財務危機預警模型之比較

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(1)國立交通大學財務金融研究所碩士論文. 財務危機預警模型之比較 Comparison Between Financial Distress Prediction Models. 研究生：詹益宗指導教授：李正福. 教授. 蔡璧徽. 教授. 中華民國九十五年六月.

(2) 財務危機預警模型之比較 Comparison Between Financial Distress Prediction Models. 研究生：詹益宗指導教授：李正福蔡璧徽. Student：Yitzung Jan Advisors：Chengfew Lee Bihuei Tsai. 國立交通大學財務金融研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Graduate Institute of Finance College of Management National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Finance June 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年六月.

(3) 財務危機預警模型之比較學生：詹益宗. 指導教授：李正福博士蔡璧徽博士. 國立交通大學財務金融研究所碩士班. 中. 文. 摘. 要. 本研究針對台灣上市上櫃公司的資料，以財務會計變數與市場變數的組合，建立 Logit 模型、MDA 模型與離散時間危險模型等財務危機預警模型，藉以觀察加入市場變數是否可增加模型的區別能力與預測能力，並比較三種統計模型的預測準確度。本研究將變數的組合歸為四類，依序為財務會計變數組合、財務會計變數加市場變數組合、市場變數組合以及 Shumway 變數組合。衡量模型預測準確度的方法有違約機率分配表、錯誤分類表、ROC 曲線與 AUC 值以及 EMC 值的分析。實證結果發現，樣本內資料以 Logit 模型使用財務會計變數加市場變數組合的區別能力最佳；樣本外資料的預測能力則是以財務會計變數加市場變數組合與 Shumway 變數組合較佳，但三種統計模型的預測能力並沒有顯著的差別。綜言之，加入市場變數確實可提升模型對樣本內資料的區別能力，但對樣本外資料的預測能力則沒有顯著提升。此外，若要準確判斷樣本外違約公司的違約傾向，交替使用財務危機預警模型不失為一個良好的方法。. 關鍵字：Logit；MDA；離散時間危險模型；ROC 曲線與 AUC；EMC. i.

(4) Comparison Between Financial Distress Prediction Models Student：Yitzung Jan. Advisors：Dr. Chengfew Lee Dr. Bihuei Tsai. Graduate Institute of Finance National Chiao Tung University. Abstract Based on the data of Taiwan corporations trading in TSE and OTC, this study used financial accounting variables and market variables to construct financial distress prediction models, such as Logit model, MDA model and discrete-time hazard model. With such methodology, I examined whether the added-in market variables could enhance the model’s discrimination ability and predicting capability or not, furthermore, I compared the accuracy of three statistical models. This study classified the variables into four categories, which are financial accounting variable group, financial accounting variable plus market variable group, market variable group and Shumway’s variable group, separately. The methods used in analyzing the models’ prediction accuracy are the default probability table, misclassification table, ROC curve and AUC, and EMC. The empirical results showed that the best model to discriminate in-sample data is Logit model composed of financial accounting variable plus market variable group; however, the best model to predict out-sample data is composed by financial accounting variable plus market variable group and Shumway’s variable group, but there are no difference between three statistical models in predicting capabilities. In summary, adding market variables does really enhance discrimination ability of in-sample data, but it doesn’t obviously enhance the prediction ability of out-sample data. Moreover, it is better to use financial distress prediction models alternatively in judging the tendency of the out-sample default firms.. Keywords：Logit；MDA；discrete-time hazard model；ROC curve and AUC；EMC. ii.

(5) 誌. 謝. 兩年的時間，在交通大學完成自己的碩士學位，一路的甘苦，冷暖自知，也總是達到最後的目的地。感謝李正福教授的指導，亦感謝清大張焯然教授與政大張清福教授撥空參與學生的論文口試，尤其感謝張清福教授在學生遇到瓶頸之時，不吝惜地給予指導糾正，在此敬上萬分謝意。兩年的研究路上，家人總是在旁鼓勵我，給我最大的包容，最値得信賴的依靠，讓我一路上即使顛簸難行，但卻是一一克服難關。感謝父母親無微不至的照顧，感謝姊姊在我迷失方向之時總能牽引我回歸正確的道路上。感謝在旗山的家人，你們的鼓勵讓我更有動力向前行。亦感謝身邊週遭的同學朋友，因為有了你們的加油，才讓我的人生更加充實完美。. 詹益宗. iii. 九十五年六月.

(6) 目. 錄. 中文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------i 英文摘要------------------------------------------------------------------------------------------ii 誌謝----------------------------------------------------------------------------------------------- iii 目錄----------------------------------------------------------------------------------------------- iv 表目錄------------------------------------------------------------------------------------------- vii 圖目錄--------------------------------------------------------------------------------------------- x 第一章緒論------------------------------------------------------------------------------------ 1 第一節背景與研究動機----------------------------------------------------------------- 1 第二節研究目的-------------------------------------------------------------------------- 2 第三節研究架構-------------------------------------------------------------------------- 2. 第二章文獻探討------------------------------------------------------------------------------ 4 第一節多變量區別分析----------------------------------------------------------------- 4 第二節 LOGIT 分析---------------------------------------------------------------------- 6 第三節離散時間危險模型-------------------------------------------------------------- 9 第四節綜合比較分析-------------------------------------------------------------------13. 第三章研究方法---------------------------------------------------------------------------- 15 第一節. 第二節. 第三節. 第四節. 第五節. Logit 模型 -----------------------------------------------------------------------15 3.1.1 Logit 模型的介紹 -----------------------------------------------------15 3.1.2 Logit 模型的估計 -----------------------------------------------------16 多變量區別分析模型----------------------------------------------------------17 3.2.1 多變量區別分析( MDA)模型的介紹 ------------------------------17 3.2.2 多變量區別分析模型的估計----------------------------------------17 離散時間危險模型-------------------------------------------------------------21 3.3.1 離散時間危險模型的介紹-------------------------------------------21 3.3.2 離散時間危險模型的估計-------------------------------------------21 利用逐步選取法挑選模型變數----------------------------------------------28 3.4.1 向前逐步迴歸法-------------------------------------------------------29 3.4.2 逐步迴歸法-------------------------------------------------------------30 模型評量的準則----------------------------------------------------------------30 3.5.1 ROC 曲線---------------------------------------------------------------30 3.5.2 錯誤分類表-------------------------------------------------------------33. iv.

(7) 3.5.3. EMC 評估方法 --------------------------------------------------------33. 第四章研究設計---------------------------------------------------------------------------- 36 第一節財務危機之定義----------------------------------------------------------------36 第二節研究資料-------------------------------------------------------------------------37 4.2.1 單期資料----------------------------------------------------------------37 4.2.2 多期資料----------------------------------------------------------------40 第三節研究變數-------------------------------------------------------------------------41. 第五章實證結果與分析------------------------------------------------------------------- 49 第一節財務會計變數模型-------------------------------------------------------------49 5.1.1 Logit 模型 --------------------------------------------------------------49 5.1.2 MDA 模型 --------------------------------------------------------------52 5.1.3 離散時間危險模型----------------------------------------------------57 5.1.4 利用錯誤分類表比較不同統計模型的預測結果 ----------------59 5.1.5 ROC 曲線與 AUC 值的分析 ----------------------------------------60 第二節財務會計變數加市場變數模型----------------------------------------------62 5.2.1 Logit 模型 --------------------------------------------------------------63 5.2.2 MDA 模型 --------------------------------------------------------------65 5.2.3 離散時間危險模型----------------------------------------------------68 5.2.4 利用錯誤分類表比較不同統計模型的預測結果 ----------------71 5.2.5 ROC 曲線與 AUC 值的分析 ----------------------------------------71 第三節市場變數模型-------------------------------------------------------------------74 5.3.1 Logit 模型 --------------------------------------------------------------74 5.3.2 MDA 模型 --------------------------------------------------------------76 5.3.3 離散時間危險模型----------------------------------------------------78 5.3.4 利用錯誤分類表比較不同統計模型的預測結果 ----------------80 5.3.5 ROC 曲線與 AUC 值的分析 ----------------------------------------80 第四節 Shumway 變數模型 ------------------------------------------------------------82 5.4.1 Logit 模型 --------------------------------------------------------------82 5.4.2 MDA 模型 --------------------------------------------------------------85 5.4.3 離散時間危險模型----------------------------------------------------87 5.4.4 利用錯誤分類表比較不同統計模型的預測結果 ----------------90 5.4.5 ROC 曲線與 AUC 值的分析 ----------------------------------------91 第五節預測能力的評比----------------------------------------------------------------93 5.5.1 EMC 分析 --------------------------------------------------------------93 5.5.2 十八間樣本外違約公司的預測情形-------------------------------94. 第六章結論與建議------------------------------------------------------------------------- 97 第一節結論 ------------------------------------------------------------------------------97 v.

(8) 第二節建議 ------------------------------------------------------------------------------99. 參考文獻--------------------------------------------------------------------------------------- 100 附錄一兩期時間的離散時間危險模型之參數推導--------------------------------- 102 附錄二離散時間危險模型之違約機率值估算方式--------------------------------- 106. vi.

(9) 表. 目. 錄. 表 2.1 表 2.2. Altman 對破產公司的預測結果 ---------------------------------------------------------- 5 Chava 與 Jarrow 的各種模型計算樣本外破產公司的破產機率大於 0.8 的比例--. 表 3.1 表 4.1 表 4.2 表 4.3 表 4.4 表 4.5 表 4.6 表 4.7 表 4.8 表 4.9 表 4.10 表 4.11 表 4.12 表 5.1 表 5.2 表 5.3 表 5.4 表 5.5 表 5.6 表 5.7 表 5.8 表 5.9 表 5.10 表 5.11 表 5.12 表 5.13 表 5.14 表 5.15 表 5.16 表 5.17 表 5.18 表 5.19. ------------------------------------------------------------------------------------------------12 四種可能的決策結果----------------------------------------------------------------------31 財務危機定義 ------------------------------------------------------------------------------36 樣本內公司產業分布情況----------------------------------------------------------------37 樣本外公司 ---------------------------------------------------------------------------------37 樣本公司的正常公司與違約公司數----------------------------------------------------38 樣本內違約公司違約情況總覽----------------------------------------------------------38 樣本內各年度違約公司總數-------------------------------------------------------------39 樣本外違約公司違約情況總覽----------------------------------------------------------40 年度總數分配 ------------------------------------------------------------------------------40 財務會計變數列表-------------------------------------------------------------------------41 市場變數 ------------------------------------------------------------------------------------45 靜態模型下的變數摘要統計-------------------------------------------------------------45 離散時間危險模型的變數摘要統計----------------------------------------------------47 Logit 模型(1)--------------------------------------------------------------------------------50 利用式 5.1 估計的樣本內資料違約機率分配表 -------------------------------------50 利用式 5.1 估計的樣本外資料違約機率分配表 -------------------------------------50 Logit 模型(1)之最適切割點 --------------------------------------------------------------52 MDA 模型(1.1)之分析過程 --------------------------------------------------------------52 財務會計變數模型之平均數差異性檢定----------------------------------------------53 MDA 模型(1.1)的群集中心值 -----------------------------------------------------------54 MDA 模型(1.1)之最適切割點 -----------------------------------------------------------55 MDA 模型(1.2)之分析過程 --------------------------------------------------------------55 財務會計變數模型之平均數差異性檢定----------------------------------------------56 MDA 模型(1.2)的群集中心值 -----------------------------------------------------------56 MDA 模型(1.2)之最適切割點 -----------------------------------------------------------57 離散時間危險模型(1) ---------------------------------------------------------------------57 利用式 5.4 的危險函數所估計的樣本內資料違約機率分配表--------------------58 利用式 5.4 的危險函數所估計的樣本外資料違約機率分配表--------------------58 離散時間危險模型(1)之最適切割點 ---------------------------------------------------59 利用錯誤分類表在樣本內的比較-------------------------------------------------------60 財務會計變數模型的樣本內 AUC 值 --------------------------------------------------62 財務會計變數模型的樣本外 AUC 值 --------------------------------------------------62. vii.

(10) 表 5.20 表 5.21 表 5.22 表 5.23 表 5.24 表 5.25 表 5.26 表 5.27 表 5.28 表 5.29 表 5.30 表 5.31 表 5.32 表 5.33 表 5.34 表 5.35 表 5.36 表 5.37 表 5.38 表 5.39 表 5.40 表 5.41 表 5.42 表 5.43 表 5.44 表 5.45 表 5.46 表 5.47 表 5.48 表 5.49 表 5.50 表 5.51 表 5.52 表 5.53 表 5.54 表 5.55 表 5.56 表 5.57. Logit 模型(2)--------------------------------------------------------------------------------63 利用式 5.5 估計的樣本內資料違約機率分配表 -------------------------------------64 利用式 5.5 估計的樣本外資料違約機率分配表 -------------------------------------64 Logit 模型(2)之最適切割點 --------------------------------------------------------------65 財務會計變數加市場變數模型之平均數差異性檢定-------------------------------66 MDA 模型(2)的群集中心值 -------------------------------------------------------------67 MDA 模型(2)之最適切割點 -------------------------------------------------------------68 離散時間危險模型(2) ---------------------------------------------------------------------69 利用式 5.7 估計的樣本內資料違約機率分配表 -------------------------------------69 利用式 5.7 估計的樣本外資料違約機率分配表 -------------------------------------70 離散時間危險模型(2)之最適切割點 ---------------------------------------------------71 利用錯誤分類表在樣本外的比較-------------------------------------------------------71 財務會計變數加市場變數模型的樣本內 AUC 值 -----------------------------------73 財務會計變數加市場變數模型的樣本外 AUC 值 -----------------------------------73 統計模型於不同變數下的 AUC 值比較 -----------------------------------------------73 Logit 模型(3)--------------------------------------------------------------------------------74 利用式 5.8 估計的樣本內資料違約機率分配表 -------------------------------------75 利用式 5.8 估計的樣本外資料違約機率分配表 -------------------------------------75 Logit 模型(3)之最適切割點 --------------------------------------------------------------76 MDA 模型(3)的群集中心值 -------------------------------------------------------------77 MDA 模型(3)之最適切割點 -------------------------------------------------------------77 離散時間危險模型(3) ---------------------------------------------------------------------78 利用式 5.10 估計的樣本內資料違約機率分配表 ------------------------------------78 利用式 5.10 估計的樣本外資料違約機率分配表 ------------------------------------79 離散時間危險模型(3)之最適切割點 ---------------------------------------------------79 利用錯誤分類表在樣本外的比較-------------------------------------------------------80 市場變數模型的樣本內 AUC 值--------------------------------------------------------80 市場變數模型的樣本外 AUC 值--------------------------------------------------------82 統計模型於不同變數下的 AUC 值比較 -----------------------------------------------82 Logit 模型(4)--------------------------------------------------------------------------------83 利用式 5.11 估計的樣本內資料違約機率分配表 ------------------------------------83 利用式 5.11 估計的樣本外資料違約機率分配表 ------------------------------------83 本研究四個 Logit 模型的違約機率分配比較表(%) ---------------------------------84 Logit 模型(4)之最適切割點 --------------------------------------------------------------85 本研究四個 Logit 模型的最適切割點與誤差比較-----------------------------------85 Shumway 變數模型之平均數差異性檢定 ---------------------------------------------85 MDA 模型(4)的群集中心值 -------------------------------------------------------------86 MDA 模型(4)的結構矩陣 ----------------------------------------------------------------86. viii.

(11) 表 5.58 MDA 模型(4)之最適切割點 -------------------------------------------------------------86 表 5.59 本研究四個 MDA 模型的最適切割點與誤差比較 ----------------------------------87 表 5.60 離散時間危險模型(4) ---------------------------------------------------------------------88 表 5.61 利用式 5.13 估計的樣本內資料違約機率分配表 ------------------------------------88 表 5.62 利用式 5.13 估計的樣本外資料違約機率分配表 ------------------------------------88 表 5.63 本研究四個離散時間危險模型的違約機率分配比較表(%) -----------------------89 表 5.64 離散時間危險模型(4)之最適切割點 ---------------------------------------------------89 表 5.65 本研究四個離散時間危險模型的最適切割點與誤差比較-------------------------90 表 5.66 利用錯誤分類表在樣本外的比較-------------------------------------------------------90 表 5.67 十二個財務危機預警模型之樣本外預測結果----------------------------------------90 表 5.68 Shumway 變數模型的樣本內 AUC 值 -------------------------------------------------92 表 5.69 Shumway 變數模型的樣本外 AUC 值 -------------------------------------------------92 表 5.70 十二個財務危機預警模型的 AUC 值比較 --------------------------------------------92 表 5.71 本研究四個 Logit 模型之 EMC 值------------------------------------------------------95 表 5.72 本研究四個離散時間危險模型之 EMC 值--------------------------------------------95 表 5.73 十八間樣本外違約公司在不同模型下的違約機率值與區別分數 ----------------96 附錄表一台泥公司的離散時間危險模型(1)之違約機率值計算方式 ------------------- 107. ix.

(12) 圖圖 1.1 圖 3.1 圖 3.2 圖 5.1 圖 5.2 圖 5.3 圖 5.4 圖 5.5 圖 5.6 圖 5.7 圖 5.8 圖 5.9 圖 5.10 圖 5.11 圖 5.12 圖 5.13 圖 5.14 圖 5.15 圖 5.16 圖 5.17 圖 5.18 圖 5.19 圖 5.20 圖 5.21. 目. 錄. 研究流程圖 ---------------------------------------------------------------------------------- 3 線性機率模型 ------------------------------------------------------------------------------15 ROC 曲線------------------------------------------------------------------------------------31 Logit 模型(1)在不同切割點下的誤差圖 -----------------------------------------------51 MDA 模型(1.1)在不同切割點下的誤差圖 --------------------------------------------54 MDA 模型(1.2)在不同切割點下的誤差圖 --------------------------------------------56 離散時間危險模型(1)在不同切割點下的誤差圖 ------------------------------------59 財務會計變數模型的樣本內 ROC 曲線圖 --------------------------------------------61 財務會計變數模型的樣本外 ROC 曲線圖 --------------------------------------------62 Logit 模型(2)在不同切割點下的誤差圖 -----------------------------------------------65 MDA 模型(2)在不同切割點下的誤差圖 ----------------------------------------------68 離散時間危險模型(2)在不同切割點下的誤差圖 ------------------------------------70 財務會計變數加市場變數模型的樣本內 ROC 曲線圖 -----------------------------72 財務會計變數加市場變數模型的樣本外 ROC 曲線圖 -----------------------------73 Logit 模型(3)不同切割點的誤差圖 -----------------------------------------------------76 MDA 模型(3)不同切割點的誤差圖 ----------------------------------------------------77 離散時間危險模型(3)在不同切割點下的誤差圖 ------------------------------------79 市場變數模型的樣本內 ROC 曲線圖 --------------------------------------------------81 市場變數模型的樣本外 ROC 曲線圖 --------------------------------------------------81 Logit 模型(4)不同切割點的誤差圖 -----------------------------------------------------84 MDA 模型(4)不同切割點的誤差圖 ----------------------------------------------------87 離散時間危險模型(4)在不同切割點下的誤差圖 ------------------------------------89 Shumway 變數模型的樣本內 ROC 曲線圖 -------------------------------------------91 Shumway 變數模型的樣本外 ROC 曲線圖 -------------------------------------------92. x.

(13) 第一章. 緒論. 第一節背景與研究動機 1988 年 7 月，巴塞爾銀行監理委員會提出一份報告，通稱為巴塞爾資本協定或是 Basel I，為國際間資本衡量與資本管理上的一大突破。但由於金融商品不斷的推陳出新，舊有的制度勢必無法滿足現有的市場狀況，所以巴塞爾銀行監理委員會在 2004 年 6 月提出新巴塞爾資本協定(或稱為 Basel II)，主要建立於三個支柱上：第一支柱為最低資本要求，第二支柱為監理審查，第三支柱為市場紀律；預計於 2006 年底在全球各地陸續開始實施。台灣各金融機構為因應 Basel II 制度的實施，無不投入大規模人力進行信用風險相關的研究，使得信用風險在台灣市場日益受到重視。目前市場上最常被用來估算信用風險值的四大信用風險衡量模型分別為信用計量(CreditMetricsTM)法、穆迪 KMV 的信用風險衡量法、信用風險加成模型(CreditRisk+ Model)以及信用投資組合觀(Credit Portfolio View)法。不管是應用哪一個模型，在應用之前的先決條件就是要計算出違約機率。一般最常使用的違約機率值為史坦普(S&P)評等機構與穆迪(KMV)公司所提供的數值，這兩間公司針對市場上的八種評等債券1蒐集大量的歷史資料，統整出每一種債券移轉至任何一種評等的機率。然而這些數值是針對整個市場的平均值，未必會符合銀行本身的情況，所以各家銀行皆致力於內部評等(Internal Ratings-Based)法的研究開發，冀望能夠建構一個符合銀行本身情況的信用風險模型。目前用來衡量信用風險的方法有標準法、基礎內部評等基準法與進階內部評等基準法。標準法是以 1988 年的 Basel I 為基礎下，根據交易對手的外部信用評等結果來區分風險等級，並依據其對應等級的風險權數提列資本。內部評等基準法可以區分為基礎法與進階法，基礎法規定銀行本身必須要自行估計違約機率，剩餘的風險成分則必須取決於監理機關的估計值；進階法則是規定銀行本身除了要自行估計違約機率外，違約損失. 1. 史坦普評等機構將市場上的債券評等分為 AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC 與違約；穆迪 KMV 公司則是分為 Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、CCC 與違約。 1.

(14) 率(Loss Given Default，LGD)、違約暴險(Exposure at Default，EAD)以及到期期限 (Maturity，M)的估計在滿足最低標準要求下也可以自行估計。由於內部評等法可依據銀行本身的實際情形進行風險資本的提列，可以降低銀行資金的閒置，使銀行在資金上的運用更加靈活，這個因素驅使各家銀行無不致力於這方面的研究。由於使用內部評等法的先決條件就是要自行估算違約機率，所以違約機率的估計已成為這個領域的研究重點之一。. 第二節研究目的在過去文獻中，探討財務危機預警模型的文章所使用的方法以統計學上的多變量區別分析方法與計量經濟學上的 Logit 方法為主。近年來又將生物醫學統計上的存活分析方法應用在這個領域上，使得預測方法越來越多元，比較不同模型間的預測準確性也成為研究的重要方向。本研究利用台灣經濟新報資料庫擷取台灣上市上櫃公司資料，利用上述三種方式建立財務危機預警模型並比較三個模型預測的準確性。就理論上的角度而言，存活分析在計算觀測年度的違約機率值時，尚需考慮公司過去每一年的違約機率值，由於一間公司的違約傾向應當可從其逐年的財務報表顯現出來，故存活分析的預測結果理當最佳，本研究冀望實證分析的結果將能與理論吻合。此外，隨著電腦科技技術的提升，促進市場資訊的快速流通，投資者能夠在短時間內獲取公司的重要資訊，並將其反應在證券市場上，故就理論而言，將「市場變數」加入財務危機預警模型應當可提升模型預測的準確性，這也是本研究冀望從實證結果得到的結論。. 第三節研究架構本研究的第一章為緒論，接續章節依次是第二章為文獻探討，第三章為研究方法，第四章為研究設計，第五章為實證結果與分析以及第六章為結論與建議。圖 1.1 為本研究的流程圖。. 2.

(15) 緒論. 文獻探討. 研究方法. Logit 分析. MDA 分析. 離散時間危險模型. 模型的評量. 違約機率分配表. ROC 與 AUC 值. 錯誤分類表. 蒐集資料. 實證研究與分析. 結論與建議. 圖 1.1 研究流程圖. 3. EMC 值.

(16) 第二章. 文獻探討. 第一節多變量區別分析 Altman(1968). 利用多變量區別分析(MDA)來預測公司的破產與否，是學術界第一. 位將 MDA 方法應用在預測公司破產的文章。在 Altman 之前的學者多是利用單一的財務比率去預測公司的破產情況，但是這樣的預測可能會造成較大的誤差。為改善這樣的問題，利用 MDA 來預測公司的破產是較為合適的。Altman 利用配對的方式，選取了 66 間樣本公司，其中破產公司與正常公司各 33 間，這 66 間公司的產業皆是製造業，且資產大小介於 70 萬美元至 2590 萬美元。接著 Altman 從五大類財務指標，即流動率、獲利率、槓桿比率、償債能力與活動力，22 個財務比率變數中挑選出 5 個財務比率來建構一條區別函數，這五個區別變數分別是 X1=營運資金／總資產，X2=保留盈餘／總資產，X3=息前稅前盈餘／總資產，X4=市值／負債面值，X5=銷貨收入／總資產。這五個變數建構出的區別函數為 Z＝0.012X1＋0.014X2＋0.033X3＋0.006X4＋0.999X5. (式 2.1). 這個區別函數是利用破產公司的前一年度資料所衍生出來2，正常公司群集的 Z-score 中心值為 5.02，違約公司群集的 Z-score 中心值則為－0.29。利用(式 2.1)去預測破產前一年度的情況，有 95.45%(63/66)的公司可以被正確分類至所屬群集。建立統計模型最重要的目的就是希望能利用模型預測出破產公司，Altman 為觀察模型的預測能力，選擇 33 間破產公司前 1 年、前 2 年、前 3 年、前 4 年與前 5 年的資料去驗證模型的預測能力，利用電腦自動區別的結果如表 2.1。由這樣的準確度來看，Altman 認為這個模型在預測破產前 2 年的資料時，準確度都很高，但若要預測更多年以前的資料則就不夠準確。然而，上述結果皆是電腦利用驗後機率值而自動分類，未必能使總分類誤差率最小化。故. 2. 正常公司是依照破產公司去選取配對，對每一間破產公司來說就會有一間相對應的正常公司，這間正常公司的選擇年度會與破產公司相同。 4.

(17) (表 2.1) Altman 對破產公司的預測結果破產前的年數. 破產公司數. 正確分類. 錯誤分類. 正確率(%). 1 2 3 4 5. 33 32 29 28 25. 31 23 14 8 9. 2 9 15 20 16. 95 72 48 29 36. Altman 利用人工方式找出使得型一誤差的公司數與型二誤差的公司數總和為最小值的最適切割點為 2.675，當(式 2.1)計算出公司的 Z-score＞2.675 則歸類為正常公司，Z-score ＜2.675 則歸類為破產公司；Altman 所定義的型一誤差為實際是破產公司卻被分類成正常公司，型二誤差則是實際為正常公司卻被分類成違約公司。經由最適切割點的選取，可以使模型的預測達到最佳化。. Theodossiou(1993) 認為區別分析、線性機率、Logit 與 Probit 模型都是屬於靜態模型，忽略公司過去有用的財務狀況資訊，所以作者利用多變量 CUSUM(cumulative sum) 模型來預測公司的破產與否。CUSUM 模型如(式 2.2)： Ci ,t = min(Ci ,t −1 + Z i ,t − K , 0) < − L. for K,L＞0. and t＝1,2,……. (式 2.2). (式 2.2)中的 Ci,t 為判斷破產與否的指標，Zi,t 則是利用預測變數 X 所推導出的 VARMA 過程。若 Ci ,t ≤ − L 時，判定為破產公司； Ci ,t > − L 時，則判定為正常公司。作者定義型一誤差率 Ph 為正常公司被錯誤判斷成破產公司的機率，型二誤差率 Pf 為破產公司被錯誤判斷成正常公司的機率。K 與 L 的最適值則是由(式 2.3)來決定： min EC = W f ⋅ Pf ( K , L) + (1 − W f ) ⋅ Ph ( K , L) K ,L. (式 2.3). EC 表示期望成本，Wf 則是依據投資者對型一誤差與型二誤差的偏好程度來決定。作者蒐集 197 間正常公司與 62 間破產公司的資料，以及五個預測變數，分別是固定資產／總資產、淨營運資金／總資產、每股保留盈餘／每股股價、存貨／銷售額與營業收入／. 5.

(18) 總資產，經由實證證明利用 CUSUM 模型預測公司的破產與否是較為準確的。由於 CUSUM 模型亦是利用指標分數 Ci,t 來判斷公司的破產與否，與 MDA 模型相似，加上 CUSUM 模型結合過去的訊息，所以作者將 CUSUM 模型稱為動態的區別分析。. 第二節 LOGIT 分析 Ohlson(1980). 利用 Logit 模型來分析公司的破產機率。在 Ohlson 之前的學者多是. 利用 MDA 模型去預測公司的破產與否，然而 MDA 模型不能夠計算出違約機率，造成在應用上的限制；此外，MDA 模型也必須要符合兩個群集的變異數-共變異數矩陣相同，並非所有的資料皆能符合這個條件。基於以上的原因，Ohlson 認為利用 Logit 模型估計破產與否是要比 MDA 模型合適的。Logit 模型不需要作任何的假設，亦可以利用模型計算出公司的破產機率，這些都是優於 MDA 模型之處。在樣本蒐集上，Ohlson 並非利用配對的方式來蒐集樣本，而是只要符合(1)時間在 1970 年~1976 年，(2)必須在交易所或是 OTC 市場交易，(3)產業為工業類別，這 3 個條件的公司就會被選取，所以最後 Ohlson 分析的樣本數為破產公司 105 間，正常公司 2058 間。Ohlson 使用九個財務變數，分別為 X1＝Ln(總資產／國民生產毛額物價指數)，X2＝總負債／總資產，X3＝營運資金／總資產，X4＝流動負債／流動資產，X5＝OENEG(總負債＞總資產時為 1，其餘為 0)， X6＝淨收入／總資產，X7＝營運資金／總負債，X8＝INTWO(淨收入在最近兩年＜0 則為 1，其餘為 0)，X9＝(NIt－NIt-1)／(|NIt|＋|NIt-1|)。Ohlson 利用這九個變數導出三個模型，模型一選取的破產公司是在 1977 年發生破產的公司，共計有 105 間；模型二選取的破產公司則是在 1978 年發生破產，共計有 100 間；模型三則是結合前述兩個期間，選取的破產公司為在 1977 年及 1978 年發生破產的公司。三個模型的預測正確率依序是 96.12%、95.55%與 92.84%，分類的依據是破產機率大於 0.5 則判定為破產公司。模型一的預測結果最佳，這是如預期的，因為破產前一年的資料通常可以提供較多的訊息。上述的結果是依據破產機率為 0.5 來歸類公司的群集，0.5 未必是好的分割點，Ohlson 挑選最適切割點的方法是找出能使型一誤差率和型二誤差率總和最小的切割點，型一誤差. 6.

(19) 的定義是實際上為正常公司但卻被歸類成破產公司，型二誤差則是實際上為破產公司卻被歸類成正常公司。這樣的定義恰與 Altman 相反，但卻不影響結果，因為兩者的目標皆是要找出使誤差總和達到最小值的切割點。針對模型一，Ohlson 找到的最適切割點為 0.038，此時的型一誤差率為 17.4%，型二誤差率則是 12.4%。. Lau(1987). 利用多項 Logit 分析(MLA)來預測公司的財務危機。有別於其他文獻只. 將公司歸類為破產公司與正常公司，Lau 將公司歸類為五種等級，0 為公司財務狀況穩定，1 為公司沒有發放股利或是減少股利發放，2 為公司發生技術上的違約或是應付帳款的違約，3 為符合破產法第九、十條情形的公司，4 則是已破產公司。作者對每種等級狀況各自抽取樣本公司，並利用十個財務變數建構五條多元迴歸方程式，依序為 Z0、 Z1、Z2、Z3 與 Z4。將每間公司的資料代入五條方程式中可得到五個 Z 值，則一間公司屬 4. 於第 j 群的機率為 exp(Zj)／ ∑ exp( Z i ) 。此外，作者利用「機率預測分數」來衡量模型 i =0. 預測的準確度，機率預測分數的公式如(式 2.4)：. S=. n −1 n 3 1 1 n ⎡ i 2 2⎤ f f i − k ⋅ fi − + − ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ j ⎥ n −1 ∑ 2 2(n − 1) i =1 ⎢⎣ j =1 j j = i +1 i = 1 ⎦. (式 2.4). k 表示公司實際所屬的群集，i 則是利用模型預測的群集。一間公司的 S 值必介於[0,1]， S 值越大表示模型預測越準確。經由實證的探討，作者證明利用 MLA 的方法將公司歸類為某一群集是可行的。. Queen and Roll(1987) 將消失的公司分為兩類，一類為公司被其他公司合併，另一類則是公司發生破產、停止交易或是被證交所剔除。作者選用五個市場變數作為預測變數，分別是公司流通在外的股東權益總值、股價、總報酬、報酬的波動度與 Beta 值。作者先將樣本公司在每個變數下皆劃分為十個等級，由 1 排序至 10，屬於 1 群集的公司代表此變數值最小，屬於 10 群集的公司代表此變數值最大。然後依序對每一個變數繪出每一個等級的公司在樣本期間內的累積消失率，累積消失率依據消失原因分為兩類。作者經由累積消失率的趨勢圖發現，除變數 Beta 的區別能力較差外，其餘四個變數皆. 7.

(20) 能明顯的區分出變數值所代表的意義。尤其是公司流通在外的股東權益總值，屬於 10 群集的公司的累積消失率明顯小於屬於 1 群集的公司，表示公司流通在外的股東權益總值越大，則發生公司消失的機率越低。由於作者將消失的公司分為兩類，故在建構模型時，其樣本公司可劃分為三類。第一類的樣本公司，公司消失的原因為被合併；第二類的樣本公司，公司消失的原因破產、停止交易或是被證交所剔除；第三類的樣本公司，公司消失的原因則是同時包含上述兩種原因。遂作者利用五個市場變數，分別對三類樣本公司建構 Logit 模型，經實證發現，任何 Logit 模型至少都有四個市場變數是顯著的。. Hopwood, McKeown and Mutchler(1994) 比較會計師意見與 Logit 統計模型在預測公司破產時是否有差異，這是因為在此篇文章發表之前的文獻研究皆認為統計模型在公司破產上的預測能力要優於會計師意見的預測。首先，作者修正傳統上的 Logit 模型，傳統的 Logit 模型沒有考慮到樣本比率和母體比率的差異，修正後的 Logit 模型如下：. p ( B )i =. eγ + β '⋅ xi 1 + eγ + β '⋅ xi. 其中 γ = ln[ prop( NB) ⋅ prop '( B)] − ln[ prop '( NB) ⋅ prop( B)] ，prop(NB)為樣本中的正常公司比率， prop(B) 為樣本中的破產公司比率， prop '( NB) 為估計的母體正常公司比率，. prop '( B) 為估計的母體破產公司比率。當母體公司的比率與樣本公司的比率完全相同時，γ值為零，模型就等同於一般的 Logit 模型。不管是 Logit 統計模型或是會計師意見的預測，結果必會產生兩種誤差，即將破產公司歸類為正常公司與將正常公司歸類為破產公司，兩種錯誤分類所造成的成本分別以 C ( NB B) 和 C ( B NB) 表示，兩者的比值稱為成本比(Cost Ratio)。本文的作者利用 EMC(Estimated Misclassification Cost)的觀念來評比兩個模型的優劣，做了下述四個統計檢定： (1) H1 ： MC(C) ＝ MC(P) ， (2) H2 ：. EMC(C) ≤ EMC(P)，(3) H3：EMC(C)＝EMC(A)，(4) H4：EMC(P)＝EMC(A)；其中 MC 表示模型係數，C 表示模型的樣本沒有區分成有財務危機與沒有財務危機，P 表示模型的樣本有區分成有財務危機與沒有財務危機，A 則表示會計師意見。收集的樣本期間為. 1974 年至 1985 年，其中 1974 年至 1981 年為建構模型的樣本內資料，1982 年至 1985 8.

(21) 年則是驗證模型準確率的樣本外期間。統計模型選取的財務會計變數有七個，分別是淨收入／總資產、流動資產／銷售額、流動資產／流動負債、流動資產／總資產、現金／總資產、長期負債／總資產以及 Ln(銷售額)。作者將其樣本公司依據會計師的評估分成有財務危機公司與沒有財務危機公司兩類，並分別估計出兩個 Logit 模型。作者發現上述的四個檢定中，第一個檢定與第二個檢定是被拒絕的，但第三個檢定與第四個檢定則沒有被拒絕，這表示有財務危機公司群集所形成的模型與沒有財務危機公司群集所形成的模型是有差異的，但會計師意見與 Logit 統計模型在破產預測上是沒有差異的。基於上述的結論，作者將其歸因於以前的研究沒有考慮到有財務危機與沒有財務危機的公司群集在母體上的差異，當考慮這項因子後，就可得知會計師意見與 Logit 統計模型在破產預測上是沒有差異的。. 第三節離散時間危險模型 Wheelock and Wilson(2000) 為觀察銀行破產與被併購的原因，遂利用比例危險模型(Proportional-hazard Model)進行分析。銀行破產或是被其他銀行併購，多數是由於銀行本身管理不善或是資產結構不佳所導致，故本作者將其預測變數分為六大類，分別是管理績效、資本適足率、資產結構、盈餘、流動性與其他因子。所謂的比例危險模型就是將危險函數 h(t;z)拆解成兩部份，如(式 2.5)： h(t ; z ) = ψ ( z ) ⋅ h0 (t ) ；. h0 (t ) 為風險基線因子. (式 2.5). 將預測變數代入(式 2.5)中的ψ ( z ) 即我們所要求的模型。作者將模型分為兩個，其中一個模型建構的樣本是破產公司，另一個模型的樣本則是被合併的公司，藉以觀察公司破產與被合併的原因是不相同的。由實證結果發現，銀行有較高的負債比率、較差的財務結構、較低的盈餘與較差的管理績效都會使破產風險增加；此外，若銀行能夠多角化經營，將可降低外在的經濟因素所導致的破產危機。另外，若一間銀行有較低的資本額與資產報酬，則被合併的機率就會增加；但銀行若是有高成本的無效率管理情形，將會導. 9.

(22) 致併購者卻步，使得被合併的機率降低。所以作者認為發生破產與被併購的原因並不全然相同。. Shumway(2001). 提出用離散時間危險模型(discrete-time hazard model)來估計違約. 機率。由於公司的破產傾向是有跡可尋的，這個傾向應該會隨著時間而逐漸明朗，所以在估計公司的破產機率時應該考慮到時間的因素。離散時間危險模型與以往的模型差別在於其參數值可隨著時間而變動，之前的 MDA 模型與 Logit 模型都無法隨著時間而改變，故離散時間危險模型屬於動態模型，MDA 模型與 Logit 模型則屬於靜態模型。. Shumway 利用簡單的兩期時間證明離散時間危險模型的參數估計值是不偏且有一致性，這也是 Logit 模型無法達到的效果，推導過程詳見附錄一。Shumway 並證明離散時間危險模型的概似函數就是多期 Logit 模型的概似函數，所以可利用 Logit 估計參數的方式去估計離散時間危險模型的參數。但是直接利用 Logit 估計離散時間危險模型的參數會產生問題，Logit 估計參數時是將每個觀察值視為獨立，可是在離散時間危險模型中，同一間公司的觀測年度是相關的，並非 Logit 所假設的彼此獨立，所以必須去修正. χ2 統計量中的樣本數 n，n 代表的是樣本公司數，並非所有公司年度的加總。Logit χ2 統計量型式如(式 2.6)：. ( µk − µ0 ) ' ∑ −1 ( µk − µ0 ) n. ~ χ 2 (k ). (式 2.6). k 為 Logit 模型選進的變數個數，有 k 個虛無假設μ0 要檢定，Σ 為 k 個變數的變異數-共變異數矩陣。離散時間危險模型中的危險函數(hazard function)如(式 2.7)所示：. φ (t , x;θ1 ,θ 2 ) =. 1 1 + Exp [ g (t ) '⋅ θ1 + x '⋅ θ 2 ]. (式 2.7). g(t)在 Shumway 的文章中是指公司上市上櫃年齡取自然對數值，模型在加入 g(t)後，危險模型就是個累積的違約時間模型。Shumway 挑選樣本公司的準則為：(1)在 1962 年之前及 1992 年之後才開始交易的公司排除在外，(2)SIC 代碼從 6000 至 6999 的公司(金融產業)也排除在樣本外。最後的樣本公司有 3182 間(包括破產公司 300 間)，以及 39745. 10.

(23) 個觀察年度。在預測變數的選取，Shumway 除了利用 Altman、Zmijewski 的變數外，並加入三個市場變數，分別是市值比重、超額報酬率以及 Sigma。實證方面，Shumway 只利用 Altman 的變數做預測時，以離散時間危險模型的預測最準確，樣本外的破產公司有 82.9%的破產機率大於 0.8。只利用 Zmijewski 的變數做預測時，離散時間危險模型的預測能力就沒有比其他統計模型準確，只有 70.3%破產公司的破產機率大於 0.8。最後，. Shumway 僅用離散時間危險模型比較單獨利用市場變數做預測與市場變數加上兩個財務會計變數(淨收入／總資產、總負債／總資產)做預測的結果，利用市場變數加兩個財務會計變數可得到 87.5%破產公司的破產機率大於 0.8，但單獨利用市場變數做預測則只有 79.6%破產公司的破產機率大於 0.8。根據以上實證結果，Shumway 認為將市場變數與兩個會計比率變數結合的離散時間危險模型可在樣本外的預測更為準確。. Chava and Jarrow(2001) 利用離散時間危險模型來估算違約機率，並將樣本資料分成年資料與月資料。樣本公司則可分為兩類，一類排除金融產業，並只有在美國證券交易所(AMEX)和紐約證券交易所(NYSE)交易的公司；另一類則是包含金融產業，並且亦加入在那斯達克(NASDAQ)交易的公司。排除金融產業的原因是較早的文獻鑑於金融產業的資產負債表相異於其他產業，所以多數的文獻皆是排除掉金融產業，作者為了與之前的文獻比較，故使用排除掉金融產業的樣本來建立預測模型。選擇的預測變數，除了以前文獻上常使用的財務會計變數與 Shumway 的市場變數外，作者更加入產業別的虛擬變數，藉此觀察產業別變數是否可以增加模型的預測能力。作者將產業劃分為四類：. (1)財金、保險與不動產產業；(2)運輸、通訊與公共事業產業；(3)製造與礦工產業；(4) 未包含在前三項的產業。第一組樣本，作者先利用排除掉金融產業的年資料樣本建構預測模型，此時亦沒有加入產業別變數，則 Shumway 的五個變數3與單獨使用市場變數對破產公司的預測，分別有 86.4%與 85.6%的破產機率大於 0.8，是預測最準確的變數組合。接者作者將變數組合分成兩組，一組是財務會計變數組合，另一組則是財務會計變數加上市場變數組合。本研究將作者剩餘的四組樣本結果整理於表 2.2。由表 2.2 可以明顯看 3. 五個變數分別為市值比重、超額報酬率、Sigma、淨收入／總資產與總負債／總資產。 11.

(24) 出利用財務會計變數加上市場變數組合的預測能力要顯著地優於財務會計變數組合。此外，作者亦利用月資料的樣本，單獨使用 Shumway 的三個市場變數進行模型的建構與預測，結果有 89.2%破產公司的破產機率大於 0.8，也是顯著地優於財務會計變數組合。所以作者認為使用月資料與增加產業別變數都能使模型的預測能力更加準確，並由此證明市場是有效率的。. (表 2.2) Chava 與 Jarrow 的各種模型計算樣本外破產公司的破產機率大於 0.8 的比例資料. 樣本. 財務會計變數組合. 財務會計變數加市場變數組合. 年資料. 排除金融產業，加入產業別變數. 60.8%. 86.4%. 年資料. 加入金融產業與產業別變數. 37.94%. 78.82%. 年資料. 加入金融產業、產業別變數與在 NASDAQ 交易的公司. 53.23%. 79.12%. 月資料. 加入金融產業、產業別變數與在 NASDAQ 交易的公司. 79.94%. 91.98%. 陳彥翰(2004). 利用 Logistic Discrete Hazard Model 來預測公司的違約機率。作者將. 預測變數分為四大類，分別是會計比率、市場變數、總經變數以及股權變數；違約定義則分成兩種，即台灣經濟新報資料庫所定義的兩種財務危機類型，分別為財務危機與準財務危機。作者先各自利用每一類變數去建立一個預測模型，然後再把這四個模型所挑出的變數建立另一個預測模型。作者比較各種模型的結果發現，兩種財務危機定義在每種變數類別所構成的模型並沒有太大差異，所以分成兩類財務危機對模型的建立沒有很大的幫助；模型的樣本外預測能力在電子業沒有太大差異，在營建水泥業上為市場變數模型的預測能力優於會計比率模型，在其他產業則是會計比率模型要優於市場變數模型；合併模型的預測能力幾乎都優於各別模型，所以作者認為在預測違約機率時應該盡量使用多種解釋變數。. 黃瑞卿，魏曉琴，李昭勝，李正福(2004). 利用離散型倖存模型來預測公司的財務. 危機機率，並將預測結果與 Logit 模型和 Probit 模型比較。作者指出 Shumway(2001)利用的離散時間危險模型有四個缺失。第一，Shumway 證明離散時間危險模型等同於多期 12.

(25) Logit 模型，Logit 模型是將每個觀察值視為獨立，但一間公司的各期資料應會隨著時間而有相關性，這與實際情況不吻合。第二，使用多期 Logit 模型估計離散時間危險模型的參數將無法得到最大概似估計式的漸近常態分配。第三，對多期 Logit 模型的卡方統計量來說，n 的數值是公司年度總數；但離散時間危險模型的卡方統計量的 n 值則是公司數目，而非公司年度總數，故利用多期 Logit 模型估計離散時間危險模型將會遇到調整卡方統計量的自由度麻煩。第四，若危險函數沒有取為 logistic 分配，則多期 Logit 模型將無法解釋離散時間危險模型。基於上述四個理由，作者遂利用與離散時間危險模型有相同理論架構，但卻沒有離散時間危險模型限制的離散型倖存模型來進行預測。作者利用樣本內資料建立的模型找出使得型一誤差與型二誤差總和為最小值的最適切割點，並由樣本外的資料來檢測模型預測的準確度。經由實證研究發現：(一)離散型倖存模型在解釋變數為公司年齡加 Altman 變數時，其預測能力最佳；(二)使用更長時間的歷史資料並不會增加離散型倖存模型的預測能力，所以作者建議可以排除掉較早的歷史資料以換取較準確的預測能力。. 第四節綜合比較分析 Mensah(1984) 先利用 Logit 模型建構財務危機預警模型。作者依據外在總體經濟的情況，將樣本分為四個期間，並利用因素分析法把三十八個財務比率變數歸類成十個因素，分別對四個樣本期間與總樣本期間建構五個財務危機預警模型。接者作者將樣本公司歸類為零售業與製造業，並將樣本分為景氣衰退期間、景氣擴張期間、1972 年 1 月至 1975 年 3 月與 1976 年 4 月至 1980 年 6 月等四個期間，分別對其建構預警模型。最後，作者利用 MDA 模型建構預警模型，同時選擇變數的方法不再利用因素分析法，而是直接使用原本的財務比率變數，藉以比較變數存在共線性時對模型預測結果的影響。經由實證結果的分析，作者提出三個結論，第一，對不同的總體經濟狀況建構不同的預警模型可得到較正確的預測結果；第二，即使在同一總體經濟狀況下，對不同產業分別建構預警模型可得到較正確的預測結果；第三，排除預測變數的共線性問題後，可. 13.

(26) 使模型得到較正確的預測結果。. 魏曉琴(2004). 利用離散型倖存模型、Logit 模型、Probit 模型以及 MDA 模型來建. 構財務危機預警模型。作者選取的研究樣本為 1981 年至 2002 年的上市公司，其中 1981 年至 1999 年為樣本內資料，2000 年至 2002 年為樣本外資料，並且樣本內資料限定在. 1981 年至 2002 年才上市的公司。排除掉金融產業與電子產業後，依據台灣證券交易法第 49 條、第 50 條以及第 50-1 條的財務危機定義各選出 29 間樣本內財務危機公司以及樣本外財務危機公司。研究變數則是分為兩組資料，第一組為 Altman 變數，第二組則是 Zmijewski 變數。作者利用型一與型二誤差和的最小值找出每一個模型的最適切割點，以及檢定力函數來比較模型間的優劣。理論上應當以離散型倖存模型的預測會最佳，但作者的實證研究卻與理論有些出入；但若排除掉 MDA 模型後，利用第一組解釋變數建構的離散型倖存模型在財務危機的預測上表現最佳。. 陳孟雅(2005). 利用 MDA 模型、Logit 模型以及離散型倖存模型建構財務危機預警. 模型。作者的研究樣本為在台灣上市上櫃市場曾經有交易的公司，期間從 1986 年至 2003 年，以 1986 年至 2002 年為樣本內資料建構模型，再以 2003 年為樣本外資料驗證模型的準確度。作者違約公司的選取為符合台灣證券交易法第 49 條、第 50 條以及第 50-1 條的規定者。作者利用逐步選取法，從其選擇的 56 個變數中挑選出解釋能力最佳的變數來建構模型。由於錯誤分類表的結果會隨著不同的切割點而有不同的誤差率，在比較模型時會產生沒有一致標準的問題，遂作者再加入 ROC 曲線與 AUC 值來評比模型間的優劣。經由最適切割點的選取，ROC 曲線的分析，以及 AUC 值的比較，作者發現樣本內資料以 Logit 方式建立的模型判別能力最佳，樣本外資料的預測能力則是以 MDA(模型 2)模型最佳。. 14.

(27) 第三章. 研究方法. 第一節 Logit 模型 3.1.1 Logit 模型的介紹利用一般的線性機率模型來估計違約機率雖然簡單方便，但是會產生一個嚴重問題，就是違約機率值會超出[0,1]的範圍，造成估計不合理的現象，如圖 3.1 所示。. Y=p(X). 1. X. 0. (圖 3.1) 線性機率模型由圖 3.1 可知，粗黑線部份的機率值超出了[0,1]的界線，若是代入自變數 X 的數值得到粗黑線部份的機率值，則此機率值就失去其意義。利用 Logit 模型來估計公司違約機率的好處就在於其違約機率值會介在[0,1]之間，其函數型式可以表示如(式 3.1)：. p ( x) =. 1 1+ e. -(α + β x ). ( lim e-(α + β x ) = 0 ⇒ α + β x →∞. (式 3.1). lim p ( x) = 1 ). α + β x →∞. 對任意實數 x 來說，p(x)的範圍定會介在(0,1)之間，這也是 Logit 模型被廣泛應用在估計. 15.

(28) 違約機率的原因。然而，Logit 模型的參數估計值會產生偏誤的問題，所以本研究將利用離散時間危險模型來修正這樣的偏誤問題，這將在後面的小節繼續討論之。. 3.1.2 Logit 模型的估計 Y1,Y2,…Yn 為 Bernoulli(pi)的獨立分配。在 Logit 模型中，pi 被定義與變數 Xi 有下列的關係式：. p log( i ) = α + β X i 1- pi 經由上式可以推導出. pi =. eα + β X i 1 = α +β Xi -(α + β X i ) 1+ e 1+ e. 更一般化的形式可以表示為矩陣形式，即. p( X ) =. eα + β X 1 = -(α + β X ) α +β X 1+ e 1+ e. 其中 β 為 1 × k 的矩陣，X 為 k × 1 的矩陣。接者利用最大概似估計法來估計模型參數 α 與 β。因為 Yi 為 Bernoulli(pi)的分配，所以 f ( yi ) = pi yi (1- pi )1- yi 。概似函數可以表示如(式 3.2)： n. n. i =1. i =1. L(α , β y ) = ∏ pi yi (1- pi )1- yi = ∏ [ F (α + β xi )] yi [1- F (α + β xi )]1- yi F (α + β xi ) yi = ∏[ ] [1- F (α + β xi )] i =1 1- F (α + β xi ) n. ⇒. ⇒. (式 3.2). n ⎧ F (α + β xi ) ⎫ ln L(α , β y ) = ∑ ⎨ln[1- F (α + β xi )] + yi ⋅ ln ⎬ 1- F (α + β xi ) ⎭ i =1 ⎩. ∂ ln L(α , β y ) ∂α. n ⎧ - f (α + β xi ) ⎫ f (α + β xi ) = ∑⎨ + yi ⋅ ⎬ F (α + β xi ) ⋅ [1- F (α + β xi )] ⎭ i =1 ⎩1- F (α + β xi ) n. = ∑[ i =1. ∂ ln L(α , β y ) ∂β. f (α + β xi ) ⋅ [ yi - F (α + β xi )] ] = 0 ---------------------------------- (a) F (α + β xi ) ⋅ [1- F (α + β xi )]. n ⎧ - f (α + β xi ) ⋅ xi ⎫ f (α + β xi ) ⋅ xi = ∑⎨ + yi ⋅ ⎬ F (α + β xi ) ⋅ [1- F (α + β xi )] ⎭ i =1 ⎩ 1- F (α + β xi ). 16.

(29) n. = ∑[ i =1. 其中. f (α + β xi ) ⋅ xi ⋅ [ yi - F (α + β xi )] ] = 0 ------------------------------ (b) F (α + β xi ) ⋅ [1- F (α + β xi )]. dF (α + β xi ) eα + β xi f (α + β xi ) = = ； d (α + β xi ) (1 + eα + β xi ) 2. eα + β xi f (α + β xi ) (1 + eα + β xi ) 2 ⇒ = α + β xi = 1 ---------------------------------- (c) e 1 F (α + β xi )[1- F (α + β xi )] ) ×( 1 + eα + β xi 1 + eα + β xi 由於(a)、(b)兩式並非 α 與 β 的線性函數，加上(c)的條件後，再利用數值分析方法求解 α 與 β 的估計值。. 第二節多變量區別分析模型 3.2.1 多變量區別分析模型的介紹區別分析的主要目的是為了區分出群體間的差異，其先利用區別變數建立區別規則，再由此區別規則對每一個個體進行分類，並去預測每個個體屬於各群體的機率，此區別規則就是由區別分析所建立的區別函數。常使用的區別規則有線性區別函數、典型區別、邏輯迴歸分析與逐步區別分析。本研究所使用的區別規則為典型區別，典型區別即 MDA 模型，其函數型式為：. Y = α + β1 X 1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + ...... + β n X n 設定一個 cut-point＝C，當 Y>C 則歸為 A 類，Y<C 則歸為 B 類。然而，此模型與 Logit 一樣為靜態模型，無法隨著時間去變動其參數，造成參數估計的偏誤。. 3.2.2 多變量區別分析模型的估計. 令 MDA 模型型式為. ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ y = b '⋅ x ； b = ⎜ b3 ⎟ ， x = ⎜ x3 ⎟ 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠. 17.

(30) 目的為找到一個最適估計值 b，使得發生財務危機集群與正常營運公司集群的差異達到最大，這樣的目的與變異數分析的意義相同，故亦是利用 F 檢定統計量來找尋 b 值，冀望此 b 值使得 F 統計量達到最大值。定義 F =. mean square error between ，本研究將樣本公司分為兩個群集，正常公司 mean square error within. 群集與違約公司群集，故 2. F=. ni. ∑∑ ( yi⋅ - y⋅⋅ )2 i =1 j =1 2 ni. ∑∑ ( y. ij. i =1 j =1. - yi⋅ ). ni. 2. =. ∑∑ ( y. i⋅. i =1 j =1. - y⋅⋅ ) 2 (式 3.3). σ y2. 2. n-2 其中 yij ≡ 第 i 群集的第 j 個觀察值， yi⋅ ≡ 第 i 群集的平均數， y⋅⋅ ≡ 全體 y 值的平均數。. ∴ y = b '⋅ x. ∵ y = b '⋅ x. ⇒. yi⋅ = b '⋅ xi⋅ ， y⋅⋅ = b '⋅ x⋅⋅. (式 3.4). 又變異數分析必須符合群集間的變異數相等，故在此設定兩個群集的變異數是一樣的。 ⇒ var( y i ) = var(b '⋅ x i ) = b ' ∑ b = σ y2. (式 3.5). ⎛ S11 ⎜ ⎜ S21 其中 i = 1,2， ∑ = ⎜ S31 ⎜ ⎜ ⎜S ⎝ n1. S12. S13. S22. S23. S32. S 33. Sn2. Sn3. S1n ⎞ ⎟ S2n ⎟ S3n ⎟ 為樣本的變異數-共變異數矩陣 ⎟ ⎟ Snn ⎟⎠. 將(式 3.4)與(式 3.5)代入(式 3.3)，則(式 3.3)等於 2. F=. ni. ∑∑ ( yi⋅ - y⋅⋅ )2 i =1 j =1. σ 2. 2 y ni. 2. =. ni. ∑∑ (b ' xi⋅ - b ' x⋅⋅ )2 i =1 j =1. b '∑b. 2. =. ni. b ' ∑∑ ( xi⋅ - x⋅⋅ )( xi⋅ - x⋅⋅ ) ' b i =1 j =1. 2. b '∑b 2. =. b ' Bb b 'Wb. (式 3.6). ni. 其中 B = ∑∑ ( xi⋅ - x⋅⋅ )( xi⋅ - x⋅⋅ ) ' , W = ∑ (ni -1) S = ∑∑ ( xij - xi⋅ )( xij - xi⋅ ) '。得到 B 與 W 之 i =1 j =1. 2 i. i =1. i =1 j =1. 後，接者就是要找到一個最適 b 值，使得 F 值最大，此 b 值即為 Σ 的特徵向量，其計算方法如下：. 18.

(31) S11 -λ. S12. S13. S1n. S21. S22 -λ. S23. S2n. 令 Det (Σ－λ*I)＝0 ⇒ S31 . S32. S 33 -λ. Sn1. Sn2. Sn3. (式 3.7). S3n ＝ 0 Snn -λ. ⇒ 由(式 3.7)可得到 λ 的 n 個根，由於只有兩個群集，故只需要一個區別函數，故挑選解釋變異最多的 λ 值，此 λ 值為 n 個根中的最大值。 ⎛ S11 ⎜ ⎜ S21 ⇒ ⎜ S31 ⎜ ⎜ ⎜S ⎝ n1. S12. S13. S22. S23. S32. S 33. Sn2. Sn3. S1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜b ⎟ S2n ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ S3n ⎟ ⋅ ⎜ b3 ⎟ =λmax ⋅ ⎜ b3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ Snn ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ n⎠. ⇒ 利用矩陣運算，即可求出特徵向量. (式 3.8). ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ b = ⎜ b3 ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠. 統計學家 Bartlett 提出一個 V 統計量，用來檢定特徵值 λ 是否為顯著的。令. p +q⎤ ⎡ ⋅ ln(Λ ) V = - ⎢ (n -1) 2 ⎥⎦ ⎣ r. 1. i=1. 1+λ j. 其中 Λ =∏. (式 3.9). 為 Wilks 統計量，n 為樣本數，p 為模型選進的變數個數，q 為群集數。. 由於本研究的群集數為 2，只需要一個特徵值 λ，所以 Λ =. 1 1+λmax. 。. 檢定問題 ⇒ H o : λmax = 0 vs. H1 : λmax ≠ 0. p⎤ ⎡ 檢定統計量 ⇒ V = - ⎢ (n - 2) - ⎥ ⋅ ln(Λ ) ∼ χ p2 2⎦ ⎣. 4. SPSS 統計軟體跑出的形式為 Y = α + β1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ...... + β n X n ，由(式 3.8)可知參數的推導與截距項α無關，故可將右式的截距項α移至等號左邊，則模型即為一無截距項的區別函數。 19.

(32) 當上述檢定結果為拒絕 H0 時，表示有足夠證據顯示 λmax ≠ 0，則可利用 λ 值來求出 MDA 模型的係數矩陣 b。求出 b 值後即可求出(式 3.6)的 F 統計量，並做以下的 MDA 模型顯著性檢定：檢定問題 ⇒ H 0 : MDA模型是不顯著的(或b = 0) vs. H1 : MDA模型是顯著的(或b ≠ 0) 檢定統計量 ⇒ F =. b ' Bb ∼ F ( p, n - p -1) b 'Wb. 若上述結果拒絕 H0，則表示 MDA 模型是顯著的，可利用此模型進行違約與否的判別。除利用 MDA 模型導出 y 值，並用 y 值進行違約與否的判斷外，亦可以推導出一間公司落在兩個群集的驗後機率(Posterior Probability)，然後將樣本公司歸類為驗後機率較大的群集。在計算驗後機率之前，必須先定義馬氏距離(Mahalanobis Distances)：馬氏距離 Dk ( y ) ＝ ( y - µk ) ' ∑ -1 ( y - µk ). (式 3.10). 表示 y 至第 k 群中心點的距離。y 為利用 MDA 模型所計算出的數值， µ1與µ2 分別表示兩個群集的中心值。當馬氏距離越大表示此公司計算出的 y 值與第 k 集群的中心值越遠，屬於第 k 集群的機率自然越小。要計算驗後機率值，必須先假設群集資料符合常態分配。則第 k 群集的多變量常態分配之機率密度函數可以表示為(式 3.11)： -1. fk ( y) =. e2. Dk ( y ). ( 2π ) ⋅ ∑ k p. 1 2. ； p 為 MDA 模型的變數個數. (式 3.11). 在此假設兩個群集的變異數-共變異數矩陣相同，其值等同於(式 3.5)的 Σ，則. f1 ( y ) =. e. -1 D1 ( y ) 2. ( 2π ) p ⋅ ∑. 1 2. ， f2 ( y) =. e. -1 D2 ( y ) 2. ( 2π ) p ⋅ ∑. 1 2. 由於樣本為隨機選取，故兩個群集的驗前機率(Prior Probability) pk 皆為 0.5。則驗後機率的計算為. 20.

(33) p( y k ) =. pk ⋅ f k ( y ) 2. ∑ p ⋅ f ( y) i =1. i. (式 3.12). i. f1 ( y ) 2 表示某一間公司屬於第一群集的機率大小為 p ( y 1) = ，屬於第二群集的機率 f1 ( y )+f 2 ( y ) 2 f2 ( y) 2 大小則為 p( y 2) = ，若 p ( y 1) > p ( y 2) ，則判定這間公司屬於第一群集；若 f1 ( y )+f 2 ( y ) 2 p ( y 1) < p ( y 2) ，則判定這間公司屬於第二群集。這個驗後機率的數值可以直接由 SPSS. 統計軟體計算出來。. 第三節離散時間危險模型 3.3.1 離散時間危險模型的介紹由於上述的 Logit 模型和 MDA 模型無法考慮時間因素而使其參數估計值產生偏誤，Shumway 稱其為靜態模型。相對於靜態模型，Shumway 將離散時間危險模型稱為動態模型，並用其估計違約機率值。由 Shumway(2001)的文獻可知，只要將危險函數取為 Logistic 函數的累積機率密度函數(CDF)，則離散時間危險模型的概似函數就會等同於多期 Logit 模型的概似函數，故在此假設下，離散時間危險模型的參數估計值與多期. Logit 模型的參數估計值將會相等。離散時間危險模型的優點不但在於其模型估計的違約機率值可以隨著時間而變化，其參數估計亦是不偏估計量，這也修正在 Logit 模型所產生的參數估計值會有偏誤的問題。. 3.3.2 離散時間危險模型的估計 (一) 危險函數與存活函數的定義 (1) 連續型資料. 21.

(34) 一間公司的存活時間≧t 的機率函數稱為存活函數(survival function)，可以用 ST(t) 來表示，如(式 3.13)所示： ∞. ST (t ) = P(T ≥ t ) = ∫ fT (u )du. (式 3.13). t. 其中 fT (t ) 為一公司在 t 時的違約機率密度函數。 FT (t ) 為 fT (t ) 的累積機率密度函數，即 t. ∞. 0. t. FT (t ) = ∫ fT (u )du = 1 − ∫ fT (u )du = 1 − ST (t ). (式 3.14). d d ' ' FT (t ) = [1 − ST (t )] ⇒ FT (t ) = − ST (t ) dt dt. (式 3.15). 由(式 3.14)可得知. '. 根據 (I) cdf 與 pdf 之間的關係： fT (t ) = FT (t ) '. (II) 微分的定義： FT (t ) = lim+ ∆→ 0. ⇒ fT (t ) = lim+ ∆→ 0. FT (t + ∆) − FT (t ) ∆. = lim+ ∆→ 0. P(t ≤ T ≤ t + ∆ ) ∆. P(t ≤ T ≤ t + ∆ ) ' ⇒ fT (t ) = －ST (t ) ∆. (式 3.16). (式 3.16)亦可根據微積分的萊布尼茲(Leibnitz)微分法則來推導： '. ⇒ ST (t ) =. ∂ ∂ ∞ ST (t ) = ∫ fT (u )du ∂t ∂t t ∞⎡ ∂ dc dt ⎤ fT (c) − fT (t ) = 0 + 0 − fT (t ) = − fT (t ) = ∫ ⎢ fT (u ) ⎥ du + lim t ⎣ ∂t →∞ c dt dt ⎦ '. ∴ fT (t ) = − ST (t ) 利用以上的敘述可定義危險函數(Hazard Function) hT (t ) 為： P[(t ≤ T ≤ t + ∆ ) ∩ (t ≤ T )] P(t ≤ T ≤ t + ∆ t ≤ T ) P(t ≤ T ) hT (t ) = lim+ = lim+ ∆→ 0 ∆→0 ∆ ∆. P(t ≤ T ≤ t + ∆ ) f (t ) 1 P(t ≤ T ≤ t + ∆ ) 1 P(t ≤ T ) = ⋅ fT (t ) = T = lim+ = ⋅ lim+ ∆→0 ST (t ) ST (t ) ∆ ∆ P(t ≤ T ) ∆→0 (式 3.17) (式 3.17)即為本研究所定義的危險函數，表示某一公司在存活至 t 時的條件機率下，公. 22.

(35) 司瞬間發生財務危機的機率。本研究將利用此危險函數來估計離散時間危險模型的參數估計值。利用(式 3.17)可推導出存活機率 ST (t ) ： ⇒ hT (t ) =. fT (t ) ST (t ). '. =. FT (t ) ST (t ). '. =. − ST (t ). = − d ln ST (t ) (*根據式 3.15 轉換). ST (t ). t. t. t. 0. 0. 0. ⇒ − ∫ hT (u )du = ∫ d ln ST (u ) ⇒ − ∫ hT (u )du = ln ST (t ) − ln ST (0). ∵ 一間公司在 t＝0 時的存活機率必為 1 ∴ ST (0) = 1 ⇒ ln ST (0) = 0 t. ⇒ − ∫ hT (u )du = ln ST (t ) ⇒ ST (t ) = e. −. t. ∫0 hT (u ) du. 0. =e. − HT ( t ). (式 3.18). [* H T (t ) 為 hT (t ) 的累積機率密度函數] (2) 離散型資料由於研究資料屬於離散型，故時間 t＝1,2,3,……。 ST (t ) 表示在時間為 t 時的存活機率，即違約時間點可發生在 t+1,t+2,……的機率。故 ST (t ) 與 fT (t ) 關係可表示如(式 3.19)： ST (t ) = fT (t + 1) + fT (t + 2) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5. (式 3.19). 所以根據(式 3.17)危險函數的定義，離散型的危險函數可以表示如下： ⇒ hT (t ) =. fT (t ) ST (t ). =. fT (t ) fT (t + 1) + fT (t + 2) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ t. 接者定義離散型危險函數的累積機率密度函數為 H T (t ) = ∑ hT (i ) 。 i =1. ∵ hT (t ) → 0 ⇒ hT (t ) ≈ − ln[1 − hT (t )]. 由(式 3.18)知 ST (t ) = e. 5. − HT ( t ). t. t. i =1. i =1. ∴ H T (t ) = −∑ ln[1 − hT (i )] = − ln ∏ [1 − hT (i )]. ，故可推導如(式 3.20)：. Cox 書中定義存活函數為 S (t ) = f (t ) + f (t + 1) + f (t + 2) + T. T. T. T. ，(式 3.19)捨去 f (t ) 的原因為. 本研究強調在時間 t 時仍為存活的機率，不可發生財務危機，故捨棄之。 23. T.

(36) t. ST (t ) = e. − HT ( t ). ln. =e. ∏[1− hT (i )] i =1. t. = ∏ [1 − hT (i )]. (式 3.20). i =1. 則 1－ ST (t ) 即為離散時間危險模型下的違約機率估計值。. (二) 模型參數的理論估計值 (1) 離散時間危險模型與多期 Logit 模型的概似函數相同的證明首先，先證明危險函數取為 Logit 機率分配的過程。為與 Logit 模型做比較，本研究將違約機率密度函數 fT (t ) 取為 Logistic 分配，即 fT (t ) =. ∞. ⇒ 存活機率 ST (t ) = ∫ fT (u )du = ∫ t. fT (t ). u u 2. (1 + e ). t. e. e. ∞. du =. e. t t 2. (1 + e ). 。. 1 1+ e. t. t t. t 2. 1 e (1 + e ) ⇒ 危險函數 hT (t ) = = = = −t t 1 ST (t ) 1+ e 1+ e t 1+ e. 故可得到危險函數 hT (t ) 即為 Logistic 函數的累積機率密度函數，即 Logit 機率分配。離散時間危險模型的的概似函數可以表示成(式 3.21)：. ti −1 yi ⎪⎧ ⎪⎫ 1− yi L = ∏ ⎨h(ti , xi ;θ ) ⋅ ⎡⎣1 − h(ti , xi ;θ ) ⎤⎦ ∏ ⎡1 − h(t j , x j ;θ ) ⎤ ⎬ 6 ⎣ ⎦⎪ ⎪ i =1 ⎩ j =1 ⎭ n. ⎧⎪ ⎡ h(t , x ;θ ) ⎤ yi ti ⎫⎪ i i = ∏ ⎨⎢ ⎥ ⋅ ∏ ⎡⎣1 − h(t j , x j ;θ ) ⎤⎦ ⎬ 1 − h(ti , xi ;θ ) ⎦⎥ j =1 i =1 ⎪ ⎣ ⎩⎢ ⎭⎪ n. 6. 此處的概似函數與 Shumway(2001)不同，由於 Shumway 是將破產當年度的依變數設為 1，表示為一「確定狀況」，所以每間公司的最後一筆觀測年度 t 發生破產時，其提供給概似函數的元素為 h(t , x ;θ ) ， i. i. i. 此時 y = 1 ；若仍正常營運，則提供給概似函數的元素則為 1，此時 y = 0 。本研究為強調預測功能， i. i. 故將發生財務危機前一年度的依變數設為 1，故在 t 時為「不確定狀況」，所以 i 公司在 t 時若發生財務 i. i. 危機，則提供給概似函數的元素為 h(t , x ;θ ) ；但若仍為正常營運時，則提供給概似函數的元素就變成 i. i. 1－ h(t , x ;θ ) ，與 Shumway 不同。 i. i. 24.

(37) ⎧⎪ ⎡ h(t , x ;θ ) ⎤ yi ⎫⎪ i i = ∏ ⎨⎢ θ S ( t , x ; ) ⋅ ⎬ ⎥ i i θ 1 h ( t , x ; ) − i =1 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎭ i i ⎦ ⎩⎣ n. (式 3.21). 其中 yi ＝1 表示公司 i 在 t 時發生財務危機， yi ＝0 表示公司 i 在 t 時為正常營運。多期. Logit 模型的概似函數則表示為(式 3.22)： ti −1 yi ⎪⎧ ⎪⎫ 1− yi L = ∏ ⎨ F (ti , xi ;θ ) ⋅ ⎡⎣1 − F (ti , xi ;θ ) ⎤⎦ ⋅ ∏ ⎡1 − F (t j , x j ;θ ) ⎤ ⎬ ⎣ ⎦⎪ ⎪ i =1 ⎩ j =1 ⎭ n. ⎧⎪ ⎡ F (t , x ;θ ) ⎤ yi t ⎫⎪ i i = ∏ ⎨⎢ ⎥ ⋅ ∏ ⎡⎣1 − F (t j , x j ;θ ) ⎤⎦ ⎬ 1 − F (ti , xi ;θ ) ⎦⎥ j =1 i =1 ⎪ ⎣ ⎩⎢ ⎭⎪ n. 其中 F (ti , xi ;θ ) =. 1 1+ e. − β '⋅ X. 由於危險函數 hT (ti , xi ;θ ) =. (式 3.22). ⎛ β1 ⎞ ⎛ X1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ β2 ⎟ ⎜X ⎟ ， β = ⎜ ⎟ ， X = ⎜ 2 ⎟ ，k 為自變數個數。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜β ⎟ ⎜X ⎟ ⎝ k⎠ ⎝ k⎠ 1 1+ e. − β '⋅ X. 取為 Logit 機率分配，所以可將(式 3.22)的 F (ti , xi ;θ ) 替. 換成危險函數，則(式 3.22)變成： yi n ⎧ ⎧⎪ ⎡ h(t , x ;θ ) ⎤ yi t ⎫⎪ ⎫⎪ ⎪ ⎡ h(ti , xi ;θ ) ⎤ i i θ ＝ θ L = ∏ ⎨⎢ 1 h ( t , x ; ) S ( t , x ; ) ⋅ ⋅ − ⎤⎦ ⎬ ∏ ⎨ ⎢ ⎬ ⎥ ⎥ ∏⎡ j j i i 1 − h(ti , xi ;θ ) ⎥⎦ j =1 ⎣ 1 − h(ti , xi ;θ ) ⎦⎥ i =1 ⎪ ⎢ ⎩⎣ ⎭⎪ i =1 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎭⎪ n. 故可得證離散時間危險模型與多期 Logit 模型的概似函數相同。. (2) 離散時間危險模型的參數估計由(1)得證離散時間危險模型與多期 Logit 模型的概似函數相同，故可直接利用多期. Logit 模型的概似函數來推導離散時間危險模型的參數估計值。一間公司在時間 t 時只有正常營運與違約兩種情形，故為一離散型的 Bernoulli 分配。其機率密度函數為 y. 1− y. f ( y ) = h (1 − h). ；y＝0,1； h ∈ [0,1]. (式 3.23). (式 3.23)的 h 即為(式 3.17)定義的危險函數。經由(式 3.23)的定義，離散時間危險模型的概似函數可以表示為. 25.

(38) m. n. L(θ ; t , x) = ∏∏ {[h(t , xit ;θ ) yi (1 − h(t , xit ;θ ))1− yi ]I (ti =t ) [1 − h(t , xit ;θ )]I (ti >t ) }. (式 3.24). t =1 i =1. (式 3.24)中的 I(ti=t)＝1 表示公司 i 存活至 t 時而發生財務危機7，此時公司 i 在概似函數 ⎧ t −1 ⎫ 的形式為 ⎨∏ [1 − h(k , x;θ )]⎬ ⋅ h(t , x;θ ) ；若公司 i 在 t 時沒有發生財務危機8，則公司 i 在 ⎩ k =1 ⎭ 概似函數的形式為 ⎧ m ; i在樣本期間內沒有發生財務危機 ⎪∏ [1 − h(k , x;θ )] 公司 ⎪ k =1 ⎨ p −1 ⎪⎧ [1 − h(k , x;θ )]⎫ ⋅ h( p, x;θ ) ; 公司i在第t 期之後的第p期發生財務危機，t < p < m ⎬ ⎪⎩⎨⎩∏ k =1 ⎭. 經由上面的敘述，(式 3.24)可以再簡化成(式 3.25)： ti −1 ⎧ ⎫ yi 1− yi ⎡ ⎤ L(θ ; t , x) = ∏ ⎨ ⎣ h(ti , xit ;θ ) ⋅ (1 − h(ti , xit ;θ )) ⎦ ⋅ ∏ [1 − h(ti , xit ;θ ) ]⎬ i =1 ⎩ t =1 ⎭ n. (式 3.25). 下標 i 代表每一間公司， t1 , t2 ,......, tn 代表每一間公司的營運在 ti 時的情形，(式 3.25)的最 ti −1. 後一項乘積 ∏ [1 − h(ti , xit ;θ ) ] 表示公司 i 在 ti − 1 之前皆為正常營運；若在 ti 時發生財務危 t =1. 機，則 yi = 1 ，否則為 0。對(式 3.25)取自然對數，並將危險函數代入 Logit 機率模型，如下所示： ti −1 n ⎧ ⎫ ln L(θ ; t , x) = ∑ ⎨ yi ⋅ ln h(ti , x;θ ) + (1 − yi ) ⋅ ln ⎡⎣1 − h(ti , x;θ ) ⎤⎦ + ∑ ln [1 − h(t , x;θ ) ]⎬ i =1 ⎩ t =1 ⎭ ti −1 n ⎧ h(ti , x;θ ) ⎧ ⎫⎪⎫ ⎪ = ∑ ⎨ yi ⋅ ln + ⎨ln ⎣⎡1 − h(ti , x;θ ) ⎦⎤ + ∑ ln [1 − h(t , x;θ ) ]⎬⎬ 1 − h(ti , x;θ ) ⎩ i =1 ⎩ t =1 ⎭⎭⎪ ⎪ ti h(ti , x;θ ) ⎪⎧ ⎪⎫ = ∑ ⎨ yi ⋅ ln + ∑ ln [1 − h(t , x;θ ) ]⎬ 1 − h(ti , x;θ ) t =1 i =1 ⎪ ⎪⎭ ⎩ n. n ⎡ h(ti , x;θ ) ⎤ n ti = ∑ ⎢ yi ⋅ ln ⎥ + ∑∑ {ln [1 − h(t , x;θ ) ]} − 1 h ( t , x ; ) θ i =1 ⎢ ⎥⎦ i =1 t =1 i ⎣. 7 8. 此時 I(ti>t)＝0 此時 I(ti＝t)＝0，I(ti>t)＝1 26.