壹、 數學解題的意義與重要性
所謂解題，即為解決問題。國內外的數學教育中，數學解題已經成為數學 課程中的一部份。匈牙利數學家
Polya
（1945
）曾指出「數學教師的首要責任 是發展學生解決問題的能力」。美國數學教師協會（National Council of
Teachers of Mathematics
，NCTM
）在1989
年的「學校數學課程與評鑑標 準」（Curriculum and Evaluation Standards for Schools Mathematics
）提出數學課程改革目標之一「數學即解題」（
Mathematics as problem
solving
），認為數學教育要培養學生具有數學解題能力，使其有能力應用所學的數學知識去解決身邊所遇到的問題與困難，成為數學解題者。美國教育心理
學家
Mayer
（1992）認為數學解題是從「已知狀態」（說明已知條件或情境）到「目標狀態」（說明欲達成的目的）之歷程。
張春興（
2007
）認為：「數學解題是在面對數學問題的情境下，個人運用 思考與推理，結合知識和技能，而達到目的的心理歷程。」近年來，數學素養 已成為現今公民不可或缺的重要素養。教育部（2013
）指出數學素養係指「個 人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題 時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適 當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特 長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀 點。」教育部（2016
）在「十二年國民基本教育課程綱要數學領域草案」將「培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力」列入課程目標，
可見培養學生的數學解題能力不僅是數學教育中重要的課題，且有助於數學素 養的提升。
綜合上述國內外學者對「數學解題」的見解，可以說數學解題是在了解問 題後，運用舊經驗、知識、技巧與思考等方式，而達到目標的一種歷程。數學 解題對學習者而言，是一個重要的課題。因此，我國的數學教育強調要培養學 生獨立思考的能力，藉由獨立思考才能讓學生遇到問題時能藉由自己學過或是 尋找資源來解決，並在解題的過程中，能進行有效率地與他人溝通，培養具有 帶著走的能力一「數學解決問題能力」與「數學素養」。
貳、 數學解題之歷程
解決問題是一種學習的過程，強調的不是個別問題的答案，而是正確的思 考程序與想法，可讓學習者建立新的思考模式與整合新的概念，對數學科而 言，上述的情形更加顯著。然而，「解題歷程」本身就是一種複雜且廣泛的心理 歷程，許多數學專家或從事解題研究者透過學生的數學解題歷程來了解學生究 竟是如何面對問題與解決問題，並分析其數學解題過程，能更加掌握學生在數 學解題過程中發生的重要特質。
國外學者
Dewey、Polya、Lester、Schoenfeld
等都曾針對「解題」或「數學解題」模式提出了獨特的看法與理論，如下：
一、
Dewey
（1910
）的解題模式美國教育家
Dewey
在1910
年出版的「我們如何思考」（How we
think
）一書中提出人們在遭遇問題時進而解決問題所經歷的五個階段：（引自李心儀，
2016
）【階段一】遭遇困難（
confront problem
）：個人遭遇或感覺困難的存在，即 確認問題的情境。【階段二】確定問題（
diagnose or define problem
）：個人從遭遇的困難 中，確認問題的已知和未知，即確認問題是什麼。【階段三】擬定解決計畫（
inventory several solutions
）：個人分析問題的情境，連結認知結構，從而擬定出解題的可能方法。
【階段四】選擇計畫（
conjecture consequences of solutions
）：個人從所有的解決方法中，選擇最適合的方法來解題。
【階段五】執行與檢驗計畫（
test consequences
）：個人執行所選擇的方 法，並檢驗結果是否滿足最初條件及正確性。二、
Polya
（1945
）的數學解題歷程模式匈牙利數學家
Polya
在1945
年出版的「怎樣解題」（How to solve it
）一書中強調解題的重要性，認為解題是一個過程，從解題者開始瞭解問題，透過 已知資料開始著手，最後找到答案或得出結論並作出驗算或回顧為止。因此，
Polya
將數學解題歷程分成四個階段，依序為：瞭解問題；擬定解題計畫；執行解題計畫；回顧解題。
【階段一】瞭解問題（
understanding the problem
）：瞭解問題的敘述，並 找出題目中的已知條件、未知條件與代答的問題。【階段二】擬定解題計畫（
devising a plan
）：解題者找出已知條件與未知條 件之間的關聯後，根據條件擬定出解決問題的計畫。【階段三】執行解題計畫（
carrying out the plan
）：解題者依據擬定的解題 計畫來執行的過程。【階段四】回顧解題（
looking back
）：解題者檢查所得的答案是否具備合理 性與正確性，並嘗試使用不同的方法來檢驗答案。三、
Lester
（1980
）的數學解題歷程模式Lester
（1980
）依據Polya
的數學解題模式及訊息處理理論將數學解題 分成六個階段，依序為：問題的知覺；問題的理解；目標分析；計畫的發展；計畫的執行；程序和解答評估。
Lester
認為解題歷程從「問題的知覺」開始，著重解題者的解題意願，在「程序和解答的評估」中，強調解題者的檢核能 力。他將每個階段的重要任務區分，著重於各階的先後順序，但每個階段間有 其關連性。
【階段一】問題的知覺（
problem awareness
）：解題者能知覺到問題的存 在，並有想要解決問題的意願。【階段二】問題的理解（
problem comprehension
）：這個階段包含兩個子 階段，分別為轉譯及內化。1.
轉譯（translation
）：解題者將問題中的訊息轉譯成自己能夠理 解的名詞。2.
內化（internalization
）：解題者選取與問題相關聯的訊息，並 判斷這些訊息的相關程度。【階段三】目標分析（
goal analysis
）：解題者改變問題的形式並分析其結 構，是否有任何子目標可以幫助達成目標。【階段四】計畫的發展（
plan development
）：解題者擬定出解題計畫，其 中包含解題策略及解題進行的程序與方法。【階段五】計畫的執行（
plan implementation
）：解題者改變問題的形式並 分析其結構，是否有任何子目標可以幫助達成目標。【階段六】程序和解答評估（
procedures and solution evaluation
）：解題者檢查答案的合理性與正確性，並回顧整個解題過程。
四、
Schoenfeld
（1985
）的數學解題歷程模式美國數學家
Schoenfeld
（1985
）認為在解題的研究上，也必須考量解題成功的因素。因此，他將後設認知及信念系統的概念融入數學解題模式之中，
主張數學解題的研究方向應該考慮四個變項：資源；捷思；控制；信念系統。
【變項
1
】資源（resources
）：解題者所具備與解題相關的數學知識。【變項
2
】捷思（heuristics
）：解題者所採取的解題策略與技巧。【變項
3
】控制（control
）：解題者在解題時，如何決定計畫、選擇目標及採 用的策略之歷程，主要包含監控、評估結果、後設認知等活動。【變項
4
】信念系統（belief system
）：解題者的「數學觀」，即解題者對數 學的看法與觀點，其看法將會影響解題的行為。信念系統是建立在 資源、捷思與控制的情境上。Schoenfeld
（1985
）指出上述四個變項中，「控制」因素為解題的關 鍵。特別在解題歷程中，以「控制」因素的觀點，將解題歷程細分成六個階 段：閱讀；分析；探索；計畫；執行；驗證。【階段一】閱讀（
reading
）：解題者開始閱讀題目。【階段二】分析（
analysis
）：解題者將問題簡化或重述，即對問題作分析以 便於瞭解。【階段三】探索（
exploration
）：解題者尋找已知條件、未知條件及與問題目 標間的關聯性。【階段四】計畫（
planning
）：解題者擬定出解題計畫，並檢視計畫與解題間 是否有關，以及評估計畫的適當性。【階段五】執行（
implementation
）：解題者執行解題計畫，並檢查是否依【階段六】驗證（
verification
）：解題者對整個過程與結果進行檢視，並評估 解題過程與結果是否合理與正確。Schoenfeld
的解題歷程模式描述每一階段的解題行為，著重每一決策 點，即後設認知行為發生處的分析，在驗證方面，也提出用不同方法檢查解 法，不僅評估解題過程，同時評估解題者自己對解題結果的信心（引自李心 儀，2016
）。然而，Schoenfeld
更強調【變項3
】控制（control
）是解題能否成功的關鍵因素，認為控制因素在解題中發揮重要的影響力。
參、 本研究的論點與啟示
上述四組學者皆視「解題為多個步驟與成分所組成」，解題者會按照解題
步驟進行解題，不論是解題計畫、策略，還是回顧等階段，都必須來自於解題 者的腦中，本研究在設計研究工具時也將這些因素納入參考依據。
Polya
（
1945
）提到：「解題者在解題的過程中，必須從現有的知識中找出與問題有 關。試想過去在類似的情況下有什麼方法或想法曾幫過你的忙，在你所熟悉的 東西中，盡力找出有用的東西。」本研究的研究目的為探究高一學生關於「多項式的除法原理」之概念心 像。因此，本研究基於以上的論點，認為學生在解題時，會搜尋腦中與題目相 關且有用的概念，並將這些概念做一個連結，以利進行解題。