行動省思期

（107 年 4 月至 107 年 5 月）

經過探索期的探索及省思後，在新的循環中仍繼續以教授系統思考為主要行 動，惟以系統思考課程融入數學課程為主，以生活重大事件為輔，設計能加深學生 數學記憶，喚醒生活中的數學。

這個循環的課程中，從數乙下的課程中挑選各章節適合的系統基模融入。

第一個主題為邁向未來我，目的為讓學生能看清自己成長的極限及與同儕的競 爭，才能邁向更好的未來，成為理想中的自己。在 1-1 數列與極限的單元裡，從比 較數列大小的系列問題中，挑選課本中銀行利率的應用問題，該例題為比較等比數 列與等差數列第二十項的差異，以惡性競爭基模帶領學生思考與人競爭時，在比較 與他人的差異後，須從差異中找尋不傷害自我的方式優化自身條件（教案見附錄 五）。在 1-2 無窮等比級數裡選擇成長上限模型融入夾擠定理，因生活中的成長常常

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會有刻版的上界及下界，既定的上下界會影響成長的幅度，讓學生思考是否為自己 增加了隱形的限制，導致無法成長（教案見附錄六）。

第二個主題為我之於世界，從觀察世界共同的問題，使學生在未來對國際問題 能更有感觸，進而改變世界。在 1-3 函數的概念中，以生活中的函數圖形引入系統 思考的長期行為圖，從「人類與環境」函數圖引入，讓學生從中了解人類對地球造 成的傷害，會使全人類在未來滅亡，因為地球的資源一直被人類耗盡，接著以「共 同的悲劇」系統基模，讓學生思考生活中資源有限，但卻無法節約的問題（教案見 附錄七）。最後在章節 1-4 函數的極限，以「全球收入」曲線引入，讓學生看見現在 富有的人佔全世界的比例，再以「富者越富」系統基模，讓學生分析這問題發紐的 原因，並思考如何解決（教案見附錄八）。

行動省思期的課程架構以表 4-2-1 呈現之。

表 4-2-1

行動省思期課程架構

實施日期 課程 主題名稱 生活事件/章節名稱 系統思考 第五節課

(1070403) 數乙

邁向未來我

1-1 數列與極限-數列 惡性競爭 第六節課

(1070412) 數乙 1-2 無窮等比級數-夾擠

定理 成長上限

第七節課

(1070427) 數乙

我之於世界

1-3 函數的概念-人類與

環境 共同的悲劇

第八節課

(1070504) 數乙 1-4 函數的極限-成長分

布曲線 富者越富

(1070511)實施系統思考評量-後測

壹、主題：邁向未來我

一、第五節課－1-1 數列與極限-數列 (一) 課程規劃背景

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清明連假的前一日，有些學生自主彈性放假，數學課的內容是高一已學習過的 數學歸納法，在高三下冊數列單元須使用此概念，因此再次教授其證明方法。而學 生高一雖然已學習過且高二暑假還複習過，但經過學測的洗禮後，數學遺忘的程度 參次不齊，有些人不用我教已寫完證明，而大部分人是知道概念但寫不出重要步 驟，少部分則是連概念都不懂，除了再次講解同一個觀念外，我在課程的最後，將 證明的思考過程以系統思考的因果循環圖畫出，幫助學生理解此重要的證明方法。

(二) 教學歷程 1. 惡性競爭

課堂一開始先講解數列的數學歸納法，帶領學生寫題目後，接著是比較等比數 列及等差數列的差距，課本使用的例子為銀行存款的單利及複利問題，以此例子延 伸，讓學生思考單利的甲銀行得知顧客皆去複利的乙銀行存錢，甲銀行會推出何種 方案與之抗衡。

T：請問你們會選利息不會變的甲銀行，還是每年利息都在增加的乙銀行去存錢呢？

S45：乙啊！

T：那請問你們認為甲銀行會做什麼改變來搶客人？提高利率對吧？然後乙銀行就又推 出更厲害的方案來搶客人，造成惡性競爭。就像我上次在路上看到一對年輕男女在 比騎快車，越騎越快，然後下一個紅燈女生就躺在地上了。所以今天讓我們來討論 惡性競爭的模型。

S30：越來越厲害囉!

S12：哎唷！妳今天很有梗喔。妳這樣講都可以講到。（錄影/1070403）

雖然學生們是有點嘲諷的回應，但這樣的反應是他們明顯感受到系統思考融入 數學，並以生活事件舉例完美銜接惡性競爭的模型。講解完模型後讓學生討論 15 分 鐘，並強調說明只須代換掉其中的語句，以防學生再度欲罷不能的寫出過多因素，

導致看不清楚基模最主要的因素。提醒學生將問題寫出後必須想出競爭雙方均可接 受之解決方式。討論完後請學生繳交給我，說明將於下次上課時，會將學生討論的 成果與全班分享，讓學生知道他們的作品會讓全班看到，不能隨便亂寫就交給我。

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2. 解題時的思考途徑

由於經過上一堂課後，從學生的考卷計算過程發現，學生對於書寫證明題仍然 覺得困難，表示在解講證明題時速度過快，學生並沒有聽懂，因此我再安排了一堂 課解講數學歸納法，並以解決問題過程（圖 4-2-1）及學生學習數學的成長上限圖

（圖 4-2-2），分析、講解解決問題的途徑及正確的學習方式（教案見附錄九）。

以圖 4-2-1 講解在使用數學歸納法時，可先從題目中找尋「已知」條件，再將 題目的「所求」式子寫出，思考已知與目標間缺少的關鍵為何，此時能否看出推演 算式中所缺少的關鍵則需數學相關的「知識」。也可將此圖解讀為以自身擁有的「條 件」，為達人生的「目標」，所缺乏的是「學識」，以此引申個人願景的達成需先充實 自我。

圖 4-2-1 解決問題的過程

以圖 4-2-2 講解應如何充實「數學知識」，若寫題目的過程卡住就立即「看詳 解」研究，尤其是證明題（此特指數學歸納法），並將詳解過程背下來，由於「大腦 容量」有限，「記憶」空間也有限，很難真正獲得「數學知識」，因此建議學生寫題 目卡住、有困難時，可先「自己思考」，雖然需花費較長時間，但此為得到「數學知 識」的正確途徑。

圖 4-2-2 學習數學的成長上限圖

條件、已知

所求、目標 學識、知識

自己思考 數學知識

看詳解 記憶

大腦容量

+

+

+

+

-90

(三) 學生成果分析

從學生的作業中可分成以下四類，使用系統思考的程度由低到高分別敘述，由 於前幾類學生錯誤使用基本元件，或因素表達不清，因此我將舉例的學生寫的因果 圖，修正成較易理解或正確因果循環圖。

1. 文不對題

此張圖想說明的是：老鳥打壓新手，導致新手一直無法成長。此不為惡性競 爭，不適合使用此基模，除此之外，箭頭的使用也錯誤，因素「丙越來越強」不會 導致「甲是公司老鳥、乙是公司的新手」。

圖 4-2-3 惡性競爭學生例 1

（S46/學習單 1070403）

2. 因果箭頭錯誤使用

以圖 4-2-4 為例，表示一情況為成績最差的學生可以被請客，但學生誤將「甲 成績很爛」當造成「乙成績很爛」的原因，此為箭頭的誤用。修改成圖 4-2-5，甲因 為成為最爛的成績，造成乙最爛的地位不保不能被請客，因此甲對乙造成威脅，導 致乙開始擺爛。

91

-92

因素的誤用在一開始學習系統思考時容易發生，又如圖 4-2-8 中，因素「乙用 B 聘到人才」不是乙所受到的威脅，應將其改成圖 4-2-9 中的「甲的人事成本較乙 低」；圖 4-2-8 中因素「乙不爽」，亦不能當成乙受到威脅之後所做的活動，應改成 圖 4-2-9 中的「乙降低員工最低薪資」，而導致乙所得到的成果為「乙以低薪招聘人 才」。



圖 4-2-8 惡性競爭學生例 4

（S11/學習單 1070403） 圖 4-2-9 惡性競爭學生例 4-改

4. 使用正確

以美國與恐怖組織的戰爭為例，他們互相攻擊、互相造成威脅。

圖 4-2-10 惡性競爭學生例 5

（S43/學習單 1070403）

甲的人事成本 較乙低

乙降低員工 最低薪資

乙以低薪 招聘人才 乙的人事成本

較甲低 甲降低員工

最低薪資

甲以低薪 招聘人才

+

+

+

-+ +

+

-93

（三）課程省思

1. 系統思考能力不足

此為行動省思期的第一節課，學生對於系統基模已有初步認識，但學生被要求 針對想表達的問題，規定只能使用基模上有的要素位置填空，但一個問題有很多個 要素，學生不確定要放哪個進哪個位置，但我的能力也不足以在短時間看出他們問 題的癥結點，因此每組寫出來的大部分有些許錯誤，但因能力不足當下沒辦法直接 給學生回饋。

2. 融入方式牽強

為將系統基模融入高三下課程，故從所教內容中找尋與系統思考概念相似之處 引入，但由學生的反應知，他們都知道我想上系統思考，但轉折太牽強，感覺硬是 把系統思考放進課程中，但在思考系統基模時又與數學課程無直接相關。於下一節 課將數學夾擠定理中的上限、下限與基模中的限制因素結合，讓學生在思考系統基 模的限制因素時，能思考到夾擠定理的上、下限的觀念。

二、第六節課－1-2 無窮等比級數-夾擠定理 (一) 課程規劃背景

校內模擬面試於該堂課兩日前結束，從該禮拜起學生要準備面試，心情緊張、

浮燥不定。數學課程為極限中的重要定理－夾擠定理，以夾擠性質的上界、下界，

象徵人在學習時的所具備的能力及自我設限的界線。在此堂課的前一堂數學課已先 講解夾擠定理之基本觀念，並以數學軟體帶領學生欣賞阿基米德及劉徽之割圓術。

(二) 教學歷程

以課本夾擠定理之例題

lim ^sin 0

x

x



x 

，以

y ¹

 x

當上界、

y ¹

  x

當下界，請學生 觀察圖形(圖 4-2-11)，接著講解

0

lim sin 1

x

x



x 

的圖形，以

y  1

及

y

cos

x

當上、下限

（圖 4-2-12），並以此圖講解學生努力情形。

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T：我們上一堂課先講了課本中的例子，從圖形(圖 4-2-11)可以看到

sin x

y  x

夾在上面

這個條

1

x

^{及下面這條}

1

 x

的中間，而

sin x

x

在無限遠處振盪會越來越小，為什麼 呢？因為它的分母越來越大，到最後振盪小到趨近於 0。所以

1

x

^當上界，

1

 x

當下 界，這是我們學夾擠的第一個例子。（錄影/1070412）

圖 4-2-11

_lim ^sin ₀

x

x



x 

T：那第二個是我們這堂課剛剛才講完的例子，（圖 4-2-12）它在 0 的附近也有

T：那第二個是我們這堂課剛剛才講完的例子，（圖 4-2-12）它在 0 的附近也有

在文檔中 系統思考學習應用在高三下學期之行動研究 (頁 97-116)