數學解題之內涵

國民中小學九年一貫課程綱要（教育部，2003）的課程目標中「培養獨立思 考與解決問題的能力」與十大能力指標中「獨立思考與解決問題」，明確指出培 養解決問題能力的重視。而在數學學習領域中，依據九年一貫課程基本理念，於

「能力發展」之闡述如下：學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學 概念的理解，然後懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以 及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑。指出九年一貫課程培養學生 使用數學解決日常問題的能力之目標。

（一）何謂「數學解題」？

許多學者對於數學解題的定義略有不同，以下為數學解題相關之研究與文獻 探討：

1. Polya（1945）在《怎樣解題》（How to solve it）一書中，提出數學問題包 含：已知數、未知數和條件。就數學問題和問題的定義相較，已知數相當於問題 的初始狀態；未知數相當於問題的目標狀態，而條件則是解決問題時必須遵守的 規則。因此數學解題就如同解決問題的歷程一般，要在初始已知的狀態下，遵守 一定的規則，達成目標狀態。數學解題即是利用已知數及條件求出未知數。

2. 黃敏晃（1991）在「淺談數學解題」中談到解題就是解決問題，對於解題者 而言，只有當問題是非例行性問題時，解題才會發生。解決一般非例行性問題時，

解題者會試著從自己的先備知識與認知基模中尋求解決問題的方法和技巧。數學 解題的歷程便是解題者以程序性的方式（如四則運算、代數、幾何等），靈活運 用來解決問題（楊瑞智，1994）。

3. Branca（1990）認為為數學教育的重要目標，數學解題是運用舊經驗處理不 熟悉或新的過程，而它是一種基本能力（basic skill）。解題者必須區分相關訊息，

並以邏輯思考提出問題、分析問題、轉譯、形成結論等過程，所以解題重視學生 的方法、步驟和策略（邱佳寧，2001）。

4. Mayer（1992）認為解題是由已知狀態移轉至目標狀態的過程，數學問題是 由語言意義和文字結構而成，因此學生必須閱讀問題、分析問題和解釋訊息，這 過程中就如同做決定般。

5. 美國數學督導協會（National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM, 1977）則將數學解題界定為「運用個人先前所獲得的知識，去解決一個未知或不 熟悉問題的歷程」。

綜合以上所述，數學解題可定義為在一個數學情境中，解題者想要透過已知 的狀態或條件達成某一目標，但卻無法由既有的記憶或認知概念中獲得訊息，因 此解題者必須統整運用數學概念、原理和方法，來尋求解答。因此，解題行為是 屬於比較高層次的認知活動。本研究希望嘗試瞭解：學生在專題製作過程中，如 何使用數學幫助瞭解、分析或解決日常生活的真實情境中所面臨的問題，此一歷 程即是數學解題的歷程，運用先前所獲得的知識，去解決一個未知或不熟悉問題，

必須瞭解問題、分析問題、尋找解決問題的途徑與方法。

（二）數學解題的認知歷程

以下就 Polya 以及 Mayer 的解題認知歷程作說明：

1. Polya 的數學解題歷程模式

Polya 提出解題活動的四個認知歷程，並認為解題心理歷程的四個階段，並 非依直線進行，而是來回往返，以達問題解決的目的。

（1）了解問題：解題者在面對問題情境時，須了解問題的文字敘述，釐清問題 的主要目標，確定未知數是為何？已知數為何？條件為何？有什麼條件限制？解 題者須將題目組成要素予以整理。

（2）擬定計畫：解題者必須確實熟悉問題內容，找出已知數與未知數之間的聯 繫，從以前解決過的問題中找出是否有解決過類似的問題，擬定出解決的程序。

（3）執行計畫：解題者依擬定的求解計畫，檢驗每一步驟，確實執行各種計算 和其他必要的操作。

（4）回顧：解題者檢驗所得到的解答，並歸納解題過程的，也就是在每個步驟 中有一連串的問題或提示，提供給解題者對自己對話、或是教學者對學習者對話，

以協助其解題歷程的進行。

2. Mayer 的數學解題歷程模式

Mayer（1992）提出的解題歷程分為：問題表徵（問題轉譯、 問題整合）；

問題解決（解題計畫及監控、解題執行）。

（1）問題轉譯：把問題的每一個句子轉譯成某種內在表徵。在這個轉譯的過程 中，解題者必須了解句子的意義，即具備「語言知識」；另外還需具備有關這個 世界的一些知識，即具備「事實知識」。

（2）問題整合：即是把問題的每個語句，整合而成連貫的問題表徵。解題者必 須能夠認識問題的類型，也就是要具備有「基模知識」。學生的基模知識和他們 的先前經驗有關，好的解題者比差的解題者擁有更多有效的問題基模，對問題熟 悉，比較會將問題歸類。

（3）解題計劃及監控：解題者試圖找出解題的策略並進行評估。解題者必須具 備「策略知識」，知道用什麼方法進行解題，也能監控目前正在做的事情。

（4）解題執行：解題者運用數學知識及相關概念，把答案算出來。亦即解題者 必須具備「程序性知識」以進行計算。計算程序的習得是從單純的程序進步到較 複雜的程序，隨著兒童得到的經驗愈多，他們的計算過程就愈複雜和自動化。

依據數學解題認知歷程，可預期本研究中，學生在專題製作中運用數學工具 解決問題時，將會經歷的認知模式歷程，或了解學生無法使用數學工具幫助其解 決問題的原因與困難之處。