貳、Rasch Model 探討
第六節 階層線性模式探討
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「考試作弊」、「逃學或翹課」、「在學校打架，或和老師起衝突」、「看黃色書 刊、光碟或上色情網站」、「抽煙、喝酒或吃檳榔」、「逃家」、「偷竊或破壞他人物 品」。分數轉換為：0=從來沒有，1=偶爾有，2=有時有，3=經常有。因此國一學 生偏差行為的總分最低為 0 分，最高為 21 分。
若某甲總分為 1 分，某乙總分為 3 分。在數學上來說，某乙偏差行為是某甲 的 3 倍，但實際上未必如此。其次，總分 3 分和總分 2 分之間的差距，未必等於 總分 15 分和總分 14 分的差距。
再者，本研究測量偏差行為的題目第一波有 7 題，第二波只剩 4 題，最高總 分不相同，若要精確估算其偏差行為變化的程度，以古典測驗理論估算確實有所 不足，因此有必要仰賴試題反應理論估算，方能窺得全貌。
本研究適合採用 Rasch 模式的另一個原因是，Rasch 本人非常強調 Rasch 測 量無需假設母體的分佈，這是因為其 sample free 的特性。國中生的偏差行為畢 竟只有少數人，其分配不可能是常態分配，因此宜採用 Rasch model 估算。
圖 5: Rasch 模式中不同題目的 ICC
第六節 階層線性模式探討
社會科學的研究中會涉及許多資料的階層性問題。例如，研究學生的偏差
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行為，可以設學生個人的家庭背景為自變項來研究，可以從學生就讀班級的班風 來研究，也可以由校長的辦學理念來研究。由於學生偏差行為屬於個人階層資 料，「巢套」在班級之下，若僅以階層資料研究，推論至個人層次，則犯以全蓋 偏的「生態謬誤」（ecological fallacy）。相對地，若以個人層次資料研究，推論至 總體層次，則為以偏蓋全的「原子謬誤」（atomistic fallacy）。
（一）階層線性模式簡介
階層線性模式 Hierarchical Linear Model (簡稱 HLM) 是為了解決研究資料中
「階層巢套現象」而產生的研究方法。一般社會科學領域中時常出現「資料巢套 現象」，例如學生巢套於學校之下、病人巢套於醫院之下。巢套現象使個體間隨 機誤差獨立性難以滿足，傳統迴歸統計亦無法適用。例如學生巢套於學校之下，
學生受到高階單位脈絡影響，造成個人資料之間相依現象，亦即組內觀察資料不 獨立，違反樣本獨立性（溫福星、邱皓政，2012）。傳統線性迴歸所使用的數據 必須符合獨立且同質母體的假設，傳統的變異數分析 ANOVA 也要求受試者必須 隨機分派。但在一般日常生活中，階層資料的受試者可能不是隨機分派，而是受 到環境影響。例如：若將台北市大安區的國中生和新北市金山的國中生兩相比 較，兩群學生之所以就讀該國中，顯然不是隨機分派，而是受到生活環境、群集 脈絡的影響。
因此當研究以單一階層線性迴歸處理多層次的資料時，會違反誤差獨立性假 設，會導致型Ι錯誤，造成錯誤的參數估計和統計結果。也因此近年來有越來越 多的階層資料以 HLM 方法進行分析。
HLM 可建立多階層線性迴歸模式以解決資料巢套的問題，有幾階層巢套資 料，就可建立幾階層的迴歸方程式。以兩階層巢套資料為例：學生巢套於班級之 下，當資料存在於不同階層時，先以階層一模式的自變項 X ij（i 代表學生，j 代 表班級）和 Y ij建立迴歸方程式，再以該方程式中的截距 β0j和斜率 β1j做為依變 項，使用階層二中的 Z j為自變項，再建立兩個方程式。因此誤差可以分解為階
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層一個體間差異的 e ijk以及階層二的 u0j和 u1j。因此階層一個體間相互誤差獨立，
階層二班級間帶來的的誤差，在班級之間相互獨立，解決了隨機誤差獨立性的問 題，也解決了擴大型 I 錯誤的問題（黃建皓，2012）。
Level 1 model: Y ij = β0j + β1j X ij + e ij
Level 2 model: β0j = γ00 + γ01 Z j + u0j
β1j = γ10+ γ11 Z j + u1j
若將以上三個方程式混合，則得到混合模型：
Mixed Model: Y ij =γ00 + γ10 X ij + γ01 Z j + γ11 Z j X ij + u0j + u1j X ij+ e ij
例如：若研究社經地位（X）對於學生成績（Y）的影響，樣本來自不同學校，
包括台北市大安區的國中、新北市金山區的國中、新竹尖石鄉的國中，每個學校 的整體社經地位不同，因此資料為階層資料。Z 代表總體層次的社經地位。γ00 是平均截距，代表所有學生的平均分數。γ01是總體層次解釋變項對結果的直接 影響，又稱脈絡效果，代表各校平均社經地位對於學生成績的影響。γ10是個體 層次解釋變項對結果的影響，代表每個學生的社經地位對於成績的影響。γ11是 跨層級交互作用效果。
（二）各階層中隨機誤差的變異比例之估計
階層線性模式可以計算各階層因素對依變項影響的效果，並進一步估計各階 層中隨機誤差的變異數比例。HLM 最簡單的模式是虛無模式（null model），又 稱零模式（empty model），亦即模式中不放入任何解釋變數（溫福星，2006），
因此為 HLM 的起始模式。以本研究為例，其零模型如下：
Level 1 model: Y ijk = π0jk + e ijk
Y ijk是班級 k 中 j 學生的 i 偏差行為測驗的分數 π0jk是班級 k 中 j 學生 的 i 偏差行為測驗的平均分數
e ijk是隨機的「偏差行為測驗效果」，即測驗 ijk 的分數距個人平均分數的離均差
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i 為班級 k 中的 j 學生的偏差行為測驗 j 為班級 k 中的各學生
k 為各班級
Level 2 model: π0jk = β00k + r 0jk
β00k是班級 k 的偏差行為平均分數
r 0jk是隨機的「個人效果」，即個人 jk 的平均偏差行為分數距所在班級平均分數 的離均差。在此假定這些效果為：平均數為 0，變異數為τπ的常態分配。
Level 3 model: β00k = γ000 + u 00k
γ000是偏差行為測驗的總平均分數
u 00k是隨機的「班級效果」，即班級 k 的偏差行為平均分數距總平均分數的離均 差。在此假定這些效果為：平均數為 0，變異數為τβ的常態分配。
三層模式將結果 Y ijk的總變異分解為三個部分：
階層一：「同一學生」兩次偏差行為測驗的的變異σ2。
階層二：「同班級中，不同學生之間」的變異τπ 階層三：不同班級之間的變異τβ
要估計各階層中隨機誤差的變異數比例，其計算方法為：
同一學生偏差行為測驗的變異數比例為：σ2 / (σ2 +τπ +τβ) 同一班級不同學生之間的變異數比例為：τπ / (σ2 +τπ +τβ) 不同班級之間的變異數比例為：τβ / (σ2 +τπ +τβ)
（三）各階層解釋變項的平減（中心化）
一般而言，傳統的迴歸分析研究法關注的是斜率，亦即斜率β1 顯著代表自 變項 X 對於 Y 有顯著效果。相對而言，研究者對於截距β0 較不關心。但在階層 線性模式而言，截距具有重要意義。隨機截距用來反應各組平均的差異，因此截 距的中心化（centering）議題亦不可忽略（邱皓政、溫福星 2012）。中心化一般 分為總平均中心化（grand mean centering，總平減）、組平均中心化（group mean
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centering，組平減）兩種。HLM 的特性之一是能夠估計個體階層解釋變項對依變 項影響的隨機效果，包括截距、斜率。其中截距的隨機效果反映各學生的偏差行 為差異，斜率的隨機效果反映解釋變項對依變項影響的個別差異。
截距要能夠反映學生的偏差行為平均數，就要先經過中心化。經過平減後的 分數原點將會改變，但學生相對位置不會改變。
個體階層解釋變項中心化有兩種策略：組平減、總平減。組平減是指減去各 組（班）平均數，總平減是指減去全體的平均數。組平減與總平減意義不同。
Mathieu, Taylor (2007) 認為，以總平減進行 HLM 有兩個優點：一是避免共線 性問題，二是總平減模型與不平減模型是統計等價模式，可用來偵測脈絡效果與 跨層級交互作用。不平減（原始分數模型）與總平減是等直線性模型，亦即有相 同的配適度（離異數 deviance）、相同的預測值與殘差。
而組平減的平均數因各組而不同，所以各組減去的數值不同。組平減主要優 點是：各組截距項代表的就是各組依變項的組平均數，在解釋上較為清楚。組平 減混合模式與未平減模型在固定效果、以及隨機係數上都上會有差別。
Raudenbush 與 Bryk（2002）建議研究者除非有很清楚的理論，否則不適合 配適以組平均為基準的中心化隨機斜率模型（溫福星、邱皓政，2012）。
（四）卜瓦松迴歸模型
在公共衛生、社會科學、工程科學及農業學等領域中，經常使用卜瓦松分配 來分析離散計數型資料。
Poisson 分配（Poisson distribution），原本由法國數學家卜瓦松（Siméon-Denis Poisson）在 1838 年時發表，又稱卜瓦松小數法則（Poisson law of small numbers）， 是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分佈。卜瓦松分配適合於發生機率較低 的事件，例如描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈。如消防隊在一定 時間內接到服務請求的次數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA 序列的變異數、放射性原子核的衰變數等等。
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卜瓦松迴歸模型採用對數連結函數 (Log Link Function)，主要使用於反應變 數為間斷型資料。由於本研究的依變項為偏差行為，屬於間斷型資料，發生機率 較低，並且為追蹤資料，具備時間條件，因此適合以卜瓦松迴歸模型結合階層線 性模式，也就是「階層廣義線性模式」（Hierarchical Generalized Linear Models，
簡稱 HGLM）進行估算。
卜瓦松分配的機率質量函數為：
卜瓦松分配的參數 λ 是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。
圖 6: 卜瓦松分配機率質量函數圖
（引自：https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution）
上圖中，橫軸是索引 k，代表發生次數。縱軸 P 為發生機率。λ 是單位時間
（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。
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與理論性的支持，3. 固定效果需強而有力的支持，4. 由資料內容決定隨機效果，
5. 若交互作用達顯著，即使造成交互作用的變項之主要效果未達顯著，該變項 亦需保留，6. 若隨機效果達顯著，則其固定效果需被保留，7. 聚合（aggregate）
後的階層變項可能是個重要變項，8. 若變項間產生交互作用，則交互作用不具 隨機效果。
Hox （2002）則針對探索性研究提出下列模型建構的步驟：1. 先用隨機效 果變異數模型並記錄模型適配度，2. 將所有最低階之變項投入隨機效果共變數
Hox （2002）則針對探索性研究提出下列模型建構的步驟：1. 先用隨機效 果變異數模型並記錄模型適配度，2. 將所有最低階之變項投入隨機效果共變數