第二章 文獻探討
第二節 多項式與其加減乘除之錯誤類型
的，也可能來自學生對於教師機械式教學的一知半解（呂溪木，1983）。Gable, Enright, & Hendrickson(1991)建議將數學錯誤分析和教學或評量結合，以作為教 師改進教學的有力依據。對教師而言，瞭解學生產生這些困難及錯誤概念的原因 process model
for high school algebra.
學生使用不恰當的外推法，學生會將適用於某種情境 的規則，將之不當的運用在不同的情境，結果造成錯 誤。
例如：學生會將乘法對加法的分配律 A×(B＋C)＝A×B＋A×C，類推至乘法上 A×（B×C）＝A×B＋A×C。
例如：在指數律上將（A×B）2＝A2×B2 類推至
（A＋B）2＝A2＋B2。
Benander
&
Clement
（1985）
Catalogue of Error Patterns
Observed In Course on
Basic Mathematics.
算數方面的錯誤有除法符號次序的錯誤、運算次
Resnick
（1989）
Conceptual bases of arithmetic errors：The
case of decimal fractions.
1.學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情 號拿掉；A-(B+C)=A-B+C。
郭汾派
1的影響，所以4＋3n＝7n。
2.係數文字分別處理。
例如：4乘以n＋5＝20n或24n，2a＋5b＝7ab或 7＋ab 或7（a＋b）或7＋a＋b。
3.不同類項擺在一起。
例如：h＋h＋h＋h＋t＝4ht。
4.不曾使用括號。
學生答案是(n＋5)＋(n＋4)或n＋1＋4或2n＋5。
9.重新設定未知數。
例如：習慣以x, y, z表示未知數，換成a,b,c或其它 的學生會回答為1,2,3,4或0,1,2,3,4。
張勝和
例如：x＋x＝2＋x；x．x＝2x。
戴文賓
例如：3X＋20＋4＋5X＋3＝8X＋4＋3。
(2)不接受含有加號的式子當作答案。
陳盈言
例如：2a＋5b＋a＝3a5b。
(4)係數與文字符號分開處理。
例如：2a＋5b＋a＝8ab。
2.未有符號代表未知數的概念。
10.乘法結果恆大於加法結果的迷思，如2n＞n＋2。
11.未有單元化的概念，學生無法將不同的文字符號組
公因數約分且領導係數要保持正數。
4.學生將文字符號直接做運算或數字相加後，剩餘的
分析研究 例如：將題目乘法誤算成加法。
逆運算的題目，對於移項的對象會發生錯亂的情 況；有時不管題目的性質，認為移項就一定得變號 且忽略要將整個式子括號。
7.多項式除法逆運算則經常只考慮到商式和除式，因 而忽略了餘式的存在。
本研究以上述常見之錯誤類型為依據，結合研究者之教學經驗，並諮詢專家 學者之意見，整理並定義出本研究之錯誤類型，表2-2-2 為多項式與其加減之錯 誤類型，表2-2-3 為多項式的乘除之錯誤類型，說明如下：
表 2-2-2 多項式與其加減之錯誤類型
編號 錯誤類型
B01 不了解多項式的定義
B02 無法判讀多項式的次方、項與係數 B03 無法分辨多項式與方程式
B04 正負數混合加減計算錯誤 B05 移項時忘記變號
B06 遺漏項的錯誤
B07 多項式升冪、降冪的混淆 B08 不清楚升冪、降冪的定義 B09 誤併不同類項
B10 不清楚題意
B11 去括號時變號錯誤或遺漏負號 B12 分配律的分配不全
B13 缺項沒有補零
B14 直式及分離係數運算時不同類項對應錯誤而誤併(誤併不同類項)
茲將本研究所歸納之多項式與其加減之錯誤類型舉例說明如下：
1.不了解多項式的定義。
說明：誤認根號x、x 的絕對值及 x 分之一才是多項式。
例：誤認 x2＋8x＋ x 、∣x∣＋6 及 4＋
x
2皆為多項式。
2.無法判讀多項式的次方、項與係數。
說明：憑直覺隨意判讀多項式的次方，且認為各項係數恆正。
例：誤認－5x2＋6x3－4x＋6 為二次多項式，一次項係數為 4。
3.無法分辨多項式與方程式。
說明：認為只要是文字符號與數字加減乘組合而成都是多項式。
例：誤認－5x3－8x＋6＝0 為多項式。
4.正負數混合加減計算錯誤。
說明：不清楚正負數混合的四則運算規則，而導致計算錯誤。
例：－7x2＋5x2，誤算成2x2。－18x－8x，誤算成－10x。
5.移項時忘記變號。
說明：移項求未知數時忘記變號，而導致錯誤。
例：－c＋1＝5，誤算 c 為 4。m－3＝0，誤算 m 為－3。
例：若 B－(－x2－2x＋7)＝x2－6x＋14，將 B 誤算為(x2－6x＋14)－(－
x2－2x＋7)等於 2x2－4x＋7。
6.遺漏項的錯誤。
說明：同類項合併過程中遺漏某項。
例：將(x2＋4x＋1)＋(x2－4x＋1)誤算成 x2＋2 或 2x2＋1。
7.多項式升冪、降冪的混淆。
說明：將升冪誤認為降冪，降冪誤認為升冪。
例：試問多項式4x2＋x3＋8x－6 按升冪排列的結果為何？回答答案為 x3＋4x2＋8x－6。
8.不清楚升冪、降冪的定義。
說明：認為多項式升冪排列即為各項係數由小排至大，降冪排列即為 各項係數由大排至小或憑直覺亂排列。
例：試問多項式6x3－10x4－13＋8x 按降冪排列的結果為何？回答答 案為8x＋6x3－10x4－13 或 6x3－13＋8x－10x4。
9.誤併不同類項
說明：同類項合併過程中將不同類項合併在一起。
例：求(－4x3－2x2－x－3)＋(－x3－8x＋6)＝？將－2x2與－8x 合併成
－10x2，回答答案為－5x3－10x2－x＋3。
10.不清楚題意。
說明：無法理解題意，認為題目若出現「＋」就把看到的多項式相加，
出現「－」就把看到的多項式相減即為答案。
例：「兩多項式 A、B，若 B 為 7x2－x＋4，試求 A－B」，粗心的皮卡 將「A－B」看成「A＋B」，算出答案「2x2－x＋5」，請問正確答 案為多少？因題目曾出現「＋」，所以將7x2－x＋4 與 2x2－x＋5 相加，回答答案為9x2－2x＋9。
11.去括號時變號錯誤或遺漏負號。
說明：數個多項式相加減，去括號時沒有變號或變號錯誤。
例：將(10－5x2－x)－(－2x2－7x＋2)去括號，誤算成 10－5x2－x－2x2
－7x－2，回答答案為－7x2－8x＋8。
12.分配律的分配不全。
說明：展開各項過程中，有些項有用分配律展開，有些項沒有。
例：展開4(3x2＋3x－5－2x)時，誤算成 12x2＋12x－5－2x。
13.缺項沒有補零。
說明：利用直式及分離係數法計算多項式的加、減法時，缺項沒有補 零，以致誤併不同類項。
例：求(6x3＋3x＋5)＋(2x2－4x－7)＝？誤算成
14.直式及分離係數運算時不同類項對應錯誤而誤併(誤併不同類項)。
說明：利用直式及分離係數法計算多項式的加、減法時，未將同類項 對齊，以致誤併不同類項。
例：求(5－2x＋8x2)－(－3x＋4－x2)＝？誤算成
以下為多項式的乘除之錯誤類型，說明如下：
表 2-2-3 多項式與其加減之錯誤類型
編號 錯誤類型
B01 指數律使用錯誤
B02 係數與指數的混淆計算錯誤 B03 遺漏次方數
B04 計算錯誤
B05 乘法公式的誤用
B06 使用分配律時展開不完全或遺漏項 B07 誤併不同類項
B08 移項忘記變號
B09 做多項式直式或分離係數乘法時，將同類項的係數相減 B10 缺項沒有補零
B11 遺漏餘數計算
B12 未遵守四則運算規則（括號優先運算、先乘除後加減）
B13 做多項式直式或分離係數除法時，將同類項的係數相加 B14 分離係數計算後填入錯誤的文字符號
B15 幾何面積公式錯誤 B16 被除數與除數混淆 B17 多項式運算變號錯誤
本研究所歸納之多項式的乘除之錯誤類型與表2-2-2 多項式與其加減有相同 的錯誤類型，例如:B04(計算錯誤)、B07(誤併不同類項)、B08(移項忘記變號)，
在此不加以贅述，僅將不同之錯誤類型舉例說明:
例：求(5x＋6)(－2x＋2)＝？誤算成 5x＋ 6
2x＋ 2
×)
10x＋12
－10x2－12x
－10x2＋22x＋12 7.缺項沒有補零。
說明：利用直式及分離係數法計算多項式的乘、除法時，缺項沒有補 零，以致誤併不同類項。
例：求(8x2＋3)(－x－5)用直式展開的結果？誤算成
為何？誤算成(2x＋5)(－5x＋7)，回答答案為－10x2－11x＋35。
例：多項式 x3＋x＋17 除以 A 得到的商式為－x－2，餘式為 9＋x，求 A＝？直接算成(x3＋x＋17)÷(－x－2)，回答答案為－x2＋2x－5。
9.未遵守四則運算規則（括號優先運算、先乘除後加減）。
說明：運算過程中忽略括號優先運算、先乘除後加減等原則。
例：設 A＝x－7，B＝－3x－6，C＝x＋4，求 A－B×C＝？
誤算成[(x－7)－(－3x－6)](x＋4)為(4x－1)(x＋4)。
10.做多項式直式或分離係數除法時，將同類項的係數相加。
11.分離係數計算後填入錯誤的文字符號。
說明：利用分離係數計算多項式的四則運算後，無法回答出係數、文 字符號及次方數的對應關係。
例：求(7x－3)(－x－6)用分離係數法展開的過程與結果?誤認為
12.幾何面積公式錯誤。
說明：記錯或遺漏三角形、梯形面積公式。
例：有一梯形上底為2x＋2，下底為 3x＋2，面積為 35x2＋18x－8，求 梯形的高為多少？將高誤算成(35x2＋18x－8)÷[(2x＋2)＋(3x＋
2)]，回答答案為(7x－2)。
13.被除數與除數混淆。
說明：分不清楚「除」、「除以」的不同。
例：求2x3－2 除 2x3－8x＋6 的商式與餘式？誤算成 2x3－2 除以 2x3
－8x＋6。
14.多項式運算變號錯誤。
說明：計算多項式的四則運算時，展開過程正負符號變號錯誤。
例：求展開(－2x2－x)( 5－6x)的結果？誤算成－10x2＋12x3－5x－
6x2，回答答案為12x3－16x2－5x。