本研究以
156
位高中一年級學生為研究樣本，包含79
位中高程度學生（會考積分約
28.6
分，基測PR
值約90
），與77
位中程度學生（會考積分 約20.6
分，基測PR
值約80
）。研究方法為描述性研究，利用問卷與訪談的 方式，蒐集質與量的資料。以歸納分析的方式進行質的資料之處理，也搭配量 化的研究信念，提供較客觀的分析數據與報導。一、 關於「多項式」之概念心像：
1.
約38
%的學生知道「多項式不一定要有『𝑥』的符號，而是可以考量到有變 數 𝑥 時，是不能放在分母」，同時也知道長除法的程序性過程中，除到哪一 步才該停，而不會除到有「分式」出現。2.
高達62
%的學生對於「多項式」之概念心像並不是建立得很完整，其主要 認為常數（如 −5、
0、
5）不是多項式，或認為分式（如 7 +6𝑥）也是多項 式的一種。
3.
全部的學生皆可以處理「𝑥2 + 𝑥 +76 是 𝑥 的多項式」之問題，且願意填答。
二、 關於「各式間的關係」之概念心像：
關於數學式「被除式 𝒇(𝒙) ÷ 除式 𝒈(𝒙) = 商式 𝒒(𝒙) ⋯ 餘式 𝒓(𝒙)」。
1.
僅2
%的學生能利用多項式的除法原理恆等式之結構性「被除式 𝑓(𝑥) = 除式 𝑔(𝑥) × 商式 𝑞(𝑥) + 餘式 𝑟(𝑥)，其中 𝑟(𝑥) = 0 或 deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑔(𝑥)」來解題，不但可以正確判斷餘式可能的形式和次數，
也知道「餘式次數 < 除式次數」和「餘式 < 除式」是不一樣的意思。
2.
約46
%的學生能正確判斷餘式 𝑟(𝑥) 可能的「次數」和「形式」，但會將「餘式 < 除式」中符號「<」解讀成「次數」的意思，認為
「餘式次數 < 除式次數」和「餘式 < 除式」是一樣的意思。
3.
約22
%的學生會因為除式 𝑔(𝑥) 的次數不同，而浮現出不同的概念心像，有 時候具備「餘式次數 < 除式次數」之概念，但在其他題不見得能夠浮現這 一個概念心像進行解題，顯示他們的概念心像是不穩定（前後不一致）。這 也呼應了Tall
與Vinner
（1981
）提到：「概念心像常常是前後不一致的，不同的時間，被喚起的概念心像彼此間可能會產生衝突。」
4.
有35
位學生（約22
%）認為「除式為一次多項式時，餘式可能的形式為 𝑥 和 8𝑥」，其中的23
位學生在面對第13
題的第(1)
小題時，卻能夠處理長除法的「程序性」動作，知道除到哪一步才該停，但無法連結到「結構性」
的數學式，此時的概念心像是不穩定（前後不一致）。
5.
約35
%的學生在面對「商式 𝑞(𝑥) 及餘式 𝑟(𝑥) 之間的關係」時（問卷第6
、7、8、9 題），還是秉持「餘式的限制條件：餘式 = 0 或餘式次數 < 除式 次數」之概念，沒有因為商式 𝑞(𝑥) 的次數而受到影響。
6.
約10
%的學生在面對「商式 𝑞(𝑥) 及餘式 𝑟(𝑥) 之間的關係」時（問卷第6
、7、8、9 題），認為其之間的關係為「餘式 𝑟(𝑥) 的次數必定小於商式 𝑞(𝑥) 的次數」，對於多項式的除法原理中「餘式的限制條件」之概念心像與概念 定義有明顯的落差。
7.
約10
%的學生認為恆等式「𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ⋅ 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙) 中的除式 𝒈(𝒙) 和商 式 𝒒(𝒙) 可任意互換角色」，表示他們會將「整除」才有的概念連結到「不整 除」時所產生的迷思概念。8.
約67
%的學生能透過恆等式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」觀察出被除式的 次數是由除式和商式共同決定。三、 關於「恆等式」之概念心像：
1.
高達92%
的學生能利用符號：「被除式 𝑓(𝑥)、除式 𝑔(𝑥)、商式 𝑞(𝑥)、餘式 𝑟(𝑥)」來表達「多項式的除法原理恆等式 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」。2.
能將數學式「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」主動轉成 恆等式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」的學生有8
成，但只有約38
%的學生知道「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」與「𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑞(𝑥) +𝑟(𝑥)
𝑔(𝑥)」是等價關係，
與「𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」不是等價關係。
3.
約21
%的學生認為「被除式 𝑓(𝑥) ÷ 除式 𝑔(𝑥) = 商式 𝑞(𝑥) ⋯ 餘式 𝑟(𝑥)」和 恆等式「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」與「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」代表 相同的意思，對於什麼時候該「⋯」，什麼時候該「+」是不清楚的。此外，也有學生認為「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」才是多項式除法原理恆等式唯一 表示法。
四、 關於「長除法」之概念心像：
1.
約82
%的學生在程序性的「長除法」運思中，可以正確知道除到哪一步才 該停，有符合「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」。能將長除法的運算連結 到「餘式 = 0 或餘式次數 < 除式次數」此概念的學生中，「中高程度」比中 程度高出約16%
，顯示兩所不同程度學校的學生在「長除法的運思」是有 明顯的差別。2.
約96
%的學生對於「給定被除式 𝒇(𝒙) 和除式 𝑔(𝑥)，利用長除法求商式 𝑞(𝑥) 和餘式 𝑟(𝑥)」是非常熟悉且擅長，但對於「在長除法的過程中，未給 定被除式 𝒇(𝒙) 的情況下，已知除式 𝑔(𝑥) 為一次多項式，判斷餘式 𝑟(𝑥) 是 否可以為一次多項式」，卻減少到只有82%
的學生知道要除到餘式 𝒓(𝒙) 為 常數多項式才該停。3.
約8
成的學生能將「多項式除法連結到長除法」，不僅可以呈現出長除法的 程序性思維，也能轉成「恆等式 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」之形式。五、 關於「多項式的除法原理」之核心的概念心像：
1.
學生面對「多項式的除法原理」這一個概念名稱的刺激下，腦中主動擷取的 概念心像主要有3
類：「除法」（約72%
）、「各式間的關係」（約48%
），以及「次數」（約
22%
）。其餘有「多項式除法原理的用途或限制」、「多項 式」等概念心像。2.
能喚起「各式間的關係」此概念心像的學生，「中程度」學校的比例（約56%
）比中高程度（約41%
）多出15 %
。主要以「文字、符號」和「長除生，大多以「恆等式」表示，如：「𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)」，而用「長 除法」呈現的學生，是以例子說明「被除式、除式、商式和餘式」各式間的 關係，最後會轉成「𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋯ 𝑟(𝑥)」的形式。
3.
能喚起「多項式除法原理的用途或限制」此概念心像的學生，「中高程度」學校的比例（約
18%
）比中程度（約7%
）多出11%
。中高程度的學生能發現多項式的除法原理之「用途」，也能將此概念與餘式定理和因式定理做 連結，而中程度的學生普遍認為綜合除法比多項式的除法原理更簡單、方便 與快速。
4.
在「次數 degree」的部分，「中高程度」的學生較多人能寫到關於「餘式的 限制條件」，如：餘式的次數 < 除式的次數；而「中程度」的學生較多人浮 現「除式的次數 < 被除式的次數；商式的次數 < 除式的次數；被除式的次 數是各式中最大的」等心像出現。六、 關於「多項式的除法原理」相關概念之概念心像的「正確性」與「穩定 性」：
綜觀兩所不同程度學校的學生在整份問卷的作答來看，「中高程度」的學 生浮現的概念心像較符合概念定義，正確性較高，但概念心像的穩定性較低。
相反地，「中程度」的學生浮現的概念心像較不符合概念定義，正確性較低，
但概念心像的穩定性較高。