壹、 認識論
「人類如何認識這個社會?如何獲取知識?」一直以來都是哲學談論的重要問 題。哲學史上，知識論（
Epistemology
）在探討知識的起源與限制，主要從「理性主義」與「經驗主義」兩個哲學方法來討論。
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理性主義（Rationalism
）是建立在承認人的理性可以作為知識來源的理論 基礎上，高於並獨立於感官感知。理性主義者認為人對這個世界的認識，是 透過人本來就有的先驗（a priori
，即無需經驗或先於經驗獲得的知識）中 得來，而知識是透過推理獲得，而非經驗。蘇格拉底（Socrates
）認為每個人都生活在「實在」中，但有些人認識不到自己邏輯上的錯誤，因此有各種 錯誤的想法。當時，蘇格拉底發明一種教學法，利用「對話」的方式來達 成，即為眾人所知的「產婆法」（
Maieutics
），教師只負責提出問題，然後 學生在討論與批判的過程中，不斷地修正觀念，協助發展自己的理念，最後 由學生自行發現答案。教師運用一連串相關的問題引導與激發學生思考，教 師所扮演的是「知識接生婆」的角色，學生則是「產婦」，而知識如同「嬰 兒」一樣的被產出（elicit
）。•
經驗主義（Empiricism
）主張的知識論與理性主義截然不同。經驗主義否 定人擁有與生俱來的知識或不用藉由經驗就可以獲得的知識，而是感受到的 經驗，必須經過適當的歸納或演繹，才能形成知識。洛克（Locke
）認為人的心靈原本是一塊「白板」（
tabula rasa
），本來一無所有，無固定形式，而一切的知識來自於「感覺」（
sensation
）及「反思」（reflection
）所得的經驗。「感覺」觀念來源於感官感受外部世界，在心底產生的外官觀念（尤 其重視覺）；而「反思」觀念則來自於心靈本身，心靈的各種運作而產生的 的內官觀念（知覺、記憶、推理、思考）。與理性主義者不同的是，洛克強 調這兩種因素是知識的唯一來源，且經由「反思」獲得的觀念，常比「感 覺」觀念來得晚，因為感覺觀念的獲得比較直接。
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藉由上述對於理性主義與經驗主義兩個哲學方法來探討「概念」，可知：理 性主義認為所有的知識都存在於理形世界中，概念似乎是「客體」存在的；經驗主義認為每一種想法都是透過我們看到或聽到而進入我們的意識中，也 就是說沒有理形世界的存在，以這樣的角度來看，概念只存在於「主體」。
貳、 概念
「這個概念很重要，大家要認真聽」、「老師，這題我用這個概念去想，
對嗎?」在教學現場，不管是老師還是學生，「概念」這個詞是大家熟悉的，但 究竟什麼是「概念」呢?張春興（
2006
）在張氏心理學辭典提到以下三點：1.
廣義而言，概念係指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗。例如：幼兒 吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成 一種概括此類水果屬性的認識（蘋果）。依照這個例子來看，這樣的說法偏 向經驗主義所認為概念是存在於主體（幼兒）的。2.
狹義而言，以單一概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全 體時，此名稱或符號所代表者即為概念。如「書」字代表所有不同種類、不 同性質的書籍，所以它是一個概念；數字7
代表數量的概念；X 代表變數的 概念。依照這些例子來看，這樣的說法卻是理性主義所認為概念是存在於客體的想法。
3.
概念的形成是學習的，簡單概念學習的過程，主要是經由類化與辨別的交互 作用，把對具體事物的經驗，經抽象化而形成超越具體對象的認識。複雜概 念的學習，則需經由理解或假設驗證的思考歷程。Pines
（1980
）提出人類概念的形成像一個上尖下圓的圓錐形結構，如【圖
2-2-1
】所示。圓錐底部的圓形範圍稱之為「外延」，表示概念延伸的部 分，包含所有屬於此概念的例子。圓錐的頂端稱之為「內涵」，表示萃取出此概 念的特質、共同性或定義等規律性。由底部「外延」推向頂端「內涵」，此過程 稱為「概念化」，即由例子中發現具有共同性，這樣的過程是一種歸納的方式；相反的，若由頂端「內涵」推至底部「外延」，此過程稱為「應用」，即將概念 的規律性應用於例子中，這樣的過程是一種演繹的方式。由下而上的概念化過 程可能會產出不正確的概念內涵；相對地，由上而下的應用概念之過程，可能 會產生錯誤的類推。（引自張鳳燕，
1991
）▼【圖
2-2-1
】Pines
（1980
）的「概念」之圓錐形模型參、 數學概念
解並具有數學概念；如無法完成解題，代表部分學生的能力只停留在機械式的 模仿，並未理解數學概念。
另外，
Skemp
認為〝抽象化（abstracting
）〞是一種心智活動的過程，使我們可以瞭解各種周圍環境經驗間的相似性與共通性，而概念是抽象化的結 果，是一種延續性的心智變化，使我們能用已經分類（
classifying
）的舊經驗之相似性與共通性來認知新經驗。因此，要形成一個數學概念必須先有實際經 驗，且這些經驗又有某些相似性與共通性。（陳澤民譯，
1995
）Skemp
（1987
）也認為數學概念具有層次的特性，許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念（
primary concept
），再繼續抽象化成為二級概念（
secondary concept
），這些經過多次抽象化的數學概念具有高度 的濃縮性，因此數學概念變得相對困難許多。Skemp
提出關於數學概念學習的 兩個原則：【原則
1
】超過一個人已有概念階級的高階概念不能用定義方式進行溝通，只 能蒐集相關的例子供他經驗，再靠他自己抽象而形成概念。【原則
2
】在數學中，有關的例子多少又含有其他數學概念，因此，我們在提 供例子時必須先確認學生是否已經形成這些預先概念。從【原則
2
】的敘述中，可以得到以下兩個結論：【結論
1
】如果連續抽象過程中的某一步被誤解，則此後的每一步都要冒不少 風險，這種環環相扣的相關性在數學中尤其顯著。（例如：不先瞭解算數，而要瞭解代數是一件很困難的事情，因 為代數中很多的運算是需要算數。若學生在小學學算數時就沒有真
正體會到算數的基本性質，在國中的代數對他們來說有如天書。）
【結論
2
】在教新概念時，所謂的先備知識（prior knowledge
）必須先回顧複習，才能較順利的習得新概念。
肆、 教學上的啟示與建議
現今的教科書要呈現一個數學概念，通常由定義談起，似乎從定義、定理 出發的教學是最輕鬆、最簡便、最有效率的方式，但對於學生學習的過程來 說，真的是輕鬆、容易懂的方式嗎?
其實「定義」對學生來說是超高階的數學概念，
Skemp
（1987
）認為定義是概念發展末端的產物，所以當學生從定義出發去學習數學概念，容易弄的一 個頭兩個大，更糟糕的情況是到頭來還搞不清楚數學概念，而草率記了一大堆 公式，卻不知道使用的時機與原因。因此，在教學現場，我們可以提供學生多 一些適當的例子，讓學生去體會與經驗，並透過自己抽象而形成概念。