(一) 教學所需的觀感(信念或態度)之意涵
我們有足夠的理由可以相信，在數學教育中，教師對於學科內容的觀念(也 就是他們的信念、觀感以及喜好)以及他們本身的教學，這兩者在教師效能都扮 演了重要的角色，就如同一座學科內容與學習者間的橋梁(Thompson, 1984)。教師 對於數學本質的信念已經被廣泛的接受與使用，Ernest(1989) 描述當中三種觀點：
1. 從工具主義者的觀點來看：事實、技能以及規則的堆積，能夠被用來進行 一些結果的描述。
2. 從柏拉圖的觀點來看：數學被視為一種穩定、預先存在的知識等待被發現
20 表現出來的行為，以及他們參與統計課程的意願。McLeod (1994)藉由對以往的文 獻進行探討，指出早期的研究聚焦於數學態度，特別是學生對學校中所教學科之 反應，後來才擴充到「對數學的信念」、「情緒反應」方面的研究。
1. 信念
Scheffler（1965）認為「相信」與「認識（或知道，knowing）」確實有層次上 的關連，如果某人（X）對命題 Q 的相信或信念被否定了，那麼他對於 Q 的認
21
習的態度。
(4) 教師因素：教師對數學的態度會直接影響學生數學態度之形成。
(5) 教學與課程因素：數學科的教法與課程安排會影響學生的數學態度。
就態度與成就方面來說，Dossey 等人(1988)以 3、7、11 年級的學生為研 究對象，指出態度與成就為正相關，3 年級的學生有 60%在數學的學習中得到 樂趣(enjoy)，11 年級的學生中只有 50%在數學的學習中得到樂趣 (引自 McLeod，1992)。
3. 情緒
Boekaerts(1996)指出於教室中發生的情緒可分為兩類，分別是正面(高興、興 奮、得意)或負面 (焦慮、生氣、悲傷)；任務相關(task-related) 或以脈絡為基礎 (context-based)。有別於信念與態度可用問卷來測量，情緒係在學習過程中發生，
所以 Gentry 和 Underhill(1987)在數學紙筆測驗中，對受試者的肌肉緊繃度進行 物理測量，以研究其焦慮狀況(引自 McLeod，1992)。
總結來說，McLeod(1992)指出信念、態度、與情緒這三種情意反應的因素在 穩定性、強度、認知成分的程度上皆有不同。就穩定性來說，信念與態度為比較 穩定的因素，情緒的變動則較為快速。就強度來說，信念、態度、情緒，可依序 視為冷淡的(cold)、沈著的(cool)、到熱烈的(hot)。就蘊含的認知程度來說，信念的 本質包含較多的認知成份，需長時間的培養、情緒的認知成份很少，並且迅速的 出現及消失。因此信念、態度、情緒的排列可視為情意成份的遞增與認知成份的 遞減。情意的範疇分為三種類型，就單一事件而言，要清楚的判斷教師的反應為 信念、態度或情緒是不容易的，所以本研究著重於教師的觀感，用來做為信念、
態度以及情緒的概括，學生的正面與負面情緒亦作為研究者觀察、分析時的參考。
(二) 教學所需的觀感(信念或態度)之分類
1. Ernest 的觀點
22
Ernest（1989a）認為從數學教師對於扮演的角色（teaching roles）、教學行 為，以及和數學教學有關的課堂活動所抱持的觀念，可以歸納出兩個觀點：一 個是對數學任務（tasks）的取向（approaches）究竟要單一（unique）還是多元
（multiple），另一個則是在教學取向上該採獨力（individual）還是合作
（cooperative）的方法。這些觀念透過教師扮演的角色和預期該有的教學表 現，可以區分成訓練者（instructor）、闡釋者（explainer）與促進者
（facilitator）三種模式，統稱為數學教學觀，如表 1。
表 1
Ernest 對數學教師數學教學觀區分出的三種模式
教師角色 預期該有的表現
訓練者 技術熟練並做出正確的結果
闡釋者 整合知識形成概念性的理解
促進者 有信心佈題與解題
資料來源：Ernest, P. (1989a). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. Retrieved from http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/impact.htm.
同時 Ernest（1989a）也指出有兩項關鍵觀點可以用來建立數學教師的學習 觀模式：一個是學生究竟要被看成積極地建構知識，還是消極地接受知識？另一 個則是到底要讓學生發展出自動自發的能力和興趣（autonomy and interests），還 是認為學習者就該用順從的心態學習？透過這種辨析方式，Ernest 又得到四種數 學學習觀，如表 2 所示。
23 表 2
Ernest 對數學教師數學學習觀區分出的四種模式
模式 預期的學生學習表現
模式一 行為順從、技巧熟練
模式二 接收知識
模式三 積極地建構自己的理解
模式四 自動按照興趣自動探索
資料來源：Ernest, P. (1989a). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. Retrieved from http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/impact.htm.
上述各項觀點最後都和教師的數學信念發生關聯，照 Ernest（1989a）的說 法，數學信念正是數學教學信念與數學學習信念的基礎。舉例來說，一個對數 學抱持著工具主義者觀點的教師，可能會認為自己扮演訓練者的角色，必須謹 遵課本或既有方式教學；他也可能希望學生順從，熟練各項技術。這些關係讓
Ernest 建立如圖 3 所示數學教師教學及其相關信念的模式圖
圖 3Ernest 的教師信念與實際教學關係
2. Kuhs 與 Ball 的觀點
Kuhs 與 Ball（1986）的觀點是著眼於數學教師的關切焦點。他們為數學
24
教學信念區分出以下四種形態，這四種教學觀各自代表一套對數學，數學的教 與學，以及教學環境的看法。
(1) 學習者中心（learner-focused）的觀點：意味著站在建構主義的立場，相信 數學教師的教法要能讓學生主動建構數學知識。
(2) 以內容為主要核心，但強調概念性理解（content-focused with an emphasis on conceptual understanding）的觀點：這個觀點與Ernest（1989a）所提出的 柏拉圖主義者觀點（the Platonist view）相關，強調在學生理解各種數學想 法的過程時，仍然以數學內容做為課堂活動的關注焦點。
(3) 以內容為主要核心，但強調實作表現（content-focused with an emphasis on performance）的觀點：這類教學觀和Ernest（1989a）所提出的工具主義者 觀點（the instrumentalist view）有關，重視學生的實際表現，並強調讓學 生熟練數學規則與數學程序；當然，數學內容仍是這套教學觀的焦點。
(4) 以課室為主要核心（classroom-focused）的觀點：這類教學觀是建立在如何 讓數學課堂更有效率的知識上，其核心信念是認為課堂活動必須被妥善地 組織起來；在這個觀點下，教師要扮演積極主導課堂活動的角色，俐落地 為全班或小組成員呈現教材，或是提供機會讓學生個別練習，而學生只要 專心服從老師，配合回答問題與做好功課，不須強調任何學習理論，教學 內容是由學校課程塑造出來。
總結以上所述，以 Ernest( 1989a)和 Kuhs 與 Ball(1986)為例，雖然兩者在 結構上並不相同，但是不難發現兩者所提出的模式或型態，主要都包括了教師 對於數學教學內容、教師的教學方法、以及學生學習的信念，因此本研究在了 解個案教師觀感的部分，主要也是採取這三方面的分類。
25