國小學生 PISA 素養與能力之研究

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：曾建銘博士李政軒博士. 國小學生 PISA 素養與能力之研究. 研究生：曾招文撰. 中. 華. 民國一. O 四. 年. 七. 月.

(2) 謝辭韶光荏苒，轉瞬間，研究所的進修日子也即將結束，心中百感交集，有種苦盡甘來的喜悅與不捨，感謝校園裡的點點滴滴。本研究參與國科會補助專題研究計畫(小六數學能力與素養評量相關研究之分析，計畫編號： MOST 103-2511-S-656 -002 -)得以順利的完成，首先感謝指導教授曾建銘博士和李政軒博士，在這段期間不厭其煩，循循善誘教導，您的態度溫和且平易近人，像黑暗中的一盞明燈般，讓我在您積極專業的引領下，不論遭遇任何困難與挫折，也不輕言放棄學術研究。過程中，登民和革為學長、玉環學姐、淑娜、正義及學校老師們的幫忙，讓研究順利進行。承蒙口試委員吳慧珉教授、曾建銘博士和李政軒博士的指教與建議，讓論文更臻完善，由衷感激。接著感謝兩年來任教的教授兼導師：郭伯臣博士和李政軒博士，教導論文所需的理論與軟體試題分析能力，以及指引研究所就讀中的相關方向，讓我從懵懵懂懂中漸漸豁然開朗，老師衷心謝謝您！其次感謝任教教授：許天維、曾建銘、陳桂霞、蘇啟明和王瑄博等博士，您們指導的課程為論文研究扎下牢牢的根基，有時也給予人生哲理的智慧，由衷感謝，還有本所的助理敏嫻小姐隨時提供所上的相關資訊，致上十二萬分的謝意。再其次感謝同窗兩年的同學們，最佳的學習夥伴，在碩士班進修過程中彼此的加油打氣，同儕間互相學習精進，互搭鷹架相互解惑，彼此鼓勵不能退縮，一起扶持，一起畢業，謝謝您們！最後感謝家人，先生的體貼與支持，讓我能兼顧課業、工作與家庭；以及兩位獨立自主的兒女，當我有些勞累發牢騷時，提醒我「活到老，學到老。」，您們是我最堅強的堡壘，謝謝溫暖的家。曾招文謹誌中華民國一 O 四年七月.

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(4) 摘要本研究設計一份適合國小六年級測試的試題，部分試題（約 36％）從 PISA 試題樣本中選取適合國小高年級學生的試題。另一部分（約 64％）則根據九年一貫能力指標配合 PISA 的四個領域內容，以 TASA 試題研發理念進行命題。以了解國小六年級學生數學素養與能力之表現與相關，並利用 CTT 和 IRT 進行試題量的分析與試題內容質的分析，以了解學生在不同領域、能力的成就狀況與錯誤類型分析，提供數學教育學者、教師及行政人員參考。本研究採立意抽樣，利用紙筆測驗，其中 PISA 測驗共 14 題，自編教材測驗 A、B 卷各 12 題，包含北中南離島共 27 校 54 班，有效樣本 1258 人，彙整學生的作答資料，分析測驗的信度及試題的難度、鑑別度，再以多元計分進行學生能力. 值、試題估計與選項分析。本研究的結果發現：一、整體試題和 PISA 試題的能力估計在區域部分，北部顯著高於南部，其餘則沒有差異；另外學童在能力測驗試題上，四個區域皆沒有差異。性別在整體、PISA 或能力測驗的表現並無差異。二、各區域、男女與卷別之能力與素養之相關值：區域中以中部最高為.61，而以南部最低為.54；男女相關值分別為.62 與.54，以男生相關值較高；A、B 兩卷之相關值分別為.59 與.57，以 A 卷相關值較高。三、整體、男女、區域國小六年級受試學生在不同內容領域之能力表現，結果發現在空間與形狀部分北部顯著大於南部，而在改變與關係則是北部顯著大於離島，其餘領域內容與區域則沒有顯著差異；男女在四個內容領域的表現並無差異。四、學生在能力與素養測驗之錯誤類型比較：相同點在空間與形狀的幾何圖形組成要素、位置觀念有混淆；解題中出現單位換算或是乘除中出現小數時造成認知負荷；應用「比和比值」解決問題時，利用比率解決由總量求部分量概念不足。. I.

(5) 本研究測驗的結果，PISA+A 之 Cronbach 為 0.82； PISA+B 之 Cronbach 為 0.76 顯示兩分測驗皆有不錯之信度。. 關鍵詞： PISA、數學素養、數學能力、國小六年級. II.

(6) Abstract The study designs a math test that is appropriate for the sixth grade students to take. Some questions (about 36%) are selected from the PISA sample questions which are suitable to test the elementary school high grade students. Another portion (approximately 64%), according to the nine-year competence index and the four areas of PISA, are formulated by the research concepts of TASA, in order to understand the performance and relevance of the sixth grade students’ math literacy and ability. The study uses CTT and IRT to proceed with the quantitative and qualitative analysis of the test, in order to understand the students in different areas, the achievement of ability and the analysis of wrong types, and to provide reference for the math scholars, teachers, and administrative staff. The study adopts purposive sampling and uses paper and pencil test. The test consists of fourteen questions of PISA and self-made test, A and B versions, each with twelve questions. The samples contain 54 classes in 27 schools, which come from the northern, central, and southern Taiwan and off-shore island. The effective samples are 1258 students. After collecting the answer data and analyzing the reliability, difficulty, and identification of the test, the study makes use of polytomous score estimation to proceed with students’ ability, test calculation, and option analysis. The results of this study are following: First, in view of the regions about the ability estimation of the overall test and the PISA test, the score in the north is significantly higher than the south, however there is no difference in other regions. In addition, in regard to the students’ ability of the test, there is no difference in the four regions. There is no difference in gender about the overall, PISA, or ability tests.. III.

(7) Second, the correlation between the ability and the literacy of each region, boys, girls, and different tests: Among different regions, the central region comes to the maximum of .61, while the southern region comes to the minimum of .54. The correlations between boys and girls are .62 and .54. The boys have higher correlation. The correlations between test A and test B are .59 and .57. The test A has higher correlation. Third, the sixth grade students, as a whole, no matter boys, girls, or different regions, their performance of the ability in different areas: The northern region is significantly higher than the southern region on space and shape. The northern region is obviously higher than the off-shore island on change and relationship. About other areas, there is no clear difference in these regions. There is no difference between the boys’ and girls’ performance in the four areas. Fourth, the comparison of the wrong types of the student’s ability and literacy: students are confused about the constituents and positions of geometry in the same point on space and shape. In the process of problem-solving, the students have insufficient cognition about the unit calculation and the decimal figures in multiplication and division. When the students apply “ratio and specific value” to solve problems, they have inadequate concepts about how to use the ratio from the total quantity to calculate the part quantity. The results of this study reliability are that the Cronbach of PISA+A is 0.82 while the Cronbach of PISA+B is 0.76, which show that the two tests have good reliability.. Key words: PISA, math literacy, math ability, sixth grade. IV.

(8) 目錄摘要…………………………………………………………………………………..Ⅰ Abstract……………………………………………………………………………….Ⅲ 目錄…………………………………………………………………………………...Ⅴ 表目錄………………………………………………………………………………...Ⅶ 圖目錄………………………………………………………………………………...Ⅸ 第一章緒論………………………………………………………………………….1 第一節研究動機……………………………………………………………….1 第二節研究目的……………………………………………………………….3 第三節名詞解釋……………………………………………………………….4 第四節研究範圍與限制……………………………………………………….4 第二章文獻探討…………………………………………………………………….7 第一節試題與測驗分析…………………………………………….…………7 第二節 PISA 數學素養評量之介紹………………………………..…………11 第三節九年一貫數學課程與 PISA 的關係………………………..………...18 第四節 PISA 試題範例與說明……………………………………………......20 第三章研究方法與步驟…………………………………………………………...25 第一節研究對象……………………………………………………………...25 第二節研究設計……………………………………………………………...25 第三節研究流程……………………………………………………………...34 第四節研究工具……………………………………………………………...35 第五節資料處理與分析……………………………………………………...43 第四章研究結果……………………………………………………………...……45 第一節試題分析……………….……………………………………………..45 第二節測驗試題比較分析………………….…………………………..……46 第三節 PISA 數學素養與能力之差異分析…….……………………………53 第五章結論與建議………………………………………………………………...79 第一節研究結論……………………………………………………………...79 第二節研究建議……………………………………………………………...80. V.

(9) 參考文獻……………………………………………………………………………...83 中文部分………………………………………………………………………...83 英文部分………………………………………………………………………...85 附錄…………………………………………………………………………………...87 附錄一 PISA 數學素養試卷.………..…….……………………..…………...87 附錄二 A 卷數學能力試卷……………...…..…….…………………....……..98 附錄三 B 卷數學能力試卷……..…………………………………….....…..101. VI.

(10) 表目錄表 2-1-1 表 2-2-1 表 2-2-2 表 2-2-3 表 3-2-1 表 3-2-2 表 3-2-3. 鑑別度評鑑標準表……………………………………………………......9 PISA 2012 數學素養評量各情境脈絡的比例……………………..…..12 PISA 2012 數學素養評量各內容領域的比例…………………………14 PISA 2012 數學素養評量各歷程的比例………….…………..…….…15 PISA 試題內容與數學歷程相對應表……….……………………..…...26 PISA 數學歷程-形成數學情境與各版本單元內容之對應………….…27 PISA 數學歷程-應用數學概念、事實、程序與推理與各版本單元內容之對應……………………………………………………………….......27 表 3-2-4 PISA 數學歷程-詮釋、應用與評估數學結果與各版本單元內容之對應……………………………………………………………………..….28 表 3-2-5 仿 PISA 試題內容與數學歷程表的相對應表……………….…………29 表 3-2-6 PISA 施測試題之評量架構…………………………..……………….…30 表 3-2-7 PISA 試題與九年一貫 103 學年度三個版本的單元對應表….…..……31 表 3-2-8 103 學度度五年級單元參照表………………………………………….32 表 3-2-9 103 學度度六年級單元參照表……………………………………….…33 表 3-2-10 單元內容與自編試題對應表…………………………….……………...34 表 3-4-1 自編 A 和 B 卷數學歷程……….………………………………………...38 表 3-4-2 預試-PISA 選擇題作答反應………………………………..…………...39 表 3-4-3 預試-A 卷選擇題作答反應.….……………………………..…………...40 表 3-4-4 預試-B 卷選擇題作答反應……………………………………………...40 表 3-4-5 多元計分-PISA 預試試題作答反應………..…………………………...41 表 3-4-6 多元計分-nA 預試試題作答反應………………………………..……...42 表 3-4-7 多元計分-nB 預試試題作答反應…………..…………………………...42 表 4-1-1 受試者區域、卷別和性別人數分布表…………………………………45 表 4-2-1 PISA 選擇題作答反應………….……………………………………..…46 表 4-2-2 自編 A 卷選擇題作答反應…….……………………………………...…47 表 4-2-3 自編 B 卷選擇題作答反應………….…………………………...………47 表 4-2-4 PISA 試題參數表………….…………………………………………..…48 表 4-2-5 A 卷試題參數表………….………………………………………………49 表 4-2-6 B 卷試題參數表………….………………………………………………50 表 4-2-7 PISA、A 和 B 之 2 分題試題參數表…………………………….…..…50 表 4-2-8 PISA 選擇題選項分析………….………………………………..………51 表 4-2-9 自編 A 卷選擇題選項分析………….……………………………...……52 表 4-2-10 自編 B 卷選擇題選項分析……….…………………..…………….....…53 表 4-3-1 試題在區域的分數分布………….……………...………………………55. VII.

(11) 表 4-3-2 表 4-3-3 表 4-3-4 表 4-3-5 表 4-3-6 表 4-3-7 表 4-3-8 表 4-3-9 表 4-3-10 表 4-3-11 表 4-3-12 表 4-3-13 表 4-3-14 表 4-3-15 表 4-3-16. 所有試題變異數分析………….………………...………………………55 PISA 試題變異數分析………….………………………………..………55 能力試題變異數分析………….…………………...……………………56 性別的分數分布………….………………………………………...……56 整體受試學生之能力與素養相關………………………………………57 各區域 PISA 與能力相關值………….………………….………………57 區域比較敘述統計………….……………………………………...……59 多變量檢定結果………….………………………………………...……60 多重比較 scheffé 法………….………………..…………………………61 性別與區域內容敘述統計………………………………………………64 多變量檢定………….………………………………...…………………64 PISA 試題作答情形………….………………………………………..…67 A 卷試題作答情形………….……………………………………………69 B 卷試題作答情形………….……………………………………………71 PISA 選擇題選項作答分析…………………………………...…………74. VIII.

(12) 圖目錄圖 2-2-1 圖 3-3-1. 數學建模循環……………………………………………………..………14 研究流程圖………………………………………………………………..34. IX.

(13) X.

(14) 第一章. 緒論. 「數學」被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手，更是理性與自然界對話時最自然的語言，經過文明累積的陶冶與教育，使人類天賦本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力(教育部，2008)。本研究探討國小六年級學生數學能力與數學素養之相關性。本章共分為四節，第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節為名詞解釋，第四節為研究範圍和限制。. 第一節. 研究動機. 希臘三哲之一的柏拉圖(Plato)，在其創建「學苑」(Academy)門上掛著「不懂幾何者請勿入內」的牌子，顯示其對數學的重視。在教學過程中，柏拉圖始終是以發展學生的思維能力為最終目標，反觀後現代主義對教育的影響，重視師生主體在建構知識過程中的積極角色，連續不斷的探索過程，強調統整的課程，主張「跨越邊界」模糊學科界線，教師為轉化型的知識分子，提供學生動態循環與多元的課程，使學生能將所學運用於生活世界，進而解決問題。以往數學學習成就的評量通常著重在檢核學生的數學知識與能力，隨著國際社會競爭與資訊科技的發展，所需能力的變遷與數學教育理念的轉變，各國已開始強調高層次數學能力的發展與學習，例如推理、建模、溝通等能力，對於國民所需要具備的數學素養也成為重要的議題，如國際教育測驗 PISA。 PISA 運用了數學素養的概念來描述學生在數學問題情境中，在提出、形成、以及解決和解釋數學問題時，是否具能有效進行分析、推理以及溝通的能力。若仔細分析 PISA 樣本試題，可以發現若是以九年一貫課程綱要之數學能力指標來對照的話，幾乎有半數以上的題目是國小學生能力所及的；然而，由於 PISA 強調評量數學素養，因此題目的內容呈現方式和解題要求，大多是國小學生所不熟. 1.

(15) 悉的，也就是說幾乎都是非例行性的問題洪雪芬(2011)。相關研究中：洪雪芬(2011)「運用 PISA 評量試題於國小六年級之數學解題初探」，詳細描述國小六年級運用 PISA 評量試題的作法與反思；潘柏如(2013) 「以 PISA 測驗看偏遠地區學生數學素養」，結果顯示偏遠地區學生於大多數題目的表現與一般地區表現無異；曾靖惠(2009)「2008 網路數學競賽國小組答題情形分析之研究」探究各等級學生所展現的數學能力；王炳雄(2008)「2007 年台南市市長盃國民中學數學競賽試題分析之研究」，不同性別參賽學生成績差異分析：結果顯示本次競賽男女生平均成績有明顯差異，男生成績高於女生成績，再以九年一貫數學課程所規畫，數與量、代數及幾何三大主題分類，結果顯示在數與量及代數兩個主題主上，平均成績男生高於女生，在幾何主題上男女生平均成績則無明顯差異；楊淑萍和林煥祥 (2010)「由家庭經濟資源及文化資源探討我國學生在 PISA 科學、數學素養的表現」結果如下：擁有完整經濟資源或文化資源家庭的學生，在 PISA 評量中的科學素養、數學素養、及對學習科學的興趣、參與程度、快樂指數、評鑑價值等，均顯著優於其他的同儕；洪碧霞、蕭嘉偉、林素微(2009)對 PISA 數學素養 90 個試題進行認知成份分析，探討該測驗不同難度層次試題認知成分特徵，同時藉由落後學生試題答對比率的差異，討論 PISA 數學素養內涵分析對落後學生補救教學設計的參考意涵；李佩瑾(2011)「以 PISA 2009 數學評量中能力架構進行國小六年級圓面積測驗編製及分析」，在 HO-IRT 模式中，圓面積能力尤其對反思能力的影響力最大，侯立峰(2011)「雲林縣麥寮鄉國小數學科基礎能力鑑定試題分析」之研究受試者在機率主題通過率較低；在幾何主題體積及比例尺能力及通過力亦偏低；在代數主題上通過率最高。蔡玉環 (2013)「以認知診斷模式為基礎的國小六年級數學建模能力測驗編製之研究」探討不同背景變項對數學建模能力的影響，提供了一些參考，也引發了研究動機。數學的養成是透過數學知識的學習，且學生學習後應能應用於日常生活所需，數學能力佳，思考能力愈強，解決問題能力愈快；換言之，數學素養與數學能力. 2.

(16) 應具有高相關。數學素養應以數學能力為基礎，有好的數學素養理應有好的數學能力，能力與素養之間應是高相關，但究竟相關性為何？多高？目前國內並無此方面之研究。因此，本研究擬設計一份適合國小六年級測試的試題，嘗試部分試題（約 36 ％）從 PISA 試題樣本中選取適合國小高年級學生的試題。另一部分（約 64％）則根據九年一貫能力指標配合 PISA 的四個領域內容，以 TASA 試題研發理念進行命題。在學生方面，透過作答反應研究國內學童在數學素養與數學能力間的相關性；而在教師方面，編製試題上可以擷取 PISA 命題的精神做為日後教學上的參考和省思。. 第二節. 研究目的. 本研究目的了解國小六年級學生數學素養與能力之表現與相關，並利用古典測驗理論(classical test theory，CTT)和試題反應理論(item response theory，IRT) 模式進行試題量的分析與試題內容質的分析，以了解學生在不同領域、能力的精熟狀況與錯誤類型分析，提供數學教育學者、教師及行政人員參考。研究問題如下：一、整體、男女、區域國小六年級受試學生之整體、能力與素養測驗分別表現為何？二、整體、男女、區域國小六年級受試學生之能力與素養測驗表現相關為何？三、整體、男女、區域國小六年級受試學生在不同內容領域之能力的表現為何？四、學生在能力與素養測驗之錯誤類型差異比較。. 3.

(17) 第三節. 名詞解釋. 壹、數學素養 PISA 2012 定義數學素養（ Mathematical Literacy）為「數學素養是在多樣不同脈絡情境中，可以辨識、做及使用數學的一種個人能力，以及藉由描述、建模、解釋和預測現象來辨識數學在真實世界中扮演的角色。數學素養是連續的，因此具有較佳素養的人，較能夠使用數學及工具做出較好且有根據的判斷，此亦為具建設性、投入性及反思能力的公民所需具備的」(OECD, 2012)；換言之，數學素養是應用一般數學技巧與能力，例如問題解決、使用數學語言與將數學模式，應用於生活中。. 貳、數學能力數學能力著重在檢核學生的數學知識，處理數學問題時，知道多少數學，確保學生對數學相關知識的理解與應用能力。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。. 第四節. 研究範圍和限制. 本研究屬於量化研究，在研究過程中，主要研究範圍和限制有以下幾點：. 壹、施測年齡與試題取樣 PISA 施測以十五歲為對象，本研究針對國小六年級學童，所以 PISA 試題取樣必須篩選適合目前國小六年級學生。. 貳、試題題數與施測時間 PISA 試題題數較多，以 PISA 2012 而言，數學有二十四個大主題，其中含有數個小子題，紙筆測驗兩小時，問卷 35 分鐘，包含施測說明與休息共計 210 分鐘。因考慮儘量減少對學校課務的干擾，本研究的 PISA 試題，施測以一節課為 4.

(18) 限，因此只有 14 題，故所估出之素養能力誤差將會大於真正受試 PISA 學生，且所估之素養能力也會有差異。. 5.

(19) 6.

(20) 第二章. 文獻探討. 為說明本研究之重要性及研究進行之需要，將探討以下五個文獻：第一節為試題與測驗分析；第二節為 PISA 數學素養評量之介紹；第三節為九年一貫數學課程與 PISA 的關係；第四節為 PISA 試題範例與說明；第五節為自編教材試題範例說明。. 第一節. 試題與測驗分析. 試題是測驗的最基本單位，有好的試題才有好的測驗，透過試題質與量的分析，評鑑試題的優劣。質的分析是針對試題的內容與形式，從取材的適切性與編製試題的技術等方面加以評鑑；量的分析是根據實測的結果，逐一分析試題的難易度、鑑別度、猜測度與受試者對各誘答選項的反應情形等，以作為修改試題之依據。就測驗的觀點而言，所有的試題均須經過質和量兩方面的分析，據以決定取捨，然後以適當的試題構成一套可靠又有效的測驗，進而發揮其測驗與評量的功能。. 壹、試題內容與形式的分析(質的分析) 係指在編製試題時所作的邏輯分析，應配合測驗的目的與其命題原則，符合雙向細目分析表，編出適當的試題，請學科專家或資深教師，就內容審查、有效命題原則及教學目標等評鑑工作來進行，此為試題在質方面所做的邏輯分析(余民寧，2011)。. 貳、難易度、鑑別度、猜測度的分析(量的分析) 為避免測驗中出現試題過難或鑑別度過低的，試題均須經過預試，並根據施測結果進行測驗統計分析，以確定每個試題有關量的分析數值。. 7.

(21) 一、難易度(古典測驗理論) 編製測驗時，分析試題難度的最主要目的在於選取難度適當的題目，試題的難度是鑑別度的必要條件。難易度有三種計算方式，(簡茂發，1991)、(楊志強， 2004)： (一) P . R  100% N. P 代表試題的難易度 N 代表全體受試者人數 R 為答對該題的人數例如：一個測驗，共有 100 位受試者，其中某一題答對的人數為 60 人，則此題的難易度為 P  (二) P . 60  0.6 。 100. PH  PL 2. 𝑃𝐻 表示高分組(全體受試者中分數最高的 27%)答對該題的百分比 𝑃𝐿 表示低分組(全體受試者中分數最低的 27%)答對該題的百分比例如：一個測驗，高低分組各有 100 位受試者，其中某一題高分組答對的人數為 80 人，低分組答對的人數為 30 人，則此題的難易度為 P. 0.8  0.3  0.55 2. P 值介於 0 與 1 之間，愈大表示愈容易，想反地，愈小表示愈困難。根據 Ebel 與 Frisbie（1991）、余民寧（1997）、郭生玉（1985）、陳英豪與吳裕益（1992）等提出之試題評鑑原則，個別試題的難度指數應介於 0.4 至 0.8 之間，整體試題的難度指數應在 0.5 左右。二、鑑別度是指測驗能區分受試者優劣好壞作用的大小。試題的鑑別度分析可分為內部一致性與外在效度兩方面，試題的鑑別度高低與測驗的信度和效度有密切的關係。. 8.

(22) (一)試題反應與測驗總分的關聯性：若試題為選擇題，考生的作答反應為答對或答錯之二元計分；而對整份測驗而言總分可視為連續變數，兩者之關係可以用點二系列相關係數 𝑟𝑝𝑏 來表示其內部一致性的高低，即該試題之鑑別度。 (二)鑑別度指數 D：計算公式為 D=𝑃𝐻 − 𝑃𝐿 𝑃𝐻 表示高分組(全體受試者中分數最高的 27%)答對該題的百分比 𝑃𝐿 表示低分組(全體受試者中分數最低的 27%)答對該題的百分比. 由鑑別度的定義可知，鑑別度高的試題可以清楚地分辨能力高與能力低者，但鑑別度要多高才算好呢？根據 Noll、Scannell & Craig(1979)的看法，至少要答 0.25 以上，低於 0.25 者即為鑑別度不佳或品質不良之試題。美國測驗學者(Ebel， 1979)曾提出一套鑑別度判斷的標準如表 2-1-1，供試題命題者作為選題的參考。表 2-1-1 鑑別度評鑑標準表鑑別度 0.40 以上 0.30~0.40 0.20~0.30 0.19 以下. 試題評鑑非常優良優良，但需小幅度修改尚可，但需部分修改劣，需要大幅修改或刪除. 三、難度、鑑別度與猜測度(試題反應理論) 在試題反應理論中若以三參數模式為例，模式中有三個參數─a、b、c，分別代表試題的鑑別度、難度與猜測度，鑑別度與難度的值介於-∞與+∞之間，一般而言，鑑別度只取正，值愈大代表鑑別度愈大，難度值則通常介於-3 與+3 之間，同樣地，值愈大代表試題難度愈大；猜測度則介於 0 與 1 之間，值愈大亦代表試題猜測度愈大，通常選項越多猜測度就會較小。. 9.

(23) 參、選項分析選擇題的選項包括正確選項與誘答選項，正確選項必須明確，而誘答選項則必須具有誘答的功能，要知道這些性質是否符合，則需透過選項分析。選項分析可以讓施測者清楚地了解每一道試題的所有選項是否符合命題的原則，選項分析是比較高分組與低分組對正確與誘答選項的選答率，如果分析的結果符合下面兩項原則，則表示該試題的所有選項是合理有效的(郭生玉，1999)：一、正確選項的選答率，高分組必須高於低分組。二、每一個誘答選項均有低分組的受試者選答。三、不正確答案低分組的選答率高於高分組。. 肆、試題分析的功能試題經過質的分析與量的分析，可以分析出每一試題的統計特徵，幫助命題者了解試題的品質，確認為優良試題，則可納入題庫中，作為日後組卷時使用，也可以讓命題者知道試題是否有預期的測量功能、試題的資訊─如難易度、鑑別度、猜測度、試題特徵曲線、試題訊息量及選項是否具誘答力等，而這些試題資訊可以再加上教材內容與教學目標後分類儲存，並提供關鍵字後納入題庫，提供於日後實施測驗時的參考，日後亦可根據調整之雙向細目表，自題庫中選出適切之試題，組成一份測驗，如此可以省下命題時間、人力及物力的花費，提高測驗的信度與效度。這些資訊並可提供作為考生加強其學習盲點的參考、老師作為實施補救教學的依據、課程編製者修改課程內容的參考以增進命題者編製試題的經驗。. 10.

(24) 第二節. PISA 數學素養評量之介紹. PISA (the Programme for International Student Assessment) 稱為「國際學生能力評量計劃」，是「經濟合作暨發展組織」(Organization for Economic Co-operation and Development, OECD) 於 1997 年開始籌劃的一項大型國際性學生能力評量計畫，自 2000 年開始施測，每三年一次，包括三個方面：閱讀素養、數學素養、和科學素養。每次調查以一個領域為主進行深度了解，另二個領域為輔。截至目前為止，PISA 計畫總共完成了五次針對不同主題的世界性大範圍調查: 2000 年（43 個國家／地區參加）、2009 年(65 個國家／地區參加)，以「閱讀素養」為主軸；2003 年(41 個國家／地區參加)、2012 年(67 個國家／地區參加)，以「數學素養」為主軸；和 2006 年(57 個國家／地區參加)，以「科學素養」為主軸。每一個國家約有 4500～ 10000 名學生接受測驗。 PISA 2012 的調查主軸是數學素養，與以往調查一樣，同時包括閱讀及科學兩素養，也兼顧數學學習相關資訊的蒐集，比如學生學習態度、學校、家庭以及社會等背景脈絡。PISA 2012 共有 65 個國家或地區參與，超過 51 萬名學生進行兩小時的紙筆式評量，其中 32 個國家額外參加數位文本閱讀與數位數學素養的評量、 44 個國家參加數位問題解決素養評量。. 壹、目的與特色 PISA 目的是針對 15 歲的學童進行大範圍的跨國評量，以了解學生參與社會所需的關鍵知能。以國際比較方式，提供國家整體教育成效評鑑資訊，作為各國制定教育政策的参考，並反映出該國學童在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。其特色是採取素養而非成就取向，以貼近真實的情境，評量學生重要知能的應用與溝通及是否有能力足以應付未來的世界。. 11.

(25) 貳、試題類型 PISA 試題類型可分為三類，包括選擇式反應試題、封閉式建構反應題及開放式建構反應題，其中封閉式建構反應題主要是要求學生回答較明確的語詞或句子，通常學生只需運用回憶的能力，或至多推測的能力。而開放式建構反應題則要求學生提出自己的觀點以及支持理由和證據，並需依據文本內容或既有知識與經驗提出批判或說明。. 叁、評量模型而PISA用以評量數學素養的模型，稱為三維度架構，其包含：. 一、情境與脈絡（Contexts）：試題的情境脈絡應該是包含15歲小孩（學生）世界的一部分，且情境脈絡應該包羅萬象的，如學生個人生活（Personal）、教育／職業的（Occupational）、社會性的（Societal）、科學性的（Scientific）。表 2-2-1 PISA 2012 數學素養評量各情境脈絡的比例個人 20-30%. 職業. 社會. 20-30%. 20-30%. 科學. 合計. 20-30%. 100%. 二、數學內容知識（Mathematical content knowledge）：包含四個部份，變化和關係（Change and relationships）、空間和形狀（Space and shape）、量（Quantity）、不確定性（Uncertainty）。PISA 明確地與傳統學校課程要素區隔，採現象學取向（phenomenological approach）組織數學內容（content）（周玉秀，2006）。這四項內容領域說明如下：. 12.

(26) (一)數量數量是生活中常遇到的最基本與最普遍的數學觀念。數量主要包括測量、計數、指標、相對大小、趨勢和模式。例如：數的概念、數字的運算、心算、估計和評估。 (二)空間與形狀包括生活中看得見的各種現象，像圖形、位置與方位、物體的性質、動態幾何圖形、以及影像的編碼與解碼。如真實城市和該城市的地圖（照片）間的差異，以及三維物體的二維表徵、全球定位系統（GPS）等都屬於空間與形狀。 (三)改變與關係改變與關係的重點在於自然界裡各種暫時性和永久性的關係如何以數學模式描述，例如生長、四季循環、潮起潮落、失業的循環、天氣改變、有機體的改變等。例如：函數、代數與符號的使用、以及表格和圖形的呈現。 (四)不確定性（與資料分析）包括理解生活中各種造成變異的成因、具有量化和解釋變異的能力、測量時所隱含的不確定性的知識以及機率統計的問題。例如：選舉結果、天氣預測、經濟模型的變動。這四個數學內容形成的領域廣泛，一方面可確保試題散佈於課程之中，同時又可避免太過明確而違反真實情境問題解決的憂慮。 PISA 2012的數學架構（OECD, 2010）強調各領域的背景知識都需要滿足： 1.與數學有關，使得學生在解決問題的過程中，能做到數學素養定義中提及的「辨識」、「做」與「運用」數學。 2.能反應出學生能應用數學於情境中的理解程度，例如學生是否能做有實徵根據的判斷，是否為具積極性、投入性及反思能力的公民。 3.適合15歲學生，包括OECD會員國或夥伴國裡所有的15歲學生。 PISA 2012 數學試題在各內容領域所佔的百分比如表 2-2-2所示。 13.

(27) 表 2-2-2 PISA 2012數學素養評量各內容領域的比例改變與關係. 空間與形狀. 數量. 不確定性. 合計. （與資料分析）. 25-30%. 25-30%. 20-25%. 20-25%. 100%. 三、數學歷程及內蘊的數學力（Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities）：數學歷程最主要步驟有轉化(translation)、解題(solution)及建模(modeling)三項，而關鍵程序為：問題的描述、數學模式的建立、答案的解釋與預測三大項，如下圖：. 圖 2-2-1 數學建模循環首先探索問題情境，並從觀察、互動、尋找資訊、找出問題的限制或難處理解給定的資訊，並從問題的互動中察覺的資訊；其次為利用圖、表、符號重新呈現問題，然後確認問題中變項間的關聯、建立模式並審慎評估資訊；再為目標進行策劃，包括釐清目標、設定子目標、擬定完成目標的策略，接著執行擬定的計劃；最後監控目標完成前的每個程序、以及程序的檢測與除錯，反思不同觀點所得的結果、檢查假設是否符合、評估其他可行的方法。. 14.

(28) 內蘊的數學力則包括情境與數學間的溝通（Communication）、問題數學化（Mathematising）、使用及轉換表徵（Representation）、推理和論述（Reasoning and argument）、發展策略（Devising strategies）、使用符號、形式及術語與運算（Using symbolic, formal, and technical language and operations）、使用數學輔助工具（Using mathematical tools）。PISA 2012 數學試題在各歷程所佔的百分比如表 2-2-3所示。表 2-2-3 PISA 2012 數學素養評量各歷程的比例轉化. 解題. 建模. 合計. 40-50%. 40-50%. 10-20%. 100%. 四、數學素養的試題類型 PISA 數學試題使用四種題型：選擇題、多重是非題、封閉式問答題以及開放式問答題，其中選擇題、多重是非題+封閉式問答題、開放式問答題的比例各約為1/3。 (一) 選擇題每個選擇題有四~五個選項，只有一個正確答案。 (二) 多重是非題多重是非題包括由二~四題是非題所組成的，通常必須全對才能得分。選擇題與多重是非題可以用來測量數學的理解歷程，然而卻無法讓學生進一步解釋和提出支持或反對的論點，因此，PISA除選擇題外還有問答題。 (三) 封閉式問答題封閉式問答題通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反面的立場中圈選出合理的答案，再要求提供計算或數學論證來支持自己所選擇的答案。. 15.

(29) (四) 開放式問答題開放式問答題的主要目的在於讓學生自己建構答案，由作答者提出自己的觀點以及支持的理由和論證。開放式問答題由數學領域專家進行人工閱卷，根據學生的作答反應進行評分。評分時，依據學生理解的程度，評判為滿分、部分分數、或零分，不會因為書寫表達能力不好而扣分。. 肆、技術分析以下將簡要說明PISA實施時幾個重要之技術層面（OECD, 2005）。一、試題研發、測驗設計與背景問卷之發展. (一) 試題研發 PISA 試題研發過程包含初始準備（initial preparation）、審題會議（item paneling）、認知訪談（cognitive interview）、國際的審題會議、預試（pilot testing）。且為了讓考試工作能順利進行，有幾項工作需事先注意：（1）建立明確的施測流程；（2）受試者指導手冊；（3）監考人員指導手冊；（4）閱卷。而在 PISA 認知試題的發展是由一套一系列廣泛的指導方針來引導，而這個指導方針在計劃開始時所擬定好的，並且在 PISA2006 年科學專家小組第一次會議中所被認可的。而指導方針包含了發展的概要、試題需求的詳述。在 PISA2000 與 2003 年是使用兩位數的編碼來區別，在每個試題必須要有對於反應的編碼，在每個編碼的原則包含了試題反應類別（包含全對、部分答對），在每個得分編碼都必須是不同的。 (二) 測驗設計 PISA 2003 評量以數學科為主，因此，測驗包含 7 個區塊的數學試題，M1~M7； 2 個區塊的閱讀試題，R1 與 R2；2 個區塊的科學試題，S1 與 S2；2 個區塊的問題解決試題，PS1 與 PS2。每個試題區塊作答時間為 30 分鐘，則每個題本作答時. 16.

(30) 間為 120 分鐘。 PISA 2006 年測驗試題包含 13 個試題區塊（7 個試題區塊為科學 S1-S7、2 個試題區塊為閱讀 R1、R2 與 4 個試題區塊為數學 M1-M4）。閱讀試題區塊（R1、 R2）取自 2003 年之試題區塊，數學試題區塊（M1-M4）則為 2003 年之試題中挑選出 167 題試題組合而成，而 108 題科學認知試題中，有 22 題試題挑選自 2003 年，且分配至 7 個科學試題區塊中。 (三) 背景問卷 PISA 研發之背景變項問卷包含：學生問卷、學校問卷及提供參與國選擇的 ICT（Information communication technology）熟悉問卷、父母問卷及全國性的問卷。所有問卷發展初期皆有經過預試的階段，一開始選擇澳洲先進行小樣本的抽測，讓學生對問卷內容進行自由討論，然後根據學生們的意見進行內容修訂，接著選擇日語系的日本、德語系的德國、法語系的加拿大及英語系的澳洲進行較大規模的預試，針對收集到的問卷預試資料進行分析，對學生們提出的問題或不適宜的題目進行增修刪補，以提高問卷試題的品質。二、測驗資料量尺化 PISA 使用 MRCML 模式進行測驗資料分析，針對各項度之次級量尺進行估計，而使用軟體為 ConQuest（Wu, Adams, & Wilson, 1998），多點計分試題使用 PCM。個別受試者能力估計使用最大概似估計法（maximum likelihood estimation, MLE）估計受試者能力表現；群體能力估計使用可能值的方法。三、信度研究測驗信度的檢測乃是測驗評量中重要的ㄧ環，PISA 針對 5 個量尺：數學、閱讀、科學、學習興趣與學習自信，使用可能值與 WLEs 之分析方式進行信度檢測，結果發現數學與閱讀之數據呈現 WLEs 法之信度較高，其餘三者以可能值分析法較高，但國際性的試題信度檢測皆在 0.8 以上。另外 PISA 針對 CR 試題提供三個評估信度的觀點，分別為同質性分析（homogeneity analysis）、變異數成分分 17.

(31) 析（variance component analyses）、各國之間的信度研究（inter-country reliability study），藉以評估各國間評分者一致性概況。而問卷背景變項之信度分析則以樣本加權過後之 Cronbach’s alpha 值與驗證性因素分析(CFA)之結果為信度指標參考依據。. 第三節. 九年一貫數學課程與 PISA 的關係. 九年一貫課程(教育部，2003)與 PISA 的數學素養評量設計宗旨相類似，兼重原有之學科知識與日常應用知識。以下茲將九年一貫課程與 PISA 數學素養評量的內涵做一比較，簡述如下：. 壹、數學能力要素九年一貫數學課程之目標包括掌握數、量、形的概念與關係，培養日常所需的數學素養，發展形成數學問題與解決數學問題的能力，發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力，培養數學的批判分析能力，並培養欣賞數學的能力。顯然地，PISA 所提的推理論述、轉換表徵及使用數學輔助工具，在九年一貫數學課程目標中並未具體提及，而以「培養日常所需的數學素養」與「培養欣賞數學的能力」籠統納入這些概念。. 貳、數學內容的基本要素一、九年一貫數學領域 (教育部，2008) (一)九年一貫數學領域之內容：包含數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結五部分，其中數與量包括「數與計算」、「量與實測」和「關係」。 (二)數學內部的連結：可貫穿前四個主題，強調的是解題能力的培養。 (三)數學外部的連結：. 18.

(32) 強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。二、 PISA 數學 (一)PISA 數學的內容領域，分四大項：分成「改變與關係」、「空間與形狀」、「數量」、「不確定性（與資料分析）」四大項。 (二)認為適合用來評量 15 歲學生的主題有下列十四項：函數、代數、方程式、座標系統、二維與三維空間裡物件的幾何關係、幾何測量、數與單位、四則運算、百分比、比值和比例、估計、資料的收集和呈現、資料變異性及其描述、樣本與抽樣、機會與機率，共十四項。三、九年一貫數學領域與 PISA 數學兩者比較由以上內容之比較發現：PISA 數學內容和九年一貫課程所使用的數學名詞雖不相同，但包含相似之領域。例如：前者的「數量」，相當於後者的「數與量」；前者的「空間與形狀」相當於後者的「幾何」。九年一貫數學領域課程比 PISA 強調與其它領域課程之「連結」。. 叁、學習能力區分一、九年一貫數學領域課程數學能力區分為四個階段，各階段有其所屬之主要能力。 (一)階段一為具體操作，以視覺為主（ 1-2 年級） (二)階段二為具體表徵，必須具備辨識樣式間的關係之能力（ 3-4 年級） (三)階段三為類化具體表徵，辨識樣式間關係（ 5-6 年級） (四)階段四為符號表徵，乃指非形式化演繹（ 7-9 年級）。二、 PISA 數學能力區分 PISA 將上述十四種數學能力要素區分為三個層次，這些能力等級為：. 19.

(33) (一)層次一：複製能力─已學習過知識的複製，如：例行性的計算、程序、問題解決。 (二)層次二：連結能力─建立在複製能力上。在此，解決的問題不是例行的，包含熟悉與半熟悉的情境，如：建模。 (三)層次三：反思能力─相對於連結群組，反思群組的情境包含更多或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)的情境。三、九年一貫數學課程與 PISA 的比較 PISA 是以最終所需達成之目標，區分為三個層次以顯示其所欲達成之階段，將所有應具備能力統整後，加以分級。而九年一貫數學領域課程，則明定各階段之主要學習方式與思考型態，分成四階段。以確立每一階段主要學習能力。. 第四節 PISA 試題範例與說明壹、PISA試題範例：搶劫 _____________________________________________________________________ 問題 1：搶劫 M179Q01 電視主播呈現了下圖並報導：「圖形顯示，從1998年到1999年搶劫案數量有巨幅的上升」。. 20.

(34) (摘譯自OCED 2004，P.82) 你認為這位主播對於上圖的解釋是否合理？請寫出一個理由來支持你的答案。搶劫問題 1 計分注意：以下代號中，答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子，而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子。請不要單憑「是」或「否」來計分，而應看看答案解釋是否合理。滿分代號 21：不，不合理。指出我們看到的只是整個圖表的其中一小部分。 • 不合理，須顯示整個圖表。 • 我不認為那是合理的詮釋，因為如果顯示全圖的話，便能看到搶劫案的數目只是輕微上升。 • 不合理，因為他只用了圖表上方的小部分。如果看到全圖由0到520的情況，便知道上升的幅度不是那麼大。 • 不，那只是因為該圖表讓人覺得數字巨幅上升。看數字增加並不多。試題之性質與素養等級說明：. 21.

(35) 情境領域歸屬公共、題型屬開放結構、能力等級：六（四）。. 貳、PISA試題範例：測驗分數 _____________________________________________________________________ 問題 1：測驗分數M513Q01 下圖是兩組學生參加科學測驗的結果，這兩組學生分別稱為A組和B組。 A組的平均分數是62.0分，B組的平均分數是64.5分。當學生得分為50分或50分以上時，他們便通過這個測驗。. 由上圖，老師認為B組學生比A組學生的表現較佳。但A組學生不同意老師的看法。他們試著說服老師B組並不一定比較好。依據上圖，寫出一個A組學生可能使用的數學論點。測驗分數問題 1 計分滿分代號 1︰列出一個恰當的論點。恰當的論點須提及合格人數、極端值造成的影響、或最高分的學生人數。 • A組學生的合格人數較B組多。. 22.

(36) • 如果你忽略A組成績最差的學生，A組學生比B組學生做得較好。 • A組取得80分或以上的學生人數較B組多。數學樣本試題 76 Released Items M513 測驗分數零分代號 0︰其他答案，包括沒有列出數學上的原因，或列出錯誤的數學原因、或只簡述成績的差別，但卻沒有恰當的論點指出B 組的學生不一定做得較好。 • 在科學的表現上，A組的學生通常比B組的學生好。這次測驗的結果只是巧合。 • 因為B組學生最高分和最低分的差異較A組學生小。 • A組學生在80-89分的範圍及50-59分的範圍取得較好的成績。 • A組的四分位差較B組大。代號 9︰沒有作答試題之性質與素養等級說明：情境領域歸屬教育、題型屬開放結構、能力等級：五。要求受試者閱讀統計圖表、縮尺後，說明立論依據，轉化題目中的長條圖，以個人論點作出數學上的合理解釋。這些問題的起源都是我們在現實世界中可以接觸到的具體情境，而試題要考生做的事並不是「解數學問題」，而是「以數學的方式」處理資訊並作合理的推論。. 23.

(37) 24.

(38) 第三章. 研究方法. 本節主要從四方面來說明，依序第一節為研究對象；第二節為研究設計；第三節為研究流程；第四節為研究工具。. 第一節. 研究對象. 本研究將採立意抽樣，從北中南及離島等四個區域中的國小六年級學生選取 1275 名為施測對象，共計 27 校 54 班。. 第二節. 研究設計. 本研究為設計一份適合國小六年級測試的試題，部分試題（約 36％）從 PISA 試題樣本中選取適合國小高年級學生的試題。另一部分分 A 卷和 B 卷（共約 64 ％）則根據 PISA 命題原則自行命題，根據九年一貫能力指標配合 PISA 的四個領域內容，以 TASA 試題研發理念進行命題。. 壹、計分方式與測驗型態本研究之 PISA 試題是整理分析 PISA 歷年釋出之試題，選取適合國小六下學童使用的試題有十四題，試題計分型態有二元計分與多元計分。另一部分 A 卷和 B 卷各有十二題，係參考九年一貫的課程內容出題，並與多位國小資深教師合作設計並完成審題，試題計分型態一樣有二元計分與多元計分。. 貳、評量架構─數學歷程首先，閱讀 PISA 數學素養題本有 2000~2003 年、2009 年和 2012 年，主要以 PISA 2012 數學素養題本二十四個主題，選取適合國小六年級之試題，其歸類年級與版本單元，如表 3-2-1~3-2-4，最後經專家會議選取 13 題；另外參考臺灣 2011 數學素養評量樣本試題(林福來，2013）做歸類，臺灣版主要生活情境配合. 25.

(39) 數學內容知識共 184 題，從中選取適合國小六年級學童(如表 3-2-5)，但發現試題以國中內容為主，對國小六年級學生超綱且太難，因此將試題分類的仿 PISA 部分選取 1 題並加以修改，最後決定 PISA 施測 14 題試題，其評量架構如表 3-2-6，以及 PISA 試題與九年一貫 103 學年度三個版本的單元對應表如表 3-2-7。. 表 3-2-1 PISA 試題內容與數學歷程相對應表 PISA 內容. 數學歷程形成數學情境（30％）. 數量（30％） 2012 P29Q2 2012 P41Q2 2012 P46Q1 2012 P57Q2 2012 P74Q3. 空間與形狀（30％）. 2012 P11Q1 2012 P43Q2. 改變與關係（20％）. 2012 P39Q4 2012 P47Q2 2012 P68Q1 2012 P69Q2. 不確定性與 2012 P7 Q1 關係（20％） 2012 P9 Q3. 應用數學概念、事實、程序與推理（35％） 2012 P22Q2 2012 P28Q1 2012 P37Q1(下) 2012 P48Q3 2012 P54Q1 2012 P56Q1 2012 P63Q2 2012 P63Q3 2012 P14Q1 2012 P15Q2 2012 P16Q3 2012 P18Q1 2012 P42Q1 2012 P72Q1 2012 P20Q1 2012 P21Q3 2012 P36Q4(下) 2012 P49Q1 2012 P51Q2(下) 2012 P51Q3(下) 2012 P27Q5. 26. 詮釋、應用與評估數學結果（35％） 2012 P3 Q1 2012 P23Q3. 2012 P45Q1 2012 P65Q1. 2012 P33Q1. 2012 P5 Q2 2012 P8 Q2 2012 P25Q1 2012 P26Q2 2012 P31Q4 2012 P59Q1 2012 P61Q2 2012 P62Q1.

(40) 表 3-2-2 PISA 數學歷程-形成數學情境與各版本單元內容之對應 PISA. 數學歷程. 內容. 形成數學情境（30％）. 數量 Q. 部編. 南一. 康軒. 2012 P29Q2. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P41Q2. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P46Q1. 5 上 5 時間. 5 上 8 時間的乘除. 5 下 8 時間的計算. 2012 P57Q2. 5 下 6 未知數. 5 下 9 怎樣列式. 5 下 9 怎樣解題. 2012 P74Q3. 5 上 5 時間. 5 上 8 時間的乘除. 5 下 8 時間的計算. 空間與. 2012 P11Q1. 5 下 3 四邊形與扇形. 4 上 8 面積. 5 上 7 面積. 形狀 S. 2012 P43Q2. 5 下 3 四邊形與扇形. 6 上 5 圓周率和圓面積. 6 上 7 圓周長. 改變與. 2012 P39Q4. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 關係 R. 2012 P47Q2. 6 下 1 速率. 6 上 8 速度. 6 下 2 速率. 2012 P68Q1. 5 下 5 小數. 5 下 7 小數的乘法. 5 下 4 小數乘法與估算. 2012 P69Q2. 5 下 6 未知數. 5 下 9 怎樣列式. 5 下 9 怎樣解題. 不確定性. 2012 P7 Q1. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 與關係 U. 2012 P9 Q3. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 表 3-2-3 PISA 數學歷程-應用數學概念、事實、程序與推理與各版本單元內容之對應 PISA. 數學歷程應用數學概念、. 內容. 部編. 南一. 康軒. 2012 P22Q2. 5 上 1 整數與計算規則. 5 上 1 整數的簡化計算. 5 上 4 整數四則運算. 2012 P28Q1. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P48Q3. 5 下 7 單位換算. 5 下 1 生活中的大單位. 5 下 5 生活中使用的大. 事實、程序與推理（35％）. 數量 Q. 單位. 2012 P54Q1. 5 上 1 整數與計算規則. 5 上 1 整數的簡化計算. 5 上 4 整數四則運算. 2012 P56Q1. 6 上 7 小數的除法. 6 上 3 小數的除法. 6 上 4 小數的除法. 2012 P63Q2. 5 下 5 小數. 5 下 2 小數的加減. 5 上 1 小數與分數. 2012 P63Q3. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2009 p6Q3. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率 (續下頁). 27.

(41) 應用數學概. 內容. 念、事實、程序部編. 南一. 康軒. 與推理（35％）. 空間與形狀 S. 2009 p13Q1. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P14Q1. 5 下 3 四邊形與扇形. 5 上 7 平行四邊形和三. 5 上 7 面積. 角形的面積. 2012 P15Q2. 5 下 3 四邊形與扇形. 5 上 3 平行四邊形和三. 5 上 7 面積. 角形的面積. 2012 P16Q3. 6 上 8 正多邊形與圓. 6 上 5 圓周率和圓面積. 6 上 7 圓周長. 2012 P42Q1. 6 上 8 正多邊形與圓. 6 上 5 圓周率和圓面積. 6 上 7 圓周長. 2012 P72Q1. 5 下 3 四邊形與扇形. 5 下 6 扇形. 6 上 7 圓周長. 2009 P11Q1. 4 下 3 面積. 2012 P27Q5. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 改變與關係 R 不確定性與關係 U. 圖. 表 3-2-4 PISA 數學歷程-詮釋、應用與評估數學結果與各版本單元內容之對應 PISA. 數學歷程詮釋、應用與評. 內容. 部編. 南一. 2012 P3 Q1. 5 上 1 整數與計算規則. 5 上 1 整數的簡化計算. 5 上 4 整數四則運算. 2012 P23Q3. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P45Q1. 5 上 2 立體形體. 5 上 5 長方體與正方體. 5 上 8 正方體、長方體. 估數學結果. 康軒. （35％）. 數量 Q 空間與形狀 S. 改變與關係 R. 和球. 2012 P65Q1. 6 上 9 柱體與錐體. 6 上 9 柱體與錐體. 6 上 3 柱體與錐體. 2009 P1Q1. 4 下 3 面積. 2012 P33Q1. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2009 p8Q2. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. (續下頁). 28.

(42) 詮釋、應用與評. 內容. 估數學結果. 部編. 南一. 康軒. 不確定性與關係U. 2012 P5 Q2. 6 上 6 圓形圖. 6 下 6 圓形圖(可判斷). 6 上 10 圓形圖. 2012 P8 Q2. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P25Q1. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. 2012 P26Q2. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. 2012 P31Q4. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. 2012 P59Q1. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P61Q2. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 8 比率與百分率. 5 下 7 比率和百分率. 2012 P62Q1. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. 2009 p4Q1. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線. 5 上 9 統計圖表. 圖. 表 3-2-5 仿 PISA 試題內容與數學歷程表的相對應表仿 PISA 內容. 數學歷程形成數學情境. 數量（30％）Q 2011P-Q-004 2011P-Q-053 2011P-Q-057 2011P-QU-017 2011E-Q-005. 應用數學概念、事實、程序與推理 2011P-Q-010 2011P-Q-012 2011P-Q-031 2011P-Q-049 2011P-Q-058 2011P-QU-007 2011P-QU-028 2011P-QU-028 2011C-Q-015 2011C-Q-016 2011C-Q-022 2011C-Q-043 2011C-Q-053 2011E-Q-028. 詮釋、應用與評估數學結果. (續下頁). 29.

(43) 內容. 形成數學情境. 空間與形狀（30％）S 改變與關係（20％）R. 2011P-SQ-021 2011P-SQ-055 2011P-RQ-020 2011P-RQ-022. 不確定性與關係（20％）U. 應用數學概念、事實、程序與推理 2011P-SQ-013Q1 2011E-SQ-030Q1 2011P-RQ-006Q1 2011P-RQ-008 2011P-RQ-018 2011P-RQ-040 2011E-RS-026 2011E-RSQ-009 2011C-RU-004 2011C-RQ-023 2011C-RQ-029 2011C-RQ-034(三)(四) 2011C-RQ-047 2011C-RS-006 2011C-RSQ-051 2011C-RQ-033 2011C-RQ-035 2011C-RQU-017 2011S-RSQ-008 2011S-SQ-019 2011E-U-029. 詮釋、應用與評估數學結果. 2011P-RQ-006Q2 2011C-RQU-017Q2. 表 3-2-6 PISA 施測試題之評量架構內容數量（30％）Q. 空間與形狀（30％）S. 題號形成數學情境（30％）. 1 3 2 12 9 4 13 10 11. 應用數學概念、事實、詮釋、應用與評估程序與推理（35％）數學結果（35％）. 2012 P46Q1 2012 P57Q2 2012 P48Q3 2011 P-RQ-006 2012 P3Q1 2012 P42Q1 2009 P11Q1 2012 P44Q1 2012 P65Q1 (續下頁). 30.

(44) 內容. 題號形成數學情境（30％）. 改變與關係（20％）R 不確定性與關係（20％） U. 5 14 6 8 7. 應用數學概念、事實、詮釋、應用與評估程序與推理（35％）. 數學結果（35％）. 2012 P68Q1 2012 P8Q2 2012 P7Q1 2012 P27Q5 2012 P25Q1. 表 3-2-7 PISA 試題與九年一貫 103 學年度三個版本的單元對應表題號 PISA 試題. 部編. 南一. 康軒. 1. 2012 P46Q1. 5 上 5 時間. 5 上 8 時間的乘除. 5 下 8 時間的計算. 3. 2012 P57Q2. 5 下 6 未知數. 5 下 9 怎樣列式. 5 下 9 怎樣解題. 2. 2012 P48Q3. 5 下 7 單位換算. 5 下 1 生活中的大單位. 5 下 5 生活中使用的大單位. 12. 2011 P-RQ-006. 6 上 7 小數的除法. 6 上 3 小數的除法. 6 上 4 小數的除法. 9. 2012 P3Q1. 5 上 1 整數與計算規則 5 上 1 整數的簡化計算 5 上 4 整數四則運算. 4. 2012 P42Q1. 6 上 8 正多邊形與圓 6 上 5 圓周率和圓面積 6 上 7 圓周長. 13 2009 P11Q1. 4 下 3 面積. 10 2012 P45Q1. 5 上 2 立體形體. 5 上 5 長方體與正方體. 5 上 8 正方體、長方體和球. 11 2012 P65Q1. 6 上 9 柱體與錐體. 6 上 9 柱體與錐體. 6 上 3 柱體與錐體. 5. 5 下 5 小數. 5 下 7 小數的乘法. 5 下 4 小數乘法與估算. 14 2012 P8Q2. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線圖 5 上 9 統計圖表. 6. 2012 P7Q1. 5 下 8 比率與百分率 5 下 8 比率與百分率. 8. 2012 P27Q5. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線圖 5 上 9 統計圖表. 7. 2012 P25Q1. 5 下 9 統計圖表. 5 下 11 長條圖與折線圖 5 上 9 統計圖表. 2012 P68Q1. 31. 5 下 7 比率和百分率.

(45) 參、版本的蒐集整理九年一貫數學學習領域 103 學年度各版本的蒐集整理，如表 3-2-8 與 3-2-9，選取適合六下國小學生施測的單元，加以分析比較後，主要以六上以前曾學習過的數學單元為取樣的試題內容，而且不因採用不同版本而影響施測結果的公平性。表 3-2-8 103 學度度五年級單元參照表單元. 部編五上. 單元. 南一五上. 單元. 康軒五上. 1. 整數與計算規則. 1. 整數的簡化計算. 1. 小數與分數. 2. 立體形體. 2. 因數與倍數. 2. 因數與倍數. 3. 倍數與因數. 3. 多邊形. 3. 平面圖形. 4. 分數. 4. 擴分、約分和通分. 4. 整數四則運算. 5. 時間. 5. 長方體與正方體. 5. 異分母分數的加減. 6. 體積、容積與容量. 6. 異分母分數的加減. 6. 線對稱圖形. 7. 小數. 7. 平行四邊形和三角形的面積. 7. 面積. 8. 多步驟問題. 8. 時間的乘除. 8. 正方體、長方體和球. 9. 線對稱圖形. 9. 梯形的面積和應用. 9. 統計圖. 10 單元. 部編五下. 10 估算單元南一五下. 10 單元. 康軒五下. 1. 三角形. 1. 生活中的大單位. 1. 分數的乘法. 2. 分數 1. 2. 小數的加減. 2. 體積. 3. 四邊形與扇形. 3. 線對稱圖形. 3. 容積. 4. 分數 2. 4. 體積的計算. 4. 小數乘法與估算. 5. 小數. 5. 分數的乘法. 5. 生活中使用的大單位. 6. 未知數. 6. 扇形. 6. 表面積. 7. 單位換算. 7. 小數的乘法. 7. 比率和百分率. 8. 比率與百分率. 8. 比率和百分率. 8. 時間的計算. 9. 統計圖表. 9. 怎樣列式. 9. 怎樣解題. 10. 10. 體積和容積. 10. 11. 11. 長條圖與折線圖. 11. 32.

(46) 表 3-2-9 103 學度度六年級單元參照表單元部編六上. 單元南一六上. 單元康軒六上. 1. 質數與質因數. 1. 最大公因數與最小公倍數. 1. 最大公因數與最小公倍數. 2. 最大公因數及最小公倍數. 2. 分數的除法. 2. 分數除法. 3. 分數的除法. 3. 小數的除法. 3. 柱體與錐體. 4. 比、比值與正比. 4. 比和比值. 4. 小數除法. 5. 圖形的縮放. 5. 圓周率和圓面積. 5. 數量關係. 6. 圓形圖. 6. 扇形面積. 6. 比、比值與正比. 7. 小數的除法. 7. 正比. 7. 圓周長. 8. 正多邊形與圓. 8. 速度. 8. 圓面積. 9. 柱體與錐體. 9. 柱體與錐體. 9. 列式與等量公理. 10. 等量公理. 10. 縮圖、放大圖與比例尺. 10 單元部編六下. 單元南一六下. 單元康軒六下. 1. 速率. 1. 柱體的體積. 1. 分數與小數的四則計算. 2. 怎樣解題 1. 2. 怎樣解題(一). 2. 速率. 3. 基準量與比較量. 3. 柱體體積. 3. 柱體的表面積及體積. 4. 四則運算規則. 4. 縮圖和比例尺. 4. 圓形圖. 5. 等量公理. 5. 四則混合運算. 5. 基準量與比較量. 6. 怎樣解題 2. 6. 圓形圖. 6. 怎樣解題. 7. 怎樣解題(二). 7. 柱體表面積. 7. 參考表 3-2-7 所選出 PISA 試題，與對應之國小單元後，請 5 位國小資深教師共命 30 題，後經修審會議最後共 30 題，最後再挑出 24 題，分成 AB 兩卷，與九年一貫單元內容之對應表，如表 3-2-10。. 33.

(47) 表 3-2-10 單元內容與自編試題對應表單元內容 5 下 8 時間的計算 5 下 9 怎樣解題 5 上 7 面積 6 上 7 圓周長 5 下 4 小數乘法與估算 5 下 7 比率和百分率 5 下 5 生活中使用的大單位 5 上 9 統計圖表 5 上 4 整數四則運算 5 上 8 正方體、長方體和球 6 上 3 柱體與錐體 6 上 4 小數的除法 6 上 6 比、比值與正比. A 卷題號 2 3、5 6 1 7、8、9 4. 11、12 10. 第三節. B 卷題號. 8 2 9 5 6、7 3、4 12 10、11 1. 研究流程. 確立研究目的與問題 PISA 2000~2003. 蒐集相關文獻資料. PISA 2009 PISA 2012. 分析相關教材內容臺灣版 2011 仿 PISA. 建立雙向細目表(A、B 卷). 出題、審題、修題、組卷. 進行預試. 34. 九年一貫主要版本.

(48) 預試分析、試題重修審正式施測紙筆測驗結果和背景問卷分析. 評估測驗的成效研究資料比較與分析撰寫研究報告圖 3-3-1 研究流程圖. 第四節. 研究工具. 本研究正式施測的作答反應，採用 CTT 和 IRT 多元計分進行能力值與試題估計，且利用 Tester3 與 Conquest 軟體之單參數模式分析結果。. 壹、SPSS 統計軟體一套被廣泛用於統計分析的套裝軟體。本研究用 SPSS 軟體分析信度，以了解自編測驗的信度狀況，並且進行學生學習成就與自變項(如區域、性別)等關係之探討。. 貳、Excel 套裝軟體由微軟公司 (Microsoft) 所開發的產品之一。本研究利用 Excel 進行各項資料之建檔、排序、統計及列表分析。. 35.

(49) 參、Conquest 軟體 ConQuest 是由 Wu, Adams, & Wilson( 1998)三位學者所研發出之電腦套裝軟體，ConQuest 適用於試題反應模式及潛在回歸模式。在試題反應模式提供分析。 ConQuest 在多向度試題反應模式、潛在回歸模式且可用於多向度 IRT 之估計。它提供完整的試題反應和迴歸分析。PISA 國際學生成就評比資料庫即指定使用 ConQuest 程式來分析數學與科學成就的五種近似值(plausible values)。. 肆、Tester3 Tester3是余民寧(2011)所研發之程式，為執行古典測驗理論下試題分析功能的電腦程式，適用於當前學校教學評量及大規模考試的測驗分析之需。. 伍、PISA試題 PISA 的評量架構由橫軸數學歷程與縱軸內容所組成(如表 3-2-1) 一、橫軸數學歷程由以下三部分組成： (一)形成數學情境「形成」指的是個人能夠辨識並找出使用數學的時機，在某種情境脈絡下對問題提出數學化的結構，藉此將問題轉化為數學的型式。在「形成數學情境」的歷程中，個體決定從何處進行基本的數學分析、建立以及解決問題。他們將問題從現實世界中轉換到數學領域，提供數學架構、表徵來界定現實世界的問題，嘗試進行推理並設法了解問題的限制與假設。 (二)應用數學概念、事實「應用」是指個體能夠應用數學概念、事實、程序與推理去解決所形成的數學問題。在此歷程中，個體執行所需的數學程序來獲得結果並找出數學解法（例如執行算術運算、解方程式、從數學假設中進行邏輯演繹、執行符號操弄、從圖. 36.