綜合高中「數學」教學綱要

壹、目標

綜合高中必修科目「數學」課程欲達成之目標如下：

一、引導學生了解數學的基本概念，以增進學生的基本數學知識。

二、培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

三、訓練學生的演算與作圖能力，以應用於處理事務的技能。

四、培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。

五、培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

六、造就學生的基本能力，以培養繼續進修、自我發展的能力。

貳、核心能力

綜合高中必修科目「數學」課程欲培養之核心能力如下：

一、演算能力：能熟練多項式、分式、根式、指對數、三角的運算及估算。

二、抽象化能力：能將具體世界中的概念以數學形式表徵。

三、推理能力：能認識證明，並進行推論。

四、連結能力：能整合數學內部知識並與具體世界連結。

五、解題能力：能解決數學形式與生活情境中的數學問題。

六、溝通能力：能正確、流暢地利用口語或文字表達解題想法。

七、使用計算工具的能力：能使用計算器來處理繁瑣的計算與解決較複雜的問題。

叁、教材綱要

綜合高中部定必修「數學」課程計 8 學分，開設於一年級。

數學Ⅰ（函數） 4 學分

主題子題內容備註參考節數

一

、數與式

1.數與數線

2.數線上的幾何

1-1 數線上的有理點及其十進位表示法

1-2 實數系：實數的十進位表示法、四則運算、絕對值、大小關係

1-3 乘法公式、分式與根式的運算 2-1 數線上的兩點距離與分點公式 2-2 含絕對值的一次方程式與不等

式

1-2 不含非十進位的表示法

二

、多項式函數

1. 簡單多項式函數及其圖形

2. 多項式的運算與應用

3. 多項式方程式

4.多項式函數的圖形與多項式不等式

1-1 一次函數 1-2 二次函數

1-3 單項函數：奇偶性、單調性和圖形的平移

2-1 乘法、除法（含除式為一次式的綜合除法）、除法原理（含餘式定理、因式定理）及其應用、插值多項式函數及其應用 3-1 二次方程式的根與複數系 3-2 有理根判定法、勘根定理、ⁿ a

的意義

3-3 實係數多項式的代數基本定理、虛根成對定理

4-1 辨識已分解的多項式函數圖形及處理其不等式問題

1-3 僅介紹 4 次

（含）以下的單項函數 2-1 不含最高公因

式與最低公倍式、插值多項式的次數不超過三次 3-1 不含複數的幾

何意涵

4-1 不含複雜的分式不等式

主題子題內容備註參考節數

三

、指數

、對數函數

1.指數

2.指數函數

3.對數

4.對數函數

1-1 指數為整數、分數與實數的指數定律

2-1 介紹指數函數的圖形與性質

（含定義域、值域、單調性、

凹凸性）

3-1 對數的定義與對數定律 3-2 換底公式

4-1 介紹對數函數的圖形與性質

（含定義域、值域、單調性、

凹凸性）

3-2 換底公式不宜牽涉太過技巧性與不實用的問題

5. 指數與對數的應用

5-1 對數表（含內插法）與使用計算器、科學記號

5-2 處理乘除與次方問題 5-3 等比數列與等比級數

5-4 由生活中所引發的指數、對數方程式與不等式的應用問題

5-1 不含表尾差 6

數學 II（有限數學）、4 學分

主題子題內容備註參考節數

一

、數列與級數

1.數列

2.級數

1-1 發現數列的規律性 1-2 數學歸納法

2-1 介紹Σ符號及其基本操作

1-1 只談實數數列、不含二階遞迴關係 1-2 不等式型式的

數學歸納法置於數學甲/乙 I 數列與極限中討論

主題子題內容備註參考節數

二

、排列

、組合

1.邏輯、集合與計數原理

2.排列與組合

3.二項式定理

1-1 簡單的邏輯概念：介紹「或」、

「且」、「否定」及笛摩根定律 1-2 集合的定義、集合的表示法與

操作

1-3 基本計數原理（含窮舉法、樹狀圖、一一對應原理）

1-4 加法原理、乘法原理、取捨原理

2-1 直線排列、重複排列 2-2 組合、重複組合

3-1 以組合概念導出二項式定理、

巴斯卡三角形

2-1 不含環狀排列本章節要避免情境不合常理、過深、或同時涉及太多觀念的題型 3-1 不含超過二項

的展開式

三

、機率

1. 樣本空間與事件

2. 機率的定義與性質

3. 條件機率與貝氏定理

1-1 樣本空間與事件

2-1 古典機率的定義

3-1 條件機率、貝氏定理、獨立事件

2-1 不含幾何機率

四

、數據分析

1.一維數據分析 1-1 平均數、標準差、數據標準化 1-1 只談母體數據分析，不涉及抽樣，可用計算工具操作

主題子題內容備註參考節數 2.二維數據分析 2-1 散佈圖、相關係數、最小平方

法

2-1 可用計算工具操作。最小平方法的證明置於附錄

肆、實施方法一、教材編選

（一）應力求掌握本課綱設計的精神編寫教材，儘量配合課綱子題設計的先後來訂定章節，但在內容上則不必拘泥綱要內容編排的順序。為達成教材流暢性與完整性所新增的內容，可置於附錄。

（二）在編寫要領上，應注意下列事項：

1. 編寫教材時，應注意與國民中小學九年一貫課程的銜接。教材應具實用性、

時代性及前瞻性。

2. 教材應以精緻與完備的出版品呈現。

3. 教材應注意到銜接、統整和連結。

4. 教材的呈現應循序漸進，適當鋪陳，引發學習動機，注意學生學習心理，

在直觀與嚴謹之間取得平衡，並兼顧從特例到一般推理的必要。

5. 教材應有足夠的範例與習題。範例應具有意義並反映數學思考，在範例之後應有隨堂練習，在課文之後應有啟發深思的習題。習題要扣緊主題，在深度上由淺入深，不宜與教材內容有太大落差。範例與習題的妥適性可由下列的指標來判斷：

(1) 是否為無意義的人工化難題？

(2) 所謂生活化的問題是否符合常理？

(3) 是否屬於大學程度的題材，雖可用高中所學的方法解決，但仍屬困難？

6. 範例與習題應注意與生活、其他學科及下列九大議題的連結：生命教育、

性別平等、法治教育、人權教育、環保教育、永續發展、多元文化、消費者保護教育、海洋教育。

7. 教師手冊要提供教師對教材進一步的認識，對課程深入的了解和最有效率的教法。教師手冊亦應提供相關的進階資訊供教師參考。

8. 專有名詞應採用教育部最新編訂公布的數學名詞。各專有名詞及外國人名應於索引中附原文。

（二）審查注意事項：教科書的審查應掌握教學綱要的內容、備註及其說明所呈現的精神，並依據上述教材編寫注意事項進行。審查時，應遵照國立編譯館所頒布的審訂規範，並尊重出版自由與智慧財產權的精神。

二、教學方法數學Ⅰ：函數

一、數與式

實數是度量連續量的符號。在第一章的「數與式」中，學習目標為建構直尺，也就是要學習實數的十進位表示法，以及處理數線上的幾何問題。

首先複習有理數系並延伸介紹循環小數，但此處僅需初步介紹循環小數為有理數，

證明則留待極限的章節討論。藉由有理數的十進位表示法，導入介紹數線上實數的十進位表示法，即無限小數。此處僅需建立實數可由有限小數逼近的直觀，不需涉及實數的完備性觀念。至於 2 為無理數的證明，則置於附錄。在數的學習中，要循序漸進地引領學生學習以文字替代具體數字的形式操作，包括展開、分解與化簡，以與國中的經驗連結，並作為學習函數的基礎。

其次由數線上的方程式複習變數的觀念，處理數線上的幾何問題，包括分點公式，

以及與距離相關的方程式與不等式問題。

1.數與數線

1.1 數線上的有理點及其十進位的表示法

透過有理數的相除意涵，讓學生發現有理數可以用有限小數或循環小數來表示，此處讓學生操作分母為一位數的有理數即可。循環小數為有理數的證明，留待極限章節處理，此處僅需初步介紹。要告知學生一個實數為有理數的充分必要條件為該數的十進位表示法是有限小數或循環小數。

1.2 實數系：實數的十進位表示法、四則運算、絕對值、大小關係

實數與數線上的點有一一對應的關係，透過不斷作十等分的細分，直觀介紹實數可用有限或無限小數表示，並建立實數可用有限小數逼近的直觀。實數的操作包括絕對值、

根數操作與實數大小的比較。

 2 可表為無限小數。

 絕對值的定義。

 複習根式的運算與化簡：如 2 1 1

1  

 、 a²  a 、算幾不等式

2 a b

ab 

 。

 數的大小比較。

1.3 乘法公式、分式與根式的運算

對文字符號所組成的代數式能進行展開、分解及化簡等形式運算。乘法公式及其逆運算（如：立方和、立方差），此處不要延伸為複雜的因式分解。

 型如



^a^^b



³ ^、



^a^^{b a}

 

²^^ab^^b²



^、

^

^a^^b

^ 

^a² ^^ab^^b²



^、

^

^a^{ }^b ^c

^

² ^、



¹^^x

 

¹^{ }^x ^x²



的展開式與逆運算，但不宜過度延伸。

 不含雙十字交乘法如



^x^{ }^y ¹



^x^{ }^y ²



^{的因式分解。}

 不宜的公式：x³y³ z³ 3xyz  (x y z x)( ²y²z²xyyzzx)。

 能化簡繁分式與根式，如

1 2

1 1 1

ab a b a b

 

  

 

 

、 2 2 2 2

1 c

a b

c c

 

   

   

   

、 5 2 6  3 2 、

2 2 1

x x^   x x^ 。 2. 數線上的幾何

2.1 數線上兩點距離與分點公式

例如能算出介於 ,a b 之間且與 ,a b 距離的比為 2:3 的點x 。 2.2 含絕對值的一次方程式與不等式

 三角不等式： a b  a  b 。

 x 3 2且 x 1 1的解的範圍為1 x 2。

 求 x 1 2x3的解的範圍。

二、

多項式函數

1.簡單多項式函數及其圖形

1.1 一次函數：變化率（應用意涵，如速度）、斜率（幾何意涵）

 介紹函數^y^ ^{f x}

 

^{的符號及函數圖形。}

 ymx b m x



x0



中m x b 的幾何意涵，其中 m 在幾何上的意涵為斜率，在應, ₀, 用上的意涵表示 y 對 x 的變化率。

1.2 二次函數：配方法、圖形、極值、判別式、正定性（恆正性）、應用實例

 極值問題的應用，例如 f(x)x²2x3,2x2的極值。

 正定性：所謂二次式的正定性是指其函數值的恆正性，譬如判斷x²  x 4恆為正。

 能繪出各種不同型式的二次函數的圖形，如^y^^{c x}



^^a



^x^^b



^、^y^^ax²^^bx^^c^、

 

ya xh k ，並能進行二次函數不同型式的轉換。

1.3 單項函數的奇偶性、單調性和圖形的平移

 了解函數y xⁿ，n1, 2, 3, 4在



^^1.5,1.5



^的圖形。

 當 n 為正整數時，型如ycxⁿ函數的奇偶性與單調性。

 了解 c 的正負、大小與函數ycxⁿ圖形的關係。

 利用平移畫出型如^y^^{c x h}



^



ⁿ^^k的圖形，但不涉及二項式展開的逆運算。

2.多項式的運算與應用

2.1 乘法、除法（含除式為一次式的綜合除法）、除法原理（含餘式定理、因式定理）及其應用（含多項式函數的求值）





^x^^a

 

^xⁿ^¹ ^^xⁿ^²^a^ ^^aⁿ^¹



^^xⁿ ^^aⁿ，n = 2,3,4。

 (xa)(x²axa²)x³a³。

 除法中的除式不宜太高次方，以一次式和二次式為主。

 透過連續的多項式綜合除法，求

 

² ³ ⁵ ² ⁶ ³



 







f x  x  x  x  a b x c x d x 中的 a, b c, , 與求d



^{1 . 0 1}



f 的二位小數近似值。

 求 ^{f x}

 

^²^x³^⁵^x²^⁶^x^{  }³ ^a ^{b x}



^{ }¹

 

^{c x}^¹



^x^²



^^{d x}



^¹



^x^²



^x^³



^中的

, , , a b c d。

 f

 

x 除以



xa

 

xb



的餘式為通過



^{a f a}^,

  



^{b f b}^,

  

^{的插值多項式。}

 若 f 有 a,b 兩實根，則 f 可寫成 ^{f x}

 

^^{q x}

 

^x^^a



^x^^b



^的型式。

 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。

在文檔中教學綱要 (頁 33-49)

綜合高中「數學」教學綱要

壹、目標

貳、核心能力

叁、教材綱要

肆、實施方法 一、教材編選

二、教學方法 數學Ⅰ：函數







 





 









 









二、

 











 











 



 



 











 



 













 



 





  



  

 

 





肆、實施方法一、教材編選

二、教學方法數學Ⅰ：函數

^

^ 

^

^