數學解題歷程

數學解題的定義很廣泛，很多專家都曾提出過不同的看法，例如：

Branca（1980）認為數學解題就是利用經驗去解決不熟悉的事情或問題，

也是個人未來在社會上生存所應具備的基礎技能。Kilpatrick則認為數學解

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題可從心理學、社會學與數學等層面來探討（引自楊瑞智，1994）。心理 學層面系指解題者在一個情境中，要達到一個目標，但是在通往該目標的 道路被阻塞了，所以解題者必須使用數學概念、原理或方法，來突破阻塞 達到目標；社會學層面系指解題者在接受老師所給予的數學問題後，透過 跟老師的互動，從老師的眼神與表情得知，自己的解題方向正不正確，因 此師生間的互動會影響著解題表現；數學層面系指解題者透過解題的過 程，逐步建構出自己的數學知識。畢竟數學的學科知識，就是在專家們不 斷的形成問題與解決問題中所發展出來的。

國內學者對數學解題也有不同的看法，例如：吳德邦與吳順治（1989）

認為解題系指個人運用學過的經驗、知識、技巧和了解，來滿足未解決問 題的條件。張春興（1993）則將解題視為：在問題的情境下，解題者運用 所擁有的數學知識，從事思考與推理而達成目標的心理歷程。

綜合學者對解題的看法，可將解題定義為：個體遭遇到不熟悉的問 題，無法直接從過往的經驗中獲取解決之道時，而採用本身具備的數學知 識、經驗與技巧，並搭配演繹、推理與歸納等方式，以完成任務的一種心 理歷程，此解題歷程國內外均有研究，故底下將簡單介紹國內外對解題歷 程的相關論述。

一、國外解題歷程的相關論述

（一）Polya的解題歷程

Polya（1945）將數學解題分成四個步驟：1、了解問題：了解 問題中已知條件、未知條件與條件中的關係。2、擬定計畫：根據先 前對題目的了解，擬定解題的策略與方法。3、執行計畫：根據擬定 的計畫解題。4、驗算與回顧：檢驗答案、過程是否正確，並把解題 法類推到其他相似的題目上。Polya所提的解題歷程是最經典的，這 也成為後來研究解題歷程的參考範本。

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（二）Schonefeld的解題歷程

Schoenfeld （ 1985 ） 認 為 數 學 文 字 題 的 解 題 是 由 資 源

（Resources）、策略（Heuristics）、控制（Control）和信念系統（Belief System）四個部分所組成的。資源係指解題者所擁有的數學知識， 讀（read）係指閱讀題目。2、分析（analysis） 係指簡化與重述問 題。3、探索（exploration） 係指找尋已知條件、未知條件與問題的 關連性。4、計劃（planning）係指擬定解題計畫，並評估計畫的可

Mason, Burton, 與Stacey（1985）認為解題的活動可分成兩種，

一是特殊化（specializing），一是一般化（generalizing）。特殊化 係指剛開始解題時，可以從問題的特例著手，因為特例可以啟發解 題者，使用與平常不同的解題方式解題，使得問題獲得解決。一般 化係指當解題獲得成功時，可以將解題情境擴大到一般情境中。

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除了上述的兩個解題活動外，Mason等（1985）還將解題歷程 分成三個階段，分別是開始（entry）、著手解決（attack）與回顧（review）

等。

Mayer（1982, 1992）將數學解題歷程分成兩階段，分別為問題 表徵（problem representation）與問題解決（problem solving）。在 問題表徵下分成兩步驟，分別為問題轉譯（problem translation）、

問題整合（problem integration）；在問題解決下也分成兩步驟，分 別為解題計劃與監控（solution planning & monitoring）與解題執行

（solution execution）。

1、問題表徵（problem representation）：解題者將外在的文字和圖 案轉換成內在的心理表徵，此階段又分成兩個步驟：

（1）問題轉譯（problem translation）：解題者再了解題意後，把 每一個句子外在的文字表徵轉換成內在的心理表徵。

（2）問題整合（problem integration）：解題者運用基模整合題目 所給予各項條件和句子間的資訊。

2、問題解決（problem solving）：解題者運用內在的心理表徵來求 得解題的過程，而此階段又分為兩步驟。

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（1）解題計劃與監控（solution planning & monitoring）：解題者 會使用策略性知識擬定解題計畫，並選用適當的解題策略。

（2）解題執行（solution execution）：解題者懂得利用程序性知 識，正確的進行計算以求得答案。

1、語言知識（linguistic knowledge）：係指和語言有相關的知識，

例如：學生能閱讀數學問題且懂得問題的條件、解題的目標等。

2、事實知識（Factual knowledge）：係指對真實世界認知的能力，

例如：四邊形有4個邊。

3、基模知識（schematic knowledge）：係指將問題中的訊息整合成 有意義的問題型態知識，例如：學生能根據問題的情境（例如：

速率、雞兔同籠…等）、問題的結構（例如：改變、合併、比較…

等）進行分類，並懂得套用跟該分類情境有相關的公式（例如：

速率相關問題套用此公式－距離=速率×時間）或知識去解題。

4、策略知識（strategic knowledge）：係指利用不同型態的知識來做 解題計畫，並能監控解題技巧與執行程序，例如：學生能擬定解 題的主要目標與次要目標。

5、程序知識（procedural knowledge）：係指算數能力或演算法的知 識，例如：學生在解數學文字題的時候，能夠應用四則運算去求

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表 2-2-1 Mayer的解題歷程與知識類型

歷程 步驟 知識類型

問題表徵 問題轉譯 語言、語義知識 問題整合 事實、基模知識 問題解決 解題計劃與監控 略性知識

解題執行 程序性知識

二、國內解題歷程的相關論述

（一）涂金堂、林佳蓉的解題歷程

涂金堂與林佳蓉（2000）把解題歷程區分為五步驟，分別為題 目情境的了解、轉化為內在表徵、擬定解題方法、數學運算與回顧 解答。

1、題目情境的了解：數學文字題的解題首重在學生對題目的了解，

這涉及到學生語文理解能力的多寡，教學者可以問一些問題，讓 學生更加理解題目。理解題目不止是看懂文字表面上的意思，而 是要融入問題情境中，可以整合問題中已知與未知的訊息，並知 道要如何求得目標。許多研究中顯示，學生做錯數學文字題最常 犯的毛病就在於「題目問題的不了解」，所以老師在教學時應當 要協助學生理解題目並運用適當的策略來解答問題。

2、轉化為內在表徵：解題者在充分了解題目後，即會把外在的文字 表徵轉譯成內在的心理表徵。這時候解題者會判斷出問題的類 型，並從自己的先備知識中去尋找合適的基模，來進行解題的工 作。題目的類型與語句的敘述，若都為解題者所熟悉的，將會提

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2、尋求模式：此階段係指學生活化長期記憶庫的知識，找尋是否有 與該問題相關的基模來處理解題。

3、擬定解法：此階段係指解題者結合先備知識與合理的推斷，制定 出方法來解題。

4、執行方法：此階段係指執行第三階段所制定的解題計畫。

5、判斷：此階段係指解題者判斷是否有解決問題，若問題成功解決，

則儲存此經驗，並結束解題歷程；若沒成功解題，則回到階段一 至三，重新開始解題步驟。

三、結論

綜合各學者對數學解題歷程的論述中發現，他們都強調理解問題、擬 定執行計畫、執行解題計畫、驗算與回顧等這幾項步驟。而研究者認為其 中以擬定執行計畫最為重要，學生唯有擬出正確的解題計畫，才代表真正 理解題目，也才能夠順利解題，所以擬出解題過程顯然是解文字題最重要 的步驟。因此，本研究的評分標準亦注重學生的解題過程，其評分標準參 考唐淑華（1995）改編自Polya的解題步驟的評分方式，完全正確得2分，

列式正確、答案不正確得1分，完全未作答或列式錯誤得0分。