資訊融入數學合作學習對國中二年級多項式與其加減及多項式乘除單元學習成效之影響

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：施淑娟博士

資訊融入數學合作學習對國中二年級

多項式與其加減及多項式乘除單元學

習成效之影響

研究生：劉晏如撰

中華民國九十九年六月

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中文摘要

本研究以國中二年級「多項式與其加減」及「多項式的乘除」單元，建立以資訊融入數學合作學習的教學模式，透過知識結構結合貝氏網路等理論，進行自編教材、教學多媒體、補救教材及電腦化適性診斷測驗之研發。完整的教學模式為，教學前先將學生按程度分組。教師利用自編教材、教學多媒體，進行資訊融入數學合作學習之教學活動。教學後，利用研發的電腦化適性診斷測驗進行評量，並依據適性測驗系統診斷報告書診斷出學生常犯的錯誤概念，採用合作學習的方式進行多媒體補救教學。實驗教學完成後則進行資訊融入數學合作學習學習成效、補救成效、學後延宕成效之探討。此外，亦分析學生對此資訊融入數學合作學習之教學模式之意見進行評估。研究結果發現： 1. 透過知識結構結合貝氏網路所編製的「多項式與其加減」及「多項式的乘除」單元的適性診斷測驗，能達到節省題目，平均省題率為37.42％，縮短施測時間的目的。 2. 在學習成效部份，資訊融入數學合作學習組的學生在「多項式與其加減」及「多項式的乘除」單元的測驗表現皆顯著優於傳統教學組。 3. 在補救教學成效部份，資訊融入數學合作學習組的學生在「多項式與其加減」及「多項式的乘除」單元的測驗表現皆顯著優於傳統教學組。 4. 在學後延宕成效部份，資訊融入數學合作學習組的學生在「多項式與其加減」單元的延後測驗表現上沒有顯著差異，而在「多項式的乘除」單元的延後測驗表現顯著優於傳統教學組。 5. 經電腦化適性診斷測驗，再進行補救教學後，資訊融入數學合作學習組的學生在「多項式與其加減」單元之錯誤類型的改善或子技能的習得均比傳統教學組獲得較佳成效，而在「多項式的乘除」單元，相對於傳統教學組，資訊融入數學合作學習組的學生在錯誤類型發生率大部分都是偏低的現象；子技能達成率，大部分都是偏高，因此，進步量較受限。 6. 資訊融入數學合作學習的學生有九成以上學生持正向的看法，有八成八以上的學生喜歡這樣的上課方式；而對於電腦化適性診斷測驗的部分有九成以上

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的學生認同對學習是有助益的；在綜合部分，有五成以上的學生認為整體而言在學習上是有幫助的。

關鍵詞：資訊融入數學合作學習、貝氏網路、知識結構、多項式與其加減、多項式的乘除、電腦化適性診斷測驗

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Abstract

This study aims at conducting a research and development on self-compiled teaching materials, multimedia teaching, remedial teaching materials and computerized adaptive diagnostic test by taking the units of the eighth grade’s “Polynomial and its Addition and Subtraction” and “Multiplication and Division of Polynomial” to establish the teaching model integrating information into cooperative learning in mathematics, with knowledge structure theory combining Bayesian network. The complete teaching model is as below: In pre-teaching, divide the students into groups according to levels. The teachers carry out teaching activity of integrating information into cooperative learning in mathematics through self-compiled teaching materials and multimedia teaching. In post-teaching, use the developed computerized adaptive diagnostic test to conduct an assessment and diagnose the common misconceptions for students in accordance with the diagnosis report, as well as conducting multimedia remedial teaching through cooperative learning. After completing the experimental teaching, it will carry out discussions on the learning effect, remedial effect and post-learning retention effect under this model.

The study findings reveal that:

1. The adaptive diagnostic testing units compiled based on the knowledge structure combining Bayesian network can achieve saving test items (average saving rate is 37.42%) and shortening testing duration.

2. In term of learning effect, the test performances of the students in the group integrating information into cooperative learning in mathematics are much better than those in traditional teaching group in the “Polynomial and its Addition and Subtraction” and “Multiplication and Division of Polynomial” units.

3. In term of remedial effect, the test performances of the students in the group of integrating information into cooperative learning in mathematics are much better than those in traditional teaching group in the “Polynomial and its Addition and Subtraction” and “Multiplication and Division of Polynomial” units.

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4. In term of post-learning retention effect, the post-test performances of the students in the group of integrating information technology into cooperative learning in mathematics have no significant differences in the “Polynomial and its Addition and Subtraction” unit, while their post-test performances in the “Multiplication and Division of Polynomial” unit are much better than those in traditional group.

5. Through computerized adaptive diagnostic test and then remedial teaching, the students in the group of integrating information into cooperative learning in mathematics obtain better effects than those in traditional group in the acquisition of improvement or sub-skills of mistake types in the “Polynomial and its Addition and Subtraction” unit. While in the “Multiplication and Division of Polynomial” unit, compared to the traditional group, the students in the group of integrating information into cooperative learning in mathematics are lower in most of occurrence rates of mistake types; and most of their achieving rates in sub-skills are higher.

6. More than 90% of the students in the teaching model of integrating information into cooperative learning in mathematics hold a positive view on such model, and more than 88% of the students like such teaching methods. While in term of computerized adaptive diagnostic test, more than 90% of students agree that such teaching model is conducive to their learning; and comprehensively, more than 50% of students agree that such teaching model is helpful on the whole.

Keywords: integrating information into cooperative learning in mathematics, Bayesian network, knowledge structure, polynomial and its addition and subtraction, multiplication and division of polynomial, computerized adaptive diagnostic test.

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謝誌

本研究在恩師施淑娟教授的費心的指導下，論文終於完成。從研究觀念的建立、研究方向的啟發、資料的提供，感謝老師總是不厭其煩解答我的疑惑、問題，溫柔又有耐心地給予指導及寶貴意見，指正疏漏之處，在無數次的討論下，使我的論文更為周全。這一路上，施老師的鼓勵及支持，讓我能持續地成長，點滴都放在心頭，在此要特別致上十二萬分的感謝。同時也感謝論文審查委員郭伯臣教授、黃孝雲教授，鉅細靡遺地提供建議、輔正，使研究工作順利完成。在研究所授業階段，感謝甯平獻教授、林炎全教授、易正明教授、胡豐榮教授、何明華教授、郭伯臣教授，讓我在學術知識及研究知能上都有所精進，在實務上也提供我寶貴的經驗，使研究過程更順利。在研究所準備階段，感謝研究所的同學們、測統所的智為學長、敏嫻及所有幫助過我的學長姐們，提供我寶貴的實務經驗，讓我在研究過程中更加順利。在研究進行中，感謝彰安國中林清煌老師大力協助對照組的實驗部分，亦感謝彰安國中關心我、扶持我的老師。還有我的好姊妹們:凌如、佳蓉、咸如、怡潔、妍伶、玉旻、曉雯、百毅、一德、明政及大嫂，總是在我疲憊時，給我滿滿的溫暖、鼓勵，即使我們已不在同一工作崗位上，但感覺你們總是一直在我身邊，讓我在教育界持續地努力，散發活力。最後要感謝我的祖父母、父母、弟兄姊妹:瑞敏、玉琇、宜誠，在我求學過程中，給我很大的空間，無窮盡的關愛與支持！感謝我的男友明超，能給予我精神上的鼓勵、無限地支持與包容。謹以此著作獻給我敬愛之師長、家人及關心與祝福我的好友們。劉晏如 2010 年 6 月謹識於台中教育大學

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目錄

中文摘要... I Abstract...III 謝誌...V 目錄...VI 圖目錄...VIII 表目錄...IX 第一章緒論...1 第一節研究動機...1 第二節研究目的...4 第三節待答問題...5 第四節名詞解釋...6 第五節研究範圍與限制...9 第二章文獻探討...11 第一節多項式與其加減乘除教材...11 第二節多項式與其加減乘除之錯誤類型...19 第三節合作學習及其相關因素...33 第四節資訊融入教學及其相關因素...40 第五節電腦化適性診斷測驗...48 第六節補救教學...56 第三章研究方法...61 第一節研究架構...61 第二節研究流程...64 第三節研究對象...88 第四節研究工具...89 第五節資料處理與分析...95 第四章研究結果與討論...97 第一節電腦化適性診斷測驗應用成效分析...97 第二節「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」對學習成效之影響..100 第三節「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」對補救成效之影響..104 第四節「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」對學後延宕之影響..107 第五節不同補救教學模式後學生之錯誤類型發生率與子技能達成率改變情形...110 第六節探討學生對資訊融入數學合作學習之學習意見調查結果與討論..123 第五章結論與建議...131 第一節結論...131 第二節建議...134

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參考文獻...137 附錄...151 附錄一：系統登入畫面...151 附錄二：系統施測畫面...151 附錄三：學生診斷報告畫面(錯誤類型)...152 附錄四：學生診斷報告畫面(技能與概念)...152 附錄五：班級學習狀態統計書(以錯誤類型為例)...153 附錄六：班級學習狀態統計書(以子技能概念為例)...153 附錄七：學生進行電腦診斷測驗之情形一...154 附錄八：學生進行電腦診斷測驗之情形二...154 附錄九：教學手冊之部分內容摘錄...155 附錄十：教學手冊之部分內容摘錄(續)...155 附錄十一：教學手冊之部分內容摘錄(續)...156 附錄十二：教學手冊之部分內容摘錄(續)...156 附錄十三：單元講義之部分內容摘錄...157 附錄十四：單元講義之部分內容摘錄(續)...157 附錄十五：單元講義之部分內容摘錄(續)...158 附錄十六：單元講義之部分內容摘錄(續)...158 附錄十七：學生加油手冊之部分內容摘錄...159 附錄十八：學生加油手冊之部分內容摘錄(續)...159 附錄十九：多媒體教材之部分內容摘錄...160 附錄二十：多媒體教材之部分內容摘錄(續)...160 附錄二十一：多媒體教材之部分內容摘錄(續)...161 附錄二十二：多媒體教材之部分內容摘錄(續)...161 附錄二十三：多媒體教材之部分內容摘錄(續)...162 附錄二十四：多媒體教材之部分內容摘錄(續)...162 附錄二十五：資訊融入數學合作學習之學習意見問卷...163 附錄二十六：資訊融入數學合作學習之學習意見問卷(續)...164 附錄二十七：資訊融入數學合作學習之學習意見問卷(續)...164 附錄二十八：資訊融入數學合作學習之學習意見問卷(續)...165

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圖目錄

圖 2-2-1 展開(x－1)(x－2)的幾何圖示...16 圖 2-5-1 OT 理論之專家知識結構圖...50 圖 3-1-1 研究架構圖...61 圖 3-2-1 研究流程圖...65 圖 3-2-2 多項式與其加減專家知識結構圖...69 圖 3-2-3 多項式的乘除專家知識結構圖...70 圖 3-2-4 多項式與其加減之專家知識結構圖...72 圖 3-2-5 多項式的乘除之專家知識結構圖...73 圖 3-2-6 多項式與其加減試題結構圖...80 圖 3-2-7 多項式與其加減之學生結構圖...81 圖 3-2-8 多項式與其加減之補救教學結構圖...82 圖 3-2-9 多項式的乘除試題結構圖...83 圖 3-2-10 多項式的乘除之學生結構圖...84 圖 3-2-11 多項式的乘除之補救教學結構圖 ...85

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表目錄

表 2-2-1 多項式與其加減乘除之錯誤類型...19 表 2-2-2 多項式與其加減之錯誤類型...26 表 2-2-3 多項式與其加減之錯誤類型...29 表 2-3-1 合作學習的相關研究...37 表 2-4-1 資訊融入合作學習之相關研究...44 表 2-5-1 國內有關貝氏網路在教育上之應用研究...53 表 2-6-1 補教教學的相關研究...57 表 3-2-1 本研究之「多項式與其加減」子技能一覽表...66 表 3-2-2 本研究之「多項式與其加減」錯誤類型一覽表...67 表 3-2-3 本研究之「多項式的乘除」子技能一覽表...67 表 3-2-4 本研究之「多項式的乘除」錯誤類型一覽表...68 表 3-2-5 多項式與其加減之試題範例設計...75 表 3-2-6 多項式與其加減之錯誤類型與各相關測驗試題及子技能對應表...76 表 3-2-7 多項式的乘除之試題範例設計...77 表 3-2-8 多項式的乘除之錯誤類型與各相關測驗試題及子技能對應表...78 表 3-4-1 多項式與其加減單元預試信度、難度、鑑別度分析表...90 表 3-4-2 多項式與其加減單元 M02 選項次數分析表 ...90 表 3-4-3 多項式的乘除單元預試信度、難度、鑑別度分析表...91 表 3-4-4 多項式的乘除 M05 選項次數分析表 ...92 表 4-1-1 多項式與其加減之前測與後測適性判斷結果統計表...98 表 4-1-2 多項式的乘除之前測與後測適性判斷結果統計表...99 表 4-2-1 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表(多項式與其加減) ...100 表 4-2-2 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式與其加減) ..101 表 4-2-3 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式與其加減) ...101 表 4-2-4 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表(多項式的乘除) ...102 表 4-2-5 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式的乘除) ...102 表 4-2-6 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式的乘除) ...103 表 4-3-1 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表 (多項式與其加減) ...104 表 4-3-2 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式與其加減) ..105 表 4-3-3 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式與其加減) ...105 表 4-3-4 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表(多項式的乘除) ...106 表 4-3-5 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式的乘除) ...106 表 4-3-6 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式的乘除) ...106 表 4-4-1 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表 (多項式與其加減) ...107 表 4-4-2 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式與其加減) ..108 表 4-4-3 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式與其加減) ...108

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表 4-4-4 單元之迴歸係數同質性考驗摘要表(多項式的乘除) ...109 表 4-4-5 教學法在前測成績之單因子共變數分析摘要表(多項式的乘除) ...109 表 4-4-6 教學法各水準前測成績估計邊緣平均數(多項式的乘除) ...109 表 4-5-1 實驗組前、後測出現錯誤類型統計表(多項式與其加減) ... 111 表 4-5-2 控制組前、後測出現錯誤類型統計表(多項式與其加減) ...112 表 4-5-3 實驗組前、後測達成子技能統計表(多項式與其加減) ...114 表 4-5-4 控制組前、後測達成子技能統計表(多項式與其加減) ...115 表 4-5-5 實驗組前、後測出現錯誤類型統計表(多項式的乘除) ...117 表 4-5-6 控制組前、後測出現錯誤類型統計表(多項式的乘除) ...118 表 4-5-7 實驗組前、後測達成子技能統計表(多項式的乘除) ...120 表 4-5-8 控制組前、後測達成子技能統計表(多項式的乘除) ...121 表 4-6-1 第一部份-對資訊融入教學活動的想法之意見調查（N=44） ...123 表 4-6-2 第一部份-對資訊融入教學活動的想法持非負向意見之結果分析....125 表 4-6-3 第二部份-對合作學習結合資訊融入數學教學之意見調查（N=44） ...126 表 4-6-4 第二部份-對合作學習結合資訊融入數學教學之意見調查（N=44） ...127 表 4-6-5 第三部份-對電腦化適性診斷測驗之意見調查（N=44） ...128 表 4-6-6 第三部份-對電腦化適性診斷測驗之問卷結果分析...129 表 4-6-7 第四部份-綜合意見之意見調查（N=44） ...130

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第一章緒論

本研究是以國中二年級「多項式與其加減」、「多項式的乘除」單元為特定研究領域，結合知識結構理論及貝氏網路來進行多項式單元課程設計與評量研發。而後提供合作學習的教學環境，配合自編教材、自編教學多媒體，進行教學活動以及補救教學，並在教學後，編製一套電腦化適性診斷測驗做為評量的依據，以探究資訊融入數學合作學習之教學成效、補救教學成效、學後延宕成效與學習意見。本論文共分五章：第一章為緒論，第二章為文獻探討，第三章為研究設計與實施，第四章為結果與討論，第五章為結論與建議。本章將針對研究動機與目的、待答問題、重要名詞界定與研究範圍逐一論述。

第一節研究動機

在這個資訊爆炸、科技發達、社會快速變遷的時代，世界上重要的國家競相推動教育改革，主要目的即在因應新時代的新趨勢，冀望經由教育改革以提昇國家的競爭力（周天宜，2000）。因此，教育部（2001）在「中小學資訊教育總藍圖」中指出：「資訊隨手，主動學習樂；合作創新意，知識伴終身」為教育願景。顯示運用電腦科技與資訊設備於各領域教學，是現今學校發展之重要課題。因此教師如何有效運用資訊融入教學之教學策略，思考營造出良好的學習環境，以引起學生學習興趣；並培養學生利用資訊網路，主動探索與研究的能力，以提高學生學習成效，這些因素都是值得去探究的議題。影響所及，國內目前已累積許多研究成果，其中有些研究指出資訊融入教學在提升學生學習動機有正面效果，但對於提升學習成就方面較不顯著（蔡坤霖， 2001；梁世傑，2001；蔡秉恆、詹勳國和黃天佑，2002；陳振榮，2002，呂宜玲， 2002）。學者歸納出影響的因素包括學生資訊能力、資訊設備、學習環境等等，但其中最重要的因素為「資訊融入教學策略」（邱瓊慧，2002；黃俊惟、楊孟泰

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和黃錫培，2001；鐘樹掾，1999）。由此可見，教學策略的運用是資訊融入教學是否成功的關鍵（引自江東陽，2004）。邱瓊慧（2002）曾指出利用資訊科技融入教學，不管是在電腦教室或一般教室，特別是當學生的資訊素養參差不齊時，分組合作，同儕教導便可以化解資訊素養不一致對學習活動進行可能造成的困擾。因此，教師若能建構安排一個符合學生需求的資訊學習環境，並採用讓學生之間能經由合作而學習的教學策略，應能讓學生在數學成效上造成正面的影響。此外，國內外研究亦指出資訊融入教學結合合作學習的教學策略是可行的教學模式，利用資訊工具的豐富資源，以多媒體動畫呈現教材，學生可在短時間內獲得廣泛的學科知識，有效率的學習，再透過小組「共同學習活動」一起參與討論，分工合作，藉由彼此腦力激盪建構與創造出屬於自己的知識，不管是學生學習動機、學習感受都有正面效果，在學習成就方面也有提升效果（江麗君，2004；王永賢，2004；江東陽，2004；尤雅慧，2005，林政德，2005，蕭翠玲，2009）。有鑑於此，本研究依據學生學習特性及教學內容，將資訊融入教學結合合作學習，進行資訊融入數學合作學習之教學設計，並從教學實驗中，驗證此教學模式之成效。但在建構教學模式的過程中，研究者有感於學生有其個別差異，在學習上所犯的錯誤類型不一，遇到的困難點有所不同。然而，綜觀以往，教師通常僅利用單元測驗試卷進行診斷，測驗完後，利用試卷進行補救，並沒有一套結構性、完整性的補救方式，既無適性化，也無法立即性地矯治學生的錯誤概念，因而影響後續的學習。若教師能及時診斷出學生的錯誤概念，並協助學生改正錯誤，釐清觀念，才是「補救教學」的最大意義，這樣也才是完整的教學。在補救教學方面，近年來，已有許多學者以知識結構與貝氏網路理論為基礎，進行數學領域適性診斷測驗及資訊融入補教教學設計之研究，並獲致良好成效（曾彥鈞；2007，林立敏、白曉珊、郭伯臣、劉育隆，2007）。從研究結果發現，藉由知識結構的連結與貝氏網路，學生經電腦化適性診斷測驗後，系統可提供每個學生的診斷報告書，讓教學者確實掌握每個學生所學得的技能、概念以及所犯的錯誤類型，然後適時地以資訊科技進行個別化補救教學，使學習問題對症

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下藥。因此，本研究採用上述理念在教學模式設計中加入診斷及補救等教學活動，以建立完整的資訊融入數學合作學習之教學模式。綜合上述，研究者以國中二年級「多項式與其加減」、「多項式的乘除」單元，利用多媒體數位化的優點融入數學領域課程，結合合作學習的教學策略進行資訊融入數學合作學習的教學方式，促使學生轉變為主動的學習者，透過參與的機會，建立愉快的學習氣氛，鼓勵學生互相討論，主動學習。在教材與評量，著手編製以知識結構及貝氏網路為基礎的自編教材、教學多媒體、補救教材，及電腦化適性診斷測驗之研發。而後利用自編教材及多媒體進行小組的分組學習，學生經學習後，依據適性測驗系統診斷報告書診斷出之學生錯誤類型，進行自編的補救教材與多媒體教學，以瞭解在資訊融入數學合作學習的教學法下之學習成效、補救成效、學後延宕成效與學習意見。

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第二節研究目的

基於上述動機，本研究主要目的為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，根據單元能力指標（8-a-03）、（8-a-04）、（8-a-05）、（8-a-06）整理出相關錯誤類型與子技能資料，結合專家知識結構及貝氏網路來進行自編國中二年級「多項式與其加減」、「多項式的乘除」單元教材及教學活動、教學多媒體、編製電腦化適性診斷測驗及補救教學模式。編製好教材與建立好測驗系統後，進行資訊融入數學合作學習教學實驗，相較傳統教學，評估整套教學之應用效果。主要研究目的羅列如下：一、探討結合知識結構與貝氏網路之「多項式與其加減」、「多項式的乘除」單元電腦化適性診斷測驗的成效。二、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，對其學習成效之影響。三、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，對其補救成效之影響。四、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，對其學後延宕成效之影響。五、探討在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率與子技能達成率改變情形。六、調查實驗組學生對資訊融入數學合作學習及適性診斷測驗之意見。

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第三節待答問題

根據上述的研究目的，本研究將探討下列問題：一、瞭解結合知識結構與貝氏網路之分數的乘法單元電腦化適性診斷測驗的成效? 1-1 以自編「多項式與其加減」、「多項式的乘除」教材為範圍，結合知識結構及貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗，其省題率為何？ 1-2 結合知識結構及貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗，其預測精準度為何？二、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，其學習成效是否有顯著差異？三、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，其補救成效是否有顯著差異？四、探討學生在接受「資訊融入數學合作學習」與「傳統教學」後，其學後延宕成效是否有顯著差異？五、在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率與子技能達成率改變情形為何？ 5-1 在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率差異情形為何? 5-2 在不同教學法下，學生經過補救教學後之子技能達成率差異情形為何? 六、實驗組學生對資訊融入數學合作學習及適性診斷測驗之意見為何?

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第四節名詞解釋

針對本研究常見的名詞，釋義說明如下：

一、資訊融入數學合作學習

本研究所定義的資訊融入數學合作學習之教學模式，為研究者採用學生小組成就區分法( STAD )，在教學前依照學生的能力分配學生到一異質小組中，讓學生在學習過程中，彼此之間有互相學習的正向依賴關係及積極的討論溝通，以提高個人的學習成效並達成團體目標（林佩璇，1991）。另外，配合自編單元教材、教學多媒體、補救教材，並配合單槍投影設備在教室中以在 Microsoft 公司之 Office 系列軟體之 PowerPoint 簡報軟體下製作之自編教材、教學媒體來進行班級教學與補救教學，並且以電腦適性診斷測驗來進行評量。這種資訊融入教學結合合作學習與之教學模式，研究者定義為資訊融入數學合作學習，期能找出適性化的教學模式，以達到最佳的學習效果。

二、知識結構

將知識以結構化的型式所組成，下層概念為上層概念的先備知識，即為知識結構。本研究利用專家知識結構與學生知識結構作為編製測驗及教材的依據。專家知識結構是由學者專家分析相關文獻，依據學生的學習發展、概念上下位及概念先後順序關係繪製而成，作為編製診斷測驗試題的依據；學生知識結構則是利用「無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整合模式」（郭伯臣， 1995）中所開發之試題結構分析程式作為分析工具，系統根據學生在診斷測驗試題的作答結果，分析出每位學生的上下位概念關係，作為適性選題的依據。

三、貝氏網路

貝氏網路（Bayesian networks）是一種以貝氏理論為基礎，由節點與連結所

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組成具有方向性且非循環的有向圖(Directed Acyclic Graph，簡稱 DAG)，以節點表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟，2006）。適性診斷測驗就是藉由這些有向圖之聯合機率分佈作為推論之工具，教師利用適性診斷測驗報告書了解學生學習後有無具備的子技能，可能犯的錯誤類型，以作為本研究補救教學模式的依據。

四、多項式與其加減

本研究所謂多項式與其加、減僅以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式與其加減」單元能力指標（8-a-03）、（8-a-04）為研究範圍，此單元自編教材內容包括多項式的定義、同類項合併、多項式的加法及多項式的減法等活動。

五、多項式的乘除

本研究所謂多項式的乘除僅以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式的乘除」單元能力指標（8-a-05）、（8-a-06）為研究範圍，此單元自編教材內容包括單項式的乘除法、多項式的乘法(利用橫式、直式及分離係數法展開計算)、多項式的除法(利用直式及分離係數法計算)、多項式的四則運算等活動。

六、電腦化適性診斷測驗

本研究係以結合知識結構及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗，進行適性診斷的測驗。施測時，系統先選取最上位子技能的題目給予受試者(學生)作答，若回答正確，系統會自動預測受試者能達成其下位子技能，若回答錯誤，系統將選取答錯試題之下位子技能的題目給予受試者(學生)作答。在這樣的選題機制下，可精準且快速的診斷出學生的錯誤類型，有利於補救教學的進行。

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七、子技能

許天維、劉湘川（1994）界定數學技能，係指不要擬定計畫，直接運用數學事實、定義、規則、性質以及定理，對數、量和形進行演算和操作的能力。本研究之子技能為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式與其加減」單元能力指標（8-a-03 )、( 8-a-04）與「多項式的乘除」單元能力指標（8-a-05 )、（8-a-06）所訂定之基本能力，且該能力的具備與否通常會影響錯誤類型的發生。

八、錯誤類型

Kathlen(1987)將在數學運算式中所產生錯誤答案的步驟，依據其犯錯的關鍵處分成幾種類型稱為錯誤類型。本研究之錯誤類型係指在「多項式與其加減」與「多項式的乘除」等單元的解題過程中，學生所產生的系統性錯誤。研究者依據相關文獻、教學經驗交流與專家學者討論等方式將錯誤類型的分類訂出。

九、補救教學

補救教學是在教師診斷學生學習困難之後，針對學習困難所進行一連串的積極性教學活動。補救教學具有事後幫助的功能，大多是在對未達成教學目標者或學習有困難者幫助他再學習（陳長春，1992）。通常學生所以需要接受教師的特別幫助，是因為先前學習過的單元，具有某種程度的不適應或是學習上有了障礙，因此補救教學一樣是教師的教學活動，乃是一連串循環作決定的歷程，所以必須依據學習診斷所分析出來的原因，提供適切合宜的有效補救教學策略（康木村、吳吉昌，2000）。本研究所採用的模式是以資訊融入數學合作學習的方式來進行，教師需依其診斷報告書中班上大多數學生所犯的錯誤類型或未達成之子技能部分，依照補救教學結構所建議之路徑進行補救教學。

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第五節研究範圍與限制

一、研究範圍

本研究旨在針對國中二年級多項式相關能力指標設計資訊融入數學合作學習教學模式，透過整套自編教材（含教學、電腦化適性診斷測驗及補教教學模式）、教學多媒體的教學實驗及學生對其之評論，了解此種教學法的模式在實務應用的成效。因此，本研究之教學教材為研究者依據教育部（2003）頒布九年一貫課程網要中之數學能力指標（8-a-03）、（8-a-04）、（8-a-05）、（8-a-06）所編製，並建置以知識結構及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗及其補救教學模式。除上述以外之教材內容範圍及其他影響教學之因素則不在本研究探討範圍。

二、研究限制

本研究受限於時間、資源、人力及其他主客觀因素影響，茲將本研究之限制分述如下：（一）研究樣本由於研究者受限於研究時間及研究人力，因此本研究之研究對象僅以彰化縣所任教的兩個班級八年級學生作為實驗組，另從本校同事所任教的兩個班級八年級學生作為控制組。實驗組與控制組之學生除學區社經背景雷同外，學習程度也大致相同。由於無法擴大研究數量，所以有樣本自我選擇的限制(self-selection)，而不是由隨機選擇(random select)而來，因此結果的呈現會有所侷限，故本研究結果不做過多推論，僅提供具有類似研究情境時的參考。（二）研究時間本研究採用不等組前測－後測設計方式進行實驗。實驗組與控制組之受試者的授課時間、補救教學、學後延宕的時間皆須相同。電腦化適性診斷測驗須在各單元學習完後立即進行施測，否則失去實驗的意義，接受施測的時間也須相同。

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（三）「電腦化適性診斷測驗試題」研究工具

電腦化適性診斷測驗之題庫是以選擇題型式建置，與傳統一般測驗不同，無法包含多種題型，一個試題有四個選項，其中一個為正確答案，其它三個為誘答選項，用來偵測學生的錯誤類型，無法囊括所有的錯誤類型。

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第二章文獻探討

本研究是以國中二年級「多項式與其加減」、「多項式的乘除」為範圍，探究以結合知識結構理論及貝氏網路為基礎的資訊融入數學合作學習對學生學習成效與補救教學成效之影響。本章將針對「多項式與其加減乘除教材」、「多項式與其加減乘除之錯誤類型」、「合作學習及其相關因素」、「資訊融入教學及其相關因素」、「電腦化適性診斷測驗」與「補救教學」等內容進行文獻探討，以提供本研究之發展方向及實施之基礎。

第一節多項式與其加減乘除教材

一、多項式與其加減的概念

由數和文字x 進行加法和乘法運算所構成的式子，我們稱為 x 的多項式。（國立編譯館，2001）但如果文字符號是代表有些數字時，則稱之為代數（謝宜玲， 2003）。多項式是引領國二學生進入數學新領域-代數的重要開端，Fujji(2003)表示運用潛在的代數本質的方法是在早期算術經驗和未知數概念之間建立起堅固的橋樑，所以多項式的運算實為代數運算的基礎，是對數學抽象化與形式化的一個重要步驟，對於數學的推論、演繹、歸納以及其他科學的研究都有莫大的助意（郭汾派，1991）。若能使學生了解多項式本身的定義與熟練代數運算，對未來在學習因式分解、解方程式等課程是重要的關鍵。 Kieran(1992)從歷史的發展去作代數的研究，把代數發展歸納成三個階段： 1、修辭階段(rhetorical algebra stage)：代數學的發展初期，時間約為西元兩百五

十年前，人們使用文字敘述問題與解決問題，還未使用符號或特定的訊號去代表未知數，其目的為解決日常生活所發生的問題。

2、縮寫階段(syncopated algebra stage)：文字符號的發展進入了另一個階段，在 3 到16 世紀間，此階段仍是用文字敘述演算的過程，主要是在探討文字符號的相同處(identity)，對於重複出現的事物，運用文字字首來相對應，而非去說

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明其一般性(general)。

3、符號化階段(symbolized algebra stage)：義大利數學家韋達(Francois Vieta， 1540-1630)創立了符號法，使用文字符號代表已知及未知的量。代數成為能提供原則去處理數字關係的工具，人們有系統且有意識的使用符號從此展開。由以上的探討，學生學習代數概念的發展情形與上述三個代數發展時期有相對應的情形Harper(1987)。文字符號系統歷經長時間歷史的演變，其中蘊含了很多抽象化的形式概念，諸多的學者都對多項式提出他們的看法，呂溪木（1983）將多項式的定義為：設”x”為一個記號，{S;+,⋅}為具有乘法元素的交換環； 0 ), ( ; ,..., 0 a ∈S n∈I n≥ a _n 整數系，則以下這個形式 n nx a x a x a₀ 0+ ₁ 1+...+ 稱為佈於 S 以”x”為記號的多項式，而組成此單項式的係數稱為此多項式的係數。王恩平、王朝珠（1992）對於多項式的定義為：令 F為一數域，它可能是實數域R，也可能是複數域C，a 為i F中的元記做ai∈ F,i=0,1,...,n，s 為文字，那麼我們稱 f(s) a x an ₁xn 1 ... a₁x1 a₀ n n + + + + = − − 為域 F上的關於文字 s 的多項式。如果 R ai∈ ，則稱 f(s)為實係數多項式，如果ai∈C，則稱 f(s)為複係數多項式。對剛接觸符號系統的國中生而言，如何從這些定義去學習、理解文字符號與與文字符號間的加、減運算，並不是一件容易的事，學生在學習過程中，常會遭遇到許多困難，因此，了解學生如何學習多項式及其加減運算，將可作為教師進行教學與教材設計之重要基礎。

二、多項式與其加減之學習

在郭汾派、林光賢和林福來（1989）的相關研究第四個層次，學生在符號代數期前對符號的認知及運用受到很大的限制，比如無法將文字符號當成一般數。 Miles(1992)指出對某些兒童而言，掌握數學概念的結構關係，並不困難，難的是符號表徵的學習。Lee 和 Wheeler(1989)也在教學上實證發現，學生在解決問題

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時，「代數」跟「算術」的想法是分離的。Kuchemann(1981)認為學生對文字符號是否能有意義的了解是影響學生的代數學習非常重要的因素。 Collis(1975)從學生的觀點，將文字符號的概念詮釋分為以下六種（引自王乃聖，2004）: 1、文字符號視為可計算的值(letter evaluated):學生給予未知數一個特定值，利用特定值作運算，而避免利用未知數作運算。例如問學生6+x=10，x 值為多少? 因學生知道6+4=10，而回答出 x=4。 2、文字符號視為可忽略的(letter ignored):學生會將文字符號忽略不用，不賦予任何意義，只利用數字去做運算。例如當x+y=9，則 x+y－2 為何，學生觀察此前後兩式，可知道答案為9－2＝7。

3、文字符號視為一個物體(letter used as an object):學生會將文字符號視為某個物體而非數字。例如當5x 代表 5 個蘋果。

4、文字符號視為特定的未知數(letter used as a specific unknown):學生會將文字符號視為一個特定但未知的數字來進行運算。例如一n 多邊形每邊長為 8 公分，求周長為何?學生可回答出為 8n 公分。

5、文字符號視為泛用的數字(letter as generalized number):學生會將文字符號視為一般數，也就是說其未知數的值可代表一組數字。例如x＋y＝6，且 x＜y，x 為小於3 的任何正整數，因此可推求得 x 值為 1、2。 6、文字符號視為變動數(letter as variable):學生會將文字符號視為一個變數，非特定值的而是變動的，視其在式子關係式中決定。例如n 為正整數，比較 n 和 2n 的大小，學生可回答出 2n＞n。 Kuchemann 學生學習代數六個階段與國內學者陳盈言（2000）的研究相乎應，他發現約有32%的國二學生尚未開始真正使用文字符號，20%的學生將文字符號當做特定的未知數，33%的學生將文字符號當作一般數，只有 15%的學生能察覺文字符號之間的高階關係。綜合上述，我們可以知道，須先將文字符號視為可運算的數值，接著由數值的運算過度到一般數的概念，再由一般數的概念階段

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提升至將符號視為變數階段，才能讓學生真正瞭解未知數的意義。

大多數人獲得新數學概念的第一步為運算性的概念，而從過程的概念到物件的概念之過度既漫長且困難，但此二概念充分建立後，都在數學學習的活動中起著重要的作用(Kieran,1992)。Warren(2002)認為初等代數在剛開始教學時並不是來介紹正式的代數，而是將學生由算術的理解連結到代數的理解。Thorndike(1922) 在其「算術心理學」（The Psychology of Arithmetic）一書中，認為數學能力不應只定義為數字意義的理解，也不是語言教學的內容，而是算術教學的一部份，在生活中解決數量問題的能力和解決教科書中問題的能力是無法區分的（引自 Krutetskii,1976）。Sfard(1991)更提出由運算性概念到結構化概念理解有三個階段。第一階段為內部化(interiorization):學生透過運算的熟練，目的為得到新概念。第二階段為濃縮化(condensation):經結構化與符號化後，使解析歷程較簡易，而易於處理。第三階段為具體化(reification):學生形成自我概念，建構出新的觀點來檢視熟悉的事物。透過這每一階段的反覆演練，學生才能確實掌握住算術與代數兩系統的結構本質。綜合上述，本研究將以這三階段做為「多項式與其加減」教學的參考依據，並以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式與其加減」單元能力指標（8-a-03 能認識多項式及相關名詞、8-a-04 能熟練多項式的加法和減法），教材內容架構包括了多項式的定義、同類項合併、多項式的加法及多項式的減法等活動。讓學生以直觀的基礎，使其接觸算術時，就應該讓他們將自然的、直觀的推理與形式化的計算做好連結(Vergnaud,1997)，這樣一來，演算的能力強化了學生的概念理解，以達到穩固學生代數的概念。此部分研究結果也將作為本研究之資訊融入數學合作學習教學多媒體設計依據。

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三、多項式的乘除概念

Gilbert & Leitz(1982)的研究指出，學生在數學溝通過程中時常出現不同的重要觀點，以致影響其解題策略，得到不同的結果。Mayer(1982)認為：解題者自身的認知特性與問題的特徵，是必定會影響其所使用的解題策略。學者楊弢亮（1992）也指出數學概念的教學過程就是要使學生認識概念的來源及意義，理解概念的性質及相互關係，會運用概念解決問題的過程。因此，學生在多項式的乘除學習歷程中，操弄文字符號，思考數學物件間的結構關係，他們的思考方式影響其學習，也就是說學生對於多項式乘除法學習的難易，源於他們使否能自行建構出符號的意義。Resnick,etal(1987)指出代數的意義有三種不同的來源（引自張勝和，1995）: （一）代數的意義是包含在這個形式系統中，即 1.表示式(Expressions)有意義：如果它在正式定義的系統中有良好的形式。 2.轉換規則(Transformation rules)有意義：如果能應用最初的表示式推得良好形式的表示式。例如：利用乘法公式展開多項式(a＋b) (c＋d) (a＋b) (c＋d) 利用分配律＝a(c＋d)＋b(c＋d) 利用分配律＝ac＋ad＋bc＋bd （二）代數的意義來源是從數字和運算的世界到一般化，即 1.代數表示式：可看成是滿足數字和運算相關狀態的一般化。 2.可容許的轉換規則：方程式經過規則轉換後，多次代入數字的表示是仍能夠滿足方程式。（從心理上說服證實代數規則和表示式的正當性）例如：說明(a＋b)２＝a２＋2ab＋b２將用a＝2，b＝3代入，則

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(a＋b)２＝（2＋3）２＝5２＝25 a２＋2ab＋b２＝2２＋2 2 3‧ ‧ ＋3２＝25 則(a＋b)２＝a２＋2ab＋b２（三）代數的意義來源是包含數量和其相關的情境，即 1.代數表示式：情境可以表成相關數量的合適數學形式。 2.轉換規則：利用情境解釋和驗證代數轉換規則。［思考情境而列出的方程式提供指示性的意義(referential meaning)］例如：展開(x－2)(x－1)＝? 從圖 2-2-1 可知，(x－2)(x－1)代表的是斜線部份面積，將總面積 x2，扣掉兩個（x－1）、一個（x－2），還有兩個 1 單位的正方形，即為斜線面積，所以(x－2)(x－1)＝x2－2(x－1)－(x－2)－2＝x2－3x＋2。 1 1

x-2

1

x-1

圖 2-2-1 展開(x－1)(x－2)的幾何圖示學生從多項式的加減之基本的代數入門，透過了解多項式的定義，熟練地計算同類項合併後，在這些基礎下，接著要進入進階的多項式的乘除法，如何透過表示式、轉化原則，讓學生的認知發展從具體運思階段提升至更高層次的形式運思階段是重要的關鍵。黃敏晃（1998）認為學生在做加減運算時像是在做一些對他們毫無意義的運做。老師教他們碰到這些題目時這樣做，他們記起來就照做，記不起來就拿另一套規則亂湊上去，目的只在向老師交差了事。爲避免學生只是操弄與計算多項式的乘除法，對文字符號毫無感覺，期學生能真正了解代數的概念。教學者應透過符號圖形化引出數學運算，或是來回反覆將形式數學運算與符號意義聯結，才能使學生產生正確且深層的代數概念。Skemp(1979)指出，在概

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念的形成過程中，符號扮演著基本角色，而具有許多功用，其中包括：溝通、記錄知識、形成新概念，使用多重分類直接化、解釋，有助於顯示結構，使計算自動化，回憶資料或理解以及一種創造性的心智活動等。其中再計算自動化中，並不是強迫學生學習一些無意義的符號，而不管這些符號或運算的相關概念，這樣根本不是學習數學（陳澤明、林義雄譯，1985）。

四、多項式的乘除之學習

文字符號的意義對學生來說是非常抽象的。從上述可知，學生在探究多項式的乘除法概念時，可給予學生具體的情境、面積圖形的變換，具體可立即看見的方式，學生較能順利發展出抽象的代數概念。Hibert & Lefevre(1987)指出從程序性知識的觀點，學生可能從所看到的模式中獲得純粹符合規範造句法的符號知識。若要發展符號的意義，學生應將這些純粹的符號知識連接到他們能表徵的概念知識。

Carolyn Kieran(1992)認為學生在中學階段關於代數的數學內容方面，主要的困難為：(1)文字符號的意義（the meaning of letters）(2)由算術結構到代數結構的轉移（the shift to a set of conventions different from those used in arithmetic）(3)結構的辨識和使用（the recognition and use of structure）。Carolyn Kieran 認為學生在數字式子（numerical expression）上的舊經驗是影響他們理解代數時的重要因素。在教學中，應當從實際事例和學生已有知識出發引入新的概念。多項式的乘除法內容是以多項式的加減、指數律、乘法公式為先備知識甚至與國小、國一課程中的整數、分數乘除法間都有類似之處，我們由舊經驗建構出連接新經驗的橋梁。在多項式的乘法部分，我們延續在乘法公式的理解上，可以利用面積情境或積木或其他具體非形式的方式，連接學生的經驗和原有知識，使學生發展出抽象概念（張勝和，1995）。利用面積觀念引入橫式的多項式乘法展開；利用整數與整數相乘之直式乘法引入多項式的直式乘法。在多項式除法部分，王婷瑩（2003）

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指出學生受到整數除法原理之舊思維影響甚劇，對於多項式除法原理中與既有思維差異較大的部分，學生思維難以轉化。在學生的學習歷程中，教師提供實例並將新概念與程序性運算連結比只是口頭陳述數學概念或只提供一般化的抽象文字符號式子更有助於學生思維啟動、轉化。除法源自於乘法的均分的概念，所以我們利用乘法的輔助概念引入長除法，被除式用減法扣掉的概念，對於學生在長除法的運算過程中，常常會與直式乘法運算混淆，變成上式“加＂下式的錯誤概念便可釐清。綜合上述，本研究將以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式的乘除」單元能力指標（8-a-05 能熟練多項式的乘法、8-a-06 能熟練多項式的除法），教材內容架構包括了單項式的乘除、多項式的乘法(包含橫式乘法、直式乘法及分離係數乘法)、多項式的除法(直式除法及分離係數法除法)、能計算多項式四則運算及多項式的面積應用題型等活動。利用情境或具體的圖形為基礎，豐富學生的代數經驗，以作為學習的基石。此部分研究結果也將作為本研究之資訊融入數學合作學習教學多媒體設計依據。

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第二節多項式與其加減乘除之錯誤類型

代數應用題是以抽象思考和邏輯推理為主，不只涉及到學生的計算能力，還更牽涉到學生的概念理解能力，而概念的理解和較複雜的認知歷程有關（林清山、張景媛，1994）。不論是計算能力或概念理解，學生都會產生一些錯誤。解題上如無法運用適當的運算方法，不易理解所看到的文字、數字或符號所代表的意義，則其發生錯誤比例會偏高（陳麗玲，1993）。學生在解題的過程中，所產生的系統性錯誤，即為錯誤類型。學生錯誤概念有可能來自學生日常生活所學得的，也可能來自學生對於教師機械式教學的一知半解（呂溪木，1983）。Gable, Enright, & Hendrickson(1991)建議將數學錯誤分析和教學或評量結合，以作為教師改進教學的有力依據。對教師而言，瞭解學生產生這些困難及錯誤概念的原因是非常重要的。如此才能幫助教師在教學上採用適當的教學策略或設計教學活動使學生能克服這些困難或使學生減少錯誤概念的產生（陳怡如，2007）。基於這樣的觀點，本研究之錯誤類型係指學生在解決國中數學領域「多項式與其加減」、「多項式的乘除」範圍中，整理出學生不正確的解題過程，常出現的錯誤概念，教師可透過錯誤概念的分析，瞭解學生的錯誤類型究竟是由何種錯誤概念產生，進而實施補救教學，修正他們錯誤的運算技能（張新仁，1992）。以協助學生進步成長。如表2-2-1 所示，學生常見之的錯誤類型可歸納為以下幾類：表 2-2-1 多項式與其加減乘除之錯誤類型研究者及年代研究主題錯誤類型 Matz （1982） Towards a process model for high school algebra. 學生使用不恰當的外推法，學生會將適用於某種情境的規則，將之不當的運用在不同的情境，結果造成錯誤。例如：學生會將乘法對加法的分配律 A×(B＋C)＝A×B＋A×C，類推至乘法上 A×（B×C）＝A×B＋A×C。例如：在指數律上將（A×B）2＝A2×B2 類推至（A＋B）2＝A2＋B2。

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Benander & Clement （1985） Catalogue of Error Patterns Observed In Course on Basic Mathematics. 算數方面的錯誤有除法符號次序的錯誤、運算次序的錯誤、交換性質的誤用、負數乘以負數=正數誤用於加法運算上、負數乘以負數=負數、負數的分配錯誤。林福來（1988）國中生文字符號概念的發展 1.制約與加法合併的問題(將不同類合併)。 2.制約與括號的了解問題(不當使用分配律)。 3.不了解文字可當成一般數或變數。 4.辨別能力問題(不能辨別物品與代表物品數量的符號之間的不同)。 5.公式一般化的問題。 6.注重答案而非方法。 Resnick （1989） Conceptual bases of arithmetic errors：The case of decimal fractions. 1.學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。例如：將負數乘以負數等於正數的規則運用到加減運算；-A-B=A+B。 2.遺忘演算公式或規則的限制。例如：去括號時，忘了它的運算規則，而直接將括號拿掉；A-(B+C)=A-B+C。郭汾派（1991）國中生文字符號運算的錯誤類型 1.帶分數的模式。例如：受到國小7+

2

1

=7

2

1

的影響，所以4＋3n＝7n。 2.係數文字分別處理。例如：4乘以n＋5＝20n或24n，2a＋5b＝7ab或 7＋ab 或7（a＋b）或7＋a＋b。 3.不同類項擺在一起。例如：h＋h＋h＋h＋t＝4ht。 4.不曾使用括號。例如：5 乘以 e＋2 學生會寫成5×e＋2＝10＋e 或5e＋2 或e＋2×5。 5.忽視數據資料。 6.認為不同文字代表不同數。 7.文字當特定數處理。 8.受定義影響。例如：n＋5加4 的結果？學生答案是(n＋5)＋(n＋4)或n＋1＋4或2n＋5。 9.重新設定未知數。

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例如：習慣以x, y, z表示未知數，換成a,b,c或其它符號，其認知就會不同，也尚未能體會文字符號只是“符號＂，不管以什麼來替代都可以的地步。 10.不能辨別符號與物品。例如：對甲牌鉛筆每枝7 元，那甲支甲牌鉛筆是7 甲元感到困難。 11.文字符號當有次序的特定數。例如：若甲＋2 ＝丙，那麼會把甲＋4 回答為「戊」。 12.文字符號只當不為負數的數字處理。例如：設c＋d＝10，且c＜d，求c ＝ ? 很高比例的學生會回答為1,2,3,4或0,1,2,3,4。張勝和（1995）乘法公式理解之研究－以國中生為例 1.誤併不同類項或合併不同類項的係數。例如：4＋n＋5＝9n；4x2＋10x＝14x2。 2.加乘運算的混淆或係數和指數的錯置。例如：x＋x＝x2。 3.錯誤類比或推廣。

例如：將(ab)2＝a2b2 誤推至(a＋b)2＝a2＋b2。 4.公因子的迷思。例如：3 x．x =(3．3) x =9x 。 5.運算的結果表達不當。例如：x＋x＝2＋x；x．x＝2x。戴文賓（1999）國一學生由算術領域轉入代數領域呈現的學習現象與特徵 1.有關代數式的意義：代數式求值的問題。例如：3X 當作 3＋X。 2.有關同類項的意義與合併規則： (1)只處理含有 X 的同類項，常數項則不合併處理，因不含X 而不算作同類項。例如：3X＋20＋4＋5X＋3＝8X＋4＋3。 (2)不接受含有加號的式子當作答案。例如：3X＋4，而會再將不同類項合併處理變成 7X 或 7。 (3)不確知 X＝1X，而會將其係數忽略不計。例如：3X＋X＝3X。 3.含括號的化簡問題： (1)括號外的數字只和括號內的第一項相乘，忽略第二項。 (2)括號外的數字如果是負數時沒有變號。 (3)不知道括號內的算式要和括號外哪一項作運算。

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陳盈言（2001）國二學生變數概念的成熟度對其函數概念發展的影響 1.文字符號與數字混合運算上的錯誤。 (1)帶分數模式。例如：8＋g＝8g。 (2)加法指數模式。例如：e＋e＋e＝e3。 (3)不同類項擺在一起例如：2a＋5b＋a＝3a5b。 (4)係數與文字符號分開處理。例如：2a＋5b＋a＝8ab。 2.未有符號代表未知數的概念。 3.未能以符號表示一般化。 4.不同符號代表不同數的迷思。 5.平衡差錯，包括對等量公理本身的誤解、受直觀的影響與不了解等式的意義。 6.不了解數學式子。 7.對括號不了解。 8.對數系的了解不夠完整，認為文字符號代表正整數、整數或某些分數、小數，而遺漏了其他數的存在。 9.對定律與法則的不甚了解，不了解乘法分配律、加法交換律與移項法則。 10.乘法結果恆大於加法結果的迷思，如2n＞n＋2。 11.未有單元化的概念，學生無法將不同的文字符號組合看作一個整體，一個單元。而認為因為文字符號的值有無限多種，所以不同的文字符號組合再加上一個定數時，其答案也會有無限多種。 12.忽略數據或資料。 13.不了解數學名稱。郭正仁（2001）高雄市國二生多項式四則運算錯誤類型之研究 1.係數方面仍會延續「整數與分數四則運算」的運算錯誤。 2.係數與文字分開獨立處理，數字與數字運算，文字與文字運算，同一項裏的係數與文字採取不同的運算方式。例如：係數用除法而文字用乘法。 3.學生會以最容易或最簡單的方法來解決問題，不管其方法是對或錯，都由簡單的部份先算而不會遵守一些運算法則（先乘除後加減、由左至右）。 4.式子一定要化成最簡單的形式，尤其係數一定要把

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公因數約分且領導係數要保持正數。 5.求多項式加（減乘除）法運算的次數就直接將次數做加（減乘除）法運算。 6.在除法運算中，缺項未補零，而且習慣寫成分式的形式以約分來處理。 7.不知括號的使用意義及位置，認為有無括號是一樣的，在乘方問題上學生更難體會有無的括號的差異性。對於沒有括號的題目，採取有括號的計算方式，在去括號時，分配不完全，若括號前面是負號，去括號時卻沒變號，只有將括號直接去掉。而對於多項式文字題，學生經常沒給予式子括號。 8.對於位值的改變，學生經常犯錯，尤其係數為分數的乘（除）法逆運算較不會，而對於多項式除法逆運算則經常忽略餘式。 9.對於多項式文字題有語文知識上的錯誤，不管題意，看到和就用加法，差就用減法而且不知道該如何去檢驗答案，甚至認為答案必為數字。 10.在長除法的運算過程中，常常會與直式乘法運算混淆，使用上式“加＂下式的運算方式。 11.對於多項式、因式分解、解方程式三者在定義上、解題上經常會混淆。 12.分離係數法會產生係數與次項無法聯結的錯誤。 13.遺漏未知數、次方、符號的錯誤。 14.學生不懂移項法則，對於移項的對象會顛倒。不管問題的性質，認為移項就一定得變號且忽略將整個式子括號。 15.圖形表徵轉換成文字表徵時，因為圖形合併的直覺印象讓學生忽略代數上一些連接性的符號，如 “＋＂號。另外面積的計算，學生認為是邊長相乘，而對於不規則形則採取分割法、填補法、平移法，但常造成邊長的計算錯誤或遺漏。謝宜玲（2003）在課堂討論情境下國一學生文字符號概念及運算相關法則的認知 1.學生對文字符號最普遍的概念就是把文字符號當成一個未知數、某數或任意數；而且最容易將文字符號以數字代入去求值。 2.學生在文字符號與數字合併的問題上，大多數學生認為文字符號與數字是不同類的，所以不能相加。 3.同類項合併，但數字則沒有合併或只做數字的計算，文字符號忽略不用。

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4.學生將文字符號直接做運算或數字相加後，剩餘的文字符號與運算符號再組合起來。 5.若式子中有兩個括號時，學生會先將兩個括號內的東西同類項合併，最後才考慮括號前面的係數或完全忽略不計。 6.分配律將括號外的係數與括號內的每一項相乘，可以把括號去掉。結合律就是把有 X 的項結合在一起，沒有X 的項結合在一起。周瑞進（2007）台南地區高一學生多項式題材錯誤類型之調查研究 1.學生為對多項式的次方定義不了解。例如：誤認為0 不是多項式，並誤認根號 x、x 的絕對值及x 分之一才是多項式，原因是對多項式的次方定義沒有獲得完整的概念。 2.對「整除」的符號解讀錯誤，及找不出因數。例如p 整除 3 解讀成 3 整除 p，原因是對「整除」的符號先備概念不足。 3.在除法運算過程中，多數發生在計算錯誤，原因是技能不夠熟練。林育樹（2007）台南市國一學生指數概念與運算錯誤類型之分析研究指數概念與運算錯誤類型主要有： 1.概念的錯誤。 2.運算的錯誤。 3.轉換的錯誤。 4.隨意回答的錯誤。 5.有瑕疵算則的錯誤。 6.應用不相干規則的錯誤。 7.粗心遺漏的錯誤。王韶國（2008）台南地區高一學生在指數單元錯誤類型之分析研究指數單元發生的錯誤類型主要有： 1.指數概念不清楚、指數律混淆。 2.計算錯誤、筆誤、遺漏負號。 3.將文字符號任意代數字或認為答案應該是數字。 4.文字符號概念模糊。 5.粗心疏忽的漏失。 6.憑直覺或關鍵字作答。 7.不合邏輯的推論。 8.粗心遺漏的錯誤。陳怡如（2008）國二學生在多項式的乘除運算單元錯誤類型之一、多項式的乘法運算錯誤類型: 1.使用指數律規則錯誤。 2.數字乘法錯誤。 3.粗心。

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分析研究例如：將題目乘法誤算成加法。 4.正負符號處理錯誤。 5.分配律使用不當。 6.乘法公式使用錯誤。例如：將平方差及差的平方搞混。 7.看不懂題意。二、多項式的除法運算錯誤類型: 1.使用指數律規則錯誤。 2.數字計算錯誤。 3.正負符號處理錯誤。 4.餘式次方未小於除式次方。 5.長除法使用錯誤。 6.看不懂題意。 7.基本運算錯誤。除了上述錯誤類型及錯誤原因外，在研究中也發現一些現象，敘述如下： 1.學生在多項式乘除法上，對多項式乘法較有把握，且較不容易犯錯，而犯錯情形大多是因為基本的運算規則不熟悉。 2.對於長除法，學生常常因為不熟悉規則而導致計算錯誤。 3.對於應用問題的題型，學生往往因為看不懂題意或漏看題目的條件，而導致錯誤。 4.當題目的答案為數字而不是文字時，學生的答題較為踴躍但錯誤率卻未較低。 5.當題目未明確指出何者是被除式、何者是除式時，學生往往會有錯誤的推斷。黃信達（2008）台南市國二生多項式四則運算錯誤類型之分析研究 1.係數方面仍會延續「整數四則運算與」與「分數四則運算」的運算錯誤。 2.不清楚括號的意義與使用時機。 3.係數與文字分開獨立處理，數字與數字運算，文字與文字運算，同一項裏的係數與文字採取不同的運算方式。 4.分離係數法會產生係數與項無法聯結的錯誤。 5.在除法運算中使用倒數相乘規則時，常常因為觀念不夠清楚，造成只知道除法要變為乘法運算而未將除數上下倒置就相乘而發生錯誤。 6.學生不懂移項法則，特別是處理乘法逆運算及除法

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逆運算的題目，對於移項的對象會發生錯亂的情況；有時不管題目的性質，認為移項就一定得變號且忽略要將整個式子括號。 7.多項式除法逆運算則經常只考慮到商式和除式，因而忽略了餘式的存在。本研究以上述常見之錯誤類型為依據，結合研究者之教學經驗，並諮詢專家學者之意見，整理並定義出本研究之錯誤類型，表2-2-2 為多項式與其加減之錯誤類型，表2-2-3 為多項式的乘除之錯誤類型，說明如下：表 2-2-2 多項式與其加減之錯誤類型編號錯誤類型 B01 不了解多項式的定義 B02 無法判讀多項式的次方、項與係數 B03 無法分辨多項式與方程式 B04 正負數混合加減計算錯誤 B05 移項時忘記變號 B06 遺漏項的錯誤 B07 多項式升冪、降冪的混淆 B08 不清楚升冪、降冪的定義 B09 誤併不同類項 B10 不清楚題意 B11 去括號時變號錯誤或遺漏負號 B12 分配律的分配不全 B13 缺項沒有補零 B14 直式及分離係數運算時不同類項對應錯誤而誤併(誤併不同類項) 茲將本研究所歸納之多項式與其加減之錯誤類型舉例說明如下： 1.不了解多項式的定義。說明：誤認根號x、x 的絕對值及 x 分之一才是多項式。 例：誤認 x2＋8x＋ x 、∣x∣＋6 及 4＋ x 2 皆為多項式。

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2.無法判讀多項式的次方、項與係數。說明：憑直覺隨意判讀多項式的次方，且認為各項係數恆正。例：誤認－5x2＋6x3－4x＋6 為二次多項式，一次項係數為 4。 3.無法分辨多項式與方程式。說明：認為只要是文字符號與數字加減乘組合而成都是多項式。例：誤認－5x3－8x＋6＝0 為多項式。 4.正負數混合加減計算錯誤。說明：不清楚正負數混合的四則運算規則，而導致計算錯誤。例：－7x2＋5x2，誤算成2x2。－18x－8x，誤算成－10x。 5.移項時忘記變號。說明：移項求未知數時忘記變號，而導致錯誤。 例：－c＋1＝5，誤算 c 為 4。m－3＝0，誤算 m 為－3。 例：若 B－(－x2－2x＋7)＝x2－6x＋14，將 B 誤算為(x2－6x＋14)－(－ x2－2x＋7)等於 2x2－4x＋7。 6.遺漏項的錯誤。說明：同類項合併過程中遺漏某項。例：將(x2＋4x＋1)＋(x2－4x＋1)誤算成 x2＋2 或 2x2＋1。 7.多項式升冪、降冪的混淆。說明：將升冪誤認為降冪，降冪誤認為升冪。例：試問多項式4x2＋x3＋8x－6 按升冪排列的結果為何？回答答案為 x3＋4x2＋8x－6。 8.不清楚升冪、降冪的定義。說明：認為多項式升冪排列即為各項係數由小排至大，降冪排列即為各項係數由大排至小或憑直覺亂排列。例：試問多項式6x3－10x4－13＋8x 按降冪排列的結果為何？回答答案為8x＋6x3－10x4－13 或 6x3－13＋8x－10x4。

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9.誤併不同類項說明：同類項合併過程中將不同類項合併在一起。例：求(－4x3－2x2－x－3)＋(－x3－8x＋6)＝？將－2x2與－8x 合併成－10x2，回答答案為－5x3－10x2－x＋3。 10.不清楚題意。說明：無法理解題意，認為題目若出現「＋」就把看到的多項式相加，出現「－」就把看到的多項式相減即為答案。例：「兩多項式 A、B，若 B 為 7x2－x＋4，試求 A－B」，粗心的皮卡 將「A－B」看成「A＋B」，算出答案「2x2－x＋5」，請問正確答案為多少？因題目曾出現「＋」，所以將7x2－x＋4 與 2x2－x＋5 相加，回答答案為9x2－2x＋9。 11.去括號時變號錯誤或遺漏負號。說明：數個多項式相加減，去括號時沒有變號或變號錯誤。例：將(10－5x2－x)－(－2x2－7x＋2)去括號，誤算成 10－5x2－x－2x2 －7x－2，回答答案為－7x2－8x＋8。 12.分配律的分配不全。說明：展開各項過程中，有些項有用分配律展開，有些項沒有。例：展開4(3x2＋3x－5－2x)時，誤算成 12x2＋12x－5－2x。 13.缺項沒有補零。說明：利用直式及分離係數法計算多項式的加、減法時，缺項沒有補零，以致誤併不同類項。例：求(6x3＋3x＋5)＋(2x2－4x－7)＝？誤算成 14.直式及分離係數運算時不同類項對應錯誤而誤併(誤併不同類項)。

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說明：利用直式及分離係數法計算多項式的加、減法時，未將同類項對齊，以致誤併不同類項。例：求(5－2x＋8x2)－(－3x＋4－x2)＝？誤算成以下為多項式的乘除之錯誤類型，說明如下：表 2-2-3 多項式與其加減之錯誤類型編號錯誤類型 B01 指數律使用錯誤 B02 係數與指數的混淆計算錯誤 B03 遺漏次方數 B04 計算錯誤 B05 乘法公式的誤用 B06 使用分配律時展開不完全或遺漏項 B07 誤併不同類項 B08 移項忘記變號 B09 做多項式直式或分離係數乘法時，將同類項的係數相減 B10 缺項沒有補零 B11 遺漏餘數計算 B12 未遵守四則運算規則（括號優先運算、先乘除後加減） B13 做多項式直式或分離係數除法時，將同類項的係數相加 B14 分離係數計算後填入錯誤的文字符號 B15 幾何面積公式錯誤 B16 被除數與除數混淆 B17 多項式運算變號錯誤本研究所歸納之多項式的乘除之錯誤類型與表2-2-2 多項式與其加減有相同的錯誤類型，例如:B04(計算錯誤)、B07(誤併不同類項)、B08(移項忘記變號)，

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在此不加以贅述，僅將不同之錯誤類型舉例說明: 1.指數律使用錯誤。說明：誤認指數相乘為次方數相乘，指數相除為次方數相除或誤認結果一定放在分母。例：將(－5x2)．3x 誤算成為－15x2。求 x2÷ 5 1 x 誤算成為 x 5 。 2.係數與指數的混淆計算錯誤。說明：係數採用指數加法模式。係數和指數加乘運算的混淆。例：將(3y)2誤算成6y2。誤認6x2等於12x。 3.遺漏次方數。說明：運算過程中，某項些只有處理係數，未處理文字的次方。例：誤將(3－4x)(6x2－2x)展開為 18x2－6x－24x3＋8x。 4.乘法公式的誤用。說明：誤記乘法公式，或將公式與公式混淆。

例：將(6a－9b)2誤算成36a2－81b2。將(a－6b)2誤算成 a2－12ab－36b2。 5.使用分配律時展開不完全或遺漏項。說明：用分配律將多項式的乘法展開時，分配不完全而遺漏某項。例：誤將(3x2－x)(7－2x)展開成 21x2－7x＋2x2。 6.做多項式直式或分離係數乘法時，將同類項的係數相減。例：求(5x＋6)(－2x＋2)＝？誤算成 5x＋ 6 2x＋ 2 ×) 10x＋12 －10x2－12x －10x2＋22x＋12 7.缺項沒有補零。說明：利用直式及分離係數法計算多項式的乘、除法時，缺項沒有補零，以致誤併不同類項。例：求(8x2＋3)(－x－5)用直式展開的結果？誤算成

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8x2_{＋ 3} － x － 5 ×) －40x2_－15 －8x3_{－ 3x} －8x3－43x －15 例：利用分離係數法求(16x3－4x2－3x)÷(－8x2－2x)的商式與餘式？ 16－4－3

)

－8－2 16＋4 －8－3 －8－2 －1 －2＋1 誤算成:商式為－2x＋1，餘式為－1。 8.遺漏餘數計算。說明：對於「被除式＝除式×商＋餘數」在運算過程中遺漏餘數。 例：多項式 B 除以 2x＋5，得到商式為－5x＋7，餘式為 8，多項式 B 為何？誤算成(2x＋5)(－5x＋7)，回答答案為－10x2－11x＋35。 例：多項式 x3＋x＋17 除以 A 得到的商式為－x－2，餘式為 9＋x，求 A＝？直接算成(x3＋x＋17)÷(－x－2)，回答答案為－x2＋2x－5。 9.未遵守四則運算規則（括號優先運算、先乘除後加減）。說明：運算過程中忽略括號優先運算、先乘除後加減等原則。 例：設 A＝x－7，B＝－3x－6，C＝x＋4，求 A－B×C＝？ 誤算成[(x－7)－(－3x－6)](x＋4)為(4x－1)(x＋4)。 10.做多項式直式或分離係數除法時，將同類項的係數相加。例：利用分離係數法求(20x2－25)÷(－5x＋5)的商式與餘式？誤算成 20＋ 0－25

)

－5＋5 20－20 －20－25 －20＋20 －45 － 4＋ 4

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11.分離係數計算後填入錯誤的文字符號。說明：利用分離係數計算多項式的四則運算後，無法回答出係數、文字符號及次方數的對應關係。例：求(7x－3)(－x－6)用分離係數法展開的過程與結果?誤認為 12.幾何面積公式錯誤。說明：記錯或遺漏三角形、梯形面積公式。例：有一梯形上底為2x＋2，下底為 3x＋2，面積為 35x2＋18x－8，求梯形的高為多少？將高誤算成(35x2＋18x－8)÷[(2x＋2)＋(3x＋ 2)]，回答答案為(7x－2)。 13.被除數與除數混淆。說明：分不清楚「除」、「除以」的不同。例：求2x3－2 除 2x3－8x＋6 的商式與餘式？誤算成 2x3－2 除以 2x3 －8x＋6。 14.多項式運算變號錯誤。說明：計算多項式的四則運算時，展開過程正負符號變號錯誤。例：求展開(－2x2－x)( 5－6x)的結果？誤算成－10x2＋12x3－5x－ 6x2，回答答案為12x3－16x2－5x。