三角函數之應用
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(2) （三角函數之應用）. 摘要 三角函數（Trigonometric function）包括正弦函數、餘弦函數、正 切函數、餘切函數、 正割函數、餘割函數. 三角知識起源很早，而最初是由歐拉在著名的<無窮小分析引論> 一書中首次給出用三角形兩邊的比來定義.在歐拉之前有關三角函數 的問題大都在一個確定半徑的圓內進行的. 在西元前 1900-1600 左右的一塊泥板上記錄了一個數表，其中有兩組 數分別是邊長為整數的直角三角形斜邊邊長和一個直角邊邊長,由此 推出另一個直角邊邊長. 而在巴比倫的幾何學與實際測量是有密切的聯系.他們已有相似三角 形之對應邊成比例的觀念,也會計算簡單平面圖形的面積和簡單立體 體積,然而我們現在把圓周分為 360 等分,據說也歸功於古代巴比倫 人 另外在印度人方面,他們用半弦（即正弦）代替希臘人的全弦,製作正 弦表,還證明了一些簡單的三角恆等式等等. 而在現在,三角函數的應用幾乎無所不在,諸如力學分析繪圖學 圓錐曲線等等以及一些測量上也廣泛應用三角的性質,雖然三角函數 的定義是相當簡單的, 但是卻也是相當的實用.. 1. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(3) （三角函數之應用）. 目次 封面 摘要………………………………………………………………………1 目次………………………………………………………………………2 (ㄧ般公式概述) 一. 三角函數的起源……………………………………………………4 二. 弧度制(弳度)………………………………………………………4. 三. 1 .三角函數的定義及性質…………………………………………5. 2 商數關係…………………………………………………………5. 3.特別角……………………………………………………………6. 4.平方關係…………………………………………………………6 5.餘角關係…………………………………………………………7 四. 1.三角函數之廣義角的定義………………………………………8 2.正餘弦的疊合……………………………………………………8 五.和差積互化…………………………………………………………8 六. 1.正弦定理…………………………………………………………9 2.餘弦定理………………………........................................................9 3.正切定理…………………………………………………………10 2. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(4) （三角函數之應用）. (三角函數應用) 七. 1.三角函數的應用…………………………………………………10 2.三角函數的應用…………………………………………………12 3.三角函數的應用…………………………………………………13 4.三角測距…………………………………………………………16 5.球面上弧長化為平面上直線……………………………………16. 參考書目………………………………………………………………17. 致謝……………………………………………………………………17. 3. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(5) （三角函數之應用）. 一.三角函數的起源:. 古埃及人已發展出三角學的概念(在萊因德紙草書記載著金字塔 高度與橫寬的角度關係)，到了西元前 150 年至 100 年左右，希臘人開 始研究三角學(希臘人尤其注重幾何學),而印度人又再加以改進希臘 人的三角學。後來十六世紀的歐洲因應計算的需要，更加發展三角 學。至今三角函數已被廣泛應用在各領域中(諸如天文學及繪圖學等 等)。. 而＂三角學＂這個字是由古代天文學家希巴爾卡斯所創(他亦將 恆星亮度由 1~6 分出等級). 二.弧度制(弳度) 一般相信度的使用始於巴比倫人將一圓周等分為 360 等分,而另一度 制定為在圓周上，與半徑等長之弧所對的圓心角稱為一弧度（或稱為 一弳）而單位圓的周長為. ,所以. =. （弧. 因此當期角度夠小時. 度） ，然而由計算結果知 又. ，. 。. 4. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(6) （三角函數之應用）. 三.1.三角函數的定義及性質. 2.商數關係. ，. 5. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(7) （三角函數之應用）. 3.特別角. 15°. 30°. 45°. 60°. 75°. sin cos tan. 1. cot. 1. sec csc. 2 2. 4.平方關係. 6. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(8) （三角函數之應用）. 5.餘角關係. ，則. 若依三角形中. 同理可得. ，. ，. 故可得：. 7. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(9) （三角函數之應用）. 四.1.三角函數之廣義角的定義. ( 設座標平面上點 P 坐標(x,y)，並令. 。). 2.正餘弦的疊合. 五.和差積互化. 積化和差... 8. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(10) （三角函數之應用）. 和差化積... 六.1.正弦定理. 若一三角形如右. 2 餘弦定理. 9. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(11) （三角函數之應用）. 3 正切定理. 假設 ab 為一三角形之兩邊而所對應的角分別為αβ則:. (a+b)/(a-b)=(sinα+sinβ)/( sinα-sinβ) (由正弦定理可得). =<2sin1/2(α+β)cos1/2(α-β)>/<2cos1/2(α+β)sin1/2(α-β)>. =tan1/2(α+β) cot1/2(α-β). = tan1/2(α+β) /tan1/2(α-β). 此結果即當時維埃塔所提出的正切定理. 七.1.三角函數的應用 (求曲線所為之面積).. 求心形曲線 r =a(1- sinθ)所圍之面積:. 若取一極小角 Δθ 似扇形的圖形 OAB 則其面積近似於扇形面積. 10. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(12) （三角函數之應用）. =OA*OB*Δθ/2,而若取 Δθ 為無限小,則:. lim(Δθ 趨近 0)OA*OB*Δθ/2=rΔθ/2. 因為若分割出無限多扇形,則曲線所圍之面積=所有小扇形之和,. 即: 曲線下面積:. (從 0 積至 2pi) A=∫r/2dθ =∫a(1-sinθ) /2dθ =a/2∫(1-sinθ) dθ. =a/2 ∫(1-2sinθ+sinθ)dθ. =a/2 ∫(1+sinθ)dθ. =a/2 ∫dθ+a/2 ∫(1-cos2θ)/2dθ. =aθ/2+a/4(θ-sin2θ/2). =3aθ/4+asin2θ/8. =3pi a/2 (此方法亦可求其他類似曲線如螺旋線). 11. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(13) （三角函數之應用）. 2 三角函數的應用 (三角極值問題)- (出自 毛起來說三角) 一鉛直懸掛棒子 AB 如圖 OA=a,OB=b 而依觀察者於 C 求 OC= x 為何時視角 ACB 為最大?. (令角 ACB=θ角 BCO=β角 ACO=α). cotθ＝cot(α-β) ＝１＋cotαcotβ／cotβ－cotα. ＝(x+ab)／(a-b)x. 對 X 微分:dcotθ/dx=(x-ab)/(a-b)x. 令 x-ab/(a-b)x=0 可得 x=√(ab). 然而亦可由算幾不等式球出相同結果. (當時提出此問題時還未發明出微積分). 12. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(14) （三角函數之應用）. 3.三角函數的應用. 假設一木棒長 l 質量 M 垂直於地面然後倒下,經 t 時刻時其鉛直線與木. 棒夾角 θ,角速度 ω.角加速度 α.地面對其作用之摩差力 Ff 及正向力 N.則:. ω.α.Ff .N.t 與 θ 的關西:. 因為木棒各質點位能變化之和=各質點的動能和 >>∑mg(r-rcosθ)=∑mv/2. >>∫mgr(1-cosθ)dr=∫mrω/2dr. >>(1-cosθ)mg∫rdr=mω/2∫rdr 13. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(15) （三角函數之應用）. >>(1-cosθ)rmg/2=mrω/3. 代入上限 h 下限 0 帶入整理可得: ω=(3g(1-cosθ)/h) ∕. 設當經 t 時刻時其質心水平位移與鉛直位移 X.Y.又質心速度 v=rω. >>hsinθ/2=(0 積至 t)∫(3g(1-cosθ)/h) ∕ cosθh/2dt..(1). h(1-cosθ)=(0 積至 t)∫(3g(1-cosθ)/h) ∕ sinθh/2dt..(2) >>dθ/dt=(3g(1-cosθ)/h) ⁄ >>dt/dθ=(h/3g) ⁄ /(1-cosθ) ⁄ >>t=∫(h/3g) ⁄ /(1-cosθ) ⁄ dθ =(h/3g) ⁄∫1/(2sin(θ/2)) ⁄ dθ =(2h/3g) ⁄∫csc(θ/2)dθ/2 =(2h/3g) ⁄∫csc(θ/2)(cot(θ/2)+csc(θ/2))/(cot(θ/2)+csc(θ/2)) =-(2h/3g) ⁄∫1/(cot(θ/2)+csc(θ/2))d(cot(θ/2)+csc(θ/2)) =-(2h/3g) ⁄ lnlcot(θ/2)+csc(θ/2)l 14. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(16) （三角函數之應用）. >>t=(2h/3g) ⁄ln(sin(θ/2)/(1+cos(θ/2)))(0≤θ/2≤pi/2). 又力矩 tau=Iα. >> rxF=Mhα/3. >> hMgsinθ/2=Mhα/3. >> α=3gsinθ/(2h). (或由角速度 ω 對時間 t 為分一可得同樣的結果). 而 Ff+Mg+N 應等於將其分為 Fc+Ft 之分向量:. >>Ftcosθ-Fcsinθ=Ff...(1). Ftsinθ+Fccosθ=Mg-N...(2). >>Ft=Mhα/2=3Mghsinθ/(4h)=3Mgsinθ/4. Fc=Mωh/2=3Mgh(1-cosθ)/(2h)=3Mg(1-cosθ)/2. 代入(1)(2)式整理可得:. >>Ff=3Mg(3sin(2θ)/4-sinθ)/2 Mg-N=3Mg(sinθ/2+cosθ-cosθ)/2. 15. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(17) （三角函數之應用）. 4.三角測距： 如圖 BO=P，OC=G，角 APB=θ，角 ABP=φ， 測量 AB 兩點的微小距離： 由 tanθ= (h′/q)=(dsinφ/p-dcosφ) →h′p=d﹙h′cosφ+qsinφ﹚ →d= (h′p)/﹙h′cosφ+qsinφ﹚ 而若 h′還小於 q 且 d 遠小於 L 則上 式 h′cosφ可忽略： d= (h′p)/﹙qsinφ﹚ 5.球面上弧長化為平面上直線: 地球上經度差θ赤道弧長 s 北緯φ處弧長 s’則若將球面圖轉成平面圖而不改變方向 則平面上 s=s’ s=Rθ s’=rθ 又因 r=Rcosφ所以 s’=Rcosφ. θ=scosφ 而 s’在平面上化為與 s 相等的距離時距離誤差為: (s-s’)/s’ =(s-scosφ)/scosφ =(1-cosφ)/cosφ=1/cosφ-1. 16. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
(18) （三角函數之應用）. .參考書目: 參考書目..毛起來說三角 / 毛爾著 天下.文化出版. 誌謝 感謝尚憲的意見提供及校正.以及朋友提供的想法.在 此特別致謝. 逢甲大學學生報告 e-Paper（西元 2006/1/20） 17. 逢甲大學學生報告 ePaper(2005 年).
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