與多項式的除法原理中「除式與餘式」相關之概念

研究目的是要探究學生對於「多項式的除法原理」之概念心像。首先，研 究者將探討多項式的除法原理中一「餘式的限制條件」之相關概念，即探討

「除式與餘式」間的關係。

「多項式的除法原理」中有一個很重要的結論是「餘式的限制條件：○¹餘 式 = 𝟎 或○²餘式的次數 < 除式的次數」之概念。在問卷第

1

^{題開放式的問題}

中，僅約

1

成的學生能主動擷取有關「除式與餘式間的關係」之概念心像，其 中有學生浮現的概念心像為「餘式 < 除式」，對這類型的學生來說，「次數 degree」在他們的概念心像中是不存在的嗎?還是，認為要比較除式和餘式這 兩個「多項式的大小」呢?最後，透過問卷的第

4

^、

5

題，可以探究「在學生的 概念心像中，關於多項式的除法原理中『餘式的限制條件』相關概念之概念心 像的具備情形與樣貌為何?」

本節根據研究目的，將施測的問卷進行分析，探究學生對於多項式的除法 原理中「除式與餘式」間的概念心像。在這個主題下，分成下列

4

^{個欲探討的}

問題：

A.

在學生的概念心像中，若已知除式的次數，能否清楚的辨識出餘式可能為 幾次多項式?

B.

在學生的概念心像中，若已知除式的次數，能否清楚的辨識出餘式可能的

「形式¹」?

C.

在學生的概念心像中，會認為「多項式除法，若不整除時，則『餘式小於 除式』，還是『餘式的次數小於除式的次數』?

D.

綜合前面三項內容，在學生的概念心像中，關於多項式的除法原理中「餘 式的限制條件」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何?

Question 3-1

^{（對照問卷第}

4

^題

(8)

^~

(11)

^和第

5

^題

(8)

^~

(11)

^選項）

在學生的概念心像中，若已知除式的次數，能否清楚的辨識出餘式可能為 幾次多項式?

藉由問卷的第

4

^題選項

(8)~(11)

^和第

5

^題的

(8)~(11)

^{，可以探測學生關於}

「多項式的除法原理」中「餘式的限制條件：○¹餘式 = 0 或○²餘式的次數 < 除 式的次數」之概念。如果被除式是除式的倍式時，代表會整除，那麼餘式就是 𝟎；如果被除式不是除式的倍式時，代表不會整除，那餘式的次數必定要小於 除式的次數。

因問卷的第

4

^題和第

5

題，所使用的概念和選項皆相同，差別只在於第

4

題的除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式，而第

5

題的除式 𝒈(𝒙) 為二次多項式。因此，在

《概念心像分析》的部分，以第

4

題的勾選狀況為主軸，第

5

^{題的勾選狀況可}

以進一步瞭解學生的概念心像是否「穩定(前後一致)」?

《施測題目

²

》

4.

^{已知「𝑥3}÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)^」，當除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式 ^時，



(8) 𝑟(𝑥) 可能是三次多項式



(9) 𝑟(𝑥) 可能是二次多項式



(10) 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式



(11) 𝑟(𝑥) 可能是常數多項式

《題目分析》

「多項式的除法原理」中有一個很重要的結論是「多項式的除法中，若能 整除，則餘式 = 𝟎；若不能整除，則餘式的次數 < 除式的次數」之概念。問卷 的第

4

^題和第

5

題是在探測學生對於「餘式的限制條件」此概念的心像，這兩 題所使用的概念和選項皆相同，差別只在於除式 𝑔(𝑥) 的次數不同，一個是「一 次多項式」，另一個是「二次多項式」。

其中選項

(8)~(11)

的設計，可以瞭解學生在已知「除式的次數」下，能否

喚起關於「餘式的限制條件」之概念，並清楚的辨識出餘式可能為幾次多項式?

另外，也可以探究學生在面對相同的概念下，所浮現出的概念心像會「穩定(前 後一致)」嗎?

2 問卷的第4^題和第5題的選項皆相同，差別在於第5^題的除式𝑔(𝑥) 為二次多項 式。因此，在《施測題目》的部分，以第4題的題目為例。整份問卷的完整版，可詳

商式 餘式

《施測結果》

▼【表

4-3-2

】「已知除式次數，判斷餘式可能為幾次多項式」之施測結果

2. A

^類【

4(8)

^~

4(11)

✘✘✘】：在

156

^{位學生當中，有}

99

^{位學生(其中}

50

• A-1

^類【

5(8)

^~

5(11)

✘✘】：

A

^類

99

^{位學生當中，高達}

85

^位學生

(其中

45

^{位中高程度，}

40

^{位中程度)在第}

5

^題選項

(8)

^~

(11)

^{也認為「除}

式 𝒈(𝒙) 為二次多項式時，餘式 𝒓(𝒙) 只可能是一次多項式或常數多項 式」，這類學生佔

A

^類的

85.9

^{%，且佔總人數的}

54.5

^{%。顯示這些學}

生對於多項式的除法原理中「餘式的限制條件」之概念心像是非常穩定 且也符合概念定義，不論除式 𝑔(𝑥) 為幾次多項式，都能正確判斷出餘 式 𝑟(𝑥) 可能的次數。而「中高程度」學校的學生關於「餘式的限制條 件」之正確概念，比中程度學校的學生更穩定一些。

• A-2

^類【

5(8)

^~

5(11)

✘✘✘等勾選情形】：

A

^類

99

^{位學生當中，有}

14

^{位學生(其中}

5

^{位中高程度，}

9

^{位中程度)在第}

4

^題選項

(8)

^~

(11)

^勾選

正確，但在第

5

題除式 𝑔(𝑥) 為二次多項式時，卻無法正確判斷出餘式 𝑟(𝑥) 只可能為一次多項式或常數多項式，這類學生佔

A

^類的

14.1

^%。

顯示這些學生對於「餘式的限制條件」之概念心像是不穩定(前後不一 致)，會因為除式 𝒈(𝒙) 的次數不同，而浮現出不同的概念心像來進行解 題，其中以「中程度」學校的學生較為明顯。

3. B

^類【

4(8)

^~

4(11)

^{✘✘】：在}

156

^{位學生當中，有}

37

^{位學生(其中}

18

位中高程度，

19

位中程度)在面對除式 𝑔(𝑥) 為一次多項式時，認為餘式 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式或常數多項式，這類學生佔總人數的

23.7

^%。顯示

這些學生可能對於「餘式的限制條件」所浮現的概念心像為「多項式的除法 中，若不能整除，則餘式的次數 ≤ 除式的次數」，故認為餘式可以是一次多 項式。為了確認這類學生對於「餘式的限制條件」之心像是否為「餘式的次 數 ≤ 除式的次數」，因此搭配第

5

^題選項

(8)

^~

(11)

的交叉分析，分析結果如

【表

4-3-4

】所示，可以知道在相同概念下，當除式 𝒈(𝒙) 改成二次多項式

心像與教材上的概念定義有明顯的落差。

• B-2

^類【

5(8)

^~

5(11)

^{✘✘】：}

B

^類

37

^{位學生當中，高達}

20

^位學生

(其中

11

^{位中高程度，}

9

^{位中程度)在第}

5

^題選項

(8)

^~

(11)

^{認為「除式}

𝑔(𝑥) 為二次多項式時，餘式 𝑟(𝑥) 可能是一次多項式或常數多項式」，

此時浮現的概念心像是符合概念定義。他們對於多項式的除法原理中

「餘式的限制條件」，有時候浮現出的概念心像為「當不整除時，餘式 的次數 ≤ 除式的次數」，而有時卻為「當不整除時，餘式的次數 < 除式 的次數」，顯示他們的概念心像是不穩定(前後不一致)，會因為除式的次 數不同，而浮現出不同的概念心像，這類學生佔

B

^類的

54.1

^%，且佔

總人數的

12.8

^%。

• B-3

^類【

5(8)

^~

5(11)

✘✘✘等勾選情形】：

B

^類

37

^{位學生當中，有}

9

位學生(其中

3

^{位中高程度，}

6

位中程度)不論「除式 𝑔(𝑥) 是一次多項式 還是二次多項式，都無法正確判斷出餘式 𝑟(𝑥)可能為幾次多項式」，這 類學生佔

B

^類的

24.3

%。顯示這些學生在面對多項式的除法

「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」這種表徵形式，

無法連結到「餘式的限制條件」之正確概念。

Question 3-2

^{（對照問卷第}

4

^題

(3)

^~

(7)

^、第

5

^題

(3)

^~

(7)

^和第

13

^題）

在學生的概念心像中，若已知除式的次數，能否清楚的辨識出餘式可能的

「形式⁵」?

在

Question 3-1

的研究結果中，我們發現有

85

^位學生（

54.5%

^）對於多

項式的除法原理中「餘式的限制條件」之概念心像是非常穩定且也符合概念定 義，不論除式 𝑔(𝑥) 為幾次多項式，都知道「多項式的除法中，若能整除，則餘 式 = 0；若不能整除，則餘式的次數 < 除式的次數」之概念。

藉由問卷的第

4

^題選項

(3)~(7)

^和第

5

^題的

(3)~(7)

^{，我們可以進一步探測}

學生關於「餘式的限制條件：○¹ 餘式 = 0 或○²餘式的次數 < 除式的次數」之概 念的應用程度。若學生已經具備「餘式的限制條件」之概念，是否可以正確判 斷出餘式 𝑟(𝑥) 可能的形式，如 0、1、8𝑥 等多項式形式呢?

因問卷的第

4

^題和第

5

題，所使用的概念和選項皆相同，差別只在於第

4

題的除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式，而第

5

題的除式 𝒈(𝒙) 為二次多項式。因此，在

《概念心像分析》的部分，以第

4

題的勾選狀況為主軸，第

5

^{題的勾選狀況可}

以進一步瞭解學生的概念心像是否「穩定(前後一致)」?

5 此處的「形式」，指的是 0、1、8、𝑥、8𝑥 等多項式。

《施測題目

⁶

》

4.

^{已知「𝑥3}÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ ⋯ 𝒓(𝒙)^」，當除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式 ^時，



(3) 𝑟(𝑥) 可能是 0



(4) 𝑟(𝑥) 可能是 1



(5) 𝑟(𝑥) 可能是 8



(6) 𝑟(𝑥) 可能是 𝑥



(7) 𝑟(𝑥) 可能是 8𝑥

《題目分析》

「多項式的除法原理」中有一個很重要的結論是「多項式的除法中，若能 整除，則餘式 = 𝟎；若不能整除，則餘式的次數 < 除式的次數」之概念。問卷 的第

4

^題和第

5

題是在探測學生對於「餘式的限制條件」此概念的心像，這兩 題所使用的概念和選項皆相同，差別只在於除式 𝑔(𝑥) 的次數不同，一個是「一 次多項式」，另一個是「二次多項式」。

其中選項

(3)~(7)

的設計，可以瞭解學生在已知「除式的次數」下，能否喚

起關於「餘式的限制條件」之概念，並正確判斷出餘式 𝑟(𝑥) 可能的形式。另 外，也可以探究學生在面對相同的概念下，所浮現出的概念心像會「穩定(前後 一致)」嗎?關於選項

(3)~(7)

挑選「0、1、8、𝑥、8𝑥」這

5

^{個多項式的原因，}

將在下頁【表

4-3-5

^】說明。

6 問卷的第4^題和第5題的選項皆相同，差別在於第5^題的除式𝑔(𝑥) 為二次多項 式。因此，在《施測題目》的部分，以第4題的題目為例。整份問卷的完整版，可詳

商式 餘式

▼【表

4-3-5

^】第

4

^題選項

(3)

^~

(7)

^與第

5

^題選項

(3)

^~

(7)

^{之設計原因}

▼【表

4-3-6

】「已知除式次數，判斷餘式可能的形式」之施測結果（第

4

^題

(3)

^~

(7)

^{之各選項勾選狀況）}

學校類型 中 高 程 度 (

7 9

^{人 )}

中 程 度 (

7 7

^{人 )}

合 計

(

1 5 6

^{人 )}

4 ( 3 )

^{打  人 數}

76 (96.2%) 74 (96.1%) 150 (96.2%)

打 ✘ 人 數

3 (3.8%) 3 (3.9%) 6 (3.8%)

4 ( 4 )

^{打  人 數}

75 (94.9%) 72 (93.5%) 147 (94.2%)

打 ✘ 人 數

4 (5.1%) 5 (6.5%) 9 (5.8%)

4 ( 5 )

^{打  人 數}

72 (91.1%) 71 (92.2%) 143 (91.7%)

打 ✘ 人 數

7 (8.9%) 6 (7.8%) 13 (8.3%)

4 ( 6 )

^{打  人 數}

23 (29.1%) 24 (31.2%) 47 (30.1%)

打 ✘ 人 數

56 (70.9%) 53 (68.8%) 109 (69.9%)

4 ( 7 )

^{打  人 數}

24 (30.4%) 19 (24.7%) 43 (27.6%)

打 ✘ 人 數

55 (69.6%) 58 (75.3%) 113 (72.4%)

註：表格中「底色加深且數據加粗」的為該題正確答案。

下頁【表

4-3-7

^{】，將呈現}

79

^{位中高程度的學生和}

77

^{位中程度的學生，}

在問卷第

4

^題選項

(3)

^~

(7)

的交叉勾選狀況。

選項

▼【表

4-3-7

】「已知除式次數，判斷餘式可能的形式」之施測結果（第

4

^題

2.

^第

4

^題選項

(6)

^~

(7)

是「餘式 𝒓(𝒙) 為一次多項式之形式」。在

156

^位學生

中，當除式 𝑔(𝑥) 為一次多項式時，有

109

位學生認為「餘式 𝑟(𝑥) 不可能 是 𝑥」，佔總人數的

69.9%；

^有

113

位學生認為「餘式 𝑟(𝑥) 不可能是 8𝑥」，

佔總人數的

72.4%

^。表示約

3

成的學生認為除式 𝒈(𝒙) 是一次多項式時，餘 式 𝒓(𝒙) 可能是 𝒙 或 𝟖𝒙 之一次多項式之形式，這些學生對於「餘式的限制條 件」之概念心像與概念定義有出入。

3. A

^類【

4(3)

^~

4(7)

✘✘】：在

156

^{位學生當中，有}

95

^{位學生(其中}

47

位中高程度，

48

位中程度)在面對「除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式時，知道餘式 𝒓(𝒙) 可能的形式為『𝟎、𝟏、𝟖』等常數多項式，不可能為『𝒙、𝟖𝒙』等一次 多項式之形式」，這類學生佔總人數的

60.9

^{%。顯示每}

5

^{位學生，就有}

3

位對於多項式的除法原理中「餘式的限制條件」之概念心像是符合其概念定 義，知道「多項式的除法中，若能整除，則餘式 = 0；若不能整除，則餘式 的次數 < 除式的次數」之概念。

A

^類

95

^{位學生，再搭配第}

5

^題選項

(3)

^~

(7)

^{的交叉分析，如下頁}

【表

4-3-8

】所示，可以知道在相同概念下，當除式 𝑔(𝑥) 改成二次多項式 時，學生對於「餘式 𝑟(𝑥) 可能的形式」之概念心像是否穩定，也能更準確 的知道學生的心像為何。

▼【表

4-3-8

】「概念心像穩不穩定」之施測結果（第

4

^題

(3)

^~

(7) A

^類搭配第

• A-2

^類【

5(3)

^~

5(7)

✘✘等勾選情形】：

A

^類

95

^{位學生當中，有}

20

^{位學生(其中}

10

^{位中高程度，}

10

^{位中程度)在第}

4

^題選項

(3)

^~

(7)

^勾

選正確，但在第

5

題除式 𝑔(𝑥) 變成二次多項式時，卻無法正確判斷出 餘式 𝑟(𝑥) 可能的「形式」，這類學生佔

A

^類的

21.1%

^{，且佔總人數的}

12.8

%。顯示這些學生對於「已知除式 𝒈(𝒙) 的次數，而餘式 𝒓(𝒙) 可能 的形式之概念心像是不穩定(前後不一致)，會因為除式 𝒈(𝒙) 的次數不 同，而浮現出不同的概念心像來解題。

4. B

^類【

4(3)

^~

4(7)

】：在

156

^{位學生當中，有}

35

^{位學生(其中}

19

^位

中高程度，

16

位中程度)在面對「除式 𝒈(𝒙) 為一次多項式時，認為餘式 𝒓(𝒙) 可能的形式有：𝟎、𝟏、𝟖（常數多項式）和 𝒙、𝟖𝒙（一次多項式）」，

這類學生佔總人數的

22.4

%。顯示這些學生可能對於多項式的除法原理中

這類學生佔總人數的

22.4

%。顯示這些學生可能對於多項式的除法原理中

在文檔中 高一學生關於「多項式除法原理」的概念心像之探究 (頁 76-106)