探討國中數學教師平均數知識、觀感及其教學實務間的關係之個案研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授︰楊凱琳博士. 探討國中數學教師 平均數知識、觀感及其教學實務間的關係之個案研究. 研 究 生︰王淳華. 中華民國 102 年 6 月. i.

(2) 探討國中數學教師 平均數知識、觀感及其實務間的關係之個案研究. 中 文. 摘 要. 本研究以兩位不同背景的國中數學教師為對象,探討個案教師的平均數知 識、觀感及其實務間的關係進行初步探討。本研究採用個案研究法,透過教學 觀察、課前課後訪談和學生問卷來蒐集相關資料。從教師所具備的知識、觀感; 在課程中實施與否以及改變與否等三個面向來了解教師實施統計課程的情形。 結果發現一位教師對於平均數的內容知識以及學習者的知識相當充足,但其 教學知識並不足夠甚至有錯誤的地方,對於平均數的內容觀感俱備正確性、真 實性以及有效性,認為統計教學應該要多讓學生去感受統計數字背後的含意, 並且指出學生對於統計應該是感到喜歡並具有實用性;另一位教師在平均數 的教學知識的部分較為充足,但因對抽樣概念較為缺乏,使得對於內容知識以 及學習者的知識較為不足,對於平均數的內容觀感俱備正確性、真實性以及有 效性,認為統計教學應該要避免大量的計算,同時也指出學生對於統計應該是 感到不排斥具有實用性。 在課室的呈現上,一位教師較偏向傳統的課程實施,談到的平均數性質以 教科書內容為主,不會因對於學習者的知識而有所改變,其教學知識並沒有完 全展現在課程之中並且輔以大量舉例的方式來傳達 T1 本身的觀感;T2 則較偏 向開放討論的方式,因此談到的平均數性質較教課書內容多,其教學知識並沒 有完全展現在課程之中,也是輔以大量舉生活例的方式來傳達 T2 本身的觀感。 在受到改變的情況上,T1 大部分的知識與觀感並不會因教學而受到改變, 僅教學法知識會受到實務中(時間點、學生反應)影響,而產生了一些消弱反應; T2 大部分的知識與觀感並不會因教學而受到改變,但教學法知識會明顯受到 實務中(與學生一起討論)而明顯增強。. 關鍵字:平均數知識、平均數觀感、對於學習者的知識、教學. ii.

(3) 目錄 第壹章. 緒論 ................................................................................................... 1. 第一節 第二節 第三節 第貳章 第一節. 研究背景 ........................................................................................... 1 研究目的與待答問題 ........................................................................ 6 名詞界定 ........................................................................................... 6 文獻探討 ........................................................................................... 7 統計教學所需的知識 ........................................................................ 7. 第二節 第三節 第參章 第一節 第二節. 統計教學所需的觀感 ....................................................................... 19 統計教學的知識、觀感與教學實務的實徵性研究 ......................... 25 研究方法 .......................................................................................... 29 研究對象的背景與選擇 ................................................................... 29 研究設計與流程 ............................................................................... 32. 第三節 第四節 第五節 第肆章 第一節. 研究工具 .......................................................................................... 37 資料蒐集與分析 ............................................................................... 46 研究的信效度................................................................................... 49 研究結果 .......................................................................................... 51 個案教師 T1 在非課室與課室呈現的平均數相關知識與觀感 ....... 51. 第二節 第三節 第四節 第伍章 第一節. 個案教師 T2 在非課室與課室呈現的平均數相關知識與觀感 ....... 73 兩名個案在非課室與課室的平均數相關知識與觀感之展現 ......... 95 兩名個案在非課室與課室的平均數相關知識與觀感之變化 ....... 110 結論與建議 .................................................................................... 115 結論 ................................................................................................ 115. 第二節 討論 ................................................................................................ 116 第三節 建議 ................................................................................................ 119 參考文獻........................................................................................................ 123 中文部分........................................................................................................ 123 英文部分........................................................................................................ 125 附錄 ............................................................................................................... 131. iii.

(4) 表次 表 1 ...................................................................................................... 22 表 表 表 表 表. 2......................................................................................................... 23 3......................................................................................................... 40 4......................................................................................................... 49 5......................................................................................................... 60 6......................................................................................................... 61. 表 表 表 表 表. 7......................................................................................................... 62 8......................................................................................................... 70 9......................................................................................................... 71 10 ....................................................................................................... 72 11 ....................................................................................................... 81. 表 表 表 表 表. 12 ....................................................................................................... 82 13 ....................................................................................................... 84 14 ....................................................................................................... 92 15 ....................................................................................................... 93 16 ....................................................................................................... 94. 表 表 表 表 表. 17 ....................................................................................................... 96 18 ....................................................................................................... 97 19 ....................................................................................................... 98 20 ....................................................................................................... 98 21 ....................................................................................................... 99. 表 表 表 表. 22 ..................................................................................................... 100 23 ..................................................................................................... 103 24 ..................................................................................................... 105 25 ..................................................................................................... 109. iv.

(5) 圖次 圖 1 MKT 架構圖 ................................................................................... 12 圖 2 在脈絡下發展的教師知識 ............................................................. 15 圖 3 Ernest 的教師信念與實際教學關係 .............................................. 23 圖 4 研究流程圖 .................................................................................... 35. i.

(6) i.

(7) 第壹章 緒論 第一節 研究背景 在現今的社會環境下,不僅在我們日常生活中經常可以看到統計資料 (Pollatsek, Lima & Well, 1981; 張少同、王建都與呂小娟,2003;陳宜良, 2005;黃精裕,2008),在學術領域中亦是不同領域的學者們研究學科的必備工 具(吳柏林、葉倩亨,2002;任眉眉,2011)。正因為統計的重要性與日俱增, 我國在高中部分,於民國 72 年所公佈的高級中學課程標準裡,首先將敘述統計 正式納入高中第二學年的數學教材大綱(教育部中等教育司,1983,p.125)。而 後在民國 97 年公布的普通高級中學課程綱要內,讓學生更早接觸機率與統計, 將其列為高中數學第一學年數學 II 的整體主要重點(高中數學學科中心, 2009)。國中部分,統計課程更早就佔有一席之地;並且預期學生達成的目標, 也從一開始的能製作統計圖表擴展到理解統計與機率的意義,進而認識各種簡 易統計方法(教育部,1962, 1972, 1983, 1985, 1994, 2011)。而國小部 分,在民國 49 年制定的修訂國民學校課程標準草案裡,課程主題第一次出現統 計相關課程。之後在民國 97 年國民中小學九年一貫課程綱要裡的教學目標提 到:在小學畢業前要能製作簡單的統計圖形(教育司,2011,p.8)。可見,統計 內容在課程中越來越受到重視。 在其他國家,「統計與機率」納入學校課程已成為教育改革的趨勢。例如: 美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics,NCTM) 為改進 數學教育於 1989 年所出版的《學校數學的原則與標準》(Principle & Standards for School Mathmatics) 裡,「數據分析與機率」即是五大數學內容主題的其中之一 (NCTM, 1989)。NCTM (2000,p.48)之後又強調 pre-k 到 12 年級的教學課程應該 讓所有學生能夠做到以下四點:透過數據有系統地提出問題,然後收集、整理和 顯示相關數據來回答問題;選擇並使用適當的統計方法來分析數據;根據數據所 1.

(8) 得的推理和預測,發展出評估與推論;了解和應用機率的基本概念。也就是說, 希望所有學生都能夠掌握住一些有關於統計的技能與方法。 香港、英國以及新加坡等國家,儘管它們的數學課程內容不盡相同,但在課 程安排上除了要求學生能夠掌握統計技能之外,還希望學生可以更進一步地具備 統計推理與統計思維的能力。舉例來說:香港特別行政區教育局(EDB)在中學課 程綱要數學科的學習目標寫到,需要加強學生研究及判斷由數據得出的推論的可 信性(EDB,1999,p.1);英國教育部和 Qualification and Curriculum Authority (QCA) 共同出版的《數學課程標準》中提到:學童要能提出假設,並在考慮到變異與偏 差的情況下設計適當的方法來驗證其假設(數學課程標準,1999);新加坡教育局 在網路上所公布的《中一、中二數學綱要》,裡面提及:希望學生能辨識平均數、 中位數與眾數在不同狀況下,被使用的意圖(新加坡教育局,2012)。突顯出對 於學校課程,國際上的趨勢不再只是注重統計技能(像是畫圖、找出數據的中位 數),並強調開始討論統計推理與統計思維(Burgess , 2008)。並且,在這些國家的 課程綱要裡,一致地規劃十四歲左右的學生都應該學習統計量(平均數、中位數 以及眾數)的意義與應用(數學課程標準,1999;NCTM, 2000;EDB, 2007;教育 司,2011)。 然而學生的表現不盡然真正了解平均數的意義與應用。Mokros 與 Rusell (1992)針對 21 名四到八年級的學生,去了解他們創造和描述平均數的方法,發現 學生們的對於平均數的知識,往往受限於計算的公式,然而許多簡單的問題,需 要更多一般化、相關性的知識概念,研究驗證了僅僅利用工具性知識就可以解決 的題目是微乎其微的。Strauss 與 Bichler (1988)指出:一筆資料中,裡面的所有 數據與平均數的差值,全部加起來為零這項性質,對於大部份八年級的受測學生, 答對率相當低。Stella (2003)發現巴西高中生會誤用簡單平均數來計算需要加權 的題目。Mevarech (1983)也發現即使到了大一、大二,那些非數學系的學生,仍 有許多人以為兩個不同群組的平均數,就是將兩個群組的個別平均數相加起來除 2.

(9) 以二。 國內方面,張少同等人 (2003)針對國中生進行全國抽測分析,調查成果顯 示約七成左右的學生可以由簡單的次數分配表計算平均數,但在回答有關「在 一筆資料中,裡面的所有數據與平均數的差值,全部加起來為零」性質的答對 率不到四成,並且幾乎所有的學生都不能計算平均速度,舉例來說: 「一飛機以每小時 600 公里的速率由台北飛往高雄,回程時以每小時 400 公里的速率飛回 台北,此飛機來回高雄一趟的平均速率為何? 為什麼?」很多人認為不知距離無法計 算,而更多人認為來回的距離相等,所以平均速率即 400 和 600 的平均,也就是 500。 (張少同等人,2003,頁 3). 也就是說,許多學生僅僅將平均數視為一種計算過程,以為兩個速率的平均就是 彼此相加然後除以 2,他們並不了解這樣列出來的算式並沒有意義。同時研究結 果指出:超過一半的青少年能夠達到「統計量的計算」這個層次,而其中以國三 學生占多數,但大部份學生無法通過接下來的「需要基礎統計訓練或經驗的統計 概念」層次,例如平均數的意義、不同統計量(平均、總和)的適用時機等(張少同 等人,2003)。 為了改善學生統計的學習成果,我們必須重新評估數學教師的專業能力 (Watson, 2001)。R𝑎̇ de (1985)也認為統計之所以在學校課程中進展緩慢,缺乏能 夠教出一門有品質的統計課程的教師是主要原因之一。Vermette, Gattuso 與 Bourdeau(2005)從文獻中發現:大多數國家的統計教學現況,普遍具有兩種現象, (1) 教師過分強調計算不同統計量(像是平均數、中位數以及標準差)的能力,而 忽略了這些統計量數的意義與應用。 (2) 統計課程都是由數學教師教授,因而導致了學生是以數學的角度來學習統計 概念。. 3.

(10) 許多研究顯示出,教師的教學行為明顯地會受到教師的教學相關知識所影響 (Shulman , 1986 ; Fennema & Franke, 1992 ; NCTAF, 2002 ; Ball,Thames & Phelps,2008)。而卓明惠 (2011)指出,即使是在大學有修過統計相關課程的高中 數學教師,也因為受限於本身的學科知識,進而造成教師在教學上偏重公式的計 算。這樣的問題凸顯出,教師需要跟統計課程相關的統計知識與教學知識(Chick & Pierce, 2008)。簡而言之,這樣的問題可能與教師的統計教學相關知識有關。 於是國外的學者開始試著去了解教師在統計教學上的準備,結果指出在國 中小階段的統計與機率課程,數學教師經常缺乏具體的準備 (Batanero, Godino & Roa, 2004)。即使是已完成大學程度的統計課程的職前教師,對於抽樣、隨機等 統計概念的想法並不正確 (Batanero et al, 2004;Groth & Bergner, 2005)。Ben-Zvi 與 Garfield (2004)提出統計課程的教學方法必須加以改善,並且談到許多中小學 統計教師從未選修過應用統計或未曾從事過資料分析的活動,有可能就是因素之 一。Sachs (1997)經過調查後也發現,澳大利亞的各層級的數學教師,大多數並沒 有被事先培育有關於統計與機率的教學內容或教學方法。而國內方面,鄭天澤等 人(2001)發現,任職後的高中數學教師(n=1093),近七成沒有再修習過與機率統 計相關的課程。黃精裕(2008)發現高中數學教師,對於常用的統計量數之公式十 分了解,但對於統計量數背後代表的意義並非完全清楚。楊凱琳 (2011)探討職前 教師在信賴區間相關九項子概念的理解,發現大學部職前教師(n = 113)在其中七 項的概念裡,答對率不到六成;研究所職前教師( n = 19)在其中六項的概念裡, 答對率不到六成。以上的證據引發本研究欲深入探討個案教師的統計教學相關知 識。 Shaughnessy (1992)認為在改善統計教學的路上,除了受限教師本身的統計 知識之外,教師對於統計的信念也是重要的因素之一。許多教師認為數學本質是 一種具規則性且符合邏輯的結構,它是客觀且一定對的敘述(Brown, 1985)。因此, 教師很難去處理統計中的不精確性(inexactitude)以及不確定性(uncertainty),隨機 4.

(11) 否定了教師對於數學的概念,統計的論據不是一定對,它們僅在外加的數學情境 下,才擁有意義,並且它們需要主觀的解釋以及觀察者中肯的判斷(Steinbring, 1989)。統計的內涵並非只是數學的規則或嚴謹,而是對隨機性的觀點和思考方 法,這不是經由數學的眼光便可學到(任眉眉, 2003)。隨機的特性不同於教師們對 於數學的信念(Steinbring, 1989)。Chick 與 Pierce (2008)藉由實徵性研究去探討小 學職前教師對於統計的信念與態度,發現在計畫課程時,普遍缺乏個人對於數據 的看法。綜合上述可知,具有不同信念與態度的教師會產生不同的教學取向,所 以本研究將探討個案教師的統計教學觀感(信念、態度)。 然而 Begle (1979)透過國家調查的研究結果指出,教師個人的學科知識以及 態度,在學生成就上似乎沒有太大的影響。這樣的結論讓我們覺察到除了要去了 解教師的相關知識與信念之外,也要觀察教師在課堂上的教學行為(Ball,1991)。 如此有助於進一步去了解教師的想法以及教學決策間的關係(Clark & Yinger, 1979)。雖然有些研究者從教師的統計教學行為來了解其統計教學知識(例: Burgess, 2008;Watson, Callingham, & Nathan, 2009),或是從教學實務如何影響其 統計教學信念(例:卓明惠, 2011)。較少研究同時兼顧教師的知識、觀感(信念或 態度)與實務來探討統計認知的教與學。而本研究擬探討個案教師的統計教學及 其知識與信念間的關係。. 5.

(12) 第二節 研究目的與待答問題 有別於只去瞭解知識或者觀感其中一者與教學間關係的研究,本研究的主 要目的是希望能更全面性的了解教師的知識、觀感與整個發展統計教學的歷程。 因此藉由觀察台北市某國民中學的 2 位數學教師在「算術平均數」的教學歷程, 透過課前與課後的訪談、課室觀察以及學生回饋的問卷來探討教師的統計教學知 識、統計教學信念,以及與統計教學活動的關聯。因此擬訂了以下的研究問題: 1. 個案教師 T1 在課室與非課室呈現的知識與觀感為何? 2. 個案教師 T2 在課室與非課室呈現的知識與觀感為何 3. 比較兩位個案教師在非課室與課室所呈現的平均數知識、觀感與實務間的關 係為何?. 第三節 名詞界定 觀感 本研究所謂的「觀感」,指的是包含個案教師的信念部分,以及態度、情緒 等情意部分。Mandler(1984)指出, 「信念」 、 「態度」 、 「情緒」三者所包含的情 感與認知成分有一定的大小關係,其中信念較偏向認知,情感成分最少,表現時 間也相對較長。本研究由於觀察個案教師的時間並不久,而且在訪談問題之中, 研究者也企圖去了解教師對於統計教學的喜歡與否,因此研究者改採用「觀感」 一詞來囊括信念、態度以及情緒方面。. 6.

(13) 第貳章 文獻探討 為了對國中數學教師在統計量的教學中,所展現出的教學知識、教學觀感以 及課室教學這三部分進行探討,研究者參考國內、外的相關文獻來作為本研究的 理論依據。本章共分三小節,第一節是教師所需的知識;第二節是教學觀感(信念 或態度);第三節是統計知識、觀感與教學的實徵研究。. 第一節 統計教學所需的知識 本節共分三部分,第一部份先介紹教學所需的知識之意涵,第二部分則介 紹教學相關知識的分類,最後則是針對統計,去說明統計相關知識以及統計教 與學的知識。. (一) 教學所需的知識之意涵 在 1980 年代中期,Shulman (1986)認為,在開始教學之前,教師需要理解學 生要學的內容以及要傳授的方法。經過一連串的研究後,Shulman, Wilson 與 Richert (1987)提及:教師在某一教學情境中,為了達到有效教學,所必須具備的一系列 理解、知識、技能與特質,就稱為「教師的教學相關知識」。這讓往後的教學研 究,開始探討起教師知識的不同面向(Fennema & Franke,1992)。並且在最近幾年中, 因為證據顯示出教師缺乏教數學所需的基本知識,以及教師的智慧資源 (intellectual resources)明顯影響著學生的學習,促使決策者對於那些與學科相關的 教師知識,引發了濃厚的興趣(Hill, Rowan, Ball,2005)。教師知道甚麼(what a teacher knows)的這個想法,無庸置疑是影響教室活動的一大主因,同時它也影響著學生 的學習 (Fennema & Franke, 1992;NCTAF,2002) 。因此 Ball、Hill 與 Bass(2005)直 接提出疑問:教師究竟需要知道甚麼,才能夠達到有效的數學教學?然而教師有 著什麼樣的關鍵性知識確定會影響學生去學習數學,在這方面一直沒有一致性的 答案(Fennema & Franke,1992)。 7.

(14) (二) 教學所需的知識之分類 1. Shulman 的觀點 過去幾十年來,由於學者將研究的焦點放在探究有效教學法與教學技能,希 望能夠增進學生學習成就,緊接著師資培育與美國教師檢定證照也將重心轉移至 一般的教學法上。在此時期,無論在研究方面或者取得證照的評量中,學科知識 均未列入主要的考量中(段曉林,民 85)。Shulman (1986)認為這是迷失的典範(the missing paradigm),也就是說,只重視一般教學法,卻忽略了我們所要教學的學科 內容與本質,這將會影響到教師的發展與培育。 Shulman (1985)在美國教育研究協會(American Education Research Association) 的主席致詞裡,首度提出學科教學知識(P.C.K.)的觀點。 它就像是一座橋,連結了學科內容知識以及實踐教學,增強學科內容間的討論與 教學相關性,並且確保對於教學的討論會對學科內容保持注意。 (Ball et al. ,2008 , p.3). 隨後Shulman (1986)認為如果要開始探討教師知識的複雜性,以及傳達以內 容知識為主的想法,就應該要有一個連貫的理論性框架來表達,於是他藉由探討 以往文獻與研究提出建議,以內容知識這個領域而言,應該要包含著三種分類: 分 別 是 學 科 內 容 知 識. (subject matter contentknowledg) 、 課 程 知 識. (curricularknowledge)以及學科教學知識 (pedagogicalcontent knowledg)。 緊接著Shulman (1987)依照這個理論框架,希望藉由實證性研究來發展出更 完整的結構,於是他透過觀察、訪談以及檔案來蒐集資料,以個案研究的研究方 法來分析新手教師與專家教師,他們在教學準備階段以及實際教學時所使用的知 識。最後架構出教師知識至少可以分為以下七種 (1) 一般教學知識(General pedagogical knowledge) (2) 學習者及其特質的知識(Knowledge of learners and their characteristics) 8.

(15) (3) 教育環境的知識(Knowledge of educational contexts) (4) 教育目標的知識(Knowledge of educational ends, purposes, and values, and theirphilosophical and historical grounds)。 (5) 內容知識(subject matterKnowledge或Content knowledge) (6) 課程知識(Curriculum knowledge) (7) 學科教學知識(Pedagogical content knowledge,簡稱P.C.K.) 這樣的分類顯得更為全面性,前四項分類解決了教師知識的一般領域,同 時也是師培課程中的主體,而後面三項則是具體學科內容的領域,亦是Shluman 認為在教學研究中最為欠缺的一部分,為此Shulman (1986)為這三種知識特別提 出說明。 (1) 教師的學科內容知識((subject matter content knowledge) 指的是教師不僅需要能夠寫出學科本身的內容,還要能夠解釋怎麼來 的、為什麼要學習這部分的內容,以及從各方面去探討是否與其他學科有相 關之處。也就是說教師應具備特殊領域學科之專業知識,及對此知識體系的 了解。 (2) 教師的課程知識(curriculum knowledge) 對整個教學計劃(program)之全面及整體架構的知識,包含課程發展的 過程以及課程間橫向的知識(指的是對於其他不同學科間的相關性)與縱向 的知識(指的是對於同一門學科,前後連貫的了解)。 (3) 學科教學知識(P.C.K.). Shulman對P.C.K.有著特別的興趣,認為這類的知識揉合了教學中需要 的內容以及教學法,是教師特有的技能。並給予P.C.K.一個明確的定義: 用來表徵這些想法最有用的型態,像是具有強大效力的類比、插圖、例 子、解釋以及論證。簡言之,對於用來表達和制訂一門學科,P.C.K.是最有用 的,最讓他人容易理解…P.C.K.還包括對於甚麼東西造成一門特定學科是否容 易學習的理解:在學習某些特定的目標與課程時,教師為了讓學科容易理解, 需要了解不同年紀、不同背景的學生本身所帶來的概念與偏見。 9.

(16) (Shulmam,1986,p.7) Shulman 等人的研究引起熱烈的討論,已經被超過 1200 篇期刊論文所引用, 從 1990 年之後,每年都有超過 50 篇的相關文章;並且出現在 125 種不同的專業 期刊,範圍從培育的制度到專業知識,其中大多數都將焦點放在 P.C.K.上,或者 將 P.C.K.用於許多種學科領域,像是科學、英語、通訊、特教等科目上(Ball et al., 2008)。 一方面,有些學者討論著組成教師 P.C.K.的某些元素。舉例來說,McDiarmid, Ball 與 Anderson (1989)認為 P.C.K.所提及的表徵,是可以有效應用在許多科目之 中,像是數學、科學、英文以及文學。教師挑選出來的表徵以及表徵的使用方式 都可以傳達出,教師希望學生了解的學科內容以及性質。然而發展、挑選以及使 用適當的表徵無疑是教師的一大難題,因為教師必須要能夠: (1) 理解學科的教材內容。 (2) 結合教師本身所擁有的知識。 (3) 了解所教的學生。 Carpenter, Fennema, Peterson 與 Carey (1988)認為教師的 P.C.K.包含著,學生在 學習中所使用的概念性知識與程序性知識、可能會產生的錯誤概念、以及學生的 理解階段,為了要進一步了解與學生相關的教師知識,於是利用問卷的方式,調 查 40 位一年級教師,最後結果發現雖然大多數教師能夠區別出不同加減法問題 間的差別,以及對於學生常用的解題策略相當熟悉,但是他們大多不了解之間的 關聯性,反映出在做評估學生解題過程的教學設計時,教師所具備的知識是有所 不足的。 另一方面,有些學者試著透過實證性研究,進一步的去澄清或修正 Shulman 當時所提出的 P.C.K.當中所包含的元素。 Grossman (1988)透過對六名英語科新手教師進行調查,經過統整之後,認為 應該將信念這個元素,納入教師的 P.C.K 之中,它主要是由以下四種要素所組成 的: 10.

(17) (1) 教師對於任教某特定科目目的的信念。 (2) 了解學生在不同學科中某些主題的先備知識。 (3) 對用來教導某學科的課程教材,包括:水平課程(與各相關科目的聯接)與垂 直課程(了解學生所學過與將學之事物) (4) 教師必須熟悉對於教導某些概念或主題時,最有效的教學與表徵方式,並 能在適當時機運用。 Cochran, DeRuiter 與 King(1993)採用建構主義的觀點,認為知識是由學生自 己建構出來,學習應該是一種動態的過程,然而 Shulman 所提出的 P.C.K 卻是屬 於靜態的知識體系,因此提出 P.C.Kg,以 knowing 來代替 knowledge。而 Cochran 等人(1993)建構出來的 P.C.Kg,除了包含 P.C.K 原有的成分之外,還多了兩種要素, 分別是教師對學生的瞭解,像是瞭解學生的能力、學生的解題策略等方面;另一 種是教師對社會、政策、文化或外在環境因素的瞭解,這些也有助於 P.C.K.g 之發 展。 綜觀以上的說法,不難發現教師的教學知識,需要考量的層面不在少數,就 如同 Shulman 和他的同事們所說:高品質的教學背後需要一個複雜的專業知識, 來支撐像是等待學生回應的時間要多長這類的簡單規則。(Ball et al. ,2008)。. 2. Ball, Thames 與 Phelps 的觀點 雖然 P.C.K 的後續研究相當富有成效,但是在這些後續研究中,卻鮮少能夠 清楚的說明 P.C.K(Mark,1990)。Ball 和 Bass (2000)認同 Shulman 所強調的 PCK, 並且將研究工作建立在 PCK 之上,希望提供教師關於實作中所需的數學知識內 容,以及本質和相關角色的補充。他們認為,PCK 是一種特殊形式的知識,將數 學知識和學習者、學習以及教學綑綁(bundle)在一起,綑綁後的知識可以為教師在 教數學上提供一個重要來源,它可預期學生可能遭遇的困難以及可能處理的不同 方法,協助教師避免掉可能的挑戰。然而,他們強調,綑綁的知識不能夠永遠賦 予教師在處理教學複雜性所需的彈性,因為,在真實教室中,內容和教學總會持 11.

(18) 續動態地互動,使得 PCK 無法完全預期到學生會如何思考、教學主題在教室中 如何被發展,或者需要對一個熟悉的主題給予新的表徵等等。 因此 Ball, Thames 與 Phelps (2008)針對數學,而建構出 MKT 的架構,其構 想來自於 MTLT (Mathematics Teaching and Learning to Teach)和 LMT (Learning Mathematics for Teaching )兩項計畫。MTLT 透過教學實作分析教學中的數學需求 (demands),並且建立在這些分析上,發展出一套關於教學用的數學知識本質的測 試性假設;LMT 則是發展檢測教數學用的內容知識的工具。MKT 架構圖的左半 橢圓為 SMK ,右半橢圓為 PCK,它一共分為六大領域,請參見圖 1。Ball 等人 (2008)將各領意涵說明如下︰. 圖 1MKT 架構圖(引自 Ball, Thames, &Phelps, 2008, p. 403). (1) 一般的內容知識(common content knowledge) 數學知識和技巧可被使用在除了教學的其他領域。例如教師需要知道她們所 教授的教材;能夠辨識學生的錯誤答案或教科書給的不正確定義;能夠正確 使用名詞和符號。 「common」並非指大家都會有這種知識,而是指它會被廣 泛使用於其他領域,亦即它並非教學所特有的。 12.

(19) (2) 特殊的內容知識(specialized content knowledge) 數學知識和技巧 是教學所特有的。例如:回應學生「為什麼」的問題;判斷 學生非標準的方 式是否可以一般化;將表徵連結到其他概念或其他表徵;評 估或調整教科書 的數學內容;選擇及發展有用的定義;問具生產性的問題; 有效地使用數學 表徵,教師需要知道鬆綁後的數學知識。 (3) 內容和學生的知識(knowledge of content and students) 結合知道關於學生和知道關於數學的知識。例如:知道學生如何思考、會在 哪邊困惑。給例題時,能預期哪些學生會覺得有趣以及有動機;給任務時, 能預期學生可能會如何做以及他們是否覺得容易或困難;能夠傾聽以及解釋 學生使用他們語言所展現的思考;知道學生的先備知識和迷思概念,需要教 師對特定數學知識和對學生的熟悉與他們數學思考的互動。 (4) 內容和教學的知識(knowledge of content and teaching) 結合知道關於教學和知道關於數學的知識。例如:教師安排教學順序,選擇 起始例;評量不同表徵被使用在教同一個概念的優缺點;能辨識哪些不同的 方法及步驟足夠教學使用;做關於哪些是學生要達成或哪些可以忽略的教學 決定;知道何時要停頓做更多釐清、何時要提問新問題促進學生更長遠的學 習;知道不同的教材對之後的發展有何不同。每一個這樣的工作需要在特殊 的數學了解和會影響學生學習的教學議題這樣的了解間產生互動。簡言之, KCT 是一 種混合物,包含了特殊的數學概念或步驟,以及對教特殊內容的 教學原則的熟悉。 (5) 內容知識的水平(horizon content knowledge) 它好比是數學周邊影像(peripheral vision)的中心,一種被教學所需要對數學 具有較大的視野;它被定義為將教學放置在較大的數學視野(landscape)的一 種察覺,意指要做有經驗且具有鑑賞能力的旅行家,而非普通的導遊;它是 一種對高等知識的基本洞察力,能夠賦予教師對教學工作具有更廣、更特別 13.

(20) 的影像與引導(Ball&Bass, 2009)。 (6) 內容和課程的知識(knowledge of content and curriculum) 這是某種 PCK,目前的定義尚不明確,僅有數個舉例。例如,什麼年級的學 生應該要教到分數的除法?在學校的課程中,如何將分數的除法關聯到整數 的除法(Ball, 2010)。. 3.. Fennema 與 Frankek 的觀點 不過 Hill, Schilling, 和 Ball (2004)基於國小數學內容(像是數的概念與操作、. 圖樣或是代數),然後採用多重選擇題的方式測量教師的 MKT,統計知識並未包 括在其中。Fennema 與 Franke(1992)藉由文獻討論的方式,將各研究者的說法大致 上分成以下四類: (1) 一般教學原則的知識是教師知識的主要元素之一。 (2) 教師對於學科必須有更深一層的知識:因為一個人不能教自己不知道的東 西,教師需要懂得更多,不僅僅是教師所教特定的數學內容,還要了解學 生將來要學到的數學。唯有如此才能讓一個老師知道為了使學生持續地學 習,應該要如何建構他們自己的數學教學。 (3) 關於學生怎麼想、怎麼學的知識,對於教師來說是極其重要的知識。 (4) 為了有效教學,應該強調文化的知識以及種族差異的知識:這是因為美國 是個多元文化的社會,學生如何學習主要取決於學生的文化,教師必須了 解學生的文化背景所帶來的影響。 因此 Fennema 與 Franke(1992)提出一個整合教師知識的架構(如圖 2),其 中教師知識可區分為以下三類:. 14.

(21) 圖 2 在脈絡下發展的教師知識(引自 Fennema&Franke, 1992, p. 162). (1) 數學知識(knowledge of mathematics) 數學內容元素包括是指數學課程、概念知識、程序性知識、解題知識,以 及概念間連結的知識等。 (2) 教學法知識(pedagogical knowledge) 教學法知識括教學過程中的各種知識,例如有效的教學策略,教室常規, 行為管理的技巧,引起動機的技巧等。 (3) 學習者數學認知的知識(knowledge of learners' cognitions in mathematics) 學習者認知包括學生如何思考和如何學習的知識,特別是指在特定數學內 容中這些思考與學習是如何發生,此外還包括學生如何獲得數學內容知 識,學生所用的方法,學生的學習困難等。 此外,他們強調教師知識是情境化的(teachers' knowledge as situated),無法獨 自脫離所處的情境(situation)與脈絡(context),所有的知識的獲得都是在活動、文 化、脈絡下交互作用的結果,而且知識也會隨著情境的不同持續發展和改變,在 背後影響著這些知識發展的則是信念(beliefs)。 Fennema 與 Franke(1992)指出,教師的知識應該是一個龐大且具統整性的運 作系統,它並非不可切割,但是當中的每一部分都很難被孤立(isolate)起來。. 15.

(22) Fennema 與 Franke(1992)所提出的架構較符合研究者的研究目的,因此接下來將 從以上三種知識分類來著手,試著針對統計方面加以討論以往教師的教學相關知 識分類之研究。. (三) 統計教學所需的知識 由於許多國家對於統計的日漸重視,促使老師們需要增進他們對於統計的 知識,以及需要適當的教學方式來進行統計教學,同時也應該包括學生在學習統 計會產生困難或易錯的這些知識(Batanero, Godino , Vallecillos, Green, &Holmes, 1994)。Strauss 與 Bichler(1988, p.65)基於算術平均數常常出現在學校課程,以及即 使是大學生對於算術平均數的理解並不正確這兩個理由,他們從統計、抽象以及 平均數可作為一組數據的代表這三個層面來分析平均數概念,並且藉此歸類出七 個平均數性質,分別描述如下。 1.. A 性質:平均值位於極值之中 舉例來說,一個場域內的小孩,他們年齡的平均數介於年紀最大的小孩以 及年紀最輕的小孩之間,換句話說,年齡的平均數不能大於年紀最大的小 孩或者小於年紀最輕的小孩。. 2.. B 性質:把每一項都跟平均值相減,然後將所得到的數值通通加起來,會 等於 0 舉例來說,7、5、3 的平均數為 5,而(7 − 5) + (5 − 5) + (3 − 5) = 0或者 ∑𝑛𝑖−1(𝑥𝑖 − 𝑙𝑥̅ ) = 0. 3.. C 性質:平均值會受到其中的數值所影響 舉例來說 0、5 以及 10 的平均數是 5,然後再增添 10 這個數字進入這組數 據中,則平均數會變成 6.25。. 4.. D 性質:平均值不一定會與其中的數值重合 舉例來說,1 和 3 的平均數是 2。. 5.. E 性質:平均值在現實生活中有可能是個不正常的數字 16.

(23) 舉例來說,美國在 1980 年時統計,每個家庭小孩人數平均為 1.6 人。 6.. F 性質:平均值的計算考慮到所有的數值,包括負數與 0 舉例來說,當我們在計算一個小孩於一星期內做家庭作業的平均時數,可 能包括該小孩許多天都沒有寫作業。. 7.. G 性質:平均值是這個數據的代表. 8.. C1 性質:新數值會影響舊有平均數 Guimarães, Gitirana, Marques 與 AnjosShluman(2010)沿用這樣的性質架構,試 圖去分析巴西的數學教科書,不過在分析的過程中,認為原先的 C 性質需 要更大量的知識,因此另外增加了一項性質,並編碼為 C1: 舉例來說,有五名籃球隊員其平均身高為 1.85 公尺,如果有一名 1.97 公尺的人成為這個. 團隊的新隊員,請問該團隊的平均身高為幾公尺? (Guimarães et al,2010). 最後研究結果指出,巴西教科書表現平均數的方式在某些層面是有效的, 情境化的問題促進了學生如何去計算平均數,以及讓他們明白平均數不一定是數 據中的數字,然而平均數的數字不一定能和現實生活中相對照,以及在計算平均 數時需考慮負數和 0,以上這兩個性質是需要多加關注的。 國內張少同等人(2003)也是沿用七項性質,針對國中生進行全國抽測分析, 調查成果顯示約七成左右的學生可以由簡單的次數分配表計算平均數,但在回答 有關「在一筆資料中,裡面的所有數據與平均數的差值,全部加起來為零」性質 的答對率不到四成,這成果與 Strauss 與 Bichler(1988)所提出的研究結果相吻合。 Garfield 與 Ben-Zvi (2007) 藉由參考以往有關於統計文獻的方式,統整出在 進行統計教學時,應該要注意的八項原則。 1.. 讓學生透過建構式的方式來學習 教學不是告訴、學習不是記憶。無論老師或書本說的多清楚,學生只有在 他們建構出自己的學習意義後,他們才會理解學習教材。在學習新知識之. 17.

(24) 前他們會用舊有知識來解釋新的資訊,並且為兩者建立聯結。只有當學生 們的舊觀念無法派上用場,學生才會嘗試去接受新觀念。 2.. 讓學生致力於自己的學習 研究表示,如果學生致力於他們自己的學習,他們可以學的更好。因此, 如果學生能夠藉由小組合作學習的方式來解決問題和爭論,學生會學的更 好。小組活動可能以 3-4 個人為一組來解題、討論或分析一系列的數據。小 組也可能用來討論更深一層的工作。小組活動提供學生利用口語或書寫的 方式,來表達自己想法的機會。然而,僅僅這樣的活動跟時間是無法確保 學習成果的,好的學習活動必須要被小心的設計,並且教師會是個重要的 聆聽者、評估者以及總結者。. 3.. 在新的脈絡中應用想法 練習可能意味著實際動手做的活動。活動使用小組合作學習,或者在電腦 上工作。讓學生能在新的脈絡中應用想法,這樣的經驗可以讓學生學得更 好。反之,如果只讓他們在熟悉、有著明確定義問題的環境下計算答案, 那麼他們也就只有學到計算。學生無法學習去進行批判性的思考、分析資 訊、溝通想法、進行爭論以及解決新的狀況。只有重複和複習的任務是無 法引發學生更深層的理解。透過實踐來學習一若學生能夠有將想法應用在 新狀況下的經驗,他們會學得更好. 4.. 很容易低估學生在學習機率和統計概念的難度 許多研究表明統計與機率的想法對於學生來說是非常困難的,主要是因為 這門科目會與學生本身對於數據、機率的信念和直觀有著相當大的衝突。. 5.. 很容易高估學生了解基本概念的程度 一些研究表明即使學生能夠正確回答一些測試項目或者進行正確的計算, 他們仍可能誤解基本的想法和觀念,同時即使是高水平的學生也可能不理 解或不記得統計的基礎想法。. 18.

(25) 6.. 可以藉由讓學生面對自己錯誤,來讓他們學習 許多統計研究顯示,學生在推理方面的錯誤(有些顯示是誤解)是相當強大且 迅速恢復一甚至當學生在直接的證據下看到他們的信念是錯誤的,他們也很 難去改變。將教學活動安排成:學生本身對於隨機事件和實際經驗的信念, 讓學生去評估這兩件事情的差異,可以讓學生學得更好。如果學生在一開始 就被要求做出對於數劇和隨機事件的猜測或預計,他們可能會更關心和處理 真實事件。當實驗的證據明確地跟他們預測不同,應該幫助學生去評估這兩 者的差別。事實上,除非學生被迫去紀錄和比較這兩者的差別,他們會嘗試 去為他們對於機率的迷思來做辯解。. 7.. 使用技術工具來幫助學生了解或探索數據 技術工具的使用是為了幫助學生了解並探索數據,而非只是計算的工具。以 科技做為基礎的教學,藉由提供不同的方法來表徵數據,用來幫助學生學習 基礎的統計概念。. 8.. 如果他們獲得一致性跟有用的回饋,他們會學得更好 必須要對學生反饋,進行調整之後,再做一次的教學. 第二節 統計教學所需的觀感. (一) 教學所需的觀感(信念或態度)之意涵 我們有足夠的理由可以相信,在數學教育中,教師對於學科內容的觀念(也 就是他們的信念、觀感以及喜好)以及他們本身的教學,這兩者在教師效能都扮 演了重要的角色,就如同一座學科內容與學習者間的橋梁(Thompson, 1984)。教師 對於數學本質的信念已經被廣泛的接受與使用,Ernest(1989) 描述當中三種觀點: 1.. 從工具主義者的觀點來看:事實、技能以及規則的堆積,能夠被用來進行 一些結果的描述。. 2.. 從柏拉圖的觀點來看:數學被視為一種穩定、預先存在的知識等待被發現 19.

(26) 的固定型態。在這樣的觀點下,數學知識與相關各主題間的結構是相對重 要的。 3.. 從解決問題的觀點來看:數學被視為一種動態且具有創造性,當中的過程 比結果重要許多。而這樣的觀點最能反映出近來在數學教育上的改變。 Pajares(1996)指出對於統計的態度、看法可能會影響一個人在統計課程中所. 表現出來的行為,以及他們參與統計課程的意願。McLeod (1994)藉由對以往的文 獻進行探討,指出早期的研究聚焦於數學態度,特別是學生對學校中所教學科之 反應,後來才擴充到「對數學的信念」、「情緒反應」方面的研究。 1.. 信念 Scheffler(1965)認為「相信」與「認識(或知道,knowing)」確實有層次上. 的關連,如果某人(X)對命題 Q 的相信或信念被否定了,那麼他對於 Q 的認 識也將不被承認;他認為「X 認識 Q」的充分條件是 (1) X 相信 Q (2) X 對 Q 的相信有正當性(right) (3) Q 成立為真,意指對個人而言,必須「取得根據或保證」才能讓內容為真 的信念變成傳統所謂的知識。 2.. 態度 McLeod(1992)將態度與信念做一區分,並指出態度包含正面與負面的感覺,. 例如喜歡幾何、不喜歡代數。Ailken(1976)將影響數學態度的原因分為下列五項。 (1) 性別因素:社會文化普遍期望男生對數學採取較積極的態度,因此一般的 研究皆指出男生比女生更喜歡數學。 (2) 人格因素:有些人格特質與數學態度的形成關係密切,如高自尊、高責任 感、高社會標準、高成就動機、高自由傾向的人對數學比較有積極的數學 態度。 (3) 社會因素:人際吸引、團體動力等社會因素運用得當,能提高學生數學學. 20.

(27) 習的態度。 (4) 教師因素:教師對數學的態度會直接影響學生數學態度之形成。 (5) 教學與課程因素:數學科的教法與課程安排會影響學生的數學態度。 就態度與成就方面來說,Dossey 等人(1988)以 3、7、11 年級的學生為研 究對象,指出態度與成就為正相關,3 年級的學生有 60%在數學的學習中得到 樂趣(enjoy),11 年級的學生中只有 50%在數學的學習中得到樂趣 (引自 McLeod,1992)。 3.. 情緒 Boekaerts(1996)指出於教室中發生的情緒可分為兩類,分別是正面(高興、興. 奮、得意)或負面 (焦慮、生氣、悲傷);任務相關(task-related) 或以脈絡為基礎 (context-based)。有別於信念與態度可用問卷來測量,情緒係在學習過程中發生, 所以 Gentry 和 Underhill(1987)在數學紙筆測驗中,對受試者的肌肉緊繃度進行 物理測量,以研究其焦慮狀況(引自 McLeod,1992)。 總結來說,McLeod(1992)指出信念、態度、與情緒這三種情意反應的因素在 穩定性、強度、認知成分的程度上皆有不同。就穩定性來說,信念與態度為比較 穩定的因素,情緒的變動則較為快速。就強度來說,信念、態度、情緒,可依序 視為冷淡的(cold)、沈著的(cool)、到熱烈的(hot)。就蘊含的認知程度來說,信念的 本質包含較多的認知成份,需長時間的培養、情緒的認知成份很少,並且迅速的 出現及消失。因此信念、態度、情緒的排列可視為情意成份的遞增與認知成份的 遞減。情意的範疇分為三種類型,就單一事件而言,要清楚的判斷教師的反應為 信念、態度或情緒是不容易的,所以本研究著重於教師的觀感,用來做為信念、 態度以及情緒的概括,學生的正面與負面情緒亦作為研究者觀察、分析時的參考。. (二) 教學所需的觀感(信念或態度)之分類 1.. Ernest 的觀點 21.

(28) Ernest(1989a)認為從數學教師對於扮演的角色(teaching roles)、教學行 為,以及和數學教學有關的課堂活動所抱持的觀念,可以歸納出兩個觀點:一 個是對數學任務(tasks)的取向(approaches)究竟要單一(unique)還是多元 (multiple),另一個則是在教學取向上該採獨力(individual)還是合作 (cooperative)的方法。這些觀念透過教師扮演的角色和預期該有的教學表 現,可以區分成訓練者(instructor) 、闡釋者(explainer)與促進者 (facilitator)三種模式,統稱為數學教學觀,如表 1。 表1 Ernest 對數學教師數學教學觀區分出的三種模式 教師角色. 預期該有的表現. 訓練者. 技術熟練並做出正確的結果. 闡釋者. 整合知識形成概念性的理解. 促進者. 有信心佈題與解題. 資料來源:Ernest, P. (1989a). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. Retrieved from http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/impact.htm. 同時 Ernest(1989a)也指出有兩項關鍵觀點可以用來建立數學教師的學習 觀模式:一個是學生究竟要被看成積極地建構知識,還是消極地接受知識?另一 個則是到底要讓學生發展出自動自發的能力和興趣(autonomy and interests) ,還 是認為學習者就該用順從的心態學習?透過這種辨析方式,Ernest 又得到四種數 學學習觀,如表 2 所示。. 22.

(29) 表2. Ernest 對數學教師數學學習觀區分出的四種模式 模式. 預期的學生學習表現. 模式一. 行為順從、技巧熟練. 模式二. 接收知識. 模式三. 積極地建構自己的理解. 模式四. 自動按照興趣自動探索. 資料來源:Ernest, P. (1989a). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. Retrieved from http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/impact.htm. 上述各項觀點最後都和教師的數學信念發生關聯,照 Ernest(1989a)的說 法,數學信念正是數學教學信念與數學學習信念的基礎。舉例來說,一個對數 學抱持著工具主義者觀點的教師,可能會認為自己扮演訓練者的角色,必須謹 遵課本或既有方式教學;他也可能希望學生順從,熟練各項技術。這些關係讓 Ernest 建立如圖 3 所示數學教師教學及其相關信念的模式圖. 圖 3Ernest 的教師信念與實際教學關係. 2. Kuhs 與 Ball 的觀點 Kuhs 與 Ball(1986)的觀點是著眼於數學教師的關切焦點。他們為數學 23.

(30) 教學信念區分出以下四種形態,這四種教學觀各自代表一套對數學,數學的教 與學,以及教學環境的看法。 (1) 學習者中心(learner-focused)的觀點:意味著站在建構主義的立場,相信 數學教師的教法要能讓學生主動建構數學知識。 (2) 以內容為主要核心,但強調概念性理解(content-focused with an emphasis on conceptual understanding)的觀點:這個觀點與Ernest(1989a)所提出的 柏拉圖主義者觀點(the Platonist view)相關,強調在學生理解各種數學想 法的過程時,仍然以數學內容做為課堂活動的關注焦點。 (3) 以內容為主要核心,但強調實作表現(content-focused with an emphasis on performance)的觀點:這類教學觀和Ernest(1989a)所提出的工具主義者 觀點(the instrumentalist view)有關,重視學生的實際表現,並強調讓學 生熟練數學規則與數學程序;當然,數學內容仍是這套教學觀的焦點。 (4) 以課室為主要核心(classroom-focused)的觀點:這類教學觀是建立在如何 讓數學課堂更有效率的知識上,其核心信念是認為課堂活動必須被妥善地 組織起來;在這個觀點下,教師要扮演積極主導課堂活動的角色,俐落地 為全班或小組成員呈現教材,或是提供機會讓學生個別練習,而學生只要 專心服從老師,配合回答問題與做好功課,不須強調任何學習理論,教學 內容是由學校課程塑造出來。 總結以上所述,以 Ernest( 1989a)和 Kuhs 與 Ball(1986)為例,雖然兩者在 結構上並不相同,但是不難發現兩者所提出的模式或型態,主要都包括了教師 對於數學教學內容、教師的教學方法、以及學生學習的信念,因此本研究在了 解個案教師觀感的部分,主要也是採取這三方面的分類。. 24.

(31) 第三節統計教學的知識、觀感與教學實務的實徵性研究 Burgess(2008)採用 Ball 等人 (2005)所提出的知識分類,並且結合 Wild 和 Pfannkuch (1999)提出的統計思維架構(framework of statistical thinking in empirical enquiry),做出一份用來檢驗數學教師與統計教學相關知識的工具,藉由錄下個 案教師上課情形,以及訪談的方式討論課程中的某個片段,調查兩名資淺小學教 師用於教統計時的知識。最後的結果顯示教師知識的眾多元素彼此有著高度相關, 以及缺乏合適的教師知識會造成統計教學與學習上的遺漏。 黃精裕 (2008)希望找出數學教師的 的數學教 學相關知識 (Mathematical Pedagogical Content Relative Knowledge,簡稱 MPCRK),指的是為了有效地傳達 數學學科內容知識,所需要配合的其他知識(例如:教學法知識、學習者知識等 等…)以及相關的因素(像是教學經驗或研習時數等…),統稱為 MPCRK。利用問 卷以及訪談的方式,調查國內高中數學教師在集中和離散的趨勢量數這部分,在 分析過相關文獻之後,研究結果顯示,高中數學教師的 MPCRK 與學科內容知識、 教學法知識以及學習者的知識這三類知識有著高度相關,並且研習時數與教師對 於學習者的知識有著高度相關。 Pollatsek 等人 (1981)針對平均數作為研究主題,一開始先讓 37 位大學生回 答有關於加權平均數的問題,大部分的學生都回答錯誤,只有 14 個正確,最常 見的錯誤即直接相加除以 2,即使這樣的結果很明顯的是,學生並不了解加權平 均,但還是無法得知學生用來解決這類問題的想法,為了能更進一步地了解學生 的觀念,採用訪談的方式,要求學生解決關於統計領域的變數問題,包括機率、 抽樣還有平均。最後研究做出了兩個結論,第一個是當要求學生估計未知數時, 9 個人當中的 4 個人將平均數視為算術而誤用;另一個加權平均數性質,若能夠 找到更合適的脈絡,有助於提高學生答對率,並且在研究最後提到,學生估計平 均值的時候,若題目使用圖形表徵具有較好的結果。. 25.

(32) Mevarech (1983)企圖延伸 Pollatsek 等人(1981)的工作,改進他們的方法,並 且提供一個教學技巧來克服錯誤基模(計算平均或變量時),研究給予 103 位大學 生一系列的問題,發現學生將平均術僅視為一種計算的過程,而且學生的錯誤模 式相當根深蒂固,難以被修正或拔除。因此執行第二個實驗,將 139 位大學生隨 機分成兩組,實驗組採用 MLS 教學法,亦即採用小組合作的方式,讓學生扮演 著診斷者的角色,然後去分析測試中的解法;對照組則採用 LDS 教學法,也就 是教師介紹統計問題,並且提供完整的解答,包含所有公式的列出、公式的解釋 和討論,研究最後建議,應該讓學生從事糾正的行為,來消除他們對於統計觀念 的誤解。 Scheaffer (1988)的「數字基本能力計劃」(QLP)中,對幼稚園至 12 年級的學 童進行統計活動教學,計劃中包括探究資料、樣本調查與蒐集資料等,並強調所 有的資料都是真實的,以提供學生實作統計的經驗。Lajoie、Lavigne 與 Lawless (1993)對 8 年級的學生進行「真實統計計劃」(ASP),強調使用真實資料,並讓學 生「真實地」參與在計劃當中,學生們去尋找自己有興趣的問題,並且進行蒐集, 希望能夠依據資料來回答自己所提出來的問題,此研究結果不但讓 8 年級學生提 高學習興趣,更藉由親自收集真實資料,進一步瞭解統計的深層意涵,並且也加 強了學生對資料的感覺與解釋資料的能力。 Sachs (1997)經過調查後也發現,澳大利亞的各層級的數學教師,大多數並 沒有被事先培育有關於統計與機率的教學內容或教學方法。而國內方面,鄭天順 等人(2001)針對國內高中數學教師進行問卷調查的方式,發現在 1093 位高中數 學教師裡,關於統計方面,有 37%的老師認為統計太過注重於公式的背誦,有 27% 的老師認為缺乏生活化的實例應用;在教法方面,有超過 50%的教師會採用分組 討論或報告的教學方式,不過仍然採用傳統課堂講解方式的教法有 34%;在學生 方面,有 30%的教師認為學生對於機率統計學習這一部分比較有興趣,以及大概 有 20%的教師認為學生在這部分的了解程度比較高。 26.

(33) 楊凱琳(2011)探討職前教師在信賴區間相關九項子概念的理解,發現 113 位 大學部職前教師之中,其中有七項概念的答對率不到六成;19 位研究所職前教 師之中,其中有六項概念的答對率不到六成。. 27.

(34) 28.

(35) 第參章. 研究方法. 本研究採用質性研究中的個案研究法,研究者透過半結構式的訪談方式, 在上課之前,蒐集個案教師的背景資料,從個案教師使用的教材內容和個案本 身對於統計的想法,進而去探究所擁有的教學知識與抱持的教學信念;當教師 開始進行課室教學時,以不介入或操縱教學過程為原則,蒐集個案教師教學現 場的影音記錄,並且利用自編試卷來評量班級學生的學習表現;在上課之後, 讓個案教師針對之前的訪談資料、教學實況與學生的表現等三方面進行反思。 本章共分四節,依序為研究對象的背景與選擇、研究設計與流程、研究工 具,以及資料蒐集與分析。. 第一節研究對象的背景與選擇 研究主要採深度抽樣與便利性抽樣,在質的研究中,抽樣方法大多可分成 隨機或然率抽樣以及立意抽樣兩種,其中立意抽樣的目的就是選擇資訊豐富之個 案(information-rich cases)以說明研究所關注之問題(Patton, /吳芝儀、李奉儒,1995, p.135)。因此挑選個案的方法就顯得相當重要,在立意抽樣裡又因為挑選個案的 方法不同,又可分為 16 種不同的挑選方法,且這些方法可以在同一個研究內混 合使用(Patton, /吳芝儀、李奉儒,1995, pp.147~149)。其中深度抽樣是尋求可以 典型或充分地代表研究現象之個案。而本研究為探討國中教師在統計量的教學情 形,考慮到國中數學教師統計背景(指應用數學系或統計系所畢業)的有無,可能 會對統計教學產生影響,因此選擇個案的方式採用深度抽樣。另外考量研究者本 身的時間、地點等便利性問題,同時使用了便利性取樣的方式,挑選一名台北市 某國中具統計專業的數學教師作為研究對象 T1,以及同校不是統計專業(非統計 專業)的數學教師作為研究對象 T2。以下將針對研究對象個案背景進行詳細的描 述。. 29.

(36) (一) 個案教師 T1: 個案教師 T1 就讀非師範體系的應用數學系,畢業之後曾去高中擔任過 幾年的數學代課老師,後來考上國中數學教師之後,有感於進修的重要性, 目前為教學碩士班的學生,選擇統計老師作為指導教授,也參加過與統計相 關研習大約 8-10 小時,來增加自己的統計相關知識。教師的年資長達 10 年 左右,教了 5 次國中統計單元,於任教期間曾帶領學校學生,在台灣區國中 數學競賽(JHMC)中奪得團體優良獎。個案教師認為八年級之後的課程,一改 以往的具體,內容轉變為抽象。 T1: 「好,我舉個例子,像是國小就會問3個蘋果要50塊,請問8個蘋果要多少錢?在國小 我們就會設框框,到了國中,我們就會用x來表示,其實這個x在數學中,只是代表一 個數字,但對於學生來說,是難接受的。因為以前都是藉由具體的東西代表未知數, 然後到了國中,就慢慢用一些符號、英文字母來代替,小朋友就比較難接受,到了更 2. 後面,像是𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐這類的式子,這樣他們又更不能接受,對他們來說,要看的 到的才容易接受,要用符號代表的,他們都比較不容易接受。」. 因此學生學習數學的方式也要有所改變,不能再像之前一樣只重計算 的部分,而是要多加去思考,才能真正的理解數學內容。 T1:有時候學生考試考好 不見得是資優生 而是績優生,只是補習補出來的。那就是變成 是他們很會解題,不見得真正去理解。其實現在很多學生都這樣子,所以這也是為什 麼我們說基本學測都考中間偏易,那中間偏易是對我們來講,可是你說對於大部分的 學生來講,能夠全部考到70分以上嗎?既然都說是中間偏易了 卻也沒有辦法大多數 的人都考得很好,其實近幾年來的題目,要教你算很多的題目變得很少,通常都是要 叫你去看、去想。所以這個部分一直是我努力的目標,因為要怎麼樣在有限的時間之 內,把這種從具體的事物變成抽象的物體,中間思考的能力要怎麼灌輸給學生?學生 要怎麼去醞釀?我覺得這是一件很困難的事情。」. 所以上課時應該多舉生活化的例子,尤其是統計這類的課程,可以引發 學生的興趣;多採用開放式的數學問題,鼓勵學生去思考並應用。個案教師 為了促使學生多去思考,曾經藉由許多開放性問題,以探索的上課方式來讓 30.

(37) 同學們了解三角形全等性質,只是礙於教學時間有限,教學進度上的壓力, 所以大多數的時間,依然採用傳統講述法,而教學所使用的教材是一般市面 上慣用的教科書,教學進度也是以中等程度同學能跟上為主。 (二) 個案教師 T2: 個案教師 T2 就讀師範體系的數學系,在大學時期曾接過許多的國中數 學家教,在實習結束後就順利考進這間國中,現已拿到師範體系的教學碩士 班學位,在就學期間修過的統計相關課程僅是必修課程,對於數學教學有著 相當大的熱忱。其指導教授開的課程多為數學教育相關。個案教師在該間國 中服務迄今有七年的時間,當中曾教過 5 次國中統計單元。 個案教師認為,國中的數學內容並不算困難,只要學生不排斥數學, 當他們肯接受就會願意去嘗試、去熟悉,自然而然就能夠學好,也就是 說,重點是如何讓學生肯接受數學?所以個案教師對於教學媒體的接受度 相當高,也曾採用過小組討論的方式來進行數學課程。 T2:「之前國一的時候有試過小組分組、上台報告,所以可能的話,我也會讓他們設計課 程,然後自己上台教。我會希望他們自己去討論、自己去比較,所以如果之後有時 間,我會各組分配一個主題,接著讓他們自己上台講,因為學生自己去找主題,也會 加深他們的印象。」. 在教學的時候,教師所使用的參考書與個案教師 T1 相同,而教學進度 為了希望大多數的學生聽懂,所以會以中下程度的學生為主。. 31.

(38) 第二節研究設計與流程 (一) 研究設計: 解釋現象學分析法(Interpretative Phenomenological Analysis, IPA)為當前 的研究提供了基礎。這是因為 IPA 的興趣在於透過分析個人的言論,以理解 其心理世界,分析者可能從蒐集的資料裡,分析出個案的概念、信念或部分 的自我認同(Marton, 1988, p.143)。就如同本研究的目標一樣,欲分析出個案 教師對於統計的教學知識與教學信念。而 IPA 通常應用於小樣本研究,花費 較長的時間,針對個案去進行仔細的分析(丁興祥、張慈宜和曾寶瑩譯,2006, p.73)。並且相較於其他研究方式,個案研究大致有著以下六項特色(Stake, 1995): 1.. 特殊性(particularistic):個案研究著重在一項特殊狀況、事件、方案、 或現象,情境脈絡係個案研究的研究核心。. 2.. 描述性(descriptive):個案研究最後會形成一個豐富、厚實的現象描述, 顯現出現象在情境脈絡裡的完整性與意義性。. 3.. 啟發性( heuristic) :個案研究促使讀者理解研究現象,而研究所發現的 新解,亦能與讀者既有的經驗產生共鳴。. 4.. 探索性(exploratory) :個案研究能定義一種程序性的問題與假設,亦即辨 明事實之間的關係。. 5.. 解釋性(explanatory):豐富的情境脈絡使研究產生許多變項,個案研究 必須分析資料裡錯綜複雜的因果關係,顯現其動態化。. 6.. 歸納性( inductive):個案研究仰賴歸納推論,故不能僅靠單一的資料 蒐集方法,必須使用多元證據來源(multiple data sources),從蒐集的資 料中形成通則、概念、或假設。. 32.

(39) 而本研究企圖在進行統計教學的脈絡下,描述出國中教師的統計教學 知識和觀感,並且能夠解釋、歸納與統計教學行為間的複雜關係,希望能 從中獲得啟發,所以本研究採用個案研究法。 IPA 最常藉由半結構式的訪談來蒐集資料,這是因為希望個案能夠在 訪談的過程中,和研究者比較親近的分享內心世界,而有可能說出一些研 究者事前沒想到的事情,個案教師被看成是這個研究主題的經驗專家,被 鼓勵講自己的故事(丁興祥等人譯,2006, p.75)。好的訪談會使個案教師透 露其想法、感受和知識,而且在經歷這段反思的歷程之後,將影響個案教 師,使其更了解自我(Patton, /吳芝儀、李奉儒,1995)。需要特別注意的是 Valli(1992)提到用來蒐集資料的方式,除了要能夠鼓勵老師在信念上、知識 上和實作上進行反思,重要的是不能對教師具有威脅性。以及訪談時間不 宜過長,約為 15 至 20 分鐘(Mintzes, Trowbridge, Arnaudin, & Wandersee,1991/熊招弟譯,1996)。基於以上的觀點,本研究希望能透過課 前訪談,先初步瞭解個案教師對於平均數教學的想法,以及藉由課後晤 談,讓個案教師解釋研究者所觀察到的外部行為,避免研究者解讀錯誤, 並促使個案教師對於自己的教學歷程進行反思,所以研究者將藉由訪談來 作為蒐集研究資料的方式之一。 個案研究法強調蒐集資料的方式應該使用多元證據,不能僅從單一的 資訊來源來描述個案教師,Patton(1990)提到透過訪談、觀察以及文件記錄的 綜合使用,將提高了方法的效度。因此除了訪談之外,本研究也利用外顯性 觀 察 (overt observation) , 來 檢 驗 訪 談 中 報 導 的 一 切 , 而 文 件 紀 錄 (documentation)則是提供了一個對於個案的幕後省視。 訪談呈現出個案教師本身的理解,然而研究者要注意的是,受訪者總是 報告自己的知覺-選擇性的知覺,研究也指出教師的信念跟知識,常常會產生. 33.

(40) 與教學行為不一致的現象(方吉正, 1998)。因此需要進行課室觀察,真實且詳 盡地描述個案教師在進行教學時的外部行為,藉此來檢驗訪談時所得到的資 料。因為便利性質與道德倫理的問題,本研究採用外顯性觀察,也就是會讓 個案教師以及學生知道觀察正在進行,而且知道研究者正在觀察、錄影。當 人們知道他們正在被觀察時,他們的行為就會產生變化(Patton, /吳芝儀、李 奉儒,1995)。所以為了盡可能將個案教師的教學情況忠實地呈現出來,研究 者將提早幾節課的時間進入課室,進行預錄的動作,讓個案教師以及學生先 習慣教室多了研究者以及攝影機的存在,期望透過以上的方式,避免個案教 師可能會因為研究者進入課堂而有異於平常的表現。 此外進行訪談時,如果研究者在缺乏文件所提供的資訊導引下,可能無 法詢問一些合適的問題(Patton, /吳芝儀、李奉儒,1995)。因此本研究在進行 課前訪談之前,針對個案教師所使用的教科書、大考中心的統計量試題以及 與統計量相關的教學研究進行分類,作為訪談個案教師的基礎問題,並依此 發展出一份評量學生的問卷;在進行課後晤談之前,分析課室觀察紀錄表與 學生問卷這兩份文件,構築出課後晤談的問題大綱。但是有鑑於文件紀錄容 易受制於各種測量的錯誤,因此與指導教授進行多次的討論與修改問卷,以 期能夠提高測量的信、效度。. 34.

(41) (二) 研究流程: 研究流程主要可分成四個階段,分別是教學之前的訪談階段、教學錄 影、教學之後的非正式晤談階段以及結果分析階段。研究流程圖如圖 4 所 示,詳述如下: 選擇樣本. 分析使用教材 的內容. 與教授和同儕 進行討論. 蒐集 基測 相關 試題. 建立問卷. 課 前 半 結 構 訪 談. 課前半結構式訪談. 研 讀 相 關 文 獻. 課室觀察與錄影 學生進行施測. 課室觀察紀錄表. 學生問卷結果. 課 後 晤. 資料整理 課後晤談大綱. 課前訪談內容. 課後晤談內容. 撰寫論文 圖 4 研究流程圖. 35. 教 學 錄 影. 談 結 果 分 析.

(42) 1. 課前半結構訪談階段的說明(2010 年 8 月至 2011 年 3 月) 這階段的目的是希望能夠藉由訪談,初步地了解個案教師對於統計教學 的內心想法,探究教師對於學科、教學以及學生這三方面的知識與觀感,並 且利用所獲得的資訊,幫助研究者在接下來的課室觀察中,去聚焦以及理解 教師的教學行為。然而就如同 MacCullough (2007)一開始所遇到的困境一樣, 由於個案教師可能比研究者知道得更多,以及目前沒有用來討論國中教師對 於統計教學理解的一個總框架,因此訪談問題主要是依據研究者對於文獻的 理解所設定出來。本研究採用類似的作法,除了依據研究者本身對 Pollatsek 等人(1981)、Strauss 與 Bichler (1988)、黃精裕 (2008)以及 Guimarães, Gitirana, Marques 與 Anjos (2010)等與統計量相關文獻的理解之外,還參考個案教師 所使用的教科書、以及近十年基本學力測驗相關統計試題,發展出一份草稿 問卷,經過教授和同儕的多次討論,制定出一份正式的學生問卷,並且藉由 問卷上的問題,發展出此階段的訪談大綱。 訪談時間訂在個案教師上這個單元前一個星期,由於是第一次見面,所 以除了原先預計的訪談大綱之外,也增加對於個案教師其背景資料的了 解,因此整體訪談時間也從原本預估的 20 分鐘拉長至 50 分鐘。 2. 教學錄影階段的說明(2011 年 3 月至 2011 年 5 月) 這階段主要有兩部分,第一部份是錄下兩名個案教師的統計教學情形, 目的是希望藉由觀察個案教師顯現的外部行為,能夠三角校正之前的訪談內 容並勾勒出課後晤談的問題大綱。與個案教師確認學校上課時間之後,研究 者提早兩三天進入教學現場,於 2011 年 3 月進入課室錄影、觀察,主要錄 影時間 T1 約一節課、T2 約兩節課,最後用課室觀察紀錄表紀錄下來以利分 析;第二部份是學生的施測,在上完課之後,研究者蒐集班級學生所接收到 的統計知識以及對於統計的喜好程度,目的是希望得知學生的反應是否達到 個案教師的預期,並且制定下一次晤談的問題大綱,因此研究者在學校實行 36.

(43) 段考後,利用先前制定的學生問卷,於早自習的時間對全班學生進行施測, 時間約 30 分鐘。 3. 教學之後非正式晤談階段( 2011 年 4 月至 2011 年 6 月) 將課前訪談階段、課室觀察紀錄表以及學生問卷這三種資料得到的結果 進行整理,目的是希望藉由教師在教學實況中展現出來的教學知識與觀感, 以及學生問卷上的回答,來檢驗是否符合一開始所訪談的資料,甚至試著更 進一步地去了解,造成差異的背後原因。所以研究者從以上的差異點去勾勒 出晤談內容基礎之後,與個案教師進行數次非正式晤談並以錄音筆記錄。 4. 結果分析階段( 2011 年 6 月至 2012 年 6 月) 研究者將前面三階段所蒐集到的資料進行分析與詮釋,以撰寫成論文。. 第三節研究工具 本研究以自製學生問卷、半結構式的課前訪談大綱、課室觀察記錄表以 及課後晤談大綱這四種來做為研究工具,分別依序敘述如下: (一) 學生問卷 學生問卷上在課前訪談、教學錄影以及課後晤談三個階段都有使用,用 於第一階段的目的是為了初步了解個案教師在學生方面的認知與觀感,並且 在個案教師解決學生問卷上的問題的過程中,藉此獲得教師關於學科與教學 兩方面的認知與想法;用於第二階段的目的是為了蒐集學習者在課堂上所吸 收到的知識以及對於統計的感覺,以便用來校正第一階段的訪談內容;在第 三階段的目的則是藉由學生作答的情況,讓個案教師反思自己的教學知識與 信念是否跟實際教學狀況有落差,並進一步的瞭解造成前面兩階段差異的原 因。 學生問卷所使用的資料來源主要是個案教師在教學現場使用的教科書, 另外由於國三學生即將面臨基本學力測驗,在現今考試領導教學的趨勢下, 37.

數據

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參考文獻

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