表 4-4-3. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 6 題(1)~(4) A 類搭配第 7 題. (1)~(4)之交叉勾選狀況） ...................................................................100 表 4-4-4. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 6 題(1)~(4) B 類搭配第 7 題. (1)~(4)之交叉勾選狀況） ...................................................................102 表 4-4-5. 「餘式 𝑟(𝑥) 為固定的多項式，判斷商式 𝑞(𝑥) 可能為幾次多項式」之各選項勾選結果 .......................................................................................105. 表 4-4-6. 「餘式 𝑟(𝑥) 為固定的多項式，判斷商式 𝑞(𝑥) 可能為幾次多項式」之交叉勾選結果 ...........................................................................................106. 表 4-4-7. 「多項式除法中餘式 = 商式的可能性」之各選項勾選結果 ..............110. 表 4-4-8. 認為「多項式除法中餘式 = 商式」之學生心像類型（第 8 題勾選選項「有可能」之學生陳述理由） .............................................................111. 表 4-4-9. 認為「多項式除法中餘式 ≠ 商式」之學生心像類型（第 8 題勾選選項「不可能」之學生陳述理由） .............................................................112. 表 4-4-10 「已知除式次數和商式次數，求被除式次數」之各選項勾選結果 ...117 表 4-4-11 「已知除式次數和商式次數，求被除式次數」之交叉勾選結果 .......118. VIII.

(10) 第肆章「研究結果與發現」之第五節表 4-5-1. 「四個式間的關係」之施測結果與分類類別概述 ..............................125. 表 4-5-2. 「概念心像穩不穩定」之施測結果（第 2 題 B-2 類搭配第 14 題選項. (1)之交叉勾選狀況） ...........................................................................128 表 4-5-3. 「將 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥) 改寫成等式中沒有『⋯』」之施測結果與分類類別概述 ................................................................................132. 表 4-5-4. 「『被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式』轉成恆等式的表示法」之各選項勾選結果 ...................................................................................................137. 表 4-5-5. 「『被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式』轉成恆等式的表示法」之交叉勾選結果 .......................................................................................................137. 表 4-5-6. 「『被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式』中『⋯』的意思」之各選項勾選結果 ..........................................................................................................140. 表 4-5-7. 「『被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式』中『⋯』的意思」之交叉勾選結果. ..............................................................................................................141 表 4-5-8. 「『被除式 ÷ 除式 = 商式 ⋯ 餘式』延伸其他等式」之交叉勾選結果 ..... ..............................................................................................................143. 第肆章「研究結果與發現」之第六節表 4-6-1. 「長除法的運算思維」之施測結果（第 12 題和第 13 題的第(1)小題之回答狀況） ...........................................................................................149. 第肆章「研究結果與發現」之第七節表 4-7-1. 學生對於「多項式的除法原理」最先浮現出的概念心像之結果 .......157. 表 4-7-2. 中高程度和中程度的學生對於「多項式的除法原理」最先浮現出的概念心像之結果百分比與人數 ................................................................162. IX.

(11) 圖. 次. 目. 錄. 第壹章「緒論」之第一節圖 1-1-1. 研究動機與背景（以三位教師心聲為例）.............................................. 1. 第貳章「文獻探討」之第二節圖 2-2-1. Pines（1980）的「概念」之圓錐形模型 ............................................ 16. 圖 2-2-2. 喻平、馬在鳴（2002）的數學概念學習過程 ...................................... 17. 第貳章「文獻探討」之第三節圖 2-3-1. 藉由概念定義與概念心像探討兩種不同的解決問題認知歷程 ............. 25. 第參章「研究方法」之第一節圖 3-1-1. 本研究的研究架構圖 .............................................................................. 29. 第參章「研究方法」之第四節圖 3-4-1. 本研究工具之問卷第 1 題 ...................................................................... 36. 圖 3-4-2. 本研究工具之問卷第 3 題 ...................................................................... 37. 圖 3-4-3. 本研究工具之問卷第 2 題 ...................................................................... 38. 圖 3-4-4. 本研究工具之問卷第 11 題 ................................................................... 39. 圖 3-4-5. 本研究工具之問卷第 14 題 ................................................................... 39. 圖 3-4-6. 本研究工具之問卷第 6 題（餘式與商式） ........................................... 40. 圖 3-4-7. 本研究工具之問卷第 8 題（餘式與商式） ........................................... 41. 圖 3-4-8. 本研究工具之問卷第 9 題（餘式與商式） ........................................... 41. 圖 3-4-9. 本研究工具之問卷第 10 題（被除式、除式與商式） ......................... 41. 圖 3-4-10 本研究工具之問卷第 4 題（餘式與除式） ........................................... 42 圖 3-4-11 本研究工具之問卷第 12 題 ................................................................... 43 圖 3-4-12 本研究工具之問卷第 13 題 ................................................................... 43. 第參章「研究方法」之第五節圖 3-5-1. 本研究流程之「前置研究階段」 ........................................................... 44. 圖 3-5-2. 本研究流程之「正式施測階段」 ........................................................... 45. X.

(12) 圖 3-5-3. 本研究流程之「資料的初步整理階段」 ............................................... 45. 圖 3-5-4. 本研究流程之「訪談階段」 .................................................................. 46. 圖 3-5-5. 本研究流程之「資料處理與分析階段」 ............................................... 46. 圖 3-5-6. 本研究流程之「撰寫論文研究報告階段」............................................ 47. 圖 3-5-7. 研究過程流程圖...................................................................................... 48. 第肆章「研究結果與發現」之第四節圖 4-4-1. 「除式與商式可互換角色」心像的學生例（中高程度 46 號） ........115. 第肆章「研究結果與發現」之第七節圖 4-7-1. 「以長除法說明多項式的除法原理」心像之學生例（中高程度 56 號） ............................................................................158. 圖 4-7-2. 中高程度和中程度的學生對於「多項式的除法原理」名稱之刺激下最先浮現出的概念心像之結果（長條圖） .............................................163. XI.

(13) 第壹章第一節. 緒論. 研究動機與背景. 我已經把概念、題目解釋得很清楚了，為什麼學生還是不懂?. 阿王老師. 學生怎麼會這樣想?為什麼不是按照我上課教得去想?. 學生的想法到底是長怎樣? 學生究竟是如何思考?. 小俊老師. 皓皓老師. ▲【圖 1-1-1】研究動機與背景（以三位教師心聲為例）. 數學的教學除了傳遞給學生數學概念外，也期望學生能清楚的理解數學概念。然而，就實際數學教學現場的狀況而言，教師往往會面臨如【圖 1-1-1】所示：我已經把概念和題目解釋得很清楚了，為什麼學生還是不懂?學生怎麼會這樣想?為什麼不是按照我上課教得去想?學生的想法到底是長怎樣?學生究竟是如何思考?上述是許多教師曾有過的心聲，也是數學教育界亟需瞭解的問題。 1.

(14) 對於上述的問題，是值得思考與探究，為了進一步瞭解學生的想法，研究者研讀「概念心像」的相關內容之研究，從 Vinner 與 Hershkowitz （1980）、Tall 與 Vinner（1981）、Vinner（1983），到 Vinner 與. Dreyfus（1989）的探討中皆對於「概念定義（concept definition）」與「概念心像（concept image）」提出詮釋的方向。在研讀的過程中，思考一個問題：「當學生在解題時，最先進入學生的腦中究竟是什麼?」關於這個問題，Tall 與 Vinner（1981）認為，學生本身建構出的定義，也是對自己的概念心像具體描述而呈現出來的。Tall 與 Vinner（1981）進一步主張：「多數學生在一開始接觸問題時，最先進入思考工作區的是與題目相關、學生具有的相關之概念心像，而不常使用課堂上所教的概念定義來進行思考。」然而，當學生在解題的過程中，腦中呈現的數學概念與思考的內容與教師所教的有所差異時，這就值得深入瞭解學生在面對問題時究竟是如何思考的?學生的概念心像是什麼?甚至，當學生在面臨問題時，連結或運用的數學概念與教師所教的數學概念間的差異為何?上述問題皆是我極度感興趣的，如果學生在解題時是以自我具有的概念心像在運作，那麼教師除了可以更加細膩的把概念講清楚外，也要去發現學生的概念心像具備的情形與樣貌。由於學生的概念心像不盡相同，我們得多花一些時間讓學生去建構屬於自己且貼近數學定義的概念心像，不僅可以豐富教師的教學，也可以深入瞭解學生的概念心像與想法，更可以適應不同程度的學生。因此，我以此作為我的研究主題與方向，期望能帶給數學教育界更多元的觀點與想法。「多項式函數」是高中數學一個極為重要的單元，相較於三角函數、平面向量、空間向量等單元，學生對於多項式函數顯得沒有這麼畏懼。而本研究將. 2.

(15) 概念心像運用在「多項式的除法原理」上，挑選此概念的主要原因有以下 4 個面向：. •. 「多項式的除法原理」對高一學生來說是新的數學概念，但與之前所學的「整數的除法原理與餘數定理」卻有部分內容上的對應關係，兩者間的關係甚深。從數學內容的角度來看，有許多相似的地方，如「除法原理的恆等式」、「除法的程序性運算」等；但「餘式與餘數的限制條件」較有明顯的差異。. •. 「多項式的除法原理」是多項式除法中很重要的概念，不僅可以聯繫程序性的長除法，本身也具有結構性的恆等式。. •. 「多項式的除法原理恆等式」是多項式除法運算的表示法，「餘式定理」和「因式定理」就是以「多項式的除法原理恆等式」為基礎，三者的概念聯繫是非常緊密。. •. 對於學生來說，「多項式的除法原理」是一個難度適中偏易的概念，因此在作答上，學生也較願意填答，此時研究者較可以從學生的填答狀況瞭解學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。. 本研究不僅可以探討學生的概念心像是否符合概念定義外，也可以瞭解學生面對相同概念的題目下，是否會喚起相同的概念心像，也就是探究學生的概念心像之「穩定性」，期望能更深入的瞭解學生對於「多項式的除法原理」此概念之形成過程與相關內容的應用。透過問卷與訪談的方式來分析學生在學完「多項式的除法原理」後所呈現的心像類型，藉由此分析，不僅能對於往後的. 3.

(16) 教學有更好的掌控，更最重的是秉持本研究的精神與經驗，去適應不同程度的學生。. 4.

(17) 第二節. 研究目的暨研究問題. 一、研究目的研究欲探測高一學生關於「多項式的除法原理」之概念心像，藉由學生的作答加以分析學生的心像類型，並從問卷中挑選部分學生進行半結構式訪談，以進一步確認學生的想法與心像。. 二、研究問題根據上述研究目的，擬訂具體的研究問題，如下所示：. 1. 高一學生關於「多項式的除法原理」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 1.1. 與「多項式」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 1.2. 與多項式的除法原理中「除式與餘式」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 1.3. 與多項式的除法原理中「各式間的關係」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 1.4. 與多項式的除法原理「恆等式」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 1.5. 與「長除法」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?. 2. 高一學生關於「多項式的除法原理」相關概念之概念心像的穩定性為何?. 5.

(18) 第三節. 名詞解釋. 本研究的重要名詞有「概念定義（concept definition）」與「概念心像（concept image）」。. 一、概念定義（concept definition）：本研究參考 Tall（1988）對概念定義的說法：「由文字構成，用來界定某個概念的定義。」在本研究的概念定義界定為「課本或講義上對於某個數學概念所下的文字定義，或教師在教學的過程中對某個數學概念所呈現的定義形式。」. 二、概念心像（concept image）：本研究的概念心像，採用 Vinner 與 Dreyfus（1989）的說法：「學生心中所有跟這個概念名稱所關聯的心靈圖像（mental picture）之集合，以及描述它們特性的全部性質。」Vinner 與 Dreyfus 進一步表示心靈圖像指的是任何形式的表徵，如圖像（picture）、符號形式（symbolic form）、圖表（diagram）、圖形（graph）等。. 6.

(19) 第貳章. 文獻探討. 學習的過程中，學生會有概念不懂或是面對題目時不知如何使用正確的概念來解題，此時若教師可以提供實質上的協助，對於學生的學習來說是一大幫助。但是，學生在解題方面有問題來請教教師時，教師應該從哪個面向開始著手呢?「再請學生回去想幾天?請學生講解他想到的所有內容?教師直接解題給學生看?請同學回去翻課本或講義第幾頁?把定義或概念講一遍給學生聽，講完之後再請同學回去想後面的過程?」基本上，教師都曾使用過上述的方法或其他的作法，但不管使用哪個方法，最重要的是先瞭解學生的問題所在，並從學生的回答中給予引導，再針對問題給予協助，以利解決學生的問題與迷失概念。本研究「高一學生關於『多項式除法原理』的概念心像之探究」有關的文獻探討：第一節為數學解題，第二節為概念，第三節為概念定義與概念心像，第四節為「多項式的除法原理」之相關研究。. 第一節. 數學解題（Mathematical problem solving）. 壹、數學解題的意義與重要性所謂解題，即為解決問題。國內外的數學教育中，數學解題已經成為數學課程中的一部份。匈牙利數學家 Polya（1945）曾指出「數學教師的首要責任是發展學生解決問題的能力」。美國數學教師協會（National Council of. Teachers of Mathematics，NCTM）在 1989 年的「學校數學課程與評鑑標準」（Curriculum and Evaluation Standards for Schools Mathematics）提. 7.

(20) 出數學課程改革目標之一「數學即解題」（Mathematics as problem. solving），認為數學教育要培養學生具有數學解題能力，使其有能力應用所學的數學知識去解決身邊所遇到的問題與困難，成為數學解題者。美國教育心理學家 Mayer（1992）認為數學解題是從「已知狀態」（說明已知條件或情境）到「目標狀態」（說明欲達成的目的）之歷程。張春興（2007）認為：「數學解題是在面對數學問題的情境下，個人運用思考與推理，結合知識和技能，而達到目的的心理歷程。」近年來，數學素養已成為現今公民不可或缺的重要素養。教育部（2013）指出數學素養係指「個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。」教育部（2016）在「十二年國民基本教育課程綱要數學領域草案」將「培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力」列入課程目標，可見培養學生的數學解題能力不僅是數學教育中重要的課題，且有助於數學素養的提升。綜合上述國內外學者對「數學解題」的見解，可以說數學解題是在了解問題後，運用舊經驗、知識、技巧與思考等方式，而達到目標的一種歷程。數學解題對學習者而言，是一個重要的課題。因此，我國的數學教育強調要培養學生獨立思考的能力，藉由獨立思考才能讓學生遇到問題時能藉由自己學過或是尋找資源來解決，並在解題的過程中，能進行有效率地與他人溝通，培養具有帶著走的能力一「數學解決問題能力」與「數學素養」。. 8.

(21) 貳、數學解題之歷程解決問題是一種學習的過程，強調的不是個別問題的答案，而是正確的思考程序與想法，可讓學習者建立新的思考模式與整合新的概念，對數學科而言，上述的情形更加顯著。然而，「解題歷程」本身就是一種複雜且廣泛的心理歷程，許多數學專家或從事解題研究者透過學生的數學解題歷程來了解學生究竟是如何面對問題與解決問題，並分析其數學解題過程，能更加掌握學生在數學解題過程中發生的重要特質。國外學者 Dewey、Polya、Lester、Schoenfeld 等都曾針對「解題」或「數學解題」模式提出了獨特的看法與理論，如下：一、 Dewey（1910）的解題模式美國教育家 Dewey 在 1910 年出版的「我們如何思考」（How we. think）一書中提出人們在遭遇問題時進而解決問題所經歷的五個階段：（引自李心儀，2016）【階段一】遭遇困難（confront problem）：個人遭遇或感覺困難的存在，即確認問題的情境。【階段二】確定問題（diagnose or define problem）：個人從遭遇的困難中，確認問題的已知和未知，即確認問題是什麼。【階段三】擬定解決計畫（inventory several solutions）：個人分析問題的情境，連結認知結構，從而擬定出解題的可能方法。【階段四】選擇計畫（conjecture consequences of solutions）：個人從所有的解決方法中，選擇最適合的方法來解題。. 9.

(22) 【階段五】執行與檢驗計畫（test consequences）：個人執行所選擇的方法，並檢驗結果是否滿足最初條件及正確性。. 二、 Polya（1945）的數學解題歷程模式匈牙利數學家 Polya 在 1945 年出版的「怎樣解題」（How to solve it）一書中強調解題的重要性，認為解題是一個過程，從解題者開始瞭解問題，透過已知資料開始著手，最後找到答案或得出結論並作出驗算或回顧為止。因此，. Polya 將數學解題歷程分成四個階段，依序為：瞭解問題；擬定解題計畫；執行解題計畫；回顧解題。【階段一】瞭解問題（understanding the problem）：瞭解問題的敘述，並找出題目中的已知條件、未知條件與代答的問題。【階段二】擬定解題計畫（devising a plan）：解題者找出已知條件與未知條件之間的關聯後，根據條件擬定出解決問題的計畫。【階段三】執行解題計畫（carrying out the plan）：解題者依據擬定的解題計畫來執行的過程。【階段四】回顧解題（looking back）：解題者檢查所得的答案是否具備合理性與正確性，並嘗試使用不同的方法來檢驗答案。. 三、 Lester（1980）的數學解題歷程模式. Lester（1980）依據 Polya 的數學解題模式及訊息處理理論將數學解題分成六個階段，依序為：問題的知覺；問題的理解；目標分析；計畫的發展；計畫的執行；程序和解答評估。Lester 認為解題歷程從「問題的知覺」開始，. 10.

(23) 著重解題者的解題意願，在「程序和解答的評估」中，強調解題者的檢核能力。他將每個階段的重要任務區分，著重於各階的先後順序，但每個階段間有其關連性。【階段一】問題的知覺（problem awareness）：解題者能知覺到問題的存在，並有想要解決問題的意願。【階段二】問題的理解（problem comprehension）：這個階段包含兩個子階段，分別為轉譯及內化。. 1. 轉譯（translation）：解題者將問題中的訊息轉譯成自己能夠理解的名詞。. 2. 內化（internalization）：解題者選取與問題相關聯的訊息，並判斷這些訊息的相關程度。【階段三】目標分析（goal analysis）：解題者改變問題的形式並分析其結構，是否有任何子目標可以幫助達成目標。【階段四】計畫的發展（plan development）：解題者擬定出解題計畫，其中包含解題策略及解題進行的程序與方法。【階段五】計畫的執行（plan implementation）：解題者改變問題的形式並分析其結構，是否有任何子目標可以幫助達成目標。【階段六】程序和解答評估（procedures and solution evaluation）：解題者檢查答案的合理性與正確性，並回顧整個解題過程。. 四、 Schoenfeld（1985）的數學解題歷程模式美國數學家 Schoenfeld（1985）認為在解題的研究上，也必須考量解題 11.

(24) 成功的因素。因此，他將後設認知及信念系統的概念融入數學解題模式之中，主張數學解題的研究方向應該考慮四個變項：資源；捷思；控制；信念系統。【變項 1】資源（resources）：解題者所具備與解題相關的數學知識。【變項 2】捷思（heuristics）：解題者所採取的解題策略與技巧。【變項 3】控制（control）：解題者在解題時，如何決定計畫、選擇目標及採用的策略之歷程，主要包含監控、評估結果、後設認知等活動。【變項 4】信念系統（belief system）：解題者的「數學觀」，即解題者對數學的看法與觀點，其看法將會影響解題的行為。信念系統是建立在資源、捷思與控制的情境上。. Schoenfeld（1985）指出上述四個變項中，「控制」因素為解題的關鍵。特別在解題歷程中，以「控制」因素的觀點，將解題歷程細分成六個階段：閱讀；分析；探索；計畫；執行；驗證。【階段一】閱讀（reading）：解題者開始閱讀題目。【階段二】分析（analysis）：解題者將問題簡化或重述，即對問題作分析以便於瞭解。【階段三】探索（exploration）：解題者尋找已知條件、未知條件及與問題目標間的關聯性。【階段四】計畫（planning）：解題者擬定出解題計畫，並檢視計畫與解題間是否有關，以及評估計畫的適當性。【階段五】執行（implementation）：解題者執行解題計畫，並檢查是否依解題計畫執行。 12.

(25) 【階段六】驗證（verification）：解題者對整個過程與結果進行檢視，並評估解題過程與結果是否合理與正確。. Schoenfeld 的解題歷程模式描述每一階段的解題行為，著重每一決策點，即後設認知行為發生處的分析，在驗證方面，也提出用不同方法檢查解法，不僅評估解題過程，同時評估解題者自己對解題結果的信心（引自李心儀，2016）。然而，Schoenfeld 更強調【變項 3】控制（control）是解題能否成功的關鍵因素，認為控制因素在解題中發揮重要的影響力。. 參、本研究的論點與啟示上述四組學者皆視「解題為多個步驟與成分所組成」，解題者會按照解題步驟進行解題，不論是解題計畫、策略，還是回顧等階段，都必須來自於解題者的腦中，本研究在設計研究工具時也將這些因素納入參考依據。Polya （1945）提到：「解題者在解題的過程中，必須從現有的知識中找出與問題有關。試想過去在類似的情況下有什麼方法或想法曾幫過你的忙，在你所熟悉的東西中，盡力找出有用的東西。」本研究的研究目的為探究高一學生關於「多項式的除法原理」之概念心像。因此，本研究基於以上的論點，認為學生在解題時，會搜尋腦中與題目相關且有用的概念，並將這些概念做一個連結，以利進行解題。. 13.

(26) 第二節. 概念（Concept）. 壹、認識論「人類如何認識這個社會?如何獲取知識?」一直以來都是哲學談論的重要問題。哲學史上，知識論（Epistemology）在探討知識的起源與限制，主要從「理性主義」與「經驗主義」兩個哲學方法來討論。. •. 理性主義（Rationalism）是建立在承認人的理性可以作為知識來源的理論基礎上，高於並獨立於感官感知。理性主義者認為人對這個世界的認識，是透過人本來就有的先驗（a priori，即無需經驗或先於經驗獲得的知識）中得來，而知識是透過推理獲得，而非經驗。蘇格拉底（Socrates）認為每個人都生活在「實在」中，但有些人認識不到自己邏輯上的錯誤，因此有各種錯誤的想法。當時，蘇格拉底發明一種教學法，利用「對話」的方式來達成，即為眾人所知的「產婆法」（Maieutics），教師只負責提出問題，然後學生在討論與批判的過程中，不斷地修正觀念，協助發展自己的理念，最後由學生自行發現答案。教師運用一連串相關的問題引導與激發學生思考，教師所扮演的是「知識接生婆」的角色，學生則是「產婦」，而知識如同「嬰兒」一樣的被產出（elicit）。. •. 經驗主義（Empiricism）主張的知識論與理性主義截然不同。經驗主義否定人擁有與生俱來的知識或不用藉由經驗就可以獲得的知識，而是感受到的經驗，必須經過適當的歸納或演繹，才能形成知識。洛克（Locke）認為人的心靈原本是一塊「白板」（tabula rasa），本來一無所有，無固定形式，而一切的知識來自於「感覺」（sensation）及「反思」（reflection）所得的 14.

(27) 經驗。「感覺」觀念來源於感官感受外部世界，在心底產生的外官觀念（尤其重視覺）；而「反思」觀念則來自於心靈本身，心靈的各種運作而產生的的內官觀念（知覺、記憶、推理、思考）。與理性主義者不同的是，洛克強調這兩種因素是知識的唯一來源，且經由「反思」獲得的觀念，常比「感覺」觀念來得晚，因為感覺觀念的獲得比較直接。. •. 藉由上述對於理性主義與經驗主義兩個哲學方法來探討「概念」，可知：理性主義認為所有的知識都存在於理形世界中，概念似乎是「客體」存在的；經驗主義認為每一種想法都是透過我們看到或聽到而進入我們的意識中，也就是說沒有理形世界的存在，以這樣的角度來看，概念只存在於「主體」。. 貳、概念「這個概念很重要，大家要認真聽」、「老師，這題我用這個概念去想，對嗎?」在教學現場，不管是老師還是學生，「概念」這個詞是大家熟悉的，但究竟什麼是「概念」呢?張春興（2006）在張氏心理學辭典提到以下三點：. 1. 廣義而言，概念係指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗。例如：幼兒吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成一種概括此類水果屬性的認識（蘋果）。依照這個例子來看，這樣的說法偏向經驗主義所認為概念是存在於主體（幼兒）的。. 2. 狹義而言，以單一概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念。如「書」字代表所有不同種類、不同性質的書籍，所以它是一個概念；數字 7 代表數量的概念；X 代表變數的概念。依照這些例子來看，這樣的說法卻是理性主義所認為概念是存在於客 15.

(28) 體的想法。. 3. 概念的形成是學習的，簡單概念學習的過程，主要是經由類化與辨別的交互作用，把對具體事物的經驗，經抽象化而形成超越具體對象的認識。複雜概念的學習，則需經由理解或假設驗證的思考歷程。. Pines（1980）提出人類概念的形成像一個上尖下圓的圓錐形結構，如【圖 2-2-1】所示。圓錐底部的圓形範圍稱之為「外延」，表示概念延伸的部分，包含所有屬於此概念的例子。圓錐的頂端稱之為「內涵」，表示萃取出此概念的特質、共同性或定義等規律性。由底部「外延」推向頂端「內涵」，此過程稱為「概念化」，即由例子中發現具有共同性，這樣的過程是一種歸納的方式；相反的，若由頂端「內涵」推至底部「外延」，此過程稱為「應用」，即將概念的規律性應用於例子中，這樣的過程是一種演繹的方式。由下而上的概念化過程可能會產出不正確的概念內涵；相對地，由上而下的應用概念之過程，可能會產生錯誤的類推。（引自張鳳燕，1991）. ▼【圖 2-2-1】Pines（1980）的「概念」之圓錐形模型. 16.

(29) 參、數學概念「要如何才能判斷學生是否已具有數學概念，或已理解數學概念？」這個問題三不五時就會出現在教師的腦海中，但究竟什麼是「數學概念」呢? 喻平與馬再鳴（2002）認為數學概念具有抽象化、形式化、邏輯化和簡明化的特徵，並且表示學習者在學習數學時，首先透過辯別、抽象、假設、檢驗、分化、概括等心理過程，以概念形成、概念同化或數學語言的學習形式獲得概念心像，然後透過概念的知覺水平應用，去消除概念心象中不完整印象與完整概念之間的差異，再透過概念的思維水平應用，最後逐步形成概念域（亦稱概念系，即具有大量情境，對情境的分析和處理需要好幾種交織在一起的概念、過程和符號表象等），從而完整地掌握數學概念。如【圖 2-2-2】所示。. ▼【圖 2-2-2】喻平、馬在鳴（2002）的數學概念學習過程概念形成概念同化語言學習. 概念. 知覺. →. → 心象. 水平運用. 思維. →. 水平. →. 概念域 (概念系). 運用. 英國教育家 Skemp（1987）表示，數學概念大都是經由人類生活中的活動、實際經驗累積而成的成果，而人類將之比較、分類，由變因中尋找相似性與共通性，再進一步抽象化而得。Skemp 認為教師要判斷學生是否理解或具有數學概念，光說出名稱是不夠的，最好的方式為提出相關但新的問題來觀察學生的回答，如果學生能成功挑選適合的概念並利用此概念來完成解題，即已理. 17.

(30) 解並具有數學概念；如無法完成解題，代表部分學生的能力只停留在機械式的模仿，並未理解數學概念。另外，Skemp 認為〝抽象化（abstracting）〞是一種心智活動的過程，使我們可以瞭解各種周圍環境經驗間的相似性與共通性，而概念是抽象化的結果，是一種延續性的心智變化，使我們能用已經分類（classifying）的舊經驗之相似性與共通性來認知新經驗。因此，要形成一個數學概念必須先有實際經驗，且這些經驗又有某些相似性與共通性。（陳澤民譯，1995）. Skemp（1987）也認為數學概念具有層次的特性，許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念（primary concept），再繼續抽象化成為二級概念（secondary concept），這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，因此數學概念變得相對困難許多。Skemp 提出關於數學概念學習的兩個原則：【原則 1】超過一個人已有概念階級的高階概念不能用定義方式進行溝通，只能蒐集相關的例子供他經驗，再靠他自己抽象而形成概念。【原則 2】在數學中，有關的例子多少又含有其他數學概念，因此，我們在提供例子時必須先確認學生是否已經形成這些預先概念。. 從【原則 2】的敘述中，可以得到以下兩個結論：【結論 1】如果連續抽象過程中的某一步被誤解，則此後的每一步都要冒不少風險，這種環環相扣的相關性在數學中尤其顯著。（例如：不先瞭解算數，而要瞭解代數是一件很困難的事情，因為代數中很多的運算是需要算數。若學生在小學學算數時就沒有真 18.

(31) 正體會到算數的基本性質，在國中的代數對他們來說有如天書。）【結論 2】在教新概念時，所謂的先備知識（prior knowledge）必須先回顧複習，才能較順利的習得新概念。. 肆、教學上的啟示與建議現今的教科書要呈現一個數學概念，通常由定義談起，似乎從定義、定理出發的教學是最輕鬆、最簡便、最有效率的方式，但對於學生學習的過程來說，真的是輕鬆、容易懂的方式嗎? 其實「定義」對學生來說是超高階的數學概念，Skemp（1987）認為定義是概念發展末端的產物，所以當學生從定義出發去學習數學概念，容易弄的一個頭兩個大，更糟糕的情況是到頭來還搞不清楚數學概念，而草率記了一大堆公式，卻不知道使用的時機與原因。因此，在教學現場，我們可以提供學生多一些適當的例子，讓學生去體會與經驗，並透過自己抽象而形成概念。. 19.

(32) 第三節. 概念定義與概念心像. （Concept definition & Concept image）壹、「概念定義與概念心像」的背景學校的數學教育核心在於教師與學生之間存在「教」與「學」的認知活動。因此，我們必須瞭解學生在面對問題時，究竟是如何「思考」?腦中所呈現的數學概念或思考與教師所教的有所差異嗎? 在上一節「概念」的探討中，我們可以瞭解概念的形成與學習是抽象的，而 Vinner（1983）對於抽象概念的認知結構，提出「心靈圖像」（mental. picture），其主要由兩種元素組成，即「概念定義」（concept definition）與概念心像（concept image）。Vinner 假定每個概念的認知結構中存在兩個不同的組成元素，一個是概念定義，另一個是概念心像，有可能其中一個是空的，也有可能兩個都是空的。雖然它們是獨自形成，但是兩者之間還是有可能存在交互作用。什麼是「概念定義」（concept definition）呢?根據 Vinner（1983）的說法：「概念定義是以一種不會循環的方式精確解釋概念的文字定義。」（The concept definition that accurately explains the concept in a. noncircular way.）而 Tall（1988）認為「概念定義是用來界定某個概念的文字。」（The concept definition is a form of words used to specify that. concept.）這兩位學者的說法被廣泛的接受。數學概念都有一個形式化且嚴謹的概念定義，這些定義會出現在課本上或. 20.

(33) 教師所表達出來，可能是透過口頭說明和解釋，或是呈現在黑板上的方式，都是概念定義。綜合以上，本研究的概念定義界定為「課本或講義上對於某個數學概念所下的文字定義，或教師在教學的過程中對某個數學概念所呈現的定義形式」。就教學現場的狀況而言，教師往往會面臨以下問題：「我已經把數學概念或題目解釋得很清楚了，為什麼學生還是不懂?學生的想法到底是長怎樣?學生究竟是如何思考?學生怎麼會這樣想?為什麼不是按照我上課教得去想?」綜合上述問題，相較於課本上的概念定義，學生本身所具備的也是概念定義嗎?還是具備其他的?關於這個問題，Vinner（1991）認為：「當學生看到或聽到某個概念的名稱時，它會對刺激學生的記憶，並且在學生的記憶中喚醒某些東西，儘管這個被喚起的東西有它的定義，但通常不會引出定義，而是喚起學生的概念心像。」什麼是「概念心像」（concept image）呢?根據 Tall 與 Vinner（1981）的說法：「我們使用概念心像這個詞來描述那些跟概念相關聯的所有認知結構，包含所有的心靈圖像（mental picture），以及相關的性質與過程。」而. Vinner（1983）對「心靈圖像」這個概念進一步說明：「若 C 表示某個概念，而 P 表示某一個人，則 P 對 C 的心靈圖像就是 P 的腦中所有與 C 相關聯的圖像之集合。在此使用的圖像（picture）是十分廣義的，它包含這個概念的任何視覺表徵（甚至符號）。 ⋯ ⋯ 除了一個概念的心靈影像，也包含在. P 的腦中與這個概念相關的性質。 ⋯ ⋯ 這些性質連同心靈圖像的集合就稱為概念心像。」. （Vinner，1983） 21.

(34) 另一個研究中，Vinner 與 Dreyfus（1989）也描述學生的概念心像，並做了相似的界定：「學生的概念心像指的是，在學生心中所有跟這個概念的名稱所關聯的心靈圖像之集合，以及表現它們特性的全部性質。其中，心靈圖像指的是任何形式的表徵，如圖像（picture）、符號形式（symbolic. form）、圖表（diagram）、圖形（graph）等。」（Vinner & Dreyfus，1989）. 由上述 Vinner（1983）、Vinner 與 Dreyfus（1989）的研究得知，在討論概念心像時，「視覺表徵」是非常重要的元素之一，圖像（picture）這個觀念容易是學生記憶中所喚起的第一物件，但不排除其他形式的表徵，像是當我們提到「函數」時，學生腦中喚起的可能是函數圖形（直線、拋物線等）、 𝑦 = 𝑓(𝑥)、集合的對應圖，或是特殊函數（𝑦 = sin 𝑥、𝑦 = log 𝑥 等），這些都是學生對「函數」這個概念的概念心像。. 貳、「概念定義與概念心像」在「教學上」的相關研究對學生來說，概念心像是跟著概念形成一起發展的。在學一個新概念時，學生就會建構屬於自己的概念心像，而這個概念心像卻往往不是完整的。那什麼時候概念心像才會比較完整呢?根據波蘭數學家 Semadeni（2008）說法：「概念心像的發展與學生的思維與直觀有關，隨著學習的深入，概念心像也會越來越完整。」此處的「直觀」，亦即心理學所指的「心像」。. 22.

(35) 再深入一點的探討，身為數學教育者的我們，期望學生在學習概念之後，面對題目時能夠使用概念定義來解題，而什麼時候學生的概念心像會慢慢接近概念定義，甚至是一致呢?依據 Vinner 與 Dreyfus（1989）的說法：「學生的概念心像是關於該概念的例子與非例子的經驗所形成的結果。」所以，學生接觸適合該概念的例子越多，其概念心像的發展會越接近概念定義。但我們不能強求學生的概念心像馬上就要接近概念定義，因為 Tall 與 Vinner（1981）認為「概念心像的發展並非一夕可成，是經年累月透過各種的經驗所建構起來，並且隨著個體受到新刺激或新經驗越趨向成熟，進而產生變化。」即概念心像比概念定義更像是個體對概念形成過程中的心理產物。身為教師的我們，會想知道學生是如何思考?或是，想知道學生在面對題目時，腦中會喚起怎樣的數學概念?上述的兩個問題，都是關於學生的概念心像之「運作」方式。從 Tall 與 Vinner（1981）的研究中可以發現學生的概念心像具有「多樣性」的特點。學生對於特定概念會有許多的概念心像，在不同的時間點或不同情境下，腦中會喚起不同的概念心像來面對問題。他們提出：「在特定的時間內，只有某部分的概念心像會被喚起（evoked），我們稱這些為『被喚起的概念心像』（evoked concept image）。不同的時間，被喚起的概念心像彼此間可能會產生衝突，只有當這些相互衝突的概念心像同時被喚起，才會感覺到它們之間的衝突。」（Tall & Vinner，1981）. 解讀上述這段話後，可以得到以下三件事：. •. 不同的時間點，學生會使用不同的概念心像，表示「情境」對不同的概念心. 23.

(36) 像之喚起有明顯的影響。因此，若要探討學生較多元的概念心像，一定要有多樣化的情境來輔助。. •. 由於不同的時間點、多樣性的情境，學生會喚起不同的概念心像。這也說明為何學生會表現出對某個概念有時候理解，有時候又出現概念迷失的情形。. •. 當相互衝突的概念心像同時被喚起，學生才會感受到這些心像之間的衝突，造成認知衝突（cognitive conflicit），學生可藉由「認知衝突」來促進學習效果。【例子 1】小學生一開始在學兩個正數的減法時，他可能會觀察到「減」這個動作會讓答案變小，此時「減去一個數字會變小」就成為他概念心像的一部份，但後來遇到減去負數的題目時，就會造成認知衝突。【例子 2】學生認為 0. 9̅ = 0.9999999 ⋯ 永遠小於 1，但之後在學循環小數化成分數的方法後，才體會到 0. 9̅ = 1 是對的，當這兩個互相衝突的概念心像同時被喚起，他們才會感受到這兩個心像之間的衝突，進而產生認知衝突。. 另外，「學生的解題認知歷程」也是教師們很在乎且重視的。Vinner （1981）利用【圖 2-3-1】表示兩種不同的解決問題認知歷程，左圖是一般教師假設學生處理問題的認知歷程，右圖是大部分學生解題的實際歷程。. 24.

(37) ▼【圖 2-3-1】藉由概念定義與概念心像探討兩種不同的解決問題認知歷程 (左圖) 一般教師假設學生處理問題. (右圖) 大部分學生解題的實際歷程. 的認知歷程. 教師通常認為學生在解題時，一開. 多數學生在一開始接觸問題時，最先. 始是想到相關的定義，然後藉由概. 進入思考工作區的是相關的概念心. 念心像幫助他們解題。. 像，而不常使用概念定義。. 藉由【圖 2-3-1】的說明，可知概念心像在學生學習的過程中是扮演非常重要的角色。. 參、本研究的論點概念心像與概念名稱之間的連結因人而異，也就是說同一個概念名稱對不同人來說，可能會喚起不同的概念心像。而本研究為了要更深入瞭解學生的概念心像，參考 Vinner（1991）的說法：「如果你想知道某個人是否知道某個特定的概念定義，你只要要求他寫下來。然而要研究某個人的概念心像，研究者必須問不直接的問題（indirect questions），這樣才能讓受訪者的概念心. 25.

(38) 像真正呈現出來。」所以，想要判斷學生是否具備某個概念，光說出名稱或是處理同樣的情境是不夠的，必須讓學生面對不同的情境，並根據學生的回答深入探討，才能真正瞭解學生較全貌的概念心像。本研究基於以上的內容與看法，問卷的設計以多種的情境和非直接的問題為主，為了瞭解學生是否能夠理解並應用「多項式的除法原理」所包含的數學概念，才能真正探討和觀察到學生的概念心像。. 26.

(39) 第四節. 「多項式的除法原理」之相關研究. 國內曾有研究者針對高中生進行多項式函數的理解或學習之研究，在本節將對與多項式的除法原理之研究進行探討。. 壹、「多項式的除法原理」之相關研究王婷瑩（2003）曾對台北市一所高中的 83 名高一學生進行研究，探討高一學生在多項式的除法原理、餘式定理、因式定理等數學內容的學習歷程中，數學思維的啟動與轉化現象，以及造成這些現象的原因。她的研究有以下幾點發現：. 1. 七成以上的學生仍停留在整數除法原理的階段，認為「餘式 < 除式」，無法轉換成「deg 餘式 < deg 除式」。. 2. 整數的除法中，「餘數 > 0 」的限制也連結至多項式的除法原理中，仍認為「餘式必須為正數或整數」，也有學生認為「餘式要大於、等於 0」。. 3. 超過一半的學生對於餘式限制思維為餘式次數不可以比除式的次數大，但可以和除式的次數一樣，即認為餘式滿足「餘式次數 ≤ 除式次數」。. 周瑞進（2007）曾對台南地區五所高中共 8 個班的 296 名高一學生進行研究，探討台南地區高一生學習多項式題材的錯誤類型，以及分析台南地區高一生學習多項式題材各項錯誤類型發生的原因。他的研究有以下幾點發現：. 1. 國中階段的多項式單元已學過多項式的相關概念，經過高中的延伸學習後，卻有高達六成的學生仍未能完全了解「多項式概念」，由於受到國中的多項 27.

(40) 式題材強調係數為整數的二次多項式，且呈現的方式都有符號 𝑥，導致學生認為「 0 不是多項式」的主要原因。. 2. 除法原理在國中階段已經學習過，甚至在整數的單元也學習過，但在「多項式的除法原理」並沒有學得很好，差異在於以前的除法原理是在數系中運算，數字可以比較大小，可以利用數字大小了解除數與餘數間的關係，但多項式的除法原理在多項式的運算中無法比較大小，但學生會直接拿除式和餘式來比較大小。. 3. 當被除式不變的條件下，除式放大 𝑎 倍，商式除以 𝑎 倍，而餘式不變，整個解題關鍵在於等量公理，也是學生容易忽略之處，約五成的學生會認為「除式放大 𝑎 倍，餘式也會跟著放大 𝑎 倍」。. 4. 「長除法」與「綜合除法」兩者在運算過程中混淆使用，對於多項式除法的技能訓練不熟。. 貳、本研究的論點與啟示從以上的研究結果，我們可以看到大部分的錯誤原因來自於學生的概念出現問題，有些是受到舊有概念的影響（例如：整數除法中，餘數的限制：餘數 < 除數），有些則是對於文字符號的理解有所障礙，無法瞭解題目所要表達的概念，或是對某個概念的認知還沒發展到成熟階段，進而造成學習上的困擾。「多項式的除法原理」具有哪些獨特的概念呢?這些概念在學生心中會形成怎麼樣的概念心像呢?目前並沒有相關的研究在探討學生的腦中是如何去看待「多項式的除法原理」，這不僅是數學教育界極為重要的議題，也能提供教師作為教學上的參考，具有應用性的價值。 28.

(41) 第參章第一節. 研究方法研究架構. ▲【圖 3-1-1】本研究的研究架構圖 29.

(42) 上頁的【圖 3-1-1】為本研究的研究架構圖，其是依據研究目的：「探測高一學生關於『多項式的除法原理』之概念心像」，並搭配研究問題與研究工具，共同發展而成的研究架構。關於【圖 3-1-1】的研究架構圖詳細說明如下：學生在解題的歷程中，一開始會接受到題目給予的刺激（如【圖 3-1-1】的「題目賦予的刺激下」），然後從腦中搜索與題目相關的概念，此時某些概念心像就會被喚起（如【圖 3-1-1】的「搜索與喚起」）。被喚起的概念心像會回到學生腦中的思考工作區，接著學生會從中挑選適合的概念心像作為解題的參考，思考過後做出反應（如【圖 3-1-1】的「思考後做出的反應」），此時可以瞭解學生對於題目所輸出的形式與想法（如【圖 3-1-1】的「輸出的形式」）。雖然每個學生的概念心像不一定穩定（即前後不一致），甚至有些學生的概念心像與正式的概念定義頗為不同，但學生在學習「多項式的除法原理」之過程中，能逐漸發展出屬於自己的概念心像，而我們要如何才能探測出學生關於「多項式的除法原理」之概念心像呢? 依據本研究的研究目的與將多項式的除法原理此概念分成四個類別的相關概念：「多項式、各式間的關係、恆等式與長除法」，這四個類別彼此間非完全的分割，而是有層次化的結構。藉由這四個子類別去探討高一學生對於「多項式的除法原理」相關概念的具備情形與樣貌，以及學生在面對這四個子類別時所浮現的心像，作為「高一學生關於『多項式的除法原理』之概念心像」的初探目標。安排這四個類別的想法之說明如後：探討「多項式的除法原理」概念，先. 30.

(43) 探討更基本的「多項式」概念，因為多項式除法原理中的各式（被除式、除式、商式、餘式）都是由 𝒙 的多項式所組成，所以「𝒙 的多項式」就像是「多項式的除法原理」中最基本的元素，如果一個學生對於「多項式的除法原理」之基礎概念一「多項式」的定義或概念都不清楚，有可能影響他對「多項式的除法原理」中結構性之恆等式的認知。因多項式的除法原理是由四個式（被除式 𝒇(𝒙)、除式 𝒈(𝒙)、商式 𝒒(𝒙)、餘式 𝒓(𝒙)）所組成，研究者能透過這四個符號瞭解學生對此原理中的結構性之「恆等式」認知。由於「多項式的除法原理恆等式」是由四個式所組成，其各式間的關係為何?除了探討「除式與餘式」間的關係外，也會探討其他式間的關係。前面已探討結構性的恆等式，而多項式的除法也可以藉由「長除法」得到「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥) 」四個式間的關係，若學生已經具備餘式的限制條件之概念，在程序性的長除法運算中，也能清楚的知道除到哪一步才該停嗎?另外，也能探討高一學生對於「結構性的恆等式」與「程序性的長除法」這兩個子類別間的概念可否互通?這些都是值得我們去探討的問題。最後，除了探討多項式的除法原理之相關概念外，也會探討學生關於多項式的除法原理之核心的概念心像，一般談到某個概念時，其名稱與概念本身是密不可分，能瞭解學生對於「多項式的除法原理」之名稱的刺激下，與其內涵之連結為何?. 31.

(44) 第二節. 研究設計. 本研究的研究目的是探討高一學生對於「多項式的除法原理中所含有的數學概念」之概念心像。本研究定位為基礎性研究（basic research），但研究結果同時可讓教師更加瞭解學生學習「多項式的除法原理」後所形成的概念心像，提供教師作為教學上的參考，故也具有應用性。由於概念心像的呈現不一定是前後一致、脈絡相連的，而且有些學生的概念心像與概念定義不太相同。因此，為了能夠深入且全面的探討學生的概念心像，本研究的研究方法為描述性研究（descriptive research），利用問卷與訪談的方式，蒐集質與量的資料，並從蒐集到的資料去分析學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。以歸納分析（inductive analysis）的方式進行質的資料之說明，在歸納分析時，不做事先的假設與預設的限制，任何發現均來自於學生的反應，以致獲得現象的事實本質。另外，本研究也搭配量化的研究信念，提供較客觀的分析數據與報導。根據本研究的研究目的，設計有關「多項式的除法原理」不同情況的問題，透過問卷調查法，瞭解學生是否具備「多項式的除法原理」相關概念的概念心像，並透過質、量的資料分析與半結構式訪談的方式，進一步瞭解學生概念心像的樣貌。問卷測驗時間並未限制，只要學生願意填答，都會給予充分的時間完成作答。問卷包含開放性與封閉性的問題，在施測問卷完畢之後，對於封閉性題目的勾選狀況，進行量的統計分析；而開放性題目的回答狀況，以先選取一部分. 32.

(45) 學生回答的資料進行分類，再依照所歸納出來的類別對全體施測學生進行分類，做各類人數的統計與分析說明，從學生的回答資料中瞭解與解釋說明學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。本研究的研究對象為高一學生，在施測時間的考量方面，依據高中數學教材的內容，高一上學期的第二章是「多項式函數」，搭配研究目的，為了使學生學完「多項式的除法原理」之概念心像不受到第三章「指數與對數函數」的干擾，得到盡可能正確且全面的研究結果，進行施測的時間選在第二次段考結束後，但還未學過指數與對數函數單元（約 11 月底 12 月初），此階段的高一學生對於「多項式的除法原理」之概念發展時間較長，且接觸此概念的經驗與例子較多，其概念心像的發展也較為固定。因此，探討這個階段的學生之概念心像，較能凸顯出高一學生在學完此概念後的概念心像狀況，能提供高中數學老師參考，以利概念教學前後連貫的數學思考與教學脈絡。本研究的研究過程包含：編製問卷、施測、回收、訪談、質與量的資料分析，將質的資料做歸類、分析、詮釋與報導，搭配量的資料作輔助。. 33.

(46) 第三節. 研究樣本. 本研究採立意取樣（purposive sampling），為了能收集到豐富且有價值的質性資料，研究樣本按「教育會考的積分成績」為選樣依據，研究樣本的數學程度以中高程度及中程度為主（相對於大台北地區的高中生程度）。研究樣本來自大台北地區兩所公立高中五個高一班級的學生，其中三個班級來自於一所程度較高的高中，該校高一學生入學時的教育會考成績之積分約為 28.6 分（國中基本能力測驗 PR 值約為 90），這三個班級包含兩個普通班，以及一個多元選修課程的班級；另外兩個班級來自於一所程度中等的高中，該校高一學生入學時的教育會考成績之積分約為 20.6 分（國中基本能力測驗 PR 值約為 80），這兩個班級皆為普通班。本研究的「無效樣本」之界定為：「問卷內容超過二分之一未作答者，其作答意願明顯低落而不予作答，因其會影響分析數據的正確性與價值性，故視為無效樣本。」綜合上述，本研究扣除無效樣本後一共 156 人，兩所不同程度學校的有效樣本數與施測編號情形詳見【表 3-3-1】。 ▼【表 3-3-1】研究樣本之分佈狀況. 學校類型入學成績有效樣本數施測編號中高程度. 會考約 28.6 分；. 79 人. 中高程度 01 ｜. 基測 PR 值約 90 (男生 46 人、女生 33 人) 中高程度 7 9. 中. 程. 度. 會考約 20.6 分；. 77 人. 中程度｜. 基測 PR 值約 80 (男生 32 人、女生 45 人) 中程度有效樣本總計：. 156. 人 ( 男生 34. 0 1 7 7. 7 8 人、女生 7 8 人 ).

(47) 第四節. 研究工具. 壹、研究工具的編製本研究的研究工具為「多項式的除法原理之概念心像探測問卷」與「多項式的除法原理之概念心像晤談工具」，問卷詳細的內容請參見本論文的【附錄一】；問卷的編製架構與報導可另參見本論文第肆章第一節的【表 4-1-1】。本研究問卷編製由數學教育學者專家，以及碩博士班學生組成小組，進行多次的焦點團體討論與修正而成，期間進行一次的預測問卷，從學生的回答中去檢驗題目的正確性與可行性，施測完後進行資料整理，並依預測問卷的結果與小組進行討論，以修正而成正式施測問卷。依據研究目的與研究工具，尋找合適的研究對象與適當的施測時間，施測時間方面以考量學生答題意願與教學進度的安排下，所以進行一次的施測。施測問卷的過程中，為了避免學生受到其他題目的干擾與影響，將問卷分成三個部分並採三階段進行，施測的方式為先發第一部分的問卷，等待同學作答完畢後，在統一進行第二部分的問卷，等待同學作答完第二部分的問卷後，在統一進行第三部分的問卷。問卷的三部分測驗時間皆未限制，只要學生願意填答，都會給予充分的時間完成作答。. 貳、研究工具的內容問卷內容一共有三個部分，第一部分包含一個問題，編製第一部分的目的是探討學生對於「多項式的除法原理」之「核心」的概念心像，第二部分包含. 35.

(48) 兩個問題，第三部分包含十一個問題。編製第二部分與第三部分的目的是探討學生對於「多項式的除法原理」之「相關」的概念心像（即多項式、各式間的關係、恆等式、長除法）。本研究藉由問卷的三部分取得質與量的資料，其中質的資料是由學生在問卷上自述其答題的理由與過程而得；量的資料是依據學生勾選問卷上的是非題，經統計後而得。. 問卷(一)：「多項式的除法原理」之核心的概念心像. . 概念的名稱與概念本身是密不可分，所以在問卷第一部分唯一一個問題：「對您而言，什麼是『多項式的除法原理』?」（如【圖 3-4-1】）此題為開放性問題，且該題放在整份問卷的第一題之原因在於學生能不依靠任何的提示或是例子的情況下，寫出對於「多項式的除法原理」之第一個想法，欲探討學生對於「多項式的除法原理」之名稱與其內涵之連結，瞭解學生在面對「多項式的除法原理」這一個名稱的刺激下，腦中最先想到的畫面會是什麼?會浮現出什麼樣貌的概念心像呢? 關於問卷第 1 題更詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第七節。. ▼【圖 3-4-1】本研究工具之問卷第 1 題. 1. 對您而言，什麼是「多項式的除法原理」? (請將所有知道的、想到的盡量表達出來，就是您的最佳答案呦. 36. ).

(49) . 問卷(二)、(三)：「多項式的除法原理」之相關概念的概念心像. 第二部分與第三部分一共有十三個題目，皆是依據本研究的研究目的與將多項式的除法原理此概念分成四個類別的相關概念：「多項式、各式間的關係、恆等式與長除法」，這四個類別彼此間非完全的分割，而是有層次化的結構。將這十三個題目分成兩個部分的考量因素為：施測的題目間有重疊的概念，容易出現有互相提示的情況，因此將可能互相提示的題目分別放在第二部分以及第三部分的問卷中。. (1) 多項式：因為多項式的除法原理中各式（被除式、除式、商式、餘式）都是由 𝒙 的多項式所組成，所以「𝒙 的多項式」就像是「多項式的除法原理」中最基本的元素。如果一個學生對於「多項式的除法原理」的基礎概念一「多項式」的定義或概念都不清楚，有可能影響他對多項式的除法原理恆等式之結構性。本研究工具之問卷第 3 題如【圖 3-4-2】所示。關於問卷第 3 題更詳細的內容與報導，可另參見本論文第肆章的第二節。 ▼【圖 3-4-2】本研究工具之問卷第 3 題把是「𝒙 的多項式」之項目打「」，不是的打「✘」。.  (1). −5.  (2). 0.  (3). 5.  (4). 𝑥2 + 𝑥 + 6. 𝑥.  (6) 7 + 𝑥.  (5) 6 + 3. 7. 6. 37.

(50) (2) 恆等式：「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」是多項式的除法原理恆等式。如果在給定四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」，學生會如何利用這四個符號去表達「多項式的除法原理恆等式」呢? 本研究工具之問卷第 2 題如【圖 3-4-3】所示。關於問卷第 2 題更詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第五節。. ▼【圖 3-4-3】本研究工具之問卷第 2 題. 您的好朋友問您：老師昨天在介紹「多項式的除法原理」時，有講到下面四個符號之間的關係：「被除式 𝒇(𝒙)、除式 𝒈(𝒙)、商式 𝒒(𝒙)、餘式. 𝒓(𝒙) 」。但我忘了，您可以教我嗎?. 因為多項式除法的表示法並非唯一，部分學生習慣將多項式除法寫成「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，但研究者期待學生能知道「恆等式」的表示法：「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」，對於學生來說，能否將「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」改寫成恆等式的表示法呢?，本研究工具之問卷第 11 題如【圖 3-4-4】所示。關於問卷第 11 題更詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第五節。. 38.