數學文字題的相關討論

在數學領域的相關研究裡，數學文字題，又被稱為數學應用問題，為 當代數學教育探討的重要課題之ㄧ（Lewis, 1989）。從小學教育開始，數 學文字題就一直存在數學課程中，以日常生活事件為題材且運用語文敘述 來呈現問題情境（Cummins, 1991），解題的過程比起一般的計算題，需要 牽涉到更複雜的認知歷程。數學文字題的主要目的是希望學生運用課堂上 所學會的數學知識與計算，解決生活上所碰到的問題（王思佳，2010）。

可是在教學現場上，數學常成為學生的「焦慮之源」，是學生感到最挫折、

困難的科目之ㄧ（石厚高，1997）。其中最令學生感到棘手的，就是數學 文字題的解題，也因此近二、三十年來，如何提升學生解題能力的研究，

一直受到大家的重視（王思佳，2010）。

一、數學文字題的定義

數學文字題是由數學和文字符號組合而成，並輔以十進位系統為基 礎，四則運算為原則，融合數學知識的提取與數學概念的理解，一系列複 雜的數學作業（Geary, 2004; Jordan, Hanich, & Kaplan, 2003）。解題者必須 同時具備這兩種符號（數學、文字）的解碼能力，才能順利解題。學生在 解答數學文字題時，一定得有基本的語文能力，才能了解題目的意思，進 而才知道要運用哪種數學計算來解題，以至於在學習數學文字題上，語文 能力可能會變成學生理解題目的一種障礙（張景媛，1994）。

二、數學文字題的分類

數學文字題有許多不同的分類方式，有以「情境」分類、以「語意結 構」分類、以「教學層面」分類。

（一）以「情境」（situation）分類

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Marshall（1995）提出三種情境分類模式，依序為：1.文字的表 面特徵（surface feature），如不同脈絡的故事情境。2.文字的語法特 徵（syntactic feature），如文章長度、用語的複雜度、運算的數字等。

3.文字中所表達的關係（relationships），如情境中所表達的關係是

（二）以「語意結構」（semantic structure）分類

語意結構是指數學文字題的題目內容，與句子語言間所形成的 關係結構。Carpenter 與 Moser（1984）把語意結構分成「改變類」、

「結合類」、「比較類」、「使相等」共四類；Marshall、Pribe 和Smith

（1987）把語意結構分成「改變類」、「結合類」、「比較類」、「變異 類」、「轉換類」共五類；Nesher 和Hershkovitz（1994） 把語意結 構分成「改變類」、「比較類」、「部份整體/結合類」共三類（引

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（三）以「教學層面」分類（Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988）

Polya 從教學層面分類數學文字題，他把學生需要應用到的解

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4、接近研究級的問題：解題者需運用到二個以上的解題方法來解答，

但是這些方法又牽涉到很多的排列組合，所以解題者需要有高層 次的推理與思考能力，才能夠釐清解題的步驟排列。

Polya 認為從第一類到第四類，題目的難易度逐漸增加，學生 思考力的要求也逐漸加深，很適合放在教學上，很有教育價值。另 外在教學上，第一類是最常出現的題目，第二、第三類偶而會穿插 使用，第四類則很少出現。Kilpatrick 從教學的實用性，把上述四類 修改為：例行性問題、真實問題以及非例行性問題。Kilpatrick 認為 修改成這個模式，老師比較知道該挑選什麼題目來教學，對老師的 幫助更大。

本研究自編的數學問題屬於Kilpatrick 的「真實問題」，解題者 得從題目中搜尋線索，自行決定運用加或減來計算，以求得解答。

三、「整數加減」的數學文字題

本研究旨在探討數學文字題裡的「整數加減」部分，且本研究之數學 問題皆屬於加減的數學問題，採用甯平獻等（2010）對加減數學文字題的 分類法，故利用底下五題範例來詳述（引自甯平獻等（2010），P.65、66）。

（ㄧ）添加型問題：莉麗有 5 顆糖果，媽媽又給她 7 顆糖果，莉麗現在有 多少顆糖？

莉麗原有 5 顆糖，媽媽再給她糖後，莉麗原本擁有的狀態增加 了，也改變了，但是結果量還不知道。所以，這是屬於「添加型」

中「結果量未知」的題目。依未知數的種類，可分成結果量未知、

改變量未知與起始量未知三種類型，所以添加型的題目，共有三種 變化。

（二）拿走型問題：莉麗原來有 12 顆糖果，她給了佳家 5 顆糖果，莉麗 還有多少顆糖果？

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「等量型」的加減數學文字題，共有六種變化。

四、數學文字題的相關研究

許多學者認為在上述的加減數學文字題中，比較型的文字題，最使學 生感到困難，而「關係句」可能是導致學生難以形成表徵的原因，例如解 題者在處理「甲比乙多」時，需要有等同於「乙比甲少」的認知，這種數 學概念上的轉換，牽涉到運算符號的不同（從加法轉為減法），這種語言 就稱為「不一致性語言」，所以學生在處理「不一致性語言」時，會覺得 比起處理「一致性語言」時難度更高，如果無法順利轉換，該用加的卻使 用減法，將會導致錯誤的發生（翁嘉英，1988；涂金堂，2002；葉雪梅，

1990；謝毅興，1991；Briars & Larkin, 1984；Fuson, 1992；Verschaffel, De Corte, & Pauwels, 1992）。

孩童能否建構合理的問題表徵，則是另一項影響孩童解題的原因

（Kintsch & Greeno, 1985）。De Corte、Verschaffel 和 DeWinn（1985）發 現在不影響題目的情況之下，改變加減文字題語句的敘述後，對國小一、

二年級的小朋友來說，其解題表現有著顯著的落差。所以影響解題表現的 原因，在於題目的表層語意結構夠不夠清楚，當學生不能了解語法時，就 不能產生相對應的經驗來協助其理解題目，且不同語句的敘述對於不同的 解題者，會有不一樣的解讀（Astrid, 1994；De Corte, Verschaffel, & De Winn, 1985）。

Van Haneghan（1990）以78名三年級學生與77名五年級學生為研究對 象，探討學生解數學文字題的錯誤方式，發現學生解錯文字題的類型可歸 為三大類：第一為計算錯誤（solved with calculational errors）；第二為運算 程序錯誤（solved with the wrong operation），例如：把該用加法解題的題目 用成減法來解；第三為語意敏感的錯誤（semanticsensitivity），即是學生看 不懂題目而產生的錯誤。

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何縕琪、林清山（1994）從 236 位五年級學生，挑選出 15 名低解題 率（自編數學測驗中錯誤比率達.25 以上與四年級下學期國語、數學兩科 的學期平均達 75 分以上）的學生，透過口語訪談了解其做錯比較型文字 題的原因，發現學生在面對「不一致性語言」（問題中的敘述與所需的運 算是不一致的，如多用減法，少用加法）比較容易犯錯的原因在於，他們 不會把主詞跟受詞對調，也易忽略「比」和「是」的作用，太常用關鍵字 來解題，如多就用加法，少就用減法。

鄭惠萍（2007）透過自製的比較型加減文字題，針對 455 名三年級學 生做筆試與訪談，探討三年級學生在解比較型文字題的解題表現與解錯模 式，發現學生無法清楚辨認關係語句，而導致運算程序出錯，如該用加的 卻用減法運算，另外學生對於括弧在等號右邊的題目較擅長，且偏好用減 法來處理比較型文字題。

李麗君、陳玟樺（2010）以自編的數學文字題，針對 100 名六年級學 生做測驗，並探討其做錯題目的原因所在，發現學生面對一致性語言的題 目時，較多是計算錯誤，而面對不一致語言的題目時，則較多是運算符號 出錯，而且當學生面對純加減的數學文字題時，較多採關鍵字來解題。

由上述的研究結果可知，「比較型」文字題實為學生較易犯錯的加減 類數學文字題，故研究者在編撰文字題的方向上，除了採用了甯平獻等

（2010）的分類標準，把文字題分為五大類外，其中更編入9題學生較易 犯錯的「比較型」數學文字題，藉此探討三年級學生在數學文字題的解題 表現，此外亦會針對學生解錯題目的解題模式做討論，了解學生解錯的方 式是計算錯誤，還是運算程序出錯，亦或語意敏感所造成的錯誤。