建議

身為教育工作者的我們，總是希望能在學生的學習過程中給予適當的幫 助。而本研究是在探討學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，若學生在 解題的過程遇到困難時，我們要如何從中給予協助，並更進一步的瞭解學生的 概念心像。因此，研究者根據此次的研究經驗，給予教學上、後續研究者一些 相關建議，以及未來的期許。

一、 對教學上的建議：

1.

因為多項式的除法原理都是在談「𝑥 的多項式」，所以「𝒙 的多項式」就像是

「多項式的除法原理」中最基本的元素，但從研究結果可以知道學生在「多 項式」就出現了不少問題。因此，建議教師在進行「多項式的除法原理」教 學前，要先確認學生是否已經具備「多項式」的概念。

2.

從研究結果可以知道學生對於「多項式的除法原理」之結構性

「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)，其中 𝑟(𝑥) = 0 或 deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑔(𝑥)」出現很大的問題。因此，在教學時應提供不同的實 例，從例子中抽象出概念來，讓學生累積關於「餘式的限制條件」之經驗，

以便發展更完整且全面的概念心像。

3.

多項式的除法原理是由「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」

四個式所組成，從研究結果可以知道學生對於各式間的關係並沒有那麼清 楚。因此，除了探討「除式與餘式」間的關係外，教師也可以讓學生去觀察 各式間的關係，學生對於「多項式的除法原理」之結構性才會更清楚。

4.

有學生在問卷上寫：「要是考試考這種的，我就一百分！」但從這位學生的 作答情形來看，其實存在著許多的迷思概念，這也是教學現場中容易出現的 問題。學生往往對於簡單的概念（如多項式的除法原理）都以為自己懂了，

但從研究結果來看並非如此，許多的概念並沒有掌握清楚。身為教育工作者 的我們，應該要更謹慎地確認學生的概念心像發展情形，每當學生在解題方 面遇到困難時，我們要先瞭解學生對於相關概念之概念心像的具備情形與樣 貌，如此一來才可以有效的協助學生。

二、 對後續研究的建議：

1.

基於研究的限制，本研究只抽樣大台北地區兩所不同程度的公立高中，若能 將研究樣本擴大到更多不同程度的學校施測，則研究結果會更全面，更具有 推廣性。

2.

本研究聚焦在學生對於「多項式的除法原理」之概念心像，從研究結果與發 現來看，有學生會將此概念與「餘式定理」和「因式定理」做連結，後續研 究者不妨可以探究高中生關於「餘式定理」或「因式定理」的概念心像，可 與本研究的結果比較，瞭解學生在這三個概念間的轉變歷程。

參 考 文 獻

A. ^中文部分

（註：中文部分出版年份以西元記年）

王婷瑩（

2004

）。高中生數學學習歷程中之思維研究─多項式除法原理、餘式定 理、因式定理。國立臺灣師範大學數學系碩士論文。

李心儀（

2016

）。不同解題歷程模式中的回顧。臺灣教育評論月刊，

5

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林福來等（

2018

）。普通高級中學數學第一冊。南一書局。

周瑞進（

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）。台南地區高一學生多項式題材錯誤類型之調查研究。國立高 雄師範大學數學系碩士論文。

陳澤民（譯）（

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）。台北市：九章出版社。

許志農等（

2018

）。普通高級中學數學第一冊。龍騰文化。

張春興（

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）。張氏心理學辭典。台北市：東華書局。

張鳳燕（

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）：教導心理學微觀─從概念學習談國小數學教育。師友月刊，第

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）：論數學概念學習。數學傳播，

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Vinner, S.

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Vinner, S.

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Vinner, S. & Dreyfus, T.

^（

1989

^）

. Images and Definitions for the Concepts of Function, Journal for Research in Mathematics Education,

20(4), 356-366.

177

1.

^{對您而言，什麼是「}

^{多項式的除法原理}

^」?

(請將所有知道的、想到的盡量表達出來，就是您的最佳答案呦 )

2.

您的好朋友問您：老師昨天在介紹「多項式的除法原理」時，有講到下面四個符號之間 的

關係：「被除式 𝒇(𝒙)、除式 𝒈(𝒙)、商式 𝒒(𝒙)、餘式 𝒓(𝒙) 」

^。

但我忘了，您可以教我嗎?

3.

^把是

「𝒙 的多項式」

^{之項目打「}



^{」，不是的打「}

✘

」。



(1) −5



(2) 0



(3) 5



(4) 𝑥² + 𝑥 +⁷

6



^{(5) 𝑥}

6

+ 3 

⁽⁶⁾

7 +

⁶

𝑥

聰明的您：老師昨天說這四個符號之間

有關係

，就是……

4.

^已知「

^𝑥

³

÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，當

除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式

^時，



(1) 𝑟(𝑥) < 𝑥³



(2) 𝑟(𝑥) <

𝑔

⁽

𝑥

⁾



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

5.

^已知「

^𝑥

³

÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，當

除式 𝒈(𝒙) 為二次多項式

^時，



(1) 𝑟(𝑥) < 𝑥³



(2) 𝑟(𝑥) <

𝑔

(

𝑥

)



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

正確的打「



」， 錯誤的打「

✘

」！

商式 餘式

商式 餘式

12.

利用長除法求下列關於「

𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟑

+ 𝟐𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟐 除以 𝒙 + 𝟏

^{」的問題。}



長除法過程：



商式 𝒒(𝒙) =

^。



餘式 𝒓(𝒙) =

^。



「除法原理」表示：𝒇(𝒙) =

^。

13.

^{小俊利用長除法計算「}

多項式 𝒇(𝒙) 除以 𝟒𝒙 + 𝟐

^{」的步驟如下：}

(1) 上面長除法是否完成?(備註：如果沒有，請完成。)



^完成



^未完成

(2) 請用「除法原理

」

表示：

𝒇(𝒙) =

^。

14.

^已知

「𝒇(𝒙) ÷ 𝒙 = 𝒒(𝒙) ⋯ ⋯ 𝟏」

^{，請將正確的項目打「}



^{」，錯誤的打「}

✘

」。

 ⁽¹⁾

^𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑞(𝑥) + 1  ⁽²⁾

^𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑞(𝑥) +

¹

𝑥

 ⁽³⁾ 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 1  ⁽⁴⁾ 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞(𝑥) + 1

商式 餘式

【附錄二】 問卷勾選題之勾選狀況與答對率

（問卷第 3 ^、 4 ^、 5 ^、 6 ^、 7 ^、 9 ^、 10 ^、 14 ^題）

◆ 問卷第

3

^題：

把是

「𝒙 的多項式」

^{之項目打「}



^{」，不是的打「}

✘

」。



(1) −5



(2) 0



(3) 5



(4) 𝑥²+ 𝑥 +⁷

6



^{(5) 𝑥}

6

+ 3 

⁽⁶⁾

7 +

⁶

𝑥

中高程度(

79

人) 中 程 度 (

7 7

^{人 ) 合 計 (}

1 5 6

^{人 )}

選項

(1)

^答對人數

41 (51.9%) 33 (42.9%) 74 (47.5%)

選項

(2)

^答對人數

34 (43.0%) 33 (42.9%) 67 (43.0%)

選項

(3)

^答對人數

41 (51.9%) 33 (42.9%) 74 (47.5%)

選項

(4)

^答對人數

79 (100%) 77 (100%) 156 (100%)

選項

(5)

^答對人數

77 (97.5%) 72 (93.5%) 149 (95.5%)

選項

(6)

^答對人數

73 (92.4%) 61 (79.2%) 134 (85.9%)

問卷第

3

^題說明：

註

1

^：第

3

^題選項

(1)

^~

(6)

^{依序答案為：}

✘

^。

註

2

：中高程度學校的學生在第

3

^{題作答的答對率為}

38.0%

^。

註

3

：中程度學校的學生在第

3

^{題作答的答對率為}

37.6%

^。

註

4

^{：整體學生在第}

3

^{題作答的答對率為}

37.8%

^。

選項 學校類型

◆ 問卷第

4

^題：

已知「

𝑥

³

÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，

當

除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式

^時，



(1) 𝑟(𝑥) < 𝑥³



(2) 𝑟(𝑥) <

𝑔

(

𝑥

)



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

中高程度(

79

人) 中 程 度 (

7 7

^{人 ) 合 計 (}

1 5 6

^{人 )}

選項

(1)

^答對人數

16 (20.3%) 10 (13.0%) 26 (16.7%)

選項

(2)

^答對人數

22 (27.8%) 14 (18.2%) 36 (23.1%)

選項

(3)

^答對人數

76 (96.2%) 74 (96.1%) 150 (96.2%)

選項

(4)

^答對人數

75 (94.9%) 72 (93.5%) 147 (94.2%)

選項

(5)

^答對人數

72 (91.1%) 71 (92.2%) 143 (91.7%)

選項

(6)

^答對人數

56 (70.9%) 53 (68.8%) 109 (69.9%)

選項

(7)

^答對人數

55 (69.6%) 58 (75.3%) 113 (72.4%)

選項

(8)

^答對人數

77 (97.5%) 75 (97.4%) 152 (97.4%)

選項

(9)

^答對人數

69 (87.3%) 70 (90.9%) 139 (89.1%)

商式 餘式

選項 學校類型

選項(10)^答對人數

53 (67.1%) 53 (68.8%) 106 (67.9%)

選項(11)^答對人數

79 (100%) 75 (97.4%) 154 (98.7%)

問卷第

4

^題說明：

註

1

^：第

4

^題選項

(1)

^~

(11)

^{依序答案為：}

✘✘✘✘✘✘✘

^。

註

2

：中高程度學校的學生在第

4

^{題作答的答對率為}

3.8%

^。

註

3

：中程度學校的學生在第

4

^{題作答的答對率為}

5.2%

^。

註

4

^{：整體學生在第}

4

^{題作答的答對率為}

4.5%

^。

◆ 問卷第

5

^題：

已知「

𝑥

³

÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)

^」，

當

除式 𝒈(𝒙) 為二次多項式

^時，



(1) 𝑟(𝑥) < 𝑥³



(2) 𝑟(𝑥) <

𝑔

(

𝑥

)



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

中高程度(

79

人) 中 程 度 (

7 7

^{人 ) 合 計 (}

1 5 6

^{人 )}

選項

(1)

^答對人數

14 (17.7%) 14 (18.2%) 28 (17.9%)

選項

(2)

^答對人數

12 (15.2%) 7 (9.1%) 19 (12.2%)

選項

(3)

^答對人數

71 (89.9%) 73 (94.8%) 144 (92.3%)

選項

(4)

^答對人數

73 (92.4%) 69 (89.6%) 142 (91.0%)

選項

(5)

^答對人數

72 (91.1%) 67 (87.0%) 139 (89.1%)

選項

(6)

^答對人數

70 (88.6%) 64 (83.1%) 134 (85.9%)

選項

(7)

^答對人數

65 (82.3%) 62 (80.5%) 127 (81.4%)

選項

(8)

^答對人數

77 (97.5%) 75 (97.4%) 152 (97.4%)

選項

(9)

^答對人數

69 (87.3%) 70 (90.9%) 139 (89.1%)

商式 餘式

選項 學校類型

在文檔中 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 184-200)