多項式與其加減乘除教材

由數和文字x 進行加法和乘法運算所構成的式子，我們稱為 x 的多項式。（國 立編譯館，2001）但如果文字符號是代表有些數字時，則稱之為代數（謝宜玲，

2003）。多項式是引領國二學生進入數學新領域-代數的重要開端，Fujji(2003)表 示運用潛在的代數本質的方法是在早期算術經驗和未知數概念之間建立起堅固 的橋樑，所以多項式的運算實為代數運算的基礎，是對數學抽象化與形式化的一 個重要步驟，對於數學的推論、演繹、歸納以及其他科學的研究都有莫大的助意

（郭汾派，1991）。若能使學生了解多項式本身的定義與熟練代數運算，對未來 在學習因式分解、解方程式等課程是重要的關鍵。

Kieran(1992)從歷史的發展去作代數的研究，把代數發展歸納成三個階段：

1、修辭階段(rhetorical algebra stage)：代數學的發展初期，時間約為西元兩百五 十年前，人們使用文字敘述問題與解決問題，還未使用符號或特定的訊號去 代表未知數，其目的為解決日常生活所發生的問題。

2、縮寫階段(syncopated algebra stage)：文字符號的發展進入了另一個階段，在 3 到16 世紀間，此階段仍是用文字敘述演算的過程，主要是在探討文字符號的 相同處(identity)，對於重複出現的事物，運用文字字首來相對應，而非去說

明其一般性(general)。

3、符號化階段(symbolized algebra stage)：義大利數學家韋達(Francois Vieta，

1540-1630)創立了符號法，使用文字符號代表已知及未知的量。代數成為能 提供原則去處理數字關係的工具，人們有系統且有意識的使用符號從此展開。

由以上的探討，學生學習代數概念的發展情形與上述三個代數發展時期有相 對應的情形Harper(1987)。文字符號系統歷經長時間歷史的演變，其中蘊含了很 多抽象化的形式概念，諸多的學者都對多項式提出他們的看法，呂溪木（1983）

將多項式的定義為：設”x”為一個記號，{S;+,⋅}為具有乘法元素的交換環；

0 ), (

; ,...,

0 a ∈S n∈I n≥

a _n 整數系 ，則以下這個形式a₀x⁰+a₁x¹+...+a_nxⁿ稱為佈 於 S 以”x”為記號的多項式，而組成此單項式的係數稱為此多項式的係數。王恩 平、王朝珠（1992）對於多項式的定義為：令 F為一數域，它可能是實數域R， 也可能是複數域C，a 為_i F中的元記做a_i∈ F,i=0,1,...,n，s 為文字，那麼我們 稱 f(s)=a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+...+a₁x¹+a₀為域 F上的關於文字 s 的多項式。如果

R

a_i∈ ，則稱 f(s)為實係數多項式，如果a_i∈C，則稱 f(s)為複係數多項式。

對剛接觸符號系統的國中生而言，如何從這些定義去學習、理解文字符號與 與文字符號間的加、減運算，並不是一件容易的事，學生在學習過程中，常會遭 遇到許多困難，因此，了解學生如何學習多項式及其加減運算，將可作為教師進 行教學與教材設計之重要基礎。

二、多項式與其加減之學習

在郭汾派、林光賢和林福來（1989）的相關研究第四個層次，學生在符號代 數期前對符號的認知及運用受到很大的限制，比如無法將文字符號當成一般數。

Miles(1992)指出對某些兒童而言，掌握數學概念的結構關係，並不困難，難的是 符號表徵的學習。Lee 和 Wheeler(1989)也在教學上實證發現，學生在解決問題

時，「代數」跟「算術」的想法是分離的。Kuchemann(1981)認為學生對文字符號 是否能有意義的了解是影響學生的代數學習非常重要的因素。

Collis(1975)從學生的觀點，將文字符號的概念詮釋分為以下六種（引自王乃 聖，2004）:

1、文字符號視為可計算的值(letter evaluated):學生給予未知數一個特定值，利用 特定值作運算，而避免利用未知數作運算。例如問學生6+x=10，x 值為多少?

因學生知道6+4=10，而回答出 x=4。

2、文字符號視為可忽略的(letter ignored):學生會將文字符號忽略不用，不賦予任 何意義，只利用數字去做運算。例如當x+y=9，則 x+y－2 為何，學生觀察此 前後兩式，可知道答案為9－2＝7。

3、文字符號視為一個物體(letter used as an object):學生會將文字符號視為某個物 體而非數字。例如當5x 代表 5 個蘋果。

4、文字符號視為特定的未知數(letter used as a specific unknown):學生會將文字符 號視為一個特定但未知的數字來進行運算。例如一n 多邊形每邊長為 8 公分，

求周長為何?學生可回答出為 8n 公分。

5、文字符號視為泛用的數字(letter as generalized number):學生會將文字符號視為 一般數，也就是說其未知數的值可代表一組數字。例如x＋y＝6，且 x＜y，x 為小於3 的任何正整數，因此可推求得 x 值為 1、2。

6、文字符號視為變動數(letter as variable):學生會將文字符號視為一個變數，非特 定值的而是變動的，視其在式子關係式中決定。例如n 為正整數，比較 n 和 2n 的大小，學生可回答出 2n＞n。

Kuchemann 學生學習代數六個階段與國內學者陳盈言（2000）的研究相乎 應，他發現約有32%的國二學生尚未開始真正使用文字符號，20%的學生將文字 符號當做特定的未知數，33%的學生將文字符號當作一般數，只有 15%的學生能 察覺文字符號之間的高階關係。綜合上述，我們可以知道，須先將文字符號視為 可運算的數值，接著由數值的運算過度到一般數的概念，再由一般數的概念階段

提升至將符號視為變數階段，才能讓學生真正瞭解未知數的意義。

大多數人獲得新數學概念的第一步為運算性的概念，而從過程的概念到物件 的概念之過度既漫長且困難，但此二概念充分建立後，都在數學學習的活動中起 著重要的作用(Kieran,1992)。Warren(2002)認為初等代數在剛開始教學時並不是 來介紹正式的代數，而是將學生由算術的理解連結到代數的理解。Thorndike(1922) 在其「算術心理學」（The Psychology of Arithmetic）一書中，認為數學能力不應 只定義為數字意義的理解，也不是語言教學的內容，而是算術教學的一部份，在 生活中解決數量問題的能力和解決教科書中問題的能力是無法區分的（引自 Krutetskii,1976）。Sfard(1991)更提出由運算性概念到結構化概念理解有三個階段。

第一階段為內部化(interiorization):學生透過運算的熟練，目的為得到新概 念。

第二階段為濃縮化(condensation):經結構化與符號化後，使解析歷程較簡 易，而易於處理。

第三階段為具體化(reification):學生形成自我概念，建構出新的觀點來檢視 熟悉的事物。

透過這每一階段的反覆演練，學生才能確實掌握住算術與代數兩系統的結構 本質。

綜合上述，本研究將以這三階段做為「多項式與其加減」教學的參考依據，

並以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對八年級「多項式與 其加減」單元能力指標（8-a-03 能認識多項式及相關名詞、8-a-04 能熟練多項 式的加法和減法），教材內容架構包括了多項式的定義、同類項合併、多項式的 加法及多項式的減法等活動。讓學生以直觀的基礎，使其接觸算術時，就應該讓 他們將自然的、直觀的推理與形式化的計算做好連結(Vergnaud,1997)，這樣一 來，演算的能力強化了學生的概念理解，以達到穩固學生代數的概念。此部分研 究結果也將作為本研究之資訊融入數學合作學習教學多媒體設計依據。

三、多項式的乘除概念

Gilbert & Leitz(1982)的研究指出，學生在數學溝通過程中時常出現不同的重 要觀點，以致影響其解題策略，得到不同的結果。Mayer(1982)認為：解題者自 身的認知特性與問題的特徵，是必定會影響其所使用的解題策略。學者楊弢亮

（1992）也指出數學概念的教學過程就是要使學生認識概念的來源及意義，理解 概念的性質及相互關係，會運用概念解決問題的過程。因此，學生在多項式的乘 除學習歷程中，操弄文字符號，思考數學物件間的結構關係，他們的思考方式影 響其學習，也就是說學生對於多項式乘除法學習的難易，源於他們使否能自行建 構出符號的意義。Resnick,etal(1987)指出代數的意義有三種不同的來源（引自張 勝和，1995）:

（一）代數的意義是包含在這個形式系統中，即

1.表示式(Expressions)有意義：如果它在正式定義的系統中有良好的形 式。

2.轉換規則(Transformation rules)有意義：如果能應用最初的表示式推得 良好形式的表示式。

例如：利用乘法公式展開多項式(a＋b) (c＋d) (a＋b) (c＋d) 利用分配律

＝a(c＋d)＋b(c＋d) 利用分配律 ＝ac＋ad＋bc＋bd

（二）代數的意義來源是從數字和運算的世界到一般化，即 1.代數表示式：可看成是滿足數字和運算相關狀態的一般化。

2.可容許的轉換規則：方程式經過規則轉換後，多次代入數字的表示是 仍能夠滿足方程式。（從心理上說服證實代數規則和表示式的正當性）

例如：說明(a＋b)^２＝a^２＋2ab＋b^２ 將用a＝2，b＝3代入，則

(a＋b)^２＝（2＋3）^２＝5^２＝25

a^２＋2ab＋b^２＝2^２＋2 2 3‧ ‧ ＋3^２＝25 則(a＋b)^２＝a^２＋2ab＋b^２

（三）代數的意義來源是包含數量和其相關的情境，即 1.代數表示式：情境可以表成相關數量的合適數學形式。

2.轉換規則：利用情境解釋和驗證代數轉換規則。［思考情境而列出的 方程式提供指示性的意義(referential meaning)］

例如：展開(x－2)(x－1)＝?

從圖 2-2-1 可知，(x－2)(x－1)代表的是斜線部份面積，將總面積 x²，扣 掉兩個（x－1）、一個（x－2），還有兩個 1 單位的正方形，即為斜線 面積，所以(x－2)(x－1)＝x²－2(x－1)－(x－2)－2＝x²－3x＋2。

1 1 x-2

1 x-1

圖 2-2-1 展開(x－1)(x－2)的幾何圖示

學生從多項式的加減之基本的代數入門，透過了解多項式的定義，熟練地計 算同類項合併後，在這些基礎下，接著要進入進階的多項式的乘除法，如何透過 表示式、轉化原則，讓學生的認知發展從具體運思階段提升至更高層次的形式運 思階段是重要的關鍵。黃敏晃（1998）認為學生在做加減運算時像是在做一些對 他們毫無意義的運做。老師教他們碰到這些題目時這樣做，他們記起來就照做，

記不起來就拿另一套規則亂湊上去，目的只在向老師交差了事。爲避免學生只是 操弄與計算多項式的乘除法，對文字符號毫無感覺，期學生能真正了解代數的概 念。教學者應透過符號圖形化引出數學運算，或是來回反覆將形式數學運算與符 號意義聯結，才能使學生產生正確且深層的代數概念。Skemp(1979)指出，在概

念的形成過程中，符號扮演著基本角色，而具有許多功用，其中包括：溝通、記

念的形成過程中，符號扮演著基本角色，而具有許多功用，其中包括：溝通、記