408 三元一次聯立方程式

全文

(1)

糧行秤米:一等米 5 袋、二等米 3 袋、三等米 2 袋,總重 19 斤;一等米 3 袋、二等米 3 袋、三等米 1 袋,總重 13 斤;一等米 2 袋、二等米 2 袋、三等米 1 袋,總重 10 斤。問:一、二、三等米每袋各重幾斤? ▲ 圖 1 上述改編自《九章算術》的問題可用本單元要介紹的三元一次聯立方程式解 出。

甲 加減消去法

《九章算術》成書約在 西元 50 至 100 年間,是 討論一次聯立方程式的 先驅,作者已不可考。 之前的課程,我們常使用加減消去法解二元一次聯 立方程式,這裡將繼續使用同樣的方法來解「三元一次 聯立方程式」。 在上述引言的問題中,我們可以假設一、二、三等 米每袋分別為

x y z

, ,

斤,並依題意列得

5 3

x

  

y

2 19,3 3

z

x

  

y z

13,2 2

x

  

y z

10

。 因為這三個方程式必須同時成立,所以經常將它們並 列寫成如下的形式:

5

3

2

19

3

3

13

2

2

10

x

y

z

x

y z

x

y z

  

   

   

。 像這種由三個未知數所形成的一次聯立方程式,稱其為三元一次聯立方程式。

(2)

三元一次聯立方程式的解法與二元一次聯立方程式的解法類似:先消去其中 一個未知數,得到一個二元一次聯立方程式,再用解二元一次聯立方程式的方法, 就可以求得其解。 【例题 1】 解三元一次聯立方程式

5

3

2

19

3

3

13

2

2

10

x

y

z

x

y z

x

y z

  

   

   

Ans: 【詳解】 將聯立方程式編號為

5

3

2

19

3

3

13

2

2

10

x

y

z

x

y z

x

y z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 z:

 

2

,得

1

x y

 

, 由

,得

3

x y

 

接著,再消去 y:由

,得

2

x

2

, 解得

x

1

。 最後,將

x

1

代入 式,得

y

2

, 再將

x

 

1,

y

2

代回 式,得

z

4

。 故聯立方程式的解為

1,

2,

4

x

  

y

z

【隨堂練習 1】 解三元一次聯立方程式

3

2

3

4

10

3

2

1

x y z

x

y

z

x

y z

  

   

   

Ans:

(3)

【詳解】 將聯立方程式編號為

3

2

3

4

10

3

2

1

x y z

x

y

z

x

y z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 z:

 

4

,得

2

x y

 

2

, 由

,得

4

x

 

3

y

2

接著,再消去 y:由

 

3

,得

2

x

4

, 解得

x

2

, 最後,將

x

2

代入 式,得

y

2

, 再將

x

2,

y



2

代回 式,得

z

3

, 故聯立方程式的解為

x

2,

y

 

2,

z

3

。 解三元一次聯立方程式時,除了如例題 1 恰有一組解的情形外,也可能出現 無解或無窮多組解的情形,先來看無解的例子。 【例题 2】 解三元一次聯立方程式

2

3

3

2

5

6

2

5

7

10

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 將聯立方程式編號為

2

3

3

2

5

6

2

5

7

10

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 x:

 

3

,得

3

y z

  

, 由

 

2

,得

3 3

y z

 

4

(4)

接著,再消去 y:由

 

3

,得

0

z 

5

(或

0 5

)。 因為沒有任何實數 z 滿足上式, 所以原聯立方程式無解。 【隨堂練習 2】 解三元一次聯立方程式

3

2

7

3

4

3

2

2

1

x y z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 將聯立方程式編號為

3

2

7

3

4

3

2

2

1

x y z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 z:

 

3

,得

x

 

4

y

5

, 由

 

2

,得

x

 

4

y

5

接著,再消去 y:由

, 得

0

x

10

(或

0 10

), 最後,因為沒有任意實數 x 滿足上式, 所以原聯立方程式無解。 再來看無窮多組解的情形。 【例题 3】 解三元一次聯立方程式

2

3

3

2

5

6

2

5

7

15

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

Ans:

(5)

【詳解】 將聯立方程式編號為

2

3

3

2

5

6

2

5

7

15

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 x:

 

3

,得

3

y z

  

, 由

 

2

,得

3 3

y z

 

9

接著,再消去 y:由

 

3

,得

0

z

0

(或

0 0

)。 因為任意實數 z 都滿足上式, 所以令

z t

代入 式,得

3

3

y

   

z

t

, 再將

y

  

3 ,

t z t

代回 式,得

3

2

3

3

2

x

        

y

z

t

t

t

。 因此,可得聯立方程式的解為

3

x

t

y

t

z t



  

 

,t 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 【隨堂練習 3】 解三元一次聯立方程式

2

5

4

7

3

3

2

9

x

y z

x

y z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 將聯立方程式編號為

2

5

4

7

3

3

2

9

x

y z

x

y z

x

y

z

  

   

   

(6)

首先,利用加減消去法先消去 z:

,得

2 2

x

 

y

2

, 由

 

2

,得

x y

 

1

接著,再消去 y:由

 

2

, 得

0

x

0

(或

0 0

), 因為任意實數 x 都滿足上式, 所以令

x t

代入 式,得

y x

   

1

t

1

, 再將

x t y t

  

,

1

代回 式, 得

z x

    

2

y

5

t

2

t

   

1 5 3 3

t

, 因此,可得聯立方程式的解為

1

3 3

x t

y t

z

t

  

  

,t 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 已知二次函數圖形通過某三點時,可以透過解三元一次聯立方程式來確定此 二次函數。 【例题 4】 已知二次函數

y ax bx c

  

2 的圖形通過

     

1,1 , 2,3 , 3, 7

三點,

a b c

, ,

的值。 Ans: 【詳解】 將三點的坐標代入二次函數,可得

1

4

2

3

9

3

7

a b c

a

b c

a

b c

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 c:

,得

3

a b

 

2

, 由

,得

(7)

5

a b

 

4

接著,再消去 b:由

,得

2

a

2

, 解得

a

1

。 最後,將

a

1

代入 式,得

b

1

, 再將

a

 

1,

b

1

代回 式, 得

c

1

。 故

a

  

1,

b

1,

c

1

。 像例題 4 這樣的題目,牛頓曾提出一個很漂亮的作法,可設通過

     

1,1 , 2,3 , 3, 7

三點的二次函數為

 

1

1

 

1



2

f x

 

A x

 

B x

x

, 接著再利用

f

 

2

3

f

 

3

7

解出 A 與 B 的值,即可求出此二次函數。這樣的 作法,稱作牛頓插值法。 【隨堂練習 4】 已知圓

x

2

    

y

2

dx ey f

0

通過

     

1,1 , 1, 1 , 2,1

三點,

d e f

, ,

的值。 Ans: 【詳解】 將三點的坐標代入圓方程式, 可得

2

2

2

5

d e f

d e f

d e f

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 f:

,得

2

e

0

,解得

e

0

, 由

,得

3

d

3

,解得

d

1

, 再將

d

 

1,

e

0

代回 式,得

f 

3

, 故

d

 

1,

e

0,

f



3

(8)

來做一道生活中的應用問題。 【例题 5】 百貨公司促銷冰淇淋,限量 100 球,賣完為止。每人限購一支(單球、雙球 或三球),價格如右圖所示。已知 100 球全部售完,購買的民眾有 50 人, 總收入為 2310 元。 問:購買單球、雙球與三球冰淇淋的民眾各有多少人? Ans: 【詳解】 設購買單球、雙球與三球的 民眾分別為

x y z

, ,

人。 由題意可列式得三元一次聯立方程式

50

2

3

100

30

50

60

2310

x y z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

, 將 式

1

10

,得

3 5

x

  

y

6

z

231

首先,利用加減消去法先消去 x:

,得

2

50

y

z

  

, 由

 

3

,得

3 69

y

 

z

接著,再消去 y:由

,得

19

z 

。 最後,將

z 

19

代入 式,得

y

12

, 再將

y

12,

z

19

代回 式,得

x

19

。 故購買單球、雙球與三球冰淇淋的民眾

(9)

分別有 19、12、19 人。 【隨堂練習 5】 小偉到水果攤買水果。已知他帶的錢恰可以買 4 個蘋果及 3 個芭樂;若他想 買 5 個蘋果及 2 個芭樂,則還不夠 8 元;若想買 2 個蘋果及 4 個芭樂,則還 剩下 28 元。問:他帶了多少錢?又蘋果、芭樂 1 顆各多少元? Ans: 【詳解】 設蘋果、芭樂一顆分別為

x y

,

元, 且小偉帶了 z 元。 由題意可列式得三元一次聯立方程式

4

3

5

2

8

2

4

28

x

y z

x

y z

x

y z

 

   

   

, 整理得

4

3

0

5

2

8

2

4

28

x

y z

x

y z

x

y z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 z:

,得

x y

 

8

, 由

,得

2

x y

 

28

接著,再消去 y:由

,得

x

20

, 最後,將

x

20

代入④式,得

y

12

, 再將

x

20,

y

12

代回 式,得

z

116

, 故蘋果一顆 20 元、芭樂一顆 12 元, 小偉帶了 116 元。

(10)

乙 高斯消去法

在這裡我們要引進一套比加減消去法更有系統的操作方法。 (一)一次聯立方程式的矩陣表示法 將一次聯立方程式中每一個方程式的常數項寫在等號右邊,而含有未知數的 項則依固定的順序寫在等號左邊,例如圖 2(a)中的三元一次聯立方程式。將這個 聯立方程式中未知數的係數與常數項依序抽離出來,並記作圖 2(b)的形式,稱此 為聯立方程式的增廣矩陣。增廣矩陣中的鉛直線是用來區別「係數」與「常數項」, 但也可以省略。

2

4

2

1

3

5

9

8

x y z

x y

z

x

y

z

  

   

   

聯立方程式

2

1

1

4

1

1

2

1

3

5

9

8

增廣矩陣

第 一 列 第二列 第 一 行 第 二 行 第 三 行 第三列 第 四 行 (a) (b) ▲圖 2 在矩陣中,橫的稱為列(由上至下編號),直的稱為行(由左至右編號), 如圖 2(b)中的增廣矩陣有 3 列 4 行。 一般而言,每一個聯立方程式都會對應一個增廣矩陣;反之,每一個增廣矩 陣也會對應一個聯立方程式。

(11)

【隨堂練習】 寫出下列空格中的聯立方程式與增廣矩陣。 題號 聯立方程式 增廣矩陣 (1)

3

2

2

5

2

6

4

x

y z

x

y z

x z

  

   

  

(2)

1

2 5

7

2 1

0

4

0 3

1

6

 

Ans: 【詳解】 聯立方程式 增廣矩陣

3

2

2

5

2

6

4

x

y z

x

y z

x z

  

   

  

3

2 1 2

5 2

1 6

1 0

1 4

2

5

7

2

4

3

6

x

y

z

x y

y z

  

  

  

1

2 5

7

2 1

0

4

0 3

1

6

 

(二)高斯消去法 前面在解三元一次聯立方程式時,我們求解的過程不外乎以下三種操作: (1) 將某兩個方程式對調。 (2) 將某個方程式乘上非零的常數。 (3) 將某個方程式乘上非零的常數後,再加到另一個方程式。 實際上,在解三元一次聯立方程式時,我們可重複上述三種操作,先將聯立方程 式簡化成形式 1 1 1 1 2 2 2 3 3

ax by cz d

b y c z d

c z d

  

  

 

(12)

再進一步去求解。舉聯立方程式

2

4

2

1

3

5

9

8

x y z

x y

z

x

y

z

  

   

   

為例,在以下的操作過程中,我們同時列出其對應的增廣矩陣。 聯立方程式 增廣矩陣

2

4

2

1 1

4

2

1

1 1 2 1

3 5

9

8

3 5 9 8

x y z

x y

z

x

y

z

  

  

  

與 對調 第一列與第二列對調

2

1

1 1 2 1

2

4

2

1 1

4

3 5

9

8

3 5 9 8

x y

z

x y z

x

y

z

  

  

  

 

 

2

3

  

  

 

 

2

3

第一列乘以

加到第二列

第一列乘以

加到第三列

2

1

1 1

2

1

0

3

3

6

0

3

3

6

0

2

3

5

0 2

3

5

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

  

  

  

1

3

 

 

 

 

第二列乘以

1

3

 

 

 

 

2

 

 

 

3

1

3

 

 

 

 

2

1

1 1 2 1

0

2

0 1 1 2

0

2

3

5

0 2 3 5

x y

z

x y z

x

y

z

  

  

  

 

2

  

第二列乘以

 

2

加到第三列

2

1

1 1 2 1

0

2

0 1 1 2

0

0

1

0 0 1 1

x y

z

x y z

x

y z

  

  

  

 

2

 

由最後的聯立方程式或增廣矩陣,得

2

1

2

1

x y

z

y z

z

  

  

 

(13)

將 式中的

z 

1

代入 式,得

y

1

,再將

y

 

1,

z

1

代入 式,得

x

2

。 故聯立方程式的解為

x

  

2,

y

1,

z

1

。 上述這兩種解聯立方程式的表現方式(聯立方程式的解法與增廣矩陣的解法), 通稱為高斯消去法。在增廣矩陣解聯立方程式的操作過程中,我們使用了三種列 與列之間的運算,這些運算分別對應於解聯立方程式的三種操作,並統稱為矩陣 的列運算。 將矩陣的列運算整理如下。 矩陣的列運算 (1)將矩陣中的某兩列互換位置。 (2)將矩陣中的某一列乘以一個不為 0 的數。 (3)將矩陣中的某一列乘以一個不為 0 的數後再加到另一列。 利用矩陣的列運算,可以將高斯消去法解三元一次聯立方程式的步驟歸納如 下﹕ (1) 作列運算使第一列第一行的數為 1,且使第二列及第三列的第一行數字全為 0。 (2) 作列運算使第二列第二行的數為 1,且使第三列第二行的數字為 0。 (3) 作列運算使第三列第三行的數為 1。 (4) 列出圖 3 中最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式,並依序求

z y x

, ,

的解。

1

1

1

(1)

0

(2)

0 1

(3)

0 1

0

0 0

0 0 1







* * * *

* * *

* * *

* * *

* * * *

* * *

* *

* *

* * * *

* * *

* *

▲圖 3 接著,來看一個運用到三元一次聯立方程式的應用情境。 以往民調公司是隨機撥打家用電話號碼來調查,然而,現在沒有家用電話的 「純手機族」越來越多,為了調查「純手機族」的人數比例,其中一個作法如下:

(14)

首先,設 x 是只有家用電話的人數比例,y 是家用電話與手機都有的人數比 例,z 是只有手機的人數比例。因為國家通訊傳播委員會統計兩者皆無的人數比 例低於 0.1%,所以在此忽略不計,即

1

x y z

  

。 接著,隨機撥打家用電話號碼,詢問接起電話的民眾「有沒有手機?」。假設得到 有手機的人數占調查人數的 75%,即

y

0.75

x y

,整理得

3

x y

 

0

。 最後,隨機撥打手機號碼,詢問接起手機的民眾「有沒有家用電話?」。假設得到 有家用電話的人數占調查人數的 60%,即

y

0.6

y z

,整理得

2 3 0

y

 

z

。 綜合以上可得

1

3

0

2

3

0

x y z

x y

y

z

  

  

  

, 此時,即可利用高斯消去法解此聯立方程式。(見以下例題) 【例题 6】 利用高斯消去法解聯立方程式

1

3

0

2

3

0

x y z

x y

y

z

  

  

  

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

1 1

1 1

3

1 0 0

0 2

3 0

1 1

1

1

0

4

3

3

0 2

3 0

  

(15)

1 1 1 1

3 3

0 1

4 4

0 2

3 0

1 1 1

1

3

3

0 1

4

4

9

3

0 0

2

2

 

1 1 1 1

3 3

0 1

4 4

1

0 0 1

3

。 因為最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

1

3

3

4

4

1

3

x y z

y

z

z

  

  

 

, ②

所以將

1

3

z 

代入 式,得

1

2

y

, 再將

1

,

1

2

3

y

z

代入 式,得

1

6

x 

。 故聯立方程式的解為

1

,

1

,

1

6

2

3

x

y

z

【隨堂練習 6】 利用高斯消去法解聯立方程式

3

8

5

3

2

1

2

3

x

y

z

x

y z

x y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

(16)

3 8 5 3

1 2 1 1

1 1 2 3

1 2 1 1

3 8 5 3

1 1 2 3

1 2 1 1

0 2 2 0

0

1 1 2

1 2 1 1

0 1 1 0

0

1 1 2

1 2 1 1

0 1 1 0

0 0 2 2

1 2 1 1

0 1 1 0

0 0 1 1

。 因為最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

1

0

1

x

y z

y z

z

  

  

 

, 所以將

z 

1

代入 式,得

y

1

, 再將

y

 

1,

z

1

代入 式,得

x

2

, 故聯立方程式的解為

x

2,

y

 

1,

z

1

。 高斯消去法也可以處理聯立方程式無解的情形。 【例题 7】 利用高斯消去法解聯立方程式

2

2

3

2

5

2

5

x y z

x

y z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下﹕

1 1 1 2

1 2 1 3

2 5 2 5

1 1 1 2

0 1 0 1

0 3 0 1

1 1 1 2

0 1 0 1

0 0 0

2

 

1

 

 

 

2

 

3  

(17)

最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

1

0

2

x y z

y

z

  

 

 

因為沒有任何實數 z 能滿足 式,所以原聯立方程式無解。 由上面的解法可知:在增廣矩陣的化簡過程中,若某一列最右邊的數不為 0, 其餘的都是 0,則原聯立方程式無解。 【隨堂練習 7】 利用高斯消去法解聯立方程式

2

3

3

2

1

7

4

5

4

x

y z

x y

z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

1

2 1 3

3

1 2 1

7

4 5 4

1

2 1

3

0 5

1

8

0 10

2

17

 

 

1

2 1

3

0 5

1

8

0 0

0

1

 

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

3

5

8

0

1

x

y z

y z

z

  

  

 

因為沒有任何實數 z 能滿足 式,所以原聯立方程式無解。 接下來,利用高斯消去法處理聯立方程式有無窮多組解的情形。

(18)

【例题 8】 利用高斯消去法解聯立方程式

2

1

2

3

6

5

3

4

8

6

x y

z

x

y

z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下﹕

1 1

2 1

2 3

6 5

3 4

8 6

1 1

2 1

0 1

2 3

0 1

2 3

1 1

2 1

0 1

2 3

0 0 0 0

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

1

2

3

0

0

x y

z

y

z

z

  

  

 

因為任何實數 z 都能滿足 式,所以令

z t

代入 式,得

3 2

y

 

t

, 再將

y

 

3 2,

t z t

代回 式,得

1 3 2

2

2

x

    

t

t

。 因此,聯立方程式的解為

2

3 2

x

y

t

z t



  

 

,t 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 【隨堂練習 8】 利用高斯消去法解聯立方程式

1

2

2

4

3

4

x y z

x y z

x

y z

  

   

   

Ans:

 

2

 

 

 

3

 1  

(19)

【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

1

1 1 1

2

1

1 2

4

3 1 4

 

1

1 1 1

0 1

3 0

0 1

3 0

1

1 1 1

0 1

3 0

0 0

0 0

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

1

3

0

0

0

x y z

y

z

z

  

  

 

因為任何實數 z 都能滿足 式, 所以令

z t

代入 式,得

y

3

t

, 再將

y t z t

3,

代回 式,得

x

    

1 3

t t

1 2

t

, 因此聯立方程式的解為

1 2

3

x

t

y

t

z t

 

 

 

,t 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 接下來,利用高斯消去法來討論聯立方程式何時無解?何時有無窮多組解? 【例题 9】 試就實數 a 的值,討論下列聯立方程式的解:

2

3

2

5

2

5

4

7

x

y z

x

y

z

x

y

z a

  

   

   

Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

(20)

1 2 1 3

2 5

2 5

1 4

7 a

1 2 1

3

0 1

4

1

0 2

8

a

3

1 2 1

3

0 1

4

1

0 0 0

a

1

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

3

4

1

0

1

x

y z

y

z

z a

  

  

  

。 我們分以下二種情形討論: (1) 當

a

1

時,因為沒有任何實數 z 能滿足 式,所以原聯立方程式無解。 (2) 當

a

1

時,因為任何實數 z 都能滿足 式,所以令

z t

代入 式,得

1 4

y

 

t

, 再將

y

 

1 4,

t z t

代回 式,得

3 2 1 4

5 9

x

      

t t

t

。 因此,聯立方程式的解為

5 9

1 4

x

t

y

t

z t

 

  

 

,t 為實數。 綜合(1)與(2)所得,當

a

1

時,原聯立方程式無解;當

a

1

時,原聯立方程 式有無窮多組解。 【隨堂練習 9】 已知聯立方程式

7

2

3

4

3

5

x y z

x

y

z

x

y

z a

  

   

   

有無窮多組解,求實數 a 的值。 Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

 

2

 

 

 

1

 2  

(21)

1 1 1 7

1 2 3 4

1 3 5 a

1 1 1

7

0 1 2

3

0 2 4

a

7

1 1 1

7

0 1 2

3

0 0 0

a

1

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

7

2

3

0

1

x y z

y

z

z a

  

  

  

, 因為聯立方程式有無窮多組解, 所以

a 

1 0

,解得

a

1

。 利用解聯立方程式,可以將空間中的向量表成三個已知向量的線性組合,我 們來看下面的例題。 【例题 10】 將向量

d 

1, 2,3

表成

a

2, 4, 2 ,

b

 

1,1, 2

c 

3, 3, 6

的線 性組合。 Ans: 【詳解】 設

d x a y b z c x y z

, , ,

為實數。因此

1, 2,3

 

x

2, 4, 2

  

 

y

1,1, 2

 

z

3, 3, 6

, 即

2

3

1

4

3

2

2

2

6

3

x y

z

x y

z

x

y

z

  

   

   

(22)

解得

1

,

1,

1

2

3

x

y

 

z

。故

1

1

2

3

d

a

 

b

c

【隨堂練習 10】 已知向量

a

 

1,1, 2 ,

b

 

1, 2,1 ,

c

1,1, 3

d 

0, 4,1

求滿足

d x a y b z c

x y z

, ,

值。 Ans: 【詳解】 因為

d x a y b z c

,所以

0, 4,1

   

x

1,1, 2

 

y

1, 2,1

 

z

1,1, 3

, 即

0

2

4

2

3

1

x y z

x

y z

x y

z

  

   

   

,解得

11

,

4

,

3

15

3

5

x

y

z

。 在例題 10 中,向量

d 

1, 2,3

可以唯一表成向量

a 

2, 4, 2 ,

1,1, 2

b  

c 

3, 3, 6

的線性組合。事實上,除了向量

1, 2, 3

以外,其 它的空間向量也都可以唯一表成向量

a b c

, ,

的線性組合。這其實並非偶然, 而是因為向量

a b c

, ,

不在同一平面上,如圖 4 所示。

(23)

▲圖 4 一般而言,若三個向量

a

a a a

1

, ,

2 3

,

b

b b b

1

, ,

2 3

c

c c c

1

, ,

2 3

為 「不共平面」的非零向量,也就是說,此三向量決定的平行六面體之體積不為 0, 即 1 1 1 2 2 2 3 3 3

0

a b c

a b c

a b c

, 則每一個空間向量

d

d d d

1

, ,

2 3

都可以唯一表示成

a b

,

c

的線性組合,即

d x a y b z c

, 其中

x y z

, ,

為實數且隨著

d

而唯一決定;也就是說,聯立方程式 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

ax by c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   

恰有一組解。 許多聯立方程式都可以使用數學軟體來求解,底下用免費軟體 Maxima 來示 範解三元一次聯立方程式

2

2

10

5

3

2

19

3

3

13

x

y z

x

y

z

x

y z

  

   

   

。 ●1 輸入:

solve([2*x2*yz10, 5*x3*y2*z19, 3*x3*yz13], [x, y, z]) ●2 同時按鍵盤上的 Shift  Enter。

(24)

▲圖 5 運用電腦軟體可以解更多未知數的一次聯立方程式,例如解

2

3

4

5

6

6

7

8

9 96

10

11 12 13 312

14

15

16 17 416

x

y

z

t

x

y

z

t

x

y

z

t

x

y

z

t

   

    



   

    

。 ●1 輸入:

solve([2*x3*y4*z-5*t-6, 6*x7*y-8*z9*t96, 10*x11*y12*z 13*t312, 14*x15*y16*z17*t416], [x, y, z, t]) ●2 同時按鍵盤上的 Shift  Enter。

●3 此時,即可得到聯立方程式恰有一解

x

   

3,

y

5,

z

7,

t

11

(25)

丙 三平面幾何關係的代數判定

在空間中,三元一次方程式

ax by cz d

  

的圖形是一個平面,且向量

a b c

, ,

為該平面的一個法向量。要判定空間中三個平面的相交情形,可以藉 助它們的法向量與解三元一次聯立方程式來完成。 首先,利用法向量,可以將三平面的相交情形與其對應的三元一次聯立方 程式的解分類如下表。 三個法向量 都互相平行 三平面重合 二平面重合且與 第三平面平行 三平面平行 無窮多組解 無解 無解 其中二個法向 量平行 另一個不平行 二平面重合且 與第三平面交於一直線 二平面平行且 與第三平面分別交於一直線 無窮多組解 無解 三個法向量 均不平行 三平面恰 交於一點 三平面兩兩不重合 且相交於一直線 三平面兩兩交於一直 線但沒有共同交點 恰有一組解 無窮多組解 無解 接下來,我們以實例來說明如何利用法向量及聯立方程式的求解來判定 三個平面的相交情形。

(26)

(1) 當三平面的法向量有平行的情形時,是較容易判定的,舉例說明如下:給 定三平面 1

:

2,

2

: 2

2

2

4,

3

: 3

4

E x y z

  

E

x

  

y

z

E

x y z

  

。 因為

E

2的方程式可以改寫成

2

x y z

  

, 與

E

1的方程式相同,所以平面

E

1

E

2重合。又因為

E

3的 法向量

n 

3

3,1, 1

與平面

E E

1

,

2的法向量不平行,所以 3

E

同時與

E E

1

,

2二平面交於一直線。因此,在幾何上,此 三平面中二平面重合且與第三平面交於一直線,如圖 7 所示。 (2) 當三個平面的法向量均不平行時,如何判斷它們的相交情形呢?由上表的 分類知:此時三平面的相交情形有三種,且此三種的交點個數皆不相同。 因此,我們可以利用解聯立方程式來確定它們的相交情形。舉例說明如下: 給定三平面 1

:

4

5

0,

2

: 2

5

1,

3

:

2

1

E x

  

y

z

E

x

  

y z

E x

  

y z

。 因為三平面

E E E

1

,

2

,

3的法向量

n

1

1, 4,5 ,

n

2

2,5,1 ,

n

3

1, 2, 1

均 不互相平行,所以將三平面的方程式聯立起來並編號為

4

5

0

2

5

1

2

1

x

y

z

x

y z

x

y z

  

   

   

首先,利用加減消去法先消去 x:由

,得

2

y

 

6

z

1

, 由

 

2

,得

3

3

y

 

z

接著,再消去 y:由

 

2

,得

0

z 

5

(或

0 5

)。 最後,因為沒有任何實數 z 滿足上式,所以原聯立方程式無 解。因此,在幾何上,此三平面兩兩交於一直線但沒有共同 交點,如圖 8 所示。 ▲圖 7 ▲圖 8

(27)

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 聯立方程式

2

3

1

4

5

3

3

x

y

z

y

z

z

  

  

 

恰有一組解。 (2) 聯立方程式

1

2

x y z

y z

  

  

無解。 (3) 增廣矩陣

1

2 1 0

3 2

1 4

1 1

2 9

1

2 1 0

1 1

2 9

3 2

1 4

所對應的聯立方程式的解相同。 Ans: 【詳解】 (1) ○:恰有一組解 x=2,y=3,z=3。 (2) ╳:有無窮多組解 x=1,y=2-t,z=t,,t 為任意實數。 (3) ○:因為將

1

2 1 0

3 2

1 4

1 1

2 9

第二、三列對調, 得

1

2 1 0

1 1

2 9

3 2

1 4

, 所以兩增廣矩陣所對應的聯立方程式的解相同。

一、基礎題

(28)

1. 利用加減消去法解下列各聯立方程式: (1)

2

2

11

2

3

4

8

4

3

7

x

y

z

x

y

z

x

y z

  

   

   

(2)

2

2

2

2

1

4

3

4

x y

z

x

y z

x

z

  

   

  

(3)

2

2

2

2

2

2

3

3

4

0

x

y

z

x y

z

x

y

z

  

   

   

Ans: 【詳解】 (1) 將聯立方程式編號為

2

2

11

2

3

4

8

4

3

7

x

y

z

x

y

z

x

y z

  

   

   

, 首先,利用加減消去法先消去z: 由

 

2

,得

7 14

y

, 接著,解得

y

2

, 由

 

2

,得

9 8

x

 

y

25

, 將

y

2

代入 式,得

x

1

。 最後,再將

x

 

1,

y

2

代回 式, 解得

z

3

, 故聯立方程式的解為

1,

2,

3

x

  

y

z

。 (2) 將聯立方程式編號為

2

2

2

2

1

4

3

4

x y

z

x

y z

x

z

  

   

  

, 首先,利用加減消去法先消去x: 由

 

2

,得

4

y

 

5 3

z

, 由

 

4

,得

4

y

 

5

z

4

。 接著,再消去y:由

,得

0

z 

1

(29)

因為沒有任何實數z 滿足上式, 所以原聯立方程式無解。 (3) 將聯立方程式編號為

2

2

2

2

2

2

3

3

4

0

x

y

z

x y

z

x

y

z

  

   

   

, 首先,利用加減消去法先消去x: 由

 

2

,得

3

y

 

2

z

6

, 由

 

3

,得

3

y

 

2

z

6

。 接著,再消去y:由

,得

0

z

0

, 因為任意實數z 都滿足上式, 所以令

z

3

t

代入 式,得

y

 

2 2

t

, 再將

y

 

2 2,

t z

3

t

代回 式, 得

x

 

2 2

t

, 因此,可得聯立方程式的解為

2 2

2 2

3

x

t

y

t

z

t

 

  

 

,t 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 2. 已知方程式 y=ax3+bx+c 的圖形通過

     

1, 4 , 2,16 , 3,36

三點,求 a,b,c 的值。 Ans: 【詳解】 將三點的坐標代入方程式,可得

4

8

2

16

27

3

36

a b c

a

b c

a

b c

   

   

  

首先,利用加減消去法先消去 c:

,得

9

a b

 

3 12

, 即

3

a b

 

4

, 由

,得

28

a

 

4

b

32

(30)

7

a b

 

8

接著,再消去 b:

,得

4

a

4

, 解得

a

1

。 最後,將

a

1

代入 式,得

b

1

, 再將

a

 

1,

b

1

代回 式,得

c

6

, 故

a

  

1,

b

1,

c

6

3. 利用高斯消去法解下列各聯立方程式: (1)

2

3

5

2

3

5

9

3

3

8

x

y

z

x

y

z

x y

z

  

   

   

。 (2)

2

8

3

3

1

3

2

x

y z

x

y

z

x y z

  

   

   

Ans: 【詳解】 (1)

1

2 3 5

2

3 5 9

3

1 3 8

1

2 3

5

0 1

1

1

0 5

6

7

 

 

1

2 3

5

0 1

1

1

0 0

1

2

 

 

1

2 3

5

0 1

1

1

0 0

1

2

 

因為最後一個增廣矩陣所對應的 聯立方程式為

2

3

5

1

2

x

y

z

y z

z

  

  

 

, 所以將

z

2

代入 式,得

y

1

, 再將

y

 

1,

z

2

代入 式,得

x

1

, 故聯立方程式的解為

1,

1,

2

x

  

y

z

(31)

(2)

1 2

1 8

1

3

3 1

3 1

1 2

 

1 2

1

8

0

5

4

7

0

5

4

22

  

  

1 2

1

8

0

5

4

7

0 0

0

15

  

。 最後一個增廣矩陣所對應的聯立方程式為

2

8

5

4

7

0

15

x

y z

y

z

z

  

  

 

, 因為沒有任何實數z 能滿足 式, 所以原聯立方程式無解。 4. 已知聯立方程式

2

4

5

3

2

4

5

3

x y

z

x

y z

x y kz

  

   

   

無解,求 k 的值。 Ans: 【詳解】 利用增廣矩陣計算如下:

2

1 4 5

3 2 1 4

5 1

k

3

2

1 4 5

6

4

2 8

10 2 2

k

6

2

1

4

5

0 7

10

7

0 7 2

k

20

19

2

1

4

5

0 7

10

7

0 0 2

k

10

12

。 因為聯立方程式無解, 所以

2 10 0

k 

,解得

k 

5

數據

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參考文獻

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