艾薛爾幾何鑲嵌藝術於數學教學之多媒體設計

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(2) Flash CS6 19. 1. M. C. Escher Flash.

(3) !. !.......................................................................................................................!1! !. !...........................................................................................................!1!. !. !..........................................................................................................................!2!. !. !...........................................................................................................!3!. !. !..............................................................................................................!4! !. !..........................................................................................................................!4!. !. !...........................................................................................................!6!. !. !.............................................................................................!8!. !. !.......................................................!12! !. !.............................................................................................................!12!. !. !...................................................................................................!18!. !. !.................................................................................................!23! !. !...................................................................................................!23!. !. !........................................................................................................!28!. E008!. …………………………………………………………………………………..33!. E14!. ……………………………………………………………………………………………38!. E019!. ……………………………………………………………………………………………..43!. E035!. ………………………………………………………………………………………….48!. E041!. ……………………………………………………………………………………………..50!. E045!. ……………………………………………………………………………….54! !.

(4) E062!. ………………………………………………………………………………………….59!. E072!. ………………………………………………………………………………………64!. E078!. ……………………………………………………………………………………….69!. E079!. ………………………………………………………………………………………….74!. E089!. ……………………………………………………………………………………………...81!. E097!. ……………………………………………………………………………………….86!. E102!. ………………………………………………………………………………………….91!. E103!. ..……………………………………………………………………………………………96!. E106!. ………………………………………………………………………………………..101!. E110!. ……………………………………………………………………………………...106!. E122!. ……………………………………………………………………………………………111!. E123!. ……………………………………………………………………………………………117!. E125!. ……………………………………………………………………………………………122!. E134!. ……………………………………………………………………………………………127!. !. !.........................................................................................................!132! !..............................................................................................................................!132! !..............................................................................................................................!132! !..............................................................................................................................!133!. !.

(5) ! 2.1.!1!. (AVIGNON). ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4!. ! 2.1.!2!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4!. ! 2.1.!3!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4!. ! 2.1.!4!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5!. ! 2.1.!5!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5!. ! 2.2.!1. !. ! 2.2.!2. !. 7! 7!. ! 2.3.!1!. E106!. ! 2.3.!2!. E035!. !. 9!. ! 2.3.!3!. E062!. !. 9!. ! 2.3.!4!. E110!. ! 2.3.!5!. E122!. ! 2.3.!6!. E035!. !. 10!. ! 2.3.!7!. E062!. !. 10!. ! 2.3.!8!. E110!. ! 2.3.!9!. E122. ! 2.3.!10! ! 3.1.!1! ! 3.1.!2!. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. !. 9!. !. 9!. !. 10!. !. 10!. E123! E106!. 8!. !. 11!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 12! !. 12!. ! 3.1.!3!. !. 13!. ! 3.1.!4!. !. 13! !.

(6) ! 3.1.!5!. !. ! 3.1.!6! ! 3.1.!7!. 13!. ! E014!. ! 3.1.!8. 13!. !. 14!. !. 14!. ! 3.1.!9!. !. 15!. ! 3.1.!10!. !. 15!. ! 3.1.!11!. !. 15!. ! 3.1.!12. !. 15!. ! 3.1.!15!. !. ! 3.1.!16! ! 3.1.!13!. ! E062!. 16!. !. ! 3.1.!14!. 15! !. ! 3.1.!18!. 15! !. ! 3.1.!17!. 17!. !. ! 3.2.!1!. E106!. ! 3.2.!2!. E106!. ! 3.2.!3!. E106!. ! 3.2.!4. E014. ! 3.2.!5. 16!. 16! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 18! ! ! !. E014. ! 3.2.!6!. E014. ! 3.2.!7!. E019. ! 3.2.!8!. E019. ! 3.2.!9!. E019. 18! 19! 20!. !. 20! !. !. 20! 21!. !. 21! ! !. 21!.

(7) ! 3.2.!10!. E008!. ! 3.2.!11!. E0008!. ! 3.2.!12. E008. ! 4.1.!1!. E014. ! 4.1.!2!. E014. ! 4.1.!3!. E014. ! 4.1.!4!. ! !. E014!. ! 4.1.!6!. E014!. ! 4.1.!7!. E015!. ! 4.1.!8!. E014!. ! 4.1.!9!. E014!. 22! !. 22!. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 23! !. 23! !. 24!. !. ! 4.1.!5!. 22!. 24! ! !. 25! 25!. !. 26! !. 26!. !. 26!. ! 4.1.!10!. E014!. !. 26!. ! 4.1.!11!. E014!. !. 27!. ! 4.1.!12!. E014!. !. 27!. !.

(8) (Van Hiele) (visualization) (formal deduction). (analysis). (informal deduction). (rigor). ( ,2007). (Healy & Hoyles,. 1998). !. 1.

(9) 2000. M. C. Escher, 1898-1972. !. 2.

(10) 19. 1. http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/. !. 3.

(11) Tessellation 1958. !. !!. 2.1. 1. (Avignon). 2.1. 2. 2.1. 3. !. 4.

(12) 2.1.4. ! ! ! ! !. ! ! 2.1.!4!. !. 2.1.5 lattice. ! 2.1. 5. !. 5.

(13) Alhambra Palace and Garden. 1954. 1922. tessellation. !. 6.

(14) ! 2.2. 1. 2.2. 2. http://kindredsubjects.blogspot.tw/2012/09/th. http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_math. eJencounterJmJcJescherJdutchJ18981972.html!. edu/mathgame/data/data1.pdf!. 1936. 137. !. 7.

(15) motif. sliding cell. lattice motif. tile sliding cell. E106. 2.3.1. 2.3. 1. E106. lattice. E035 2.3.3. E110. 2.3.2. 2.3.4. E122. !. 8. E062 2.3.5.

(16) ! 2.3. 2. !. E035. 2.3. 3. E062. ! 2.3. 4. ! 2.3.!5!. E110. E122!. !. 2.3.2. ─. 2.3.6 2.3.3 2.3.7. 2.3.4. 2.3.8. 2.3.5 2.3.9. !. 9.

(17) ! 2.3. 6. !. E035. 2.3. 7. E062. ! 2.3. 8. E110. ! 2.3.!9! !. E122. translation axes. glide reflection. !. 10.

(18) E035. 2.3.6 180. 90 90. E062. 2.3.7. E110. E122. 2.3.8. 2.3.9 90. 2.3. 10. E123. E123. 2.3.10 120. !. 11.

(19) E106. 3.1.1. 3.1.2. 3.1. 1. E106. 3.1. 2. !. 12.

(20) 3.1.3 3.1.4. “. 3.1. 3. ”. 3.1. 4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1. 5. 3.1. 6. !. 13.

(21) E014. 3.1.7 3.1.8 ? 90 90. 3.1. 7. E014. 3.1. 8. 90 90. 3.1.9 3.1.10. !. 14.

(22) 3.1. 9. E014. 3.1. 10. E035. E014. 3.1.11. 3.1.12. 3.1. 11. E035. 3.1. 12. !. 15. E035.

(23) E062. 3.1.13 3.1.14. 3.1. 13. 3.1. 14. E062. 3.1.15. 3.1.16. ! 3.1. 15. E062. 3.1. 16. !. 16. E062.

(24) 3.1.17. 3.1. 17. E062. E019. 3.1.18. 3.1.18. 3.1.19. ! ! 3.1.!18!. E019!. 3.1.19!. !. 17. E019!.

(25) E106. 3.2.1 3.2.2. b D a. A E. e. c. C B d. 3.2. 1. E106. 3.2. 2. !. 18. E106.

(26) 3.2.3. 3.2. 3. E106. E014. 3.2.4 3.2.5. A d. B. C. O. E. F. G. a b c Q. D e f g. !. 19. P.

(27) e. g. G F. f. C E a b. ! 3.2.!4. E014. D. A B. c. ! 3.2.!5 E014. 3.2.6. ! 3.2.!6!. E019. E014. 3.2.7 3.2.8. !. 20. d.

(28) A D. E. C. b A c B. D E a. ! ! 3.2.!7!. ! 3.2.!8!. E019. E019. 3.2.9. ! 3.2.!9!. E008. E019. 3.2.10 3.2.11. !. 21. e. C. d. B.

(29) A. B. F. G. O H. P. a b. R. f. g. h. D. E Q. d. C. c. a b. A c. B. d E C. F. G i. 3.2. 10. E008. 3.2. 11. H h. E0008. 3.2.12. ! 3.2.!12. E008. !. 22. I g. e D f. e.

(30) E014. 4.1.1. E014. 4.1.2. ! ! 4.1.!1! !. E014. ! !. ! 4.1.!2!. 4.1.2. !. 23. E014.

(31) A,B,C,D,E,F,G 4.1.3. e. g. G F. f. C E a b. D. A B. ! 4.1.!3!. c. d. E014. 4.1.4. (1). (2). (3). ! 4.1.!4!. 4.1.5. 4.1.6 !. 24.

(32) ! 4.1. 5. !. !. E014. 4.1. 6. E014. E008 Rossini. (William Tell Overture) ─. E014 E015. 4.1.7. E014 E014 4.1.8. !. 25. !.

(33) ! 4.1. 7. E015. 4.1. 8. E014. E014. 4.1.9. 4.1.10. 4.1. 9. E014. 4.1. 10. !. 26. E014.

(34) E014 4.1.11. 4.1.12. 4.1. 11. E014. 4.1. 12. !. 27. E014.

(35) 20 E035. E041 E078. E102 E123. E008. E14. E045 E079. E103 E125. E062 E089. E106. E110. E134. !. 28. E019 E072 E097 E122.

(36) E008 馬到成功工作單撰稿：李李欣樺引言：《E008 馬到成功》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1937~1938年年間所製作的一幅版畫，每匹馬皆為單一色調，分別以暗色系的深藍藍色、灰色及咖啡色來來著色，呈現出沉靜的氣氛，主要繪圖材料料為鉛筆及水彩。影片中的封面圖是艾薛爾手繪的數數學結構圖：. 這張數數學結構圖居然與《E008 馬到成功》有相同的數數學結構，讓我們接著來來瞧瞧兩兩者間到底有什什麼關聯聯性吧！請在電腦上點選《E008 馬到成功.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、馬到成功的數數學與藝術我們可以把馬到成功的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是馬的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出馬。第三幕：將馬外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的馬們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將馬一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 矩形 □ 正六六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的馬？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的馬們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣二、如何從數數學骨架裁貼出馬綜合下面兩兩個方式即可裁貼出馬，方式如下：甲、將矩形剪下六六個小區塊，並將這六六個小區塊貼到正確的位置上，因為這六六 29.

(37) 個小區塊兩兩兩兩成對，在此只標示兩兩兩兩成對中的其中三塊 A , B , C，即 A → a；B → b；C → c ；D → d；E → e；F → f；G → g；H → h；I → i a b. A B. c d E. C. F i. G h. H. I g. e D f. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：將 B 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊向右向上平移到 c (4) D → d ：將 D 區塊以頂點 Q 為旋轉點旋轉到 d (5) E → e ：將 E 區塊以頂點 Q 為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點 R 為旋轉點旋轉到 f (7) G → g ：將 G 區塊以頂點 R 為旋轉點旋轉到 g (8) H → h ：將 H 區塊以頂點 R 為旋轉點旋轉到 h (9) I → i ：將 I 區塊以頂點 R 為旋轉點旋轉到 i 裁貼出馬後可以發現：矩形的其中三個頂點分別在馬的頭頂及左、右手，這就是馬在數數學骨架上的正確位置。三、真的是馬磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數數學原理理形成的馬可以互相密合，其密合方式有三種： (1) 頭頂的上下密合 (2) 腿的上下密合. 30.

(38) (3) 臀部的左右密合. (4) 頭部的左右密合. 有了了這四種密合方式，就可以將馬密鋪在平面上了了。四、馬的鑲嵌圖甲、馬鑲嵌圖透過了了解馬在數數學骨架上的正確位置及四種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出馬鑲嵌圖，左下圖是先將馬放在數數學骨架上的正確位置，其他馬除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照四種密合方式密鋪，如下圖。. 關於艾薛爾的馬版畫原圖，如下圖所示：. 艾薛爾沒有將這幅畫延伸製作成任何大作品，他在自己的筆記中寫下了了原因：”＂無論論從任何角度度來來看，上下顛倒的馬匹是很荒謬的。”＂. 31.

(39) E008 馬到成功回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一個馬周遭圍繞著幾個馬呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 馬的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊馬是左邊馬旋轉幾度度後的結果呢？. 5. 右下圖為艾薛爾的另一幅版畫《E078 獨角獸》，這版畫也利利用了了矩形當作每一隻獨角獸的數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出正確的數數學骨架。. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. …………………………………………………………………………………………… 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________ 32. □. 社會人士.

(40) E008 馬到成功工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■ 矩形 □ 正六六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的馬？ □ 兩兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的馬們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E008 馬到成功回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？學校地板、家中地板。 2. 請你回想一下，每一個馬周遭圍繞著幾個馬呢？ ■ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 馬的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊馬是左邊馬旋轉幾度度後的結果呢？ 180度度 5. 右下圖為艾薛爾的另一幅版畫《E078 獨角獸》，這版畫也利利用了了矩形當作每一隻獨角獸的數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出正確的數數學骨架。. 33.

(41) E014 蜥蜴工作單撰稿：李李欣樺引言：《E014 蜥蜴》為荷蘭蘭板畫大師艾薛爾於1937年年繪製的作品，以鉛筆及水彩為主要繪畫材料料，以正方形為骨架，輔以三點旋轉，構築平面的鑲嵌，著色則以三種顏色，藍藍色、白色及橘色讓蜥蜴更更添生動。而我們影片裡裡的封面圖是艾薛爾延續此版畫而創作的《E015 蜥蜴》：. 仔細觀察這幅版畫，可以看出與《E014 蜥蜴》的相似性，同樣以正方形為骨架，但透過些微的調整，這幅版畫可以只使用兩兩個顏色鋪滿平面。讓我們接著來來看看為何《E014 蜥蜴》必須要使用三個顏色才能鋪滿平面，答案馬上揭曉！請在電腦上點選《E014 蜥蜴.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蜥蜴的數數學與藝術我們可以把蜥蜴的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，這正方形為蜥蜴的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下七小塊後，依數數學原理理的旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。第三幕：將蜥蜴外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的蜥蜴們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將蜥蜴一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 矩形 □ 正五邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣. 二、如何從數數學骨架裁貼出蜥蜴綜合下面兩兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：甲、將正方形剪下七個小區塊 A , B , C , D , E, F, G，並將這七個小區塊貼到正 34.

(42) 確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f；G → g e. g. G F. f. C E a b. D. A B. c. d. 如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：將 B 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：將 D 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 d (5) E → e ：將 E 區塊以頂點 Q 為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點 Q 為旋轉點旋轉到 f (7) G → g ：將 G 區塊以頂點 Q 為旋轉點旋轉到 g. 裁貼出蜥蜴後可以發現：正方形的其中兩兩個頂點分別為蜥蜴的右爪端點及左後爪端點，這就是蜥蜴在數數學骨架上的正確位置。三、真的是蜥蜴磁磚嗎經由數數學原理理裁貼後的蜥蜴有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的蜥蜴可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式： (1) 左後爪的密合 (2) 頭與右後爪的密合 (3) 右前爪的密合. 35.

(43) 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蜥蜴圖案，我們稱之為蜥蜴磁磚。有了了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多個蜥蜴磁磚密鋪在平面上了了。四、蜥蜴的鑲嵌圖甲、蜥蜴鑲嵌圖透過了了解蜥蜴在數數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出蜥蜴鑲嵌圖，左下圖是先將蜥蜴放在數數學骨架上的正確位置，其他的蜥蜴除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪，如圖一。. !. 圖一關於艾薛爾的蜥蜴版畫原圖，如下圖所示：. !. 這是艾薛爾大師首次以爬蟲類類為主題的作品，之後的蜥蜴版畫都都可看出這幅作. 品的縮影。版畫利利用旋轉技巧，將蜥蜴鋪滿平面，並運用水彩暈暈出柔和色調，搭配顏色的對比，使畫面柔美而鮮明。乙、蜥蜴著色遊戲把蜥蜴當磁磚，讓相鄰兩兩個蜥蜴顏色不不相同，不不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！請在電腦上點選《E014 蜥蜴著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。. 丙、蜥蜴拼圖遊戲看到這裡裡是否對蜥蜴鑲嵌有了了更更進一步的了了解，下面是為大家精精心準備好玩且有趣的蜥蜴拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一蜥蜴的排列列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E014 蜥蜴拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E014 蜥蜴回饋單 36.

(44) 1. 仔細想想，你在那個地方見見過正方形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一個蜥蜴周遭圍繞著幾個蜥蜴呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 蜥蜴的表面積與其數數學骨架正方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊蜥蜴是左邊蜥蜴旋轉幾度度後的結果呢？. 5. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 37. □. 社會人士.

(45) E014 蜥蜴工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 三角形 ■ 正方形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？ □ 兩兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E014 蜥蜴回饋單 1. 仔細想想，你在什什麼地方見見過正方形磁磚鋪設的地板？人行行道、學校地板、家中地板 2. 請你回想一下，每一個蜥蜴周遭圍繞著幾個蜥蜴呢？ ■4個 □ 5個 □ 6個 □ 7個 3. 蜥蜴的表面積與其數數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊蜥蜴是左邊蜥蜴旋轉幾度度後的結果呢？ 90度度. 38.

(46) E019 鳥工作單撰稿：李李欣樺引言：《E019 鳥》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1938年年2月畫的一幅版畫，版畫中的身體使用白色及藍藍色著色，主要繪畫工具為鉛筆及水彩。影片中的封面圖是由鳥版畫經由影像軟體編輯過的一部份：. 藍藍色及白色的鳥分別往不不同方向前進，兩兩種顏色的鳥又能和諧地鑲嵌佈滿畫面。艾薛爾是如何運用巧思將矩形切切割成畫面中美麗麗的鳥呢？讓我們透過影片一探究竟！請在電腦上點選《E019 鳥.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、鳥的數數學與藝術我們可以把鳥的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是鳥的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出鳥。第三幕：將鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的鳥們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將鳥一隻一隻放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正三角形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的鳥們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣二、如何從數數學骨架裁貼出鳥綜合下面兩兩個方式即可裁貼出鳥，方式如下：甲、將矩形剪下六六個小區塊 A , B , C , D , E，並將這五個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d ；E → e. 39.

(47) b. e. A D. c. C. E. B. a. d. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與旋轉： (1) (2) (3) (4) (5). A → a ：將 A 區塊翻轉再平移到 a B → b ：先將 B 區塊翻轉再平移到 b C → c ：先將 C 區塊平移到 c D → d ：先將 D 區塊翻轉再平移到 d E → e ：先將 E 區塊翻轉再平移到 e. 裁貼出鳥後可以發現：矩形的其中兩兩個頂點分別在鳥的翅膀中點及尾翼中點，這就是鳥在數數學骨架上的正確位置。三、真的是鳥磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數數學原理理形成的鳥可以互相密合，其密合方式有兩兩種： (1) 上下的密合 (2) 左右的密合. 有了了這兩兩種密合方式，就可以將鳥密鋪在平面上了了。四、鳥的鑲嵌圖透過了了解鳥在數數學骨架上的正確位置及兩兩種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出鳥鑲嵌圖，左下圖是先將鳥放在數數學骨架上的正確位置，其他鳥除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩兩種密合方式密鋪，如右下圖所示。. 40.

(48) 關於艾薛爾的鳥版畫原圖，如下圖所示：. 矩形竟可變成如此栩栩如生的鳥，當中到底用了了哪些數數學觀念念呢？仔細觀察會發現兩兩種顏色的鳥互為翻面的關係，以及注意版畫上有兩兩組格線，想想這兩兩組格線有什什麼意義呢？ E019 鳥回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 鳥的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 一個矩形數數學骨架包含了了哪隻生物？ □一隻白鳥 □一隻藍藍鳥 □一隻白鳥及一隻藍藍鳥 5. 右下圖為艾薛爾的《E78 獨角獸》的版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出獨角獸的矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出獨角獸。. 6. 鳥的數數學骨架除了了是矩形外，菱菱形也是鳥的數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出鳥的菱菱形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出鳥。. 41.

(49) 7. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________ 填單日期：____年年____月____日 e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 42. □. 社會人士.

(50) E019鳥工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正三角形 □ 正方形 ■ 矩形 □ 正六六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ ■ 兩兩種 □三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的鳥們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E019 鳥回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？廟宇、台北北市政府前人行行道、師大分部圖書館館旁人行行道等 2. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？ □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 鳥的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 一個矩形數數學骨架包含了了哪隻生物？ ■一隻白鳥 ■一隻藍藍鳥 □一隻白鳥及一隻藍藍鳥 5. 右下圖為艾薛爾的《E78 獨角獸》的版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出獨角獸的矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出獨角獸。. 6. 鳥的數數學骨架除了了是矩形外，菱菱形也是鳥的數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出鳥的菱菱形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出鳥。. 43.

(51) E035 蜥蜴工作單撰稿：李李欣樺引言：《E035 蜥蜴》是荷蘭蘭版畫大師艾薛爾於1941年年7月繪製的版畫，並於1963年年改版，以印度度墨、色鉛筆及不不透光的白色顏料料為主要繪畫材料料。這幅作品有多幅延伸作品，在影片中的封面圖是1941年年繪製的《Plane-filling motif with Reptiles》(圖一)：. 圖一. 圖二. 圖三. 圖五. 圖四. 圖六六. 圖七. 這是對中心旋轉180度度的完美例例子，對中心旋轉180度度後，黑色蜥蜴會轉至白色蜥蜴的位置，白色蜥蜴會轉到黑色蜥蜴的位置，黑白著色的蜥蜴頭尾相連連，背景使用對比色增加畫面的衝突感。艾薛爾於1956年年繪製了了《E101 蜥蜴》(圖二)，使用紅色和咖啡色來來著色，蜥蜴由上而下越來來 44.

(52) 越小，這是垂直版本的“越來來越小”。同年年七月及十月又製作了了兩兩幅“越來來越小”的蜥蜴，《Division》(圖三)及《smaller and smaller》(圖四)，圖中新的蜥蜴可以透過分裂裂或融合產生，並非完全可預測的規則，但又呈現了了具規則性的鑲嵌平面(division plane)。在這兩兩幅”越來來越小” 的板畫中，艾薛爾修改這些蜥蜴讓它們符合用三角形鋪滿正方形或矩形的演算架構，由1957 年年繪製的《Plate VI, Regelmatige valkverdeling》(圖五)及《Diagram for Plate VI》(圖六六)了了解其演算結構。艾薛爾於1963年年將蜥蜴改版，《E118 蜥蜴》(圖七)以四種顏色呈現，色彩的豐富與美麗麗的對稱結構之結合，讓作品注入了了不不同的生命力力。欣賞了了這麼多才華洋溢的作品後，讓我們一起來來看艾薛爾所創作的《E035 蜥蜴》！請在電腦上點選《E035 蜥蜴.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蜥蜴的數數學與藝術我們可以把蜥蜴的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由等腰直角三角形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，這等腰直角三角形為蜥蜴的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個等腰直角三角形放大，從這等腰直角三角形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。第三幕：將蜥蜴外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的蜥蜴們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將蜥蜴一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱為鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一種多邊形呢？ □ 正方形 □ 等腰直角三角形 □ 正三角形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中鋪滿平面的蜥蜴有幾種顏色？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣二、如何從數數學骨架裁貼出蜥蜴綜合下面兩兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：甲、將等腰直角三角形剪下六六個小區塊，並將這六六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c ；D → d ；E → e；F → f a f E. O F. b D e c. P. C. d. A B. 45.

(53) 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：先將 B 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉再向上平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉再向上平移到 c (4) D → d ：先將 D 以頂點 P 為旋轉點旋轉到 d (5) E → e ：先將 E 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：先將 F 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 f 裁貼出蜥蜴後可以發現：等腰直角三角形中，其中兩兩個頂點分別在蜥蜴的嘴巴、尾巴及右手肘，這就是蜥蜴在數數學骨架上的正確位置。三、真的是蜥蜴磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數數學原理理形成的蜥蜴可以互相密合，其密合方式有兩兩種： (1) 左手肘的密合 (2) 右手肘的密合. 有了了這兩兩種密合方式，就可以將蜥蜴密鋪在平面上了了。四、蜥蜴的鑲嵌圖甲、蜥蜴鑲嵌圖透過了了解蜥蜴在數數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出蜥蜴鑲嵌圖，左下圖是先將蜥蜴放在數數學骨架上的正確位置，其他蜥蜴除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪，如右下圖。. !. 圖一關於艾薛爾的蜥蜴版畫原圖，如下圖所示：. !. 這個版本他只用了了兩兩種顏色呈現，反而凸顯了了對稱結構的美。艾薛爾在作品的下 46.

(54) 方註解：’Do reproduce this drawing!’，相對於《E034》中的’Do not reproduce this drawing!’，似乎透露露出艾薛爾對這兩兩幅作品的不不同想法。. 乙、蜥蜴拼圖遊戲看到這裡裡是否對蜥蜴鑲嵌有了了更更進一步的了了解，下面是為大家精精心準備好玩且有趣的蜥蜴拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一蜥蜴的排列列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E035 蜥蜴拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. 1. 2. 3. 4.. E035 蜥蜴回饋單請你回想一下，每一個蜥蜴周遭圍繞著幾個蜥蜴呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個蜥蜴的表面積與其數數學骨架等腰直角三角形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否數數學骨架等腰直角三角形的內角有哪些角度度？ □ 45度度 □ 60度度 □ 90度度 □ 120度度下圖的蜥蜴們代表著有幾個平行行四邊形數數學骨架？ □ 2個 □ 4個 □ 6個 □ 8個. 5. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊蜥蜴是左邊蜥蜴旋轉幾度度後的結果呢？. 6. 關於影片(含拼圖遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：. 47.

(55) 電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 48. □. 社會人士.

(56) E035 蜥蜴工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■ 等腰直角三角形 □ 正六六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中鋪滿平面的蜥蜴有幾種顏色？ ■ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E035 蜥蜴回饋單 1. 請你回想一下，每一個蜥蜴周遭圍繞著幾個蜥蜴呢？ ■ 3個 □ 4個 □ 5個 6個 2. 蜥蜴的表面積與其數數學骨架等腰直角三角形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 數數學骨架等腰直角三角形的內角有哪些角度度？ ■ 45度度 □60度度 ■ 90度度 □ 120度度 4. 下圖的蜥蜴們代表著有幾個平行行四邊形數數學骨架？ □ 2個 □ 4個 ■ 6個 □ 8個. 5. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊蜥蜴是左邊蜥蜴旋轉幾度度後的結果呢？ 90度度. 49.

(57) E041 魚工作單撰稿：李李欣樺引言：《E041 魚》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1941年年7月畫的一幅版畫，並於1963年年改版，主要製作工具為鉛筆、油墨和水彩。1941年年10月艾薛爾製作了了版畫《魚》：. 魚兒流流線的外形緊緊相扣著，波浪浪輪輪廓廓一圈圈重複，有四種不不同漸層，建立立動態的環狀狀曲線，每種魚圍繞出不不同的封閉盤狀狀區域，其中一種魚形成兩兩群魚群，黑魚順時鐘環繞著，深灰色的魚逆時針旋轉，每種魚都都形成圓弧軌跡，就像踏著前方魚隻的步伐似的，一隻隻地沿著波浪浪輪輪廓廓前進。接著，讓我們一起來來欣賞魚群為我們帶來來的表演！請在電腦上點選《E041 魚.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、魚的數數學與藝術我們可以把魚的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是魚的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移、旋轉即翻轉貼到正確的位置，即裁貼出魚。第三幕：將魚外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的魚們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將魚一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的魚們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣. 二、如何從數數學骨架裁貼出魚綜合下面兩兩個方式即可裁貼出魚，方式如下：甲、將矩形剪下六六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六六個小區塊貼到正確的 50.

(58) 位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f. e. c. A. E. d. B. F. b. f. D. C a. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與旋轉： (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E (6) F. → → → → → →. a ：先將 A 區塊翻轉再平移到 a b ：先將 B 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 b c ：先將 C 區塊翻轉再平移到 c d ：先將 D 區塊翻轉再平移到 d e ：將 E 區塊翻轉再平移到 e f ：將 F 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 f. 裁貼出魚後可以發現：矩形的其中一個頂點在左魚的尾鰭上，這就是魚在數數學骨架上的正確位置。三、真的是魚磁磚嗎經由數數學原理理裁貼後的魚有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的魚可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式： (1) 尾鰭的左右密合 (2) 右鰭的左右密合 (3) 臉與鰭的上下密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的魚圖案，我們稱之為魚磁磚。有了了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多個魚磁磚密鋪在平面上了了。四、魚的鑲嵌圖透過了了解魚在數數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出魚鑲嵌圖，左下圖是先將魚放在數數學骨架上的正確位置，其他的魚除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪(如右下圖)。 51.

(59) E041 魚回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻魚呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 魚的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 請參參考右下圖並判斷左下圖的右邊的魚是左邊的魚旋轉幾度度後的結果呢？. 5. 下圖的魚兒們代表幾個矩形數數學骨架？. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 52. □. 社會人士.

(60) E041 魚工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 ■矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚？ ■ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的魚們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E041 魚回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻魚呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) ■ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 魚的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊魚是左邊魚旋轉幾度度後的結果呢？ 180度度 5. 下圖的魚兒們代表幾個矩形數數學骨架？ 6個. 53.

(61) E045 惡惡魔與天使工作單撰稿：李李欣樺引言：《E045 惡惡魔與天使》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1941年年聖誕節的作品，天使及惡惡魔分別以白色及黑色呈現，符合天使代表善良良與邪惡惡惡惡魔的意象，主要繪畫材料料為印度度墨、色鉛筆，及不不透明的白色顏料料。影片中的封面圖《Heaven and Hell》為艾薛爾於1942年年的楓木雕刻(圖一)：. 圖一圖二二次大戰期間，艾薛爾發現他很難專注在版畫創作上，因此激發了了他將平面創作轉為立立體創作的動力力，將平面作品化為球面雕刻藝術。《Heaven and Hell》從外觀上來來看，直徑是235公釐，並在球體上設計出兩兩極與赤道；其中一極代表「天堂」，由一位天使守護這個區域，另一極代表「地獄」，為惡惡魔盤踞之地。值得注意的是，兩兩極上的天使與惡惡魔雕刻的深度度比赤道上的天使與惡惡魔深，赤道上的天使與惡惡魔在同一個深度度上，或許想傳遞力力量量抗衡的意象。圖二《Circle Limit IV》為艾薛爾1960年年創作的圓盤系列列作品之一，在畫面中天使與惡惡魔由中心往圓盤邊緣越來來越小，延續了了原圖在顏色上的選擇，亦使用黑白兩兩色著色，圓盤式的創作讓圖中的惡惡魔與天使看似相互對抗，卻又形成畫面上的平衡。接著，我們一起來來欣賞這具有豐富意境的《E045 惡惡魔與天使》。請在電腦上點選《E045 惡惡魔與天使.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、惡惡魔與天使的數數學與藝術我們可以把惡惡魔與天使的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這正方形正是惡惡魔與天使的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移、旋轉及翻面貼到正確的位置，即裁貼出惡惡魔與天使。第三幕：將惡惡魔與天使外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的惡惡魔與天使們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將惡惡魔與天使一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 三角形 □ 五邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的惡惡魔與天使？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 54.

(62) 4. 鋪滿數數學舞台的魔與天使們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣. 二、如何從數數學骨架裁貼出惡惡魔與天使綜合下面兩兩個方式即可裁貼出惡惡魔與天使，方式如下：甲、將正方形剪下六六個小區塊 A , B , C , D , E , F ，並將這六六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f c B. f E. a. d. A. D. e. b C. F. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移、旋轉與翻面： (1) (2) (3) (4) (5) (6). A B C D E F. → → → → → →. a ：將 A 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 a b ：將 B 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 b c ：將 C 區塊以頂點 O 為旋轉點旋轉到 c d ：將 D 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 d e ：將 E 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 e f ：將 F 區塊以頂點 P 為旋轉點旋轉到 f. 裁貼出惡惡魔與天使後可以發現：正方形的四個頂點分別為惡惡魔的腳尖、天使的腳尖、惡惡魔的兩兩翅膀端點天使的兩兩翅膀端點，這就是惡惡魔與天使在數數學骨架上的正確位置。三、真的是惡惡魔與天使磁磚嗎經由數數學原理理裁貼後的惡惡魔與天使有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的惡惡魔與天使可以彼此互相密合，而且有以下兩兩種密合方式： 55.

(63) (1) 惡惡魔與天使腳尖的密合. (2) 惡惡魔與天使翅膀的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的惡惡魔與天使圖案，我們稱之為惡惡魔與天使磁磚。有了了這三種密合方式後，就可以用這兩兩種方式將很多隻惡惡魔與天使磁磚密鋪在平面上了了。四、惡惡魔與天使的鑲嵌圖透過了了解惡惡魔與天使在數數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出惡惡魔與天使鑲嵌圖，左下圖是先將惡惡魔與天使放在數數學骨架上的正確位置，其他的惡惡魔與天使除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩兩種密合方式密鋪(如圖三)。. 圖三關於艾薛爾的惡惡魔與天使版畫原圖，如下圖所示：. 惡惡魔與天使並存並鋪滿畫面，頭與頭、腳與腳相連連，其中，白與黑，善與惡惡的概念念，透過惡惡魔與天使的圖形呈現。 E045 惡惡魔與天使回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過正方形磁磚鋪設的牆壁？. 56.

(64) 2. 請你回想一下，每一組惡惡魔與天使周遭圍繞著幾隻惡惡魔或天使呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 3. 惡惡魔與天使的表面積與其數數學骨架正方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊惡惡魔與天使是左邊惡惡魔與天使旋轉幾度度後的結果呢？. 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E005 舉重者》，與惡惡魔與天使有著相同的正方形數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出正方形的數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出舉重者。. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 57. □. 社會人士.

(65) E045 惡惡魔與天使工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 正方形 □ 三角形 □ 五邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的惡惡魔與天使？ ■ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的惡惡魔與天使們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E045 惡惡魔與天使回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過正方形磁磚鋪設的牆壁？ 2. 請你回想一下，每一隻惡惡魔周遭圍繞著幾隻天使呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) ■ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 惡惡魔與天使的表面積與其數數學骨架菱菱形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊惡惡魔與天使是左邊惡惡魔與天使旋轉幾度度後的結果呢？ 90度度 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E005 舉重者》，與惡惡魔與天使有著相同的正方形數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出正方形的數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出舉重者。. 58.

(66) E062 惡惡魔工作單撰稿：李李欣樺引言：《E062 惡惡魔》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在 1944 年年畫的一幅版畫，作品使用了了對比的藍藍色和紅色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水和水彩。我們影片中的封面圖是艾薛爾在 1952 年年時為新年年賀卡而創作的版畫《火》(圖一)：. 圖一圖二我們可看到有兩兩行行伸出食指的惡惡魔，詮釋火的想像。圖二是艾薛爾於 1950 年年為其作品展創作的邀請卡《惡惡魔》(圖二)，圖中繪製單行行的惡惡魔，最底部的惡惡魔蹲伏著，支撐上頭三隻惡惡魔的重量量，最上頭的惡惡魔歡慶沒有重量量壓負的自由。艾薛爾除了了擅長繪製具震撼視覺效果的板畫外，我們可從這兩兩幅版畫中看出來來他的另一種常見見風格，也就是用於賀卡、展覽邀請卡的木雕插圖，這兩兩幅作品皆為原作《E062 惡惡魔》所做的應用，讓過往的作品可以脫離離原先的框架，又能符合賀卡及邀請卡的格式。接著一起來來探索索艾薛爾想像世界中的《E062 惡惡魔》！請在電腦上點選《E062 惡惡魔.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、惡惡魔的數數學與藝術我們可以把惡惡魔的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是惡惡魔的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下六六小塊後，依數數學原理理的平移及翻面貼到正確的位置，即裁貼出惡惡魔。第三幕：將惡惡魔外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的惡惡魔們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將惡惡魔一隻一隻放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 矩形 □ 鳶形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的惡惡魔？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的惡惡魔們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣. 59.

(67) 二、如何從數數學骨架裁貼出惡惡魔綜合下面兩兩個方式即可裁貼出惡惡魔，方式如下：甲、將矩形剪下六六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e ；F → f F. a C D. E. c. b. B A. e. f. d. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與翻面： (1) A → a ：先將 A 區塊翻面再往上平移到 a (2) B → b ：先將 B 區塊往左平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊翻面再往左下平移到 c (4) D → d ：先將 D 區塊翻面再往左下平移到 d (5) E → e ：先將 E 區塊往下平移到 e (6) F → f ：先將 F 區塊翻面再往右下平移到 f. 這就是惡惡魔在數數學骨架上的正確位置。三、真的是惡惡魔磁磚嗎經由數數學原理理裁貼後的惡惡魔有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的惡惡魔可以彼此互相密合，有以下兩兩種密合方式： (1) 上下的密合 (2) 左右的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的惡惡魔圖案，我們稱之為惡惡魔磁磚。有了了這 60.

(68) 兩兩種密合方式後，就可以用這兩兩種方式將很多隻惡惡魔磁磚密鋪在平面上了了。. 四、惡惡魔的鑲嵌圖透過了了解惡惡魔在數數學骨架上的正確位置及密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出惡惡魔鑲嵌圖，左下圖是先將惡惡魔放在數數學骨架上的正確位置，其他的惡惡魔除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩兩種密合方式密鋪。. 關於《E062 惡惡魔》原圖，如下圖：. 圖中的惡惡魔在狹窄的隊伍中嚴肅的遊行行，每隻藍藍色惡惡魔都都是紅色惡惡魔的鏡射影像。既定印象中，惡惡魔常常讓人聯聯想黑色沉重，然而大師用他的創意，使用藍藍色與紅色對比相間的色調，改變我們刻板的印象的同時，也為這幅作品注入不不一樣的氣息。. E062 惡惡魔回饋單 1. 根據你的經驗，下列列哪一個地方最有可能用矩形密鋪？ □ 人行行道 □ 家裡裡客廳地板 □ 廟宇地板 2. 請你回想一下，每一隻惡惡魔周遭圍繞著幾隻惡惡魔呢？（相鄰才算，只交一點不不算） □ 2隻 □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 3. 一個矩形數數學骨架包含了了哪隻生物？ □ 一隻藍藍惡惡魔 □一隻紅惡惡魔 □一隻藍藍惡惡魔及一隻紅惡惡魔 4. 如下圖，左邊的惡惡魔和右邊的惡惡魔是什什麼樣的關係呢？ □平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 右下圖為艾薛爾的《E019 鳥》的版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫 61.

(69) 出鳥的矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出鳥。. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話：. 學校班級. □ 老老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 62. □ 社會人士.

(70) E062 惡惡魔工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■ 矩形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的惡惡魔？ ■ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的惡惡魔們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E062 惡惡魔回饋單 1. 根據你的經驗，下列列哪一個地方最有可能用矩形密鋪？ □ 人行行道 ■ 家裡裡客廳地板 □ 廟宇地板 2. 請你回想一下，每一隻惡惡魔周遭圍繞著幾隻惡惡魔呢？（相鄰才算，只交一點不不算） □ 2隻 □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 3. 一個矩形數數學骨架包含了了哪隻生物？ ■一隻白惡惡魔 ■一隻黑惡惡魔 □一隻白惡惡魔及一隻黑惡惡魔 4. 如下圖，左邊的惡惡魔和右邊的惡惡魔是什什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 ■ 翻面 5. 右下圖為艾薛爾的《E019 鳥》的版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出鳥的矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出鳥。. 63.

(71) E072 魚與船工作單撰稿：李李欣樺引言：《E072 魚與船》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1948年年畫的一幅版畫，主要繪圖工具為色鉛筆和墨水。我們影片中的封面圖是艾薛爾在1949年年時為新年年賀卡而創作的版畫 (圖一)：. 圖一與以往的選材有些不不一樣，這次的主題魚與船強烈烈的與水做連連結。地中海風格的船隻，遨遊大海，不不同表情、輪輪廓廓的大魚在一旁虎視眈眈。讓我們一起欣賞遊歷歷海洋世界的《E072 魚與船》！請在電腦上點選《E072 魚與船.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、魚與船的數數學與藝術我們可以把魚與船的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是魚與船的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下三小塊後，依數數學原理理的平移、旋轉及翻面貼到正確的位置，即裁貼出魚與船。第三幕：將魚與船外框的內部著上顏色成為藝術品並進行行藝術表演，表演過程依各種適當角度度將表演的魚與船們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將魚與船一個一個放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 矩形 □ 三角形 □ 五邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚與船？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的魚與船們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣. 二、如何從數數學骨架裁貼出魚與船 64.

(72) 綜合下面兩兩個方式即可裁貼出魚與船，方式如下：甲、將矩形剪下六六個小區塊 A , B , C，並將這三個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c. C. B. a. A b. c. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移、旋轉與翻面： (1) A → a ：先將 A 區塊往左平移到 a (2) B → b ：將 B 區塊往左下方平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊往右下方平移到 c. 裁貼出魚與船後可以發現：矩形的三個頂點分別為魚頭尖點、魚嘴、帆船桅桿及船尾，這就是魚與船在數數學骨架上的正確位置。三、真的是魚與船磁磚嗎經由數數學原理理裁貼後的魚與船有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的魚與船可以彼此互相密合，我們將左邊魚右邊船(或左邊船右邊魚)視為一組，有以下三種密合方式： (1) 船底魚頭上下的密合 (2) 魚肚船帆的密合. (3)左右的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的魚與船圖案，我們稱之為魚與船磁磚。有了了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多隻魚與船磁磚密鋪在平面上了了。四、魚與船的鑲嵌圖甲、魚與船鑲嵌圖透過了了解魚與船在數數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數數學骨 65.

(73) 架上密鋪出魚與船鑲嵌圖，左下圖是先將魚與船放在數數學骨架上的正確位置，其他的魚與船除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪(如圖二)。. 圖二關於艾薛爾的魚與船版畫原圖，如下圖所示：. 《E072 魚與船》是艾薛爾為了了新年年賀卡而特地創作的版畫，在之後，艾薛爾製作了了《E112 魚與船》與《E113 魚與船》，這兩兩幅作品都都是魚沒有吞噬船隻的版本。. E072 魚與船回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的牆壁？ 2. 請你回想一下，每一隻魚與船周遭圍繞著幾隻魚與船呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) □5隻 □ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 3. 魚與船的表面積與其數數學骨架菱菱形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，左邊的魚與船和右邊的魚與船是什什麼樣的關係呢？ □平移 □ 旋轉 □ 翻面. 66.

(74) 5. 右下圖為艾薛爾版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出魚與船矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出魚與船。. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年年____月____日. e-mail：電話：. 學校班級. □ 老老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 67. □ 社會人士.

(75) E072 魚與船工作單 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 矩形 □ 三角形 □ 五邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了了哪些數數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚與船？ ■ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的魚與船們有哪些特色？ ■ 不不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都都一樣. E072 魚與船回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見見過矩形磁磚鋪設的牆壁？ 2. 請你回想一下，每一隻魚與船周遭圍繞著幾隻魚與船呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) □3隻 □ 4隻 □ 5隻 ■ 6隻 3. 魚與船的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，左邊的魚與船和右邊的魚與船是什什麼樣的關係呢？ ■ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 右下圖為艾薛爾版畫，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出魚與船矩形數數學骨架，並用找到的數數學骨架說說說明如何剪貼出魚與船。. 68.

(76) E078 獨角獸工作單撰稿：李李欣樺引言：《E078 獨角獸》是荷蘭蘭版畫家艾薛爾在1950年年10月時繪製的作品，以紅、黃、灰三色為圖中的獨角獸著色，主要的繪畫工具是色鉛筆及水彩，此作品曾在《Periodic Drawings》(plate 36)及《Art and Science》中發表。影片中的封面圖是艾薛爾於1950年年製作的新年年賀卡：. 封面圖中左下角的獨角獸屈膝盤臥以符合賀卡編排，由下而上呈現六六種不不同色調的獨角獸，板畫大師又是如何將矩形變成生動的獨角獸呢？讓我們跟動畫一探究竟。請在電腦上點選《E078 獨角獸.exe》，並仔細觀賞影片。. 一、十二隻獨角獸的數數學與藝術我們可以把十二隻獨角獸的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數數學舞台拉拉開序幕，而這矩形正是十二隻獨角獸的數數學骨架。第二幕：將數數學舞台的一個矩形放大，從這矩形裡裡飛出獨角獸，將獨角獸放在正三角數數學骨架的正確位置，並配合藝術表演依各種適當角度度將表演的獨角獸們互相密合。第三幕：銜接第一幕的數數學舞台並留留下數數學骨架的虛線邊，將獨角獸一隻一隻放到數數學骨架上的正確位置進而鋪滿數數學舞台，而這種不不互相重疊、無空隙、反覆且連連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。第四幕：將第三幕鋪好的十二隻獨角獸一隻隻往上、下、左、右密鋪平面，其中往左右方向延伸鋪滿的獨角獸按左右順序左右平移密鋪即可，而往上下方向延伸鋪滿的獨角獸必須先翻面再一層一層按順序上下密鋪。 1. 第一幕的數數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 矩形 □ 正方形 □ 正六六邊形 2. 第四幕將獨角獸延伸密鋪的過程中，用到了了哪些數數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的獨角獸？ □ 兩兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數數學舞台的獨角獸們有哪些特色？ □ 不不重疊 □ 無空隙 □ 外形都都一樣二、如何從數數學骨架裁貼出獨角獸 69.

(77) 綜合下面兩兩個方式即可將獨角獸密鋪在數數學骨架上了了，方式如下：甲、將菱菱形剪下兩兩個小區塊，並將這兩兩個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e ；F → f ；G → g. a G. E. b. c. D. f C. g F. A e. B d. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數數學原理理的平移與翻面： (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E (6) F (7) G. → → → → → → →. a ：先將 A 區塊向上平移到 a b ：先將 B 區塊往左平移到 b c ：先將 C 區塊翻面再往左下平移到 c d ：先將 D 區塊往下平移到 d e ：先將 E 區塊往下平移到 e f ：先將 F 區塊翻面再往上平移到 f g ：先將 G 區塊翻面再往下平移到 g. 裁貼出獨角獸後可以發現：矩形的其中兩兩個頂點分別在獨角獸的尾巴和後腳膝蓋後端，這就是獨角獸在數數學骨架上的正確位置。三、真的是獨角獸磁磚嗎？經由數數學原理理裁貼後的獨角獸有什什麼令令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數數學原理理形成的獨角獸可以彼此互相密合，有以下三種密合方式： (1)上下的密合 (2)尾巴的密合 (3)頭與角的密合. 70.

(78) 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的獨角獸圖案，我們稱之為獨角獸磁磚。有了了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多隻獨角獸磁磚密鋪在平面上了了。四、獨角獸的鑲嵌圖透過了了解獨角獸在數數學骨架上的正確位置及密合方式後，即可在數數學骨架上密鋪出獨角獸鑲嵌圖，左下圖是先將獨角獸放在數數學骨架上的正確位置，其他的獨角獸除了了要放在數數學骨架上的正確位置外，還須一一按照這三種密合方式密鋪，如右下圖。. 關於《E078 獨角獸》原圖，如下圖：. 原圖一整欄欄的獨角獸都都面對同一個方向，與隔一欄欄的獨角獸互為翻面關係，艾薛爾完成作品後，發現這種三色的色彩配置和其它筆記本中的雙色作品截然不不同，是個嶄新的創作。. 1. 2.. 3. 4.. E078 獨角獸回饋單根據你的經驗，下列列哪一個地方最有可能用矩形密鋪？ □ 人行行道 □ 家裡裡客廳地板 □ 廟宇地板請你回想一下，每一隻獨角獸周遭圍繞著幾隻獨角獸呢？(相鄰才算，只接觸一點不不算) □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻每一隻獨角獸的表面積與其數數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否如下圖，左邊的鳥和右邊的鳥是什什麼樣的關係呢？ □平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 右下圖為艾薛爾的另一幅版畫《E017 老老鷹》，這版畫也利利用了了矩形當作每一隻老老鷹 71.

(79) 的數數學骨架，請參參考左下圖所畫的數數學骨架，在右下圖畫出正確的數數學骨架。. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________ 填單日期：____年年____月____日 e-mail：電話： □ 學校班級. 老老師. _____________. □ 學生 _____________ _____________. 72. □. 社會人士.