國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：謝闓如 博士
不同城鄉背景與閱讀能力之三年級學生在傳統
與有情境的數學文字題解題表現之探討－
以整數的加減法為例
研究生：劉耿榮 撰
中 華 民 國 102 年 7 月
I
不同城鄉背景與閱讀能力之三年級學生在傳統
與有情境的數學文字題解題表現之探討－以
整數的加減法為例
摘 要
本研究旨在探究不同城鄉背景與閱讀能力的國小三年級學生在數學 文字題的解題表現，及學生解傳統數學文字題和有情境的數學文字題解題 表現之相關性。研究對象為大臺中地區的八個三年級班級，總數155 名的 學生，研究採取量的研究為主，透過四項評量工具施測，一為傳統數學文 字題、二為有情境的數學文字題、三為閱讀能力測驗工具、四為有情境的 數學文字題解題態度問卷，資料採用量的分析方式，探討城鄉背景、閱讀 能力與解題態度是否會對解題造成影響。研究結果發現： 一、學生在傳統文字題的解題表現優於有情境的數學文字題。 二、學生的閱讀能力表現愈好，解數學文字題（傳統與有情境）的表現愈 佳。 三、城市學生在數學文字題（傳統與有情境）解題表現優於鄉村學生。 四、學生解有情境的數學文字題態度與學生解有情境的數學文字題表現達 顯著低相關。 關鍵字：傳統數學文字題、有情境的數學文字題、城鄉背景、閱讀能力、 解題態度。III
A Study of the Performance of Third-Grade
Students with Different Rural Backgrounds
and Reading Abilities in Traditional and
Situational Mathematical Word Problem
Solving
Abstract
The purpose of this study was to explore the performance of elementary third-grade students with different local backgrounds and reading abilities in solving mathematical word problems, as well as the relationship between the students’ performance in solving traditional mathematical word problems and situational mathematical word problems. The study participants included eight third-grade classes in Taichung, a total of 155 students. The quantitative study was adopted. Four assessment instruments were used which included: (1) traditional mathematical word problems; (2) situational mathematical word problems; (3) reading ability test tools; and (4) questionnaire for the attitude toward solving situational mathematical word problems. The data used quantitative analysis methods to explore whether or not local background, reading ability, and problem-solving attitude had an effect on problem solving. The results show that
1. The students’ performance in solving the traditional word problems was better than that of the situational word problems.
2. The better the students’ reading ability, the better their performance was in solving the mathematical word problems (traditional and situational).
IV
3. The urban students’ performance in solving mathematical word problems (traditional and situational) was better than that of the local students. 4. There was a low significant correlation between students’ attitude and their
performance in solving the situational mathematical word problems.
Keywords: mathematical word problem, situational mathematical word problem, local background, reading ability, problem-solving attitude.
V
目 次
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究問題 ... 5 第三節 研究範圍與限制 ... 6 第四節 名詞釋義 ... 6 第二章 文獻探討 ... 9 第一節 國小數學科教材分析 ... 9 第二節 數學解題歷程 ... 13 第三節 情境學習理論探討 ... 20 第四節 數學文字題的相關討論 ... 24 第五節 城鄉背景對數學文字題解題表現之影響 ... 30 第六節 閱讀能力對數學文字題解題表現之影響 ... 34 第七節 學習態度與數學文字題解題表現之相關性... 36 第三章 研究方法 ... 39 第一節 研究設計 ... 39 第二節 研究程序 ... 40 第三節 研究對象 ... 42 第四節 研究工具 ... 44 第五節 資料蒐集 ... 52 第六節 資料處理與分析方法 ... 53 第四章 研究結果 ... 55 第一節 國小學生解數學文字題之解題表現 ... 55 第二節 閱讀能力高低與學生解題表現之探討 ... 57 第三節 閱讀能力高中低三組在傳統與情境數學文字題之解題表現 . 60VI 第四節 城鄉差距與學生解題表現之探討 ... .61 第五節 解題態度與學生在情境文字題解題表現之相關 ... 70 第五章 結論、討論與建議 ... 73 第一節 結論與討論 ... 73 第二節 建議... 76 參考文獻 ... 79 中文部分 ... 79 英文部分 ... 85 附錄 ... 91 附錄一 傳統數學文字題 ... 91 附錄二 有情境的數學文字題 ... 94 附錄三 學生解有情境的數學文字題態度量表 ... 99 附錄四 原作者同意書(黃俊仁) ... 100 附錄五 閱讀理解困難篩選測驗國民小學二、三年級 ... 101 附錄六 原作者同意書(柯華葳) ... 105 附錄七 城鄉背景差異學生之解題的錯誤模式 ... 106
VII
表 次
表 2-1-1 各版本之課程目標 ... 11 表 2-2-1 Mayer 的解題歷程與知識類型 ... 18 表 3-3-1 正式施測學校之類型 ... 43 表 3-4-1 試題分析 ... 45 表 3-4-2 第二次預試的「傳統與情境數學文字試題」難度與鑑別度 ... 49 表 3-4-3 有情境的數學文字題解題態度量表... 51 表 4-1-1 傳統文字題與情境文字題之成對樣本 t 檢定結果 ... 56 表 4-1-2 數學成就高中低學生解題表現之成對樣本 t 檢定結果 ... 57 表 4-2-1 閱讀能力高中低學生在數學文字題的解題表現 ... 58 表 4-2-2 閱讀能力與數學文字題（傳統與情境）解題表現之比較結果 ... 59 表 4-3-1 閱讀能力高中低學生解題表現之成對樣本 t 檢定結果 ... 61 表 4-4-1 城鄉學生解傳統數學文字題之獨立樣本 t 檢定結果 ... 62 表 4-4-2 城鄉學生解有情境數學文字題之獨立樣本 t 檢定結果 ... 63 表 4-4-3 城鄉學生的作答分析（傳統試題與情境試題） ... 64 表 4-4-4 傳統暨情境解錯的試題之成對樣本 t 檢定 ... 68 表 4-5-1 態度與情境試題解題表現之相關情形 ... 71 表 4-5-2 態度與情境試題解題表現之決定係數... 71VIII
圖 次
圖 3-1-1 研究架構 ... 39 圖 3-2-1 研究流程 ... 41
1
第一章 緒論
本研究目的為探討國小三年級學生在整數加減法類型之「傳統數學文 字題」與「有情境數學文字題」的解題表現與影響解題之相關因素。本章 針對研究的動機、目的、問題、限制與名詞逐一做介紹。全章共分五節， 第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節為研究問題，第四節為研 究範圍與限制，第五節為名詞釋義。第一節 研究動機
數學是科學之母，在人類的生活中隨處都可見，不論食、衣、住、行、 育、樂，都跟它脫離不了關係，例如買東西或搭大眾運輸工具得具備基本 的運算能力，才不至於讓自己出糗或吃虧，所以數學能力變成一個人所應 具備的基本生活技能。而數學的真正的內涵，就是養成孩子思考數學問題 的習慣（林文生、鄔瑞香，1999），讓他們逐漸喜歡上數學，能夠使用數 學語言來溝通與表達，進而能將數學應用在生活中，解決生活中所碰到的 問題，此能力正是經濟暨合作發展組織（OECD）的國際性評量計畫（PISA） 所強調的數學能力，其中該組織更將數學評量列為三大評量之一，可見數 學能力在國際間受到重視的程度（OECD, 1999, 2000）。此 外 ， 美 國 數 學 督 導 協 會 （ National Council of Supervisors of Mathematics , [ NCSM]）於 1977 年提出「數學解題是學生學習數學的目的， 學生必須具備數學解題的技能。」而美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, [NCTM]）也於 1989 年出版的「中小學數學課程 及評量標準」與 2000 年公佈的課程標準中，將數學解題列為主要的項目。 我國則在 82 年的課程改革中，強調學生解題的能力（教育部，1993），也 於 92 年的九年一貫課程的綱要中，把「培養獨立思考與解決問題的能力」 列為學生必須學會的十大能力之ㄧ，並將「數學解題」列為能力指標（教
2
育部，2003），所以數學解題受到的重視可見一斑。
根據國際教育成就調查委員會（International Association for the Evalua tion of Educational Achievement, [IEA]）於2003年、2007與2011年所做的國 際數學與科學教育成就趨勢調查研究（Trends in International Mathematics and Science Study, [TIMSS]）的結果顯示，台灣學生的數學成績於2003年 時，四年級學生獲得全球第四名，八年級學生獲得全球第四名；於2007年 時，四年級學生上升到全球第三名，八年級學生攀升到全球第一名；於2011 年時，四年級學生下降為全球第四名，八年級學生則下降為全球第三名（李 宗祐，2008；李國偉，2013；林碧珍、蔡文煥，2005；曹博盛，2005）。 然而據TIMSS另一項指標資料顯示，台灣學生2003年時，四年級學生 對數學的信心指數排名全球倒數第四，八年級的學生為全球倒數第二； 2007年時，四年級對數學的信心指數則跌落至全球倒數第二，八年級則微 幅上升至全球倒數第四，特別的是四年級學生對數學的正向態度（學習興 趣）指標則名列所有參賽國家中的最後一名（李宗祐，2008；林碧珍、蔡 文煥，2005；曹博盛，2005），雖然四年級與八年級學生於2011年對數學 的信心指數與興學習興趣都略有進步，分別為倒數第四名、第六名與倒數 第七名、第五名（李國偉，2013），顯示出我國學生對數學普遍信心不足 也沒有興趣，從國小至國中皆然，而原因跟台灣的教學方法脫離不了關係 （嚴文廷，2008）。 我國的教學法使用傳統的方式，脫離不了記憶與背誦，學生只會使用 老師教過的方式解題，缺乏分析問題的能力與想法，所以當學生遇到陌生 的數學問題時，就容易在解題時產生挫折感，久而久之就會覺得數學艱深 難懂，也更加深對數學的不喜歡感，因而影響學生在數學上的學習興趣， 而學習興趣系指其願意投入多少時間與努力的態度，對學習成就的影響更 是息息相關，若能提升學生對數學的學習興趣，將可以增加其在數學上的 學習成就（張芳全，2011）。
3
學生不喜歡學習數學的另一項原因可能在於教科書上的數學文字題充 滿著抽象、非真實性與專業語言，學生在面對數學文字題時，得先把不熟 悉的字彙與問題轉換，這將阻礙學生的學習（Owen & Sweller, 1985）。唐 淑華（1995）認為數學教育中，最讓學生感到困難的部份就是數學文字題 的解題，所以據研究顯示，學生在數學文字題的解題表現普遍不佳（邱裕 淵，2000；陳瓊瑜，2002；黃俊仁，2003），且國小學生數學文字題的解 題能力也比計算題差（林碧珍，1990；陳龍川、侯鳳秋，1998；劉湘川、 許天維、林原宏，1993）。 另ㄧ項有關數學文字題的研究指出，情境化式的數學問題，能提升學 生的解題動機（Brown, Collins, & Duguid, 1989）；生活化式的數學問題， 能提升學生的解題動機，降低學生對數學的焦慮，也能讓學生有更佳的解 題表現（古明峰，1997；林碧珍，2003；侯鳳秋，1998）。當數學問題能 夠結合生活，使用學生所熟悉的事物，將能使學生從生活化之情境數學問 題裡，學會解決問題的能力，這將補強傳統數學教學中，學生所學不到的 數學概念（Brown, Collins, & Duguid, 1989）。學校數學教學若能與學生的 生活經驗相結合，以學生的生活文化為情境脈絡，提供學生熟悉的日常生 活情境，在文化環境脈絡賦予情境意義之下，有效地引發學生經驗連結， 學生將有效的建構出自己的數學知識（黃幸美，2001）。 當數學問題情境化與生活化，將有助於學生提升解題動機，促進學生 的解題表現，此一論點符合情境學習理論的精神，而以情境教學學習理論 為藍本的教學方法中，最令研究者感到興趣的教學法即為錨式情境教學 法，此一教學法係將知識鑲在影碟中，讓學習者透過影碟學習，學習者彷 彿置身在ㄧ個情境中，得從中去尋找解題的線索，一方面可以增加學習動 機，一方面則可以增強解題能力（徐新逸，1996）。黃俊仁（2003）依據 錨式情境教學法的精神，針對高屏地區五年級學生進行研究，發現情境試 題對於低數學成就的學生比較有效果，籃彗玲（2009）則針對中部地區六
4 年級學生進行研究，發現情境試題並不會提升學生的解題表現。不同的地 區其結果亦出現些微的差異，讓研究者想要一探大臺中地區的三年級學生 是否會亦會如此，故針對此主題進行研究。然而即使將數學題目情境化、 生活化，讓學生容易了解題意，但是仍然存在著很多影響學生解題表現的 因素，如閱讀能力、城鄉背景差距、解題態度等。 根據研究閱讀理解與數學解題表現有正相關（王淑嬌，2006；李俊彥， 2004；林麗華，2006；唐淑華，1989；曹宗萍，1988；陳世杰，2005；黃 俊仁，2003；籃彗玲，2009；Jordan & Montani, 1997），另一項以 TIMSS 2003 與 PIRLS 2006 ( The Progress in International Reading Literacy Study, [PIRLS] )分別代表數學解題能力與閱讀理解能力（直接提取、直接推論、 詮釋、評價）的結果顯示，低數學成就的學生其閱讀理解能力的分數最低， 其閱讀理解能力取決於學生能否連接相關的知識到題目所提供的訊息 上，中數學成就的學生其閱讀理解能力的分數適中，其閱讀理解能力對數 學成就影響有限，高數學成就的學生其閱讀能力的分數最高，顯示其他非 閱讀的因素才是影響其數學成就高低的關鍵，此結果表示數學解題表現愈 好的學生，其閱讀理解能力的分數也愈高；反之數學解題表現愈差的學 生，其閱讀理解能力的分數亦愈低（張建妤、柯華葳，2012）。 城鄉背景會影響學生的數學成就表現（王家通，1993；蔡祈賢，1994）， 而且城市學生的數學成就比鄉村學生來的好（張芳全，2009）。若以人口 數來決定城鄉的話，將人口數五十萬以上當成城市學校，人口數三千以下 做為鄉村學校，其在 TIMSS 2003 的數學解題表現上，城鄉學生彼此的分 數竟相差達 70 分之譜，是應屆參賽國中第二大的，只低於菲律賓的近 90 分，卻遠遠高過英國的負 75 分（鄉村表現高於城市），顯示我國確切存 在著城鄉差距（張芳全，2009）。 態度也是影響學生數學成就高低的因素之一，而且學生數學學習態度 愈正向積極，其數學成就也愈高（葛建志，2005；葛湘瑋、何素美、張定
5 中，2012）。若以TIMSS 2007的研究結果來探討我國學生數學學習態度與 數學成就的關係可得，我國學生只有在TIMSS 2007的得分達到高分組（進 階國際基準），其在數學學習態度上的分數才會呈現高自信、高正向的傾 向，其他中低分組（高國際基準、中等國際基準與初級國際基準）的學生， 其在數學態度分面均呈現低自信、低正向的傾向（葛湘瑋等），可見數學 學習態度與數學成就有正面積極的相關性。所以探究學生的數學解題表現 時，實不可輕忽隱藏在背後的城鄉背景差距與閱讀理解能力，對其數學解 題所造成的影響，也不可忽略學習態度與數學解題的相關性，這也是本研 究所欲探究的問題之一。 研究者任教於大臺中地區城鄉交界的國民小學，看到班上三年級學生 對數學不感興趣，以及語文程度與數學能力參差不齊，甚至在加減類的算 式填充題類型之應用問題上，更呈現出 M 型化的解題表現，研究者開始省 思情境化的數學能否吸引學生的興趣，以及這結果是否因閱讀能力與城鄉 背景不同，所導致而成的結果。因此決定以大臺中地區的中年級小朋友為 樣本，探討不同城鄉背景與閱讀能力的學生在加減類的情境化式數學文字 題之解題表現是否優於加減類的傳統式數學文字題，並藉此做為教學上的 改進。本研究以加減類的數學文字題為範疇，編撰出兩份同構的試題，名 為「傳統數學文字題」與「情境式數學文字題」來比較大臺中地區學生的 解題表現，並探討閱讀能力、城鄉背景差距等相關因素，對解題表現所造 成的影響。
第二節 研究問題
本研究目的為了解國小學生在數學文字題的解題表現與閱讀能力的 不同是否會對解題造成影響，以及城鄉的背景差異是否影響到學生的解題 表現，其研究問題如下：6 一、國小學生（全體與數學成就高、中、低分組的學生）在「傳統數學文 字題」與「有情境的數學文字題」的解題表現為何？ 二、閱讀能力的高低是否會影響學生在「傳統數學文字題」與「有情境的 數學文字題」的解題表現？ 三、閱讀能力高中低三組學生在「傳統數學文字題」與「有情境的數學文 字題」的解題表現是否有差異？ 四、不同城鄉背景的學生解「傳統數學文字題」與「有情境的數學文字題」 的解題表現是否有所差異？ 五、城鄉背景差異的學生在數學文字題（傳統與情境）解錯題目的模式為 何？ 六、學生解「有情境的數學文字題態度量表」的分數與學生在「有情境的 數學文字題」中的解題表現之相關性為何？
第三節 研究範圍與限制
本研究以大臺中地區的三年級學生為研究對象，研究樣本有地域性的 限制，不適合將研究結果推論到其他地區學生。在數學文字題的取材上， 則以 100 年康軒版三年級上學期為範圍，並配合九年一貫課程綱要所編 輯，所以要把施測結果推論到其他年級或其他版本的學生時，需更謹慎的 評估。第四節 名詞釋義
為使意義更為明確，便於討論，以下將對本研究所涉及的相關名詞做 一簡單的介紹：一、城鄉背景
本研究參考該學校的所在區域決定學生的城鄉背景，若學生所處學校7 位於山上區（山頂、山腰或山腳下）或屬於教育部認可的偏遠或特偏學校 則為鄉村學校學生，其他則為城市學校學生。
二、閱讀能力
閱讀能力系指個人有能力使用其所欲探究的文本或書寫成文字，以達 到求知的目的（OECD, 1999, 2000）。本研究使用柯華葳（1999）之「閱 讀理解困難篩選測驗—國民小學二、三年級」為閱讀能力測驗工具，得分 越高，表示該學生的閱讀理解能力愈好。三、傳統數學文字題
傳統數學文字題即一般的數學文字題，它是藉由文字敘述數學問題的 一種數學計算題型（Mayer, 1992），例如：「一包腰果重 680 公克，一袋米 重 580 公克，兩袋相差多少公克？」。此種題目以語文敘述的方式呈現出問題 情境，讓解題者運用計算與算式去求得解答。四、有情境的數學文字題
有情境的數學文字題以故事為主軸，搭配日常生活事件為素材，用語 文描述的方式來呈現問題情境，例如：「題幹為『好不容易終於到了期盼 已久的 228 假期了，今年的假期剛好碰上週末，一連放了四天假，爸爸想 說趁著這個難得的假期，帶著小新一家人到中部去旅遊。小新最喜歡看航 海王了，就提議要去九族文化村看航海王，於是全家人就到了九族文化 村。爸爸、媽媽看了看門口的售票處，就買了二張成人票（爸爸、媽媽）， 一張學生票（哥哥），一張兒童票（小新），於是全家人就快快樂樂的進去 遊玩了。』而題目為『請問哥哥和小新的門票差了多少錢？』」。此種題目 以故事型態呈現問題，解題者得先理解問題情境後，再針對題目運用計算 與算式去求得解答。五、解題表現
8 解題表現係指學生在傳統數學文字題與有情境的數學文字題之個別 總得分。
六、整數的加減法
本研究的整數加減法係指純加減的數學文字題，亦是 85 年後出版的 教科書上出現的「算式填充題」一詞（教育部，2003），其中若以未知數 出現的位置來說，可分成起始量未知（被加數與被減數）、改變量未知（加 數與減數）與結果量未知（和與差）六種類型。9
第二章 文獻探討
本研究的主要目的在探討國小三年級學生在傳統文字題與情境文字 題上解題表現的差異。各節的內容與重點分別為，第一節討論國小數學科 教材的內容；第二節針對數學解題歷程做探討；第三節延伸討論情境學習 理論；第四節著重在數學文字題的解析；第五節探究城鄉背景對數學文字 題解題表現之影響；第六節探索閱讀能力對數學文字題解題表現之影響； 第七節則討論學習態度與數學文字題解題表現之相關性。第一節 國小數學科教材分析
一、 國小數學科教材發展史
我國的國小數學教材歷經幾次的變革，分別為 64 的課程標準、82 年 的課程綱要、89 年的九年一貫暫時綱要、92 年的九年一貫課程正式綱要 以及微修的 97 年課程綱要，每ㄧ次的課程改革都朝課程生活化邁進，也 愈益重視學生解數學文字題的能力（教育部，1975，1993，2000，2003， 2008），底下將簡單敘述每一時期的課程改革，以了解解題在數學課程中 的重要性。 64 版課程標準的教學目標，在於輔導兒童於日常生活當中，獲得有關 數學的知識，進而培養有效運用數學的方法，以解決實際問題，而在課程 內容則強調數、量、形三個領域的學習，使學生能獲得基本的知識、原理、 技能，並將這些知識應用在生活上，以獲得基本生活技能（教育部，1975）。 我國國民小學從民國 67 年實施 64 年版國小數學課程標準，期間雖然部編 本有小幅微調，但是仍維持了近二十年的穩定狀態（鍾靜，2005），且各 界對於 64 年版課程的反應亦不差，不過絕大多數的教師都認為教材太多、 太難與教學時間不足，難以引發學生的學習興趣，社會又適逢解嚴與民主 化的轉變，很多時事需要加入教材中，因此產生了 82 年版的數學課程（周10 筱亭，1994）。 82 年的數學課程是以學生本位為觀點，認為唯有學生主動學習，學習 才算是真的發生，其教學精神強調學習者主動以自己的經驗為起點，建構 出自己的數學知識，並且能藉觀賞別人的解題模式，學會批判、評鑑與尊 重別人的解題方式與觀點，進而培養溝通、討論和批判事物的精神（教育 部，1993）。然而，教育部為了迎接 21 世紀的來臨與世界各國的教改脈動 以及配合國家的發展與社會的期待，遂進行下一波的教改，於 89 年公布 九年一貫數學課程暫行綱要，並在九十學年度開始實施（教育部，2000）。 89年九年一貫暫行綱要的數學課程目標為：1.掌握數、量、形的概念 與關係。2.培養日常所需的數學素養。3.發展形成數學問題與解決數學問 題的能力。4.發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。5.培養數 學的批判分析能力。6.培養欣賞數學的能力。九年一貫數學課程暫行綱要 的數學課程以生活為中心，並配合各階段學生的身心與思考型態的發展歷 程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，以發展數學學習活動（教育部， 2000）。此階段強調學生學習要能夠積極參與討論，透過腦力激盪啟發創 造力，發表想法，以玆訓練思維的判斷力與溝通的能力，但也因此忽略學 生計算能力的訓練，造成學生數學程度低落與計算能力薄弱，而廣被人抨 擊，因此教育部又進行ㄧ次改革，92年九年一貫數學學習領域正式綱要亦 因此而產生（教育部，2004）。 92年國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要以學生為主體，以生 活經驗為重心，並培養現代國民所需的十種基本能力，其中一項基本能力 為獨立思考與解決問題，此一能力旨在訓練學生藉由解題的過程，培養解 決問題的能力，並把此一技能帶入日常生活當中，可見數學解題受重視的 程度，而此一階段的總體課程目標為（教育部，2003）： 1、 培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 2.、學習應用問題的解決方法。
11 3.、奠定下一階段的數學基礎。 4.、培養欣賞數學的態度及能力。 教育部在不更動 92 課綱的理念下，融合現場教師、教科書商、部編 小組與審查委員的相關意見下，微幅修訂出更適合學生能力的課程綱要， 名為 97 九年一貫課程綱要，並明訂於民國 100 年實施（教育部，2008）。 97 課綱的總體課程目標則略微變動為：可以培養學生的演算能力、抽象能 力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數 學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。
二、 各版本課程目標
我國數學教育的改革，大體是由課程導向演變為注重學生的基本能力 （表2-1-1），並強調演算與觀念培養的重要性，以達認知、技能領域的均 衡發展，而且在九年國民義務教育體系下，小學階段是基礎時期，蘊涵為 下一階段奠定基石的使命，學生必須在學習過程中累積學習的經驗，訓練 解決問題之能力，使數學能融入生活中，進而增進情意領域的賞析，以培 養欣賞數學的態度與能力。 表2-1-1各版本之課程目標 版本 課程目標 64年版 數學課程 （教育部， 1975） 1.養成數、量、形的正確觀念，進而考慮其形成的需要與功 能。 2.學習數、量、形的基本知識與原理，獲得基本技能，進而 有效地提高在生活上的實踐能力。 3.能運用數、量、形之間的相互關係，及使用適當的數學語 言，進而解決日常生活中有關的問題。 4.養成從數學的觀點考慮日常事象的興趣與習慣，進而運用12 數學的知識與方法，發展其推理、組織和創造的能力。 82年版 數學課程 （教育部， 1993） 1.養成主動地從自己的經驗中，建構與理解數學的概念，並 透過了解及評鑑別人解題方式的過程，進而養成尊重別人 觀點的態度。 2.養成從數學的觀點考慮周遭事物，並運用數學知識與方法 解決問題的能力。 3.培養以數學語言溝通、討論、講道理和批判事物的精神。 4.養成在日常生活中善用各類工具從事學習及解決問題的習 慣。 九年一貫 89暫行綱要 （教育部， 2000） 1.掌握數、量、形的概念與關係。 2.培養日常所需的數學素養。 3.發展形成數學問題與解決數學問題的能力。 4.發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。 5.培養數學的批判分析能力。 6.培養欣賞數學的能力。 九年一貫 92正式綱要 （教育部， 2003） 1.培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 2.學習應用問題的解決方法。 3.奠定下一階段的數學基礎。 4.培養欣賞數學的態度及能力。 九年一貫 97正式綱要 （教育部， 2008） 1.可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能 力。 2.學習應用問題的解題方法。 3.奠定高中階段的數學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的 態度及能力。
13
三、結論
綜觀台灣數十年來的數學教育改革可知，數學課程之教育目標，從64 年版的課程本位，演變為82年版的學生本位，再演進為九年一貫版的學生 基本能力，顯示數學教育的發展重點，從學生習得數學知識，演變為學生 習得帶著走的數學基本能力。另外，從82年版教育目標「養成在日常生活 中善用各類工具從事學習及解決問題的習慣」（教育部，1993），92年版 的九年一貫之基本能力「獨立思考與解決問題」（教育部，2003），97年 版的九年一貫之課程目標「學習應用問題的解題方法」（教育部，2008）， 可知數學教育的另一個重點，在於使學生學會解題能力，以便能解決生活 當中所碰到的數學問題。觀察整波課程改革可以發現，課程、教材都趨向 於結合學生的生活經驗，其目的是為了讓學生學會帶著走的基本能力，故 本研究秉持此種精神，編製了融合生活化的情境式數學文字題進行相關研 究，以了解生活化的數學文字題能否提高學生的解題表現。 本研究的數學文字題以100年版三上的康軒數學課本第二與第六單元 為範疇，其內容為三、四位數的加減法運算及其算式填充題應用問題，在 國小數學科教材的地位為承接二年級的二位數的加減法運算與算式填充 填題，以作為三下、高年級數學乘除運算與互逆的基礎，換句話說學生必 須具有二位加減運算的概念，才能學習三、四位數的加減運算及其延伸的 算式填充題，也才有辦法往上學習更高階的乘除運算與乘除互逆的應用問 題（康軒文教集團，2011）。第二節
數學解題歷程
數學解題的定義很廣泛，很多專家都曾提出過不同的看法，例如： Branca（1980）認為數學解題就是利用經驗去解決不熟悉的事情或問題， 也是個人未來在社會上生存所應具備的基礎技能。Kilpatrick則認為數學解14 題可從心理學、社會學與數學等層面來探討（引自楊瑞智，1994）。心理 學層面系指解題者在一個情境中，要達到一個目標，但是在通往該目標的 道路被阻塞了，所以解題者必須使用數學概念、原理或方法，來突破阻塞 達到目標；社會學層面系指解題者在接受老師所給予的數學問題後，透過 跟老師的互動，從老師的眼神與表情得知，自己的解題方向正不正確，因 此師生間的互動會影響著解題表現；數學層面系指解題者透過解題的過 程，逐步建構出自己的數學知識。畢竟數學的學科知識，就是在專家們不 斷的形成問題與解決問題中所發展出來的。 國內學者對數學解題也有不同的看法，例如：吳德邦與吳順治（1989） 認為解題系指個人運用學過的經驗、知識、技巧和了解，來滿足未解決問 題的條件。張春興（1993）則將解題視為：在問題的情境下，解題者運用 所擁有的數學知識，從事思考與推理而達成目標的心理歷程。 綜合學者對解題的看法，可將解題定義為：個體遭遇到不熟悉的問 題，無法直接從過往的經驗中獲取解決之道時，而採用本身具備的數學知 識、經驗與技巧，並搭配演繹、推理與歸納等方式，以完成任務的一種心 理歷程，此解題歷程國內外均有研究，故底下將簡單介紹國內外對解題歷 程的相關論述。
一、國外解題歷程的相關論述
（一）Polya的解題歷程 Polya（1945）將數學解題分成四個步驟：1、了解問題：了解 問題中已知條件、未知條件與條件中的關係。2、擬定計畫：根據先 前對題目的了解，擬定解題的策略與方法。3、執行計畫：根據擬定 的計畫解題。4、驗算與回顧：檢驗答案、過程是否正確，並把解題 法類推到其他相似的題目上。Polya所提的解題歷程是最經典的，這 也成為後來研究解題歷程的參考範本。15 （二）Schonefeld的解題歷程 Schoenfeld （ 1985 ） 認 為 數 學 文 字 題 的 解 題 是 由 資 源 （Resources）、策略（Heuristics）、控制（Control）和信念系統（Belief System）四個部分所組成的。資源係指解題者所擁有的數學知識， 包含數學概念、解題步驟、解題技巧…等。策略係指解題者在解題 歷程中，所使用的解題方法，包含簡化問題、畫表格與猜測…等。 控制係指在閱讀完題目後，要進行解題時，如何決定計畫、監控計 畫與評估解題結果等方面。信念係指個人的數學世界觀與數學信 念，而數學信念會影響解題者的解題方式與技巧，所以數學信念是 建立在資源、啟發與控制之上。此外，Schoenfeld也發現在資源、啟 發、控制與信念這四個變項中，控制變項尤為重要，因為如何運用 資源，啟發解題策略，常常都是由控制變項所主導的。所以， Schoenfeld以控制變項為觀點，將解題的歷程分為七個階段：1、閱 讀（read）係指閱讀題目。2、分析（analysis） 係指簡化與重述問 題。3、探索（exploration） 係指找尋已知條件、未知條件與問題的 關連性。4、計劃（planning）係指擬定解題計畫，並評估計畫的可 行性。5、執行（implementation）係指執行計畫，並監控計畫的執 行過程。6、驗證（verification）係指檢視過程與結果。7、轉變 （transition）係指對解題狀態的評估，可發生在上述六大步驟的任 一步驟中。 （三）Mason的解題歷程
Mason, Burton, 與Stacey（1985）認為解題的活動可分成兩種， 一是特殊化（specializing），一是一般化（generalizing）。特殊化 係指剛開始解題時，可以從問題的特例著手，因為特例可以啟發解 題者，使用與平常不同的解題方式解題，使得問題獲得解決。一般 化係指當解題獲得成功時，可以將解題情境擴大到一般情境中。
16 除了上述的兩個解題活動外，Mason等（1985）還將解題歷程 分成三個階段，分別是開始（entry）、著手解決（attack）與回顧（review） 等。 1、開始（entry）：解題者在此階段，所關心的焦點為：「已知的訊 息是什麼？」「所要達成的目標是什麼？」「還要再加入什麼訊 息？」 2、著手解決（attack）：解題者在了解問題情境後，開始分析問題。 提出解題的所有臆測（conjecture），並一一針對臆測進行確認與 驗證。 3、回顧（review）：這階段是指驗證答案的正確性，並針對解題過 程的關鍵點進行反思，以便將來可以解決類似的問題。 （四）Mayer的解題歷程 Mayer（1982, 1992）將數學解題歷程分成兩階段，分別為問題 表徵（problem representation）與問題解決（problem solving）。在 問題表徵下分成兩步驟，分別為問題轉譯（problem translation）、 問題整合（problem integration）；在問題解決下也分成兩步驟，分 別為解題計劃與監控（solution planning & monitoring）與解題執行 （solution execution）。 1、問題表徵（problem representation）：解題者將外在的文字和圖 案轉換成內在的心理表徵，此階段又分成兩個步驟： （1）問題轉譯（problem translation）：解題者再了解題意後，把 每一個句子外在的文字表徵轉換成內在的心理表徵。 （2）問題整合（problem integration）：解題者運用基模整合題目 所給予各項條件和句子間的資訊。 2、問題解決（problem solving）：解題者運用內在的心理表徵來求 得解題的過程，而此階段又分為兩步驟。
17
（1）解題計劃與監控（solution planning & monitoring）：解題者 會使用策略性知識擬定解題計畫，並選用適當的解題策略。 （2）解題執行（solution execution）：解題者懂得利用程序性知 識，正確的進行計算以求得答案。 Mayer（1987）指出每一解題步驟所使用的知識類型都不同， 如表2-2-1所示。在問題轉譯的步驟中，需要用到語言與語意的知識， 藉以協助解題者理解題意；在問題整合的步驟中，需要用到事實與 基模的知識，藉以協助解題者統整問題間的各項訊息，並選用符合 題目要求的基模來解題；在解題計劃與監控的步驟中，需要用到策 略性知識，藉以協助解題者運用策略來擬定解題計畫；在解題執行 的步驟中，需要用到程序性知識，藉以協助解題者正確地運用四則 運算來算出解答。 1、語言知識（linguistic knowledge）：係指和語言有相關的知識， 例如：學生能閱讀數學問題且懂得問題的條件、解題的目標等。 2、事實知識（Factual knowledge）：係指對真實世界認知的能力， 例如：四邊形有4個邊。 3、基模知識（schematic knowledge）：係指將問題中的訊息整合成 有意義的問題型態知識，例如：學生能根據問題的情境（例如： 速率、雞兔同籠…等）、問題的結構（例如：改變、合併、比較… 等）進行分類，並懂得套用跟該分類情境有相關的公式（例如： 速率相關問題套用此公式－距離=速率×時間）或知識去解題。 4、策略知識（strategic knowledge）：係指利用不同型態的知識來做 解題計畫，並能監控解題技巧與執行程序，例如：學生能擬定解 題的主要目標與次要目標。 5、程序知識（procedural knowledge）：係指算數能力或演算法的知 識，例如：學生在解數學文字題的時候，能夠應用四則運算去求
18 出答案。 表 2-2-1 Mayer的解題歷程與知識類型 歷程 步驟 知識類型 問題表徵 問題轉譯 語言、語義知識 問題整合 事實、基模知識 問題解決 解題計劃與監控 略性知識 解題執行 程序性知識
二、國內解題歷程的相關論述
（一）涂金堂、林佳蓉的解題歷程 涂金堂與林佳蓉（2000）把解題歷程區分為五步驟，分別為題 目情境的了解、轉化為內在表徵、擬定解題方法、數學運算與回顧 解答。 1、題目情境的了解：數學文字題的解題首重在學生對題目的了解， 這涉及到學生語文理解能力的多寡，教學者可以問一些問題，讓 學生更加理解題目。理解題目不止是看懂文字表面上的意思，而 是要融入問題情境中，可以整合問題中已知與未知的訊息，並知 道要如何求得目標。許多研究中顯示，學生做錯數學文字題最常 犯的毛病就在於「題目問題的不了解」，所以老師在教學時應當 要協助學生理解題目並運用適當的策略來解答問題。 2、轉化為內在表徵：解題者在充分了解題目後，即會把外在的文字 表徵轉譯成內在的心理表徵。這時候解題者會判斷出問題的類 型，並從自己的先備知識中去尋找合適的基模，來進行解題的工 作。題目的類型與語句的敘述，若都為解題者所熟悉的，將會提19 高解題者表徵成功的機率。 3、擬定解題方法：Polya認為解題者能夠成功解題最大的原因在於， 他們能夠擬定出一套合理且能執行的解題計畫。而學生卻不能夠 擬定完備的解題計畫，在於他們不知道什麼時候該用什麼方法來 解題，他們缺乏選擇適當解題方法的判斷力。因此，老師在教導 學生擬定解題計畫時，宜教導學生從舊有的解題經驗類推出解題 方法，若該問題是學生所沒有碰過的話，可以教導他們透過畫流 程圖、表格、簡化問題等策略，把解題方法區分成好幾個步驟， 再循序漸進一步一步的完成。在此階段老師可以透提問，讓學生 回憶解題相關的數學概念或運算公式。 4、數學運算：解題者運用計算能力執行解題計畫的解題。而教學者 則要精熟計算技能，這樣才能夠教導解題者如何正確、快速的算 出答案。 5、回顧解答：驗算答案即是回顧解答，而驗算答案的方法有好幾種， 可以快速的瀏覽過一次，也可以用直觀的方法判斷，甚至用其他 的方式再計算一次。解題者除了對答案再驗算一次外，也應該對 題目的題意及解題方法進行省思，試著思考有沒有其他的解題方 法。回顧解答可以統整學生的數學概念與解題能力，所以老師應 該試著給學生回顧解答的機會，學生也該試著培養回顧解題的習 慣。 （二）葉家綺的解題歷程 葉家綺（2005）綜合各家解題歷程，把解題歷程分為五個階段， 分別為「理解題意」、「尋求模式」、「擬定解法」、「執行方法」、 「判斷」等五個階段。 1、理解題意：此階段係指學生閱讀題目後，對問題形成表徵，且能 界定已知條件與所要達到的目標。
20 2、尋求模式：此階段係指學生活化長期記憶庫的知識，找尋是否有 與該問題相關的基模來處理解題。 3、擬定解法：此階段係指解題者結合先備知識與合理的推斷，制定 出方法來解題。 4、執行方法：此階段係指執行第三階段所制定的解題計畫。 5、判斷：此階段係指解題者判斷是否有解決問題，若問題成功解決， 則儲存此經驗，並結束解題歷程；若沒成功解題，則回到階段一 至三，重新開始解題步驟。
三、結論
綜合各學者對數學解題歷程的論述中發現，他們都強調理解問題、擬 定執行計畫、執行解題計畫、驗算與回顧等這幾項步驟。而研究者認為其 中以擬定執行計畫最為重要，學生唯有擬出正確的解題計畫，才代表真正 理解題目，也才能夠順利解題，所以擬出解題過程顯然是解文字題最重要 的步驟。因此，本研究的評分標準亦注重學生的解題過程，其評分標準參 考唐淑華（1995）改編自Polya的解題步驟的評分方式，完全正確得2分， 列式正確、答案不正確得1分，完全未作答或列式錯誤得0分。第三節 情境學習理論探討
「情境學習（situated learning）」是80年代美國教育心理學家在探討 人們的認知活動時，所提出來的理論。此一理論認為知識是來自於情境脈 絡之中，無法單獨的從情境中抽離出來，知識間的關連性也必須仰賴適時 的情境來結合（楊家興，1993；鍾邦友，2000），即知識是學習者與環境 互動下的產物，深受社會脈絡與文化的影響（徐新逸，1996）。所以，情 境教學重視學習者所處情境的真實性，老師的教學和學生的學習必須在真 實的情境中進行，才能夠發生有效的學習，知識亦只有在產出與應用的情21 境中來解釋才會有意義（陳嘉彌，1998）。
一、情境學習的理論基礎
情境學習理論源於「情境認知理論」。而「情境認知理論」受三派的 影響：一是杜威的實用主義，二是認知人類學研究典範，三是社會歷史心 理學（楊順南，1997）。情境認知理論跟以往的認知理論最大的不同點在 於，以往的認知理論學者看重Piaget的認知理論，而情境認知理論學者則 看重Vygotsky 的社會認知論，因此情境認知理論強調對人性認知的研究， 並認為認知發展是源於社會情境的，受社會脈絡、文化的影響，所以知識 是社會脈絡、文化的產物（王春展，1996）。二、情境學習理論
情境學習理論的正式研究起源於Scribner（1984）與Suchman（1985） 的研究成果中，他們發現在學校所學的知識，與現實生活中所培育出來的 認知能力有所不同。亦即人類的認知活動受限於活動的社會情境，知識的 意義也取決於所處社會活動的規範。所以Suchman提出「情境行動」的論 點，認為人類在其活動的情境中，透過操弄情境事物，或參與情境活動， 進而發展出自己的知識。這個發展的過程，不僅是一種知識的學習，更是 一項社會的活動。學習者在與情境互動的過程中，不斷的在情境中搜尋意 義，獲得知識，活動的形式與範圍會限制學習者所獲得的知識意義與表徵。 Lave與Wenger（1991）則進一步將情境學習理論發揚光大，他們認為 學習是處在某種情境（situated）的練習，它是活動（activity）、情境（context） 和文化（culture）三者交互作用而成的結果。而社會互動（social interaction） 是促成學習很重要的一項元素，學習者藉由參與團體活動，漸漸學得該團 體的規範、信念、行為與文化等。基於這樣的觀點，學習被認為要採用可 以反映真實世界的活動和實物。如果知識得抽離真實世界而習得，學習者 將學習到一種新的觀念，而不是內化的知識。但數學素養正是內化的知22 識，課程必須要與實際生活結合，才能夠培養出來，絕非空泛的學到新概 念就可以辦得到的。情境學習理論著重三個部份，一是情境（學習者所處 的場域），二是問題（與真實世界類似的問題），三是行動（學習者習得 如何處理問題），所以在情境教學理論為主的教學活動中，必須優先處理 這三者對學習者的影響。簡單來說，教學應該要致力提供一個相仿的社會 活動或情境，以利學習者從中學得知識與技能。情境教學的教學主軸必須 要強調「參與實務環境」的過程（例如：在真實的社會情境中觀察、模仿、 獲取經驗），學習者才能獲得學習的機會。
三、情境學習在教學上的應用
以情境學習理論做為教學的方法早已有之，例如我國至聖先師孔子帶 學生遊學，或近代法國教育思想家盧梭對自然環境教育的重視，以及美國 知名的教育學家杜威所倡導的「教育即生活」等教育理念（林吟霞、王彥 方，2009），均是情境學習理論應用在教學的例子，底下將介紹本研究採 用來發展試題的一種取法自情境學習理論的教學法。 （一）錨式情境教學 錨式情境教學是由美國范登保大學（Vanderbilt University）的 認知科技小組（Cognition and Technology Group at Vanderbilt， [CTGV]）以情境學習理論為基礎，結合電腦科技與多媒體運用，具 體的呈現教案及教材，希望學習者能透過仿真的學習情境，發展出 解決問題的能力，其課程內容乃透過一個互動式的影碟學習系統， 藉由影碟呈現出一個故事結構，並在故事環境中嵌入相關的學習內 容，這些內容經過學習者的探索後，會一一轉變成學習的素材與待 解決問題，讓學習者在解決問題的過程中學得知識、發展信心與獲 得知識與技能，以便解決問題，成為一位獨立思考的學習者（CTGV, 1990）。此種教學法將待解決問題定位在一個情境中，引導學生透23 過情境資料，尋找問題，形成問題到解決問題，藉此讓學習者學會 解題的技巧，以便應用在日常生活當中（徐新逸，1996）。 徐新逸（1996）開發了一套本土化「錨式情境教學法」的數學 教學系統，名為「安可的假期」，他的內容是以科技為基礎，刺激 學習動機為重點，幫助學習者學習如何去思考與推理複雜問題的教 學計畫。課程內容的呈現方式，乃透過影碟陳述一個個的冒險故事， 並在其中安插待解決的問題，讓學習者透過故事中陳述的資料，去 發現問題，解決問題並獲得知識。 （二）錨式情境教學的相關研究 黃俊仁（2003）依錨式情境理論編製情境式試題，並透過問卷 的方式測驗學生，來探討高屏地區267位五年級學生在傳統數學文字 題與情境數學文字題的解題表現。結果發現一般學生在傳統數學文 字題（一般的應用問題）的解題表現略優於在情境數學文字題的解 題表現，但是低分組的學生，則是在情境數學文字題的解題表現優 於傳統數學文字題的解題表現。 籃彗玲（2009）依錨式情境理論編製試題，並透過問卷的方式 測驗學生，來探討中部地區356位六年級學生解傳統試題與情境試題 的優劣程度。結果顯示不管城鄉的學生對於傳統試題（一般應用問 題）的得分都比情境試題來得高，且低、中、高分組學生的解題表 現，也是解傳統試題的表現優於解情境試題的表現。 本研究參考了相關文獻後，決定依錨式情境理論的精神編製試 題，用來探討三年級學生對數學文字題的解題表現，其試題是以一 位三年級的小朋友－小新為主角，藉著他們一家人到外旅遊時，碰 到的數學問題為題目，讓解題者不僅解答數學問題，同時也幫忙小 新解決生活問題，使解題不再只是單純的數學運算罷了，而研究者 認為此種附故事題目的數學文字題，可以激起解題者的興趣，因而
24 提高解題者的解題動機。
第四節 數學文字題的相關討論
在數學領域的相關研究裡，數學文字題，又被稱為數學應用問題，為 當代數學教育探討的重要課題之ㄧ（Lewis, 1989）。從小學教育開始，數 學文字題就一直存在數學課程中，以日常生活事件為題材且運用語文敘述 來呈現問題情境（Cummins, 1991），解題的過程比起一般的計算題，需要 牽涉到更複雜的認知歷程。數學文字題的主要目的是希望學生運用課堂上 所學會的數學知識與計算，解決生活上所碰到的問題（王思佳，2010）。 可是在教學現場上，數學常成為學生的「焦慮之源」，是學生感到最挫折、 困難的科目之ㄧ（石厚高，1997）。其中最令學生感到棘手的，就是數學 文字題的解題，也因此近二、三十年來，如何提升學生解題能力的研究， 一直受到大家的重視（王思佳，2010）。一、數學文字題的定義
數學文字題是由數學和文字符號組合而成，並輔以十進位系統為基 礎，四則運算為原則，融合數學知識的提取與數學概念的理解，一系列複 雜的數學作業（Geary, 2004; Jordan, Hanich, & Kaplan, 2003）。解題者必須 同時具備這兩種符號（數學、文字）的解碼能力，才能順利解題。學生在 解答數學文字題時，一定得有基本的語文能力，才能了解題目的意思，進 而才知道要運用哪種數學計算來解題，以至於在學習數學文字題上，語文 能力可能會變成學生理解題目的一種障礙（張景媛，1994）。二、數學文字題的分類
數學文字題有許多不同的分類方式，有以「情境」分類、以「語意結 構」分類、以「教學層面」分類。 （一）以「情境」（situation）分類25 Marshall（1995）提出三種情境分類模式，依序為：1.文字的表 面特徵（surface feature），如不同脈絡的故事情境。2.文字的語法特 徵（syntactic feature），如文章長度、用語的複雜度、運算的數字等。 3.文字中所表達的關係（relationships），如情境中所表達的關係是 否相同。 本研究依「情境」分類，把數學文字題分為「傳統數學文字題」 與「有情境的數學文字題」。傳統數學文字題係指一般數學應用問 題，而有情境的數學文字題係把真實情境中的事情融入故事中，藉 由故事中情境化的問題，帶領解題者的思維順利進入真實的情境中。 （二）以「語意結構」（semantic structure）分類 語意結構是指數學文字題的題目內容，與句子語言間所形成的 關係結構。Carpenter 與 Moser（1984）把語意結構分成「改變類」、 「結合類」、「比較類」、「使相等」共四類；Marshall、Pribe 和Smith （1987）把語意結構分成「改變類」、「結合類」、「比較類」、「變異 類」、「轉換類」共五類；Nesher 和Hershkovitz（1994） 把語意結 構分成「改變類」、「比較類」、「部份整體/結合類」共三類（引 自蕭毓秀，2001）。而近代學者將上述的分類法，歸類為「添加型」、 「拿走型」、「併加型」、「比較型」、「等量型」（甯平獻等， 2010）五種類型。 1. 添加型：此類問題係指「起始量」的狀態改變，添加了「改變量」， 而變成「結果量」（添加後的總和），所以此三種量在問題中均 有可能是未知量，而結果量是三者中最大的。 2. 拿走型：此類問題係指「起始量」的狀態改變，拿走了「改變量」， 而變成「結果量」（拿走後的總和），所以此三種量在問題中均 有可能是未知量，而起始量是三者中最大的。 3. 併加型：此類問題又稱為「部分－部分－全體」，係指問題情境
26 中包含由2個部份所形成的一個全體，可分為全體未知或部分未 知兩種情況，而此兩種情況又可分為想像中的合併和具體行為中 的合併。 4. 比較型：此類問題包含三種類，大數（集合A）、小數（集合B） 與差異量（集合A－集合B），此三種量均有可能為未知數。問 題的敘述可分為A比B多（比多）或B比A少（比少），解題者得 自行判斷題目類型，進行加減運算，以求出解答。 5. 等量型：等量型問題為結合改變型（添加、拿走）與比較型兩種 類型的問題。問題敘述中會出現大數（集合A）、小數（集合B） 和改變量，依改變量的狀態，又可分為添加型與拿走型兩種情 境，其運算的方式可能採取加法或減法，得由解題者自行判斷。 本研究的數學問題，採用了甯平獻等（2010）的分類方法，將 加減應用問題分成五大類，並針對學生的解題表現與其相關性因 素，進行討論。 （三）以「教學層面」分類（Jeremy Kilpatrick，黃敏晃譯，1988） Polya 從教學層面分類數學文字題，他把學生需要應用到的解 題技巧，依照難易度分成四類，分別為「例行性的問題」、「有選 擇的應用題」、「選擇一種組合」、「接近研究級的問題」。以下 逐一做簡單的說明。 1、例行性的問題：把正在學的數學知識與運算，拿來演練，即可求 出答案。 2、有選擇的應用題：解題者需要從以往所學過的解題方式中擇一來 解答，但是以往所學過的方法又不止一種，所以解題者需運用判 斷力做出明確的選擇。 3、選擇一種組合：解題者需結合二個以上的解題方式，才能夠求出 答案。
27 4、接近研究級的問題：解題者需運用到二個以上的解題方法來解答， 但是這些方法又牽涉到很多的排列組合，所以解題者需要有高層 次的推理與思考能力，才能夠釐清解題的步驟排列。 Polya 認為從第一類到第四類，題目的難易度逐漸增加，學生 思考力的要求也逐漸加深，很適合放在教學上，很有教育價值。另 外在教學上，第一類是最常出現的題目，第二、第三類偶而會穿插 使用，第四類則很少出現。Kilpatrick 從教學的實用性，把上述四類 修改為：例行性問題、真實問題以及非例行性問題。Kilpatrick 認為 修改成這個模式，老師比較知道該挑選什麼題目來教學，對老師的 幫助更大。 本研究自編的數學問題屬於Kilpatrick 的「真實問題」，解題者 得從題目中搜尋線索，自行決定運用加或減來計算，以求得解答。
三、
「整數加減」的數學文字題
本研究旨在探討數學文字題裡的「整數加減」部分，且本研究之數學 問題皆屬於加減的數學問題，採用甯平獻等（2010）對加減數學文字題的 分類法，故利用底下五題範例來詳述（引自甯平獻等（2010），P.65、66）。 （ㄧ）添加型問題：莉麗有 5 顆糖果，媽媽又給她 7 顆糖果，莉麗現在有 多少顆糖？ 莉麗原有 5 顆糖，媽媽再給她糖後，莉麗原本擁有的狀態增加 了，也改變了，但是結果量還不知道。所以，這是屬於「添加型」 中「結果量未知」的題目。依未知數的種類，可分成結果量未知、 改變量未知與起始量未知三種類型，所以添加型的題目，共有三種 變化。 （二）拿走型問題：莉麗原來有 12 顆糖果，她給了佳家 5 顆糖果，莉麗 還有多少顆糖果？28 莉麗原有 12 顆糖，莉麗給了佳家 5 顆糖果後，莉麗原本擁有的 狀態減少了，也改變了，但是結果量還不知道。所以，這是屬於「拿 走型」中「結果量未知」的題目。依未知數的種類，可分成結果量 未知、改變量未知與起始量未知三種類型，所以拿走型的題目，共 有三種變化。 （三）併加型問題：莉麗有 5 顆糖果，佳家有 7 顆糖果，她們一共有多少 顆糖果？ 莉麗有 5 顆糖果是一個部份，佳家有 7 顆糖果另一個部份，而 她們一共有多少顆糖果，則是他們合起來的全體。所以，這題是一 個典型的「併加型」加減文字題。依情境可分為：想像中併加與具 體併加；依未知數種類可分為：全體未知與部分未知。 （四）比較型問題：佳家有 12 顆糖果，莉麗有 5 顆糖果，佳家比莉麗多 多少顆糖果？ 佳家有 12 顆糖果是一個集合，且為大數；小安有 5 顆糖是另一 個集合，且為小數；小杰比小安多幾顆糖是差異量未知，所以整句 話的意思就是在比較大小數的差異量。因此，這是一題「比較型」 的加減數學文字題。依狀態可分為「比多」與「比少」；依未知數的 種類，可分為「差異量未知」、「大數未知」與「小數未知」，所以「比 較型」的加減數學文字題，共有六種變化。 （五）等量型問題：佳家有 12 張貼紙，莉麗有 5 張貼紙，莉麗要再得到 多少張貼紙， 才會和佳家的貼紙一樣多？ 佳家有 12 張貼紙是大數，莉麗有 5 張貼紙是小數，由「莉麗要 再得到多少張貼紙， 才會和佳家的貼紙一樣多」這句話推出：莉麗 的狀態必須改變（添加），才會和佳家一樣多。因此，這題為等量型 題目，且狀態為添加。依狀態可分成「添加」或「拿走」；依未知數 的種類，可分成「差異量未知」、「大數未知」與「小數未知」，所以
29 「等量型」的加減數學文字題，共有六種變化。
四、數學文字題的相關研究
許多學者認為在上述的加減數學文字題中，比較型的文字題，最使學 生感到困難，而「關係句」可能是導致學生難以形成表徵的原因，例如解 題者在處理「甲比乙多」時，需要有等同於「乙比甲少」的認知，這種數 學概念上的轉換，牽涉到運算符號的不同（從加法轉為減法），這種語言 就稱為「不一致性語言」，所以學生在處理「不一致性語言」時，會覺得 比起處理「一致性語言」時難度更高，如果無法順利轉換，該用加的卻使 用減法，將會導致錯誤的發生（翁嘉英，1988；涂金堂，2002；葉雪梅， 1990；謝毅興，1991；Briars & Larkin, 1984；Fuson, 1992；Verschaffel, De Corte, & Pauwels, 1992）。孩童能否建構合理的問題表徵，則是另一項影響孩童解題的原因 （Kintsch & Greeno, 1985）。De Corte、Verschaffel 和 DeWinn（1985）發 現在不影響題目的情況之下，改變加減文字題語句的敘述後，對國小一、 二年級的小朋友來說，其解題表現有著顯著的落差。所以影響解題表現的 原因，在於題目的表層語意結構夠不夠清楚，當學生不能了解語法時，就 不能產生相對應的經驗來協助其理解題目，且不同語句的敘述對於不同的 解題者，會有不一樣的解讀（Astrid, 1994；De Corte, Verschaffel, & De Winn, 1985）。
Van Haneghan（1990）以78名三年級學生與77名五年級學生為研究對 象，探討學生解數學文字題的錯誤方式，發現學生解錯文字題的類型可歸 為三大類：第一為計算錯誤（solved with calculational errors）；第二為運算 程序錯誤（solved with the wrong operation），例如：把該用加法解題的題目 用成減法來解；第三為語意敏感的錯誤（semanticsensitivity），即是學生看 不懂題目而產生的錯誤。
30 何縕琪、林清山（1994）從 236 位五年級學生，挑選出 15 名低解題 率（自編數學測驗中錯誤比率達.25 以上與四年級下學期國語、數學兩科 的學期平均達 75 分以上）的學生，透過口語訪談了解其做錯比較型文字 題的原因，發現學生在面對「不一致性語言」（問題中的敘述與所需的運 算是不一致的，如多用減法，少用加法）比較容易犯錯的原因在於，他們 不會把主詞跟受詞對調，也易忽略「比」和「是」的作用，太常用關鍵字 來解題，如多就用加法，少就用減法。 鄭惠萍（2007）透過自製的比較型加減文字題，針對 455 名三年級學 生做筆試與訪談，探討三年級學生在解比較型文字題的解題表現與解錯模 式，發現學生無法清楚辨認關係語句，而導致運算程序出錯，如該用加的 卻用減法運算，另外學生對於括弧在等號右邊的題目較擅長，且偏好用減 法來處理比較型文字題。 李麗君、陳玟樺（2010）以自編的數學文字題，針對 100 名六年級學 生做測驗，並探討其做錯題目的原因所在，發現學生面對一致性語言的題 目時，較多是計算錯誤，而面對不一致語言的題目時，則較多是運算符號 出錯，而且當學生面對純加減的數學文字題時，較多採關鍵字來解題。 由上述的研究結果可知，「比較型」文字題實為學生較易犯錯的加減 類數學文字題，故研究者在編撰文字題的方向上，除了採用了甯平獻等 （2010）的分類標準，把文字題分為五大類外，其中更編入9題學生較易 犯錯的「比較型」數學文字題，藉此探討三年級學生在數學文字題的解題 表現，此外亦會針對學生解錯題目的解題模式做討論，了解學生解錯的方 式是計算錯誤，還是運算程序出錯，亦或語意敏感所造成的錯誤。
第五節 城鄉背景對數學文字題解題表現之影響
我國學生學業成績的城鄉差距很值得探究，一般而言居住於城市及都31 會區的學生，他們在數學與其他科目的成績比起居住於鄉村、偏遠或離島 地區的學生要高的多，這種因為居住地方的不同所引起的學業成績差距， 即為城鄉差距（張芳全，2009）。而造成此種原因的因素很多，例如城市 的教育資源較多、家長的社經背景較高或者家長願意花更多的時間在子女 身上，而這些對於鄉村、偏遠或離島地區則相對的匱乏許多，所以城市學 生的學科成績要高於鄉村學生（張芳全，2009），即城鄉差距會影響學生 的數學成就，也會影響其在數學文字題的解題表現，然而上述的研究對象 為台灣地區的八年級學生，但本研究則聚焦在大臺中地區的三年級學生， 藉此檢驗當母群體不一樣時，其結果是否會出現差異，故本節就影響解決 數學文字題之相關因素「城鄉背景」進行討論。
一、城鄉背景差距
近年來的教育改革無論在質或量方面，均有顯著的進步，但是仍未能 解決城鄉失衡的情況。據張芳全（2009）從2003年的「國際數學與科學教 育成就趨勢調查」（TIMSS）的資料中顯示，若以該地區的人口數來決定 城鄉的話，50萬以上代表城市地區，3000人以下代表鄉村地區，則城市學 生的得分為569.9分，鄉村地區的學生得分為500.5分，整體的標準差為62 分，此結果表示愈都會區四年級學童的得分愈高，愈鄉村地區的四年級學 童得分愈低，兩者間的差距竟達到近七十分，差距為各參賽國中第二大 的，可見我國學生數學成就城鄉差距非常嚴重。因此要如何縮短城鄉差 距，解決M型化的教育現象，已變成當今國家重大的教育議題（李家同， 2010）。教育局為了解決城鄉差距，也相繼推動國中小課後照顧、攜手計 畫，希望藉此提升偏遠地區孩童的學習能力。 城鄉差距的主要原因在於鄉村地區的教育資源較為不利或不足，影響 了學生的學習速度與升學機會（呂晶晶，2008）。此外，城鄉差距與教育 機會均等理念關係密切（張芳全，2009），而教育機會均等系指，學生無32 論種族、性別、地區、社會階級，均有相同的機會接受共同的教育課程， 此教育非強迫性，但應含有適性發展的意義，且教育機會均等應包括教 育、經濟、地域、家庭與社會因素，而其中教育因素關係著教育資源的分 配；經濟因素關係到教育經費的分配；地域因素則會牽動著教育機會均 等，城鄉差距結合了教育資源的分配、教育經費的分配與教育機會均等這 些因素，使得城鄉差距更為人所重視（黃昆輝，1972；楊瑩，1994；蔡祈 賢，1994；Coleman，1966）。 城鄉差距對學生的學習確實會造成影響，然而我國在城鄉地區的認定 並沒有明確的界定，各國也因民風文化與地理環境而有不同的界定方法 （鄭史岑，2006）。不過根據教育部 100 年度推動教育優先區計畫（教育 部，2011）對偏遠地區的界定，可以看到鄉村學校分類的端倪： 1、學校所在地區，無公共交通工具到達者。 2、學校距離公共交通工具站牌，達五公里以上者。 3、學區內之社區距離學校 5 公里以上，且無公共交通工具可抵達學校者。 4、公共交通工具到學校所在地區每天少於 4 班次者。 然而「鄉村」是相對於「城市」而言，其分類方法會依個人依據標準 的不同而有所改變，所以國內各研究者亦利用不同城鄉學校的分類方式， 進行城鄉學生的數學解題表現之相關研究。
三、 相關研究
Fan 與 Chen （ 1998 ） 以 美 國 國 家 教 育 長 期 追 蹤 研 究 （ National Educational Longitudinal Study，[NELS]）的數據分析八年級到十二年級共 24500 位學生，以了解不同城鄉背景的學生在閱讀能力、科學能力、數學 能力與社會研究能力是否會出現差異，其結果顯示在控制家長的社經地位 後，同一種族（亞裔、西班牙裔、白人、黑人）、同一地區（美國東南部、 中西部、南部、西部）、同一年級（8 年級、10 年級與 12 年級）與同一
33 學校類型（公私立學校）的學生其各項能力差異不大，即城鄉背景差異對 學生的各項能力（包含數學能力）影響不大。 黃俊仁（2003） 依台灣教育資源分配的高低做城鄉學校分類，並利 用自編數學文字題來探討南台灣 228 位五年級學生解數學文字題的解題表 現，其結果代表城市學校的 112 位學生之平均得分為 46.36，代表鄉村學 校的 116 位學生之平均得分為 29.51，顯示城市學生有較佳的解題能力。 籃彗玲（2009）依學校規模做城鄉學校分類，並利用自編數學文字題 來探討中台灣 356 位六年級學生解數學文字題之解題表現，其結果代表城 市學校的 187 位學生之平均得分為 26.99，代表鄉村學校的 169 位學生之 平均得分為 22.30，顯示城市學生在數學文字題的解題表現上優於鄉村學 生。 梁家輔（2009）依城鎮型態與地理位置做城鄉學校分類，並利用自編 的數學評量來探討東台灣（花蓮）487 位八年級學生在數學測驗上的表現， 其結果代表城市學校的 178 位學生之平均得分為 55.70，代表鄉村學校的 309 位學生之平均得分為 47.32，顯示城市學生有較佳的數學能力。 林志全（2011）以城鎮位置與學校規模做城鄉學校分類，並利用自編 的問卷、學生入學前施測成績與畢業前參加模擬考的成績來探討東台灣 （宜蘭）1276 位九年級學生在數學測驗上的表現，其結果顯示城市學校學 生的數學成績優於鄉村學校的學生，但是若只討論高分群的學生，則是鄉 村學校學生的數學成績高過於城市學校的學生，而林志全認為會造成此種 結果有可能為鄉村高分群學生在競爭對手較少的情況下，比城市高分群學 生較易獲得同儕與師長重視，因此在月暈效驗與自我驗應驗的效應下，數 學成績自然比較優秀。 由上述相關研究結果得知，除了美國學生的研究外，其他研究均顯示 我國確實存在城鄉差距，並且會影響到某區域的部分學生在數學方面的學 習成就。因此，本研究欲探討城鄉差距對大臺中地區三年級學生在解數學
34 文字題方面，是否會產生影響，在城鄉學校的分類上則參考 101 學年度偏 遠地區國民中小學名錄（教育部，2012）與學校所處區域定義出城鄉學校 的分類標準：城市學校為處於原臺中市或原臺中縣山、海、屯區的市區（除 了偏遠與特偏學校外），而鄉村學校為處於山上區（山頂、山腰或山腳下） 或教育部認可的偏遠或特偏學校，依此分類來探討學生在傳統試題與情境 試題上解題表現的差異。
