研究工具

壹、 研究工具的編製

本研究的研究工具為「多項式的除法原理之概念心像探測問卷」與「多項 式的除法原理之概念心像晤談工具」，問卷詳細的內容請參見本論文的【附錄 一】；問卷的編製架構與報導可另參見本論文第肆章第一節的【表

4-1-1

^】。

本研究問卷編製由數學教育學者專家，以及碩博士班學生組成小組，進行 多次的焦點團體討論與修正而成，期間進行一次的預測問卷，從學生的回答中 去檢驗題目的正確性與可行性，施測完後進行資料整理，並依預測問卷的結果 與小組進行討論，以修正而成正式施測問卷。

依據研究目的與研究工具，尋找合適的研究對象與適當的施測時間，施測 時間方面以考量學生答題意願與教學進度的安排下，所以進行一次的施測。施 測問卷的過程中，為了避免學生受到其他題目的干擾與影響，將問卷分成三個 部分並採三階段進行，施測的方式為先發第一部分的問卷，等待同學作答完畢 後，在統一進行第二部分的問卷，等待同學作答完第二部分的問卷後，在統一 進行第三部分的問卷。問卷的三部分測驗時間皆未限制，只要學生願意填答，

都會給予充分的時間完成作答。

貳、 研究工具的內容

問卷內容一共有三個部分，第一部分包含一個問題，編製第一部分的目的 是探討學生對於「多項式的除法原理」之「核心」的概念心像，第二部分包含

兩個問題，第三部分包含十一個問題。編製第二部分與第三部分的目的是探討 學生對於「多項式的除法原理」之「相關」的概念心像（即多項式、各式間的 關係、恆等式、長除法）。本研究藉由問卷的三部分取得質與量的資料，其中 質的資料是由學生在問卷上自述其答題的理由與過程而得；量的資料是依據學 生勾選問卷上的是非題，經統計後而得。

 問卷(一)：「多項式的除法原理」之核心的概念心像

概念的名稱與概念本身是密不可分，所以在問卷第一部分唯一一個問題：

「對您而言，什麼是『多項式的除法原理』?」（如【圖

3-4-1

^{】）此題為開放}

性問題，且該題放在整份問卷的第一題之原因在於學生能不依靠任何的提示或 是例子的情況下，寫出對於「多項式的除法原理」之第一個想法，欲探討學生 對於「多項式的除法原理」之名稱與其內涵之連結，瞭解學生在面對「多項式 的除法原理」這一個名稱的刺激下，腦中最先想到的畫面會是什麼?會浮現出什 麼樣貌的概念心像呢?

關於問卷第

1

題更詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第七 節。

▼【圖

3-4-1

^{】本研究工具之問卷第}

1

^題

1.

^{對您而言，什麼是「}

^{多項式的除法原理}

^」?

(請將所有知道的、想到的盡量表達出來，就是您的最佳答案呦 )

 問卷(二)、(三)：「多項式的除法原理」之相關概念的概念心像

第二部分與第三部分一共有十三個題目，皆是依據本研究的研究目的與將 多項式的除法原理此概念分成四個類別的相關概念：「多項式、各式間的關 係、恆等式與長除法」，這四個類別彼此間非完全的分割，而是有層次化的結 構。將這十三個題目分成兩個部分的考量因素為：施測的題目間有重疊的概 念，容易出現有互相提示的情況，因此將可能互相提示的題目分別放在第二部 分以及第三部分的問卷中。

(1)

多項式：

因為多項式的除法原理中各式（被除式、除式、商式、餘式）都是由 𝒙 的多項式所組成，所以「𝒙 的多項式」就像是「多項式的除法原理」中最基 本的元素。如果一個學生對於「多項式的除法原理」的基礎概念一「多項 式」的定義或概念都不清楚，有可能影響他對多項式的除法原理恆等式之結 構性。本研究工具之問卷第

3

^題如【圖

3-4-2

^{】所示。關於問卷第}

3

^題更詳

細的內容與報導，可另參見本論文第肆章的第二節。

▼【圖

3-4-2

^{】本研究工具之問卷第}

3

^題

把是

「𝒙 的多項式」

^{之項目打「}



」，不是的打「

✘

」。



(1) −5



(2) 0



(3) 5



(4) 𝑥²+ 𝑥 +⁷

6



^{(5) 𝑥}

6

+ 3 

⁽⁶⁾

7 +

⁶

𝑥

(2)

恆等式：

「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」是多項式的除法 原理恆等式。如果在給定四個符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、

餘式 𝑟(𝑥)」，學生會如何利用這四個符號去表達「多項式的除法原理恆等 式」呢?

本研究工具之問卷第

2

^題如【圖

3-4-3

^{】所示。關於問卷第}

2

^題更詳細

的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第五節。

▼【圖

3-4-3

^{】本研究工具之問卷第}

2

^題

您的好朋友問您：老師昨天在介紹「多項式的除法原理」時，有講到下面四

個符號之間的

關係 ： 「被除式 𝒇(𝒙)、除式 𝒈(𝒙)、商式 𝒒(𝒙)、餘式 𝒓(𝒙) 」

。但我忘了，您可以教我嗎?

因為多項式除法的表示法並非唯一，部分學生習慣將多項式除法寫成

「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」，但研究者期待學生能 知道「恆等式」的表示法：「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」，對於學生來說，

能否將「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」改寫成恆等式的表示法呢?，

本研究工具之問卷第

11

^題如【圖

3-4-4

^{】所示。關於問卷第}

11

^題更

詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第五節。

▼【圖

3-4-4

^{】本研究工具之問卷第}

11

^題

將

「𝒇(𝒙) ÷ 𝒈(𝒙) = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)」

^{改寫成新的式子中}

不含

「 ⋯ ⋯ ^」

^的等式。

如果學生可以將「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」

轉成「恆等式：𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」的表示法，顯示學生對於這兩 個式子間的轉換是成熟的，但學生能否更進一步將「恆等式」的結構延伸成 其他等式呢?

本研究工具之問卷第

14

^題如【圖

3-4-5

^{】所示。關於問卷第}

14

^題更

詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的第五節。

▼【圖

3-4-5

^{】本研究工具之問卷第}

14

^題

已知

「𝒇(𝒙) ÷ 𝒙 = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝟏」

^，

請將正確的項目打「」，錯誤的打「

✘

」。

 ⁽¹⁾

^𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑞(𝑥) + 1

 ⁽²⁾

^𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑞(𝑥) +

¹

𝑥

 ⁽³⁾ 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 1

 ⁽⁴⁾ 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) + 1

被除式 除式 商式 餘式

商式 餘式

(3)

各式間的關係：

多項式的除法原理告訴我們：

「被除式 𝒇(𝒙) = 除式 𝒈(𝒙) × 商式 𝒒(𝒙) + 餘式 𝒓(𝒙)，其中 𝒓(𝒙) = 𝟎 或 𝐝𝐞𝐠 𝒓(𝒙) < 𝐝𝐞𝐠 𝒈(𝒙)」

由於多項式的除法原理是由「四個式」所組成，任何一個式都極為重 要，但在學生的心像中，會認為「餘式和除式」之間才有關係嗎?還是覺得 任何兩個式之間都存在互相影響的關係呢?

因此，在問卷第

4

^、

5

^、

6

^、

7

^、

8

^、

9

^、

10

題不僅可以瞭解學生對於多 項式除法的「式子」之結構性的認知，也可以探討在相同概念下，學生是否 會出現概念心像不穩定（即前後不一致）的情況呢?

因「各式間的關係」之題目眾多，故在此僅列出「餘式與除式」（第

4

題）、「餘式與商式」（第

6、8、9

題）、「被除式、除式與商式」（第

10

題）作為代表，關於問卷第

4

^~

10

題更詳細的內容說明與報導，可另參見本 論文第肆章的第三、四節。

▼【圖

3-4-6

^{】本研究工具之問卷第}

6

^{題（餘式與商式）}

已知

「𝑓(𝑥) ÷ (𝑥 + 3) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，當

商式 𝒒(𝒙) 為二次多項式

^時，

餘式 𝒓(𝒙) 可能

^為

 ⁽¹⁾ 三次

多項式

 ⁽³⁾ 一次

多項式

 ⁽²⁾ 二次

多項式

 ⁽⁴⁾ 常數

多項式

▼【圖

3-4-7

^{】本研究工具之問卷第}

8

^{題（餘式與商式）}

已知

「𝑓(𝑥) ÷ 𝑥

²

= 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，當

商式 𝒒(𝒙) = 𝒙 + 𝟑

時，

餘式 𝒓(𝒙) 是否可能為 𝒙 + 𝟑

? 請說明您的理由。

 ⁽¹⁾ 有

可能

 ⁽²⁾ 不

可能

▼【圖

3-4-8

^{】本研究工具之問卷第}

9

^{題（餘式與商式）}

已知

「 _{𝑓(𝑥) ÷ (𝑥}

²

+ 4) = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 3 」

，

商式 𝒒(𝒙) 可能

^為

 ⁽¹⁾ 四次

多項式

 ⁽³⁾ 二次

多項式

 ⁽⁵⁾ 常數

多項式

 ⁽²⁾ 三次

多項式

 ⁽⁴⁾ 一次

多項式

▼【圖

3-4-9

^{】本研究工具之問卷第}

10

題（被除式、除式與商式）

已知

「 𝒇(𝒙) ÷ 𝑥 = 2𝑥

²

⋯ ⋯ 𝑟(𝑥) 」

，

被除式 𝒇(𝒙) 可能

^為

 ⁽¹⁾ 四次

多項式

 ⁽³⁾ 二次

多項式

 ⁽⁵⁾ 常數

多項式

 ⁽²⁾ 三次

多項式

 ⁽⁴⁾ 一次

多項式

餘式

商式 餘式

▼【圖

3-4-10

^{】本研究工具之問卷第}

4

^{題（餘式與除式）}

已知「

𝑥

³

÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，

當

除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式

^時，



(1) 𝑟(𝑥) < 𝑥³



(2) 𝑟(𝑥) <

𝑔

(

𝑥

)



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

(4)

長除法：

學生的學習經驗中，都曾使用過長除法計算整數除法和多項式除法，對 於學生來說，長除法運算是熟悉的，因此在教學現場，有些老師會以「長除 法的程序性運算思維」來連結結構性的「餘式次數 < 除式次數」之思維。

因此，在問卷第

12

^、

13

題，可以瞭解學生是否知道長除法運算除到哪 一步才該停，確定學生能否將長除法的程序性運算經驗與結構性的「餘式次 數 < 除式次數」之思維做一個連結。

此外，除了瞭解學生是否具備長除法的運算思維和結構性的「餘式次數 < 除式次數」之思維外，也能瞭解學生能否將長除法的運算連結到「恆等

商式 餘式

式：被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)」的表示法。

本研究工具之問卷第

12

^、

13

^題如【圖

3-4-11

^】、【圖

3-4-12

^】所示。

關於問卷第

12

^、

13

題更詳細的內容說明與報導，可另參見本論文第肆章的 第六節。

▼【圖

3-4-11

^{】本研究工具之問卷第}

12

^題

利用長除法求下列關於「

𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟑

+ 𝟐𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟐 除以 𝒙 + 𝟏

^」

的問題。

⚫ 長除法過程：

⚫ 商式 𝒒(𝒙) =

^。

⚫ 餘式 𝒓(𝒙) =

^。

⚫ 「除法原理」表示：𝒇(𝒙) =

^。

▼【圖

3-4-12

^{】本研究工具之問卷第}

13

^題

小俊利用長除法計算「

多項式 𝒇(𝒙) 除以 𝟒𝒙 + 𝟐

^{」的步驟如下：}

(1) 上面長除法是否完成?(備註：如果沒有，請完成。)



完成



^未完成

(2) 請用「除法原理

」

表示：

𝒇(𝒙) =

^。

在文檔中 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 47-56)