勾股定理全章复习与巩固（提高）巩固练习

勾股定理全章复习与巩固（提高）巩固练习

【巩固练习】 一．选择题 1．在△

ABC

中，若

a



n

2



1

,

b



2

n

,

c



n

2



1

，则_{△ABC 是（} ） A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形 2． 如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 3．（2015 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为 1：2：3 B．三边长的平方之比为 1：2：3 C．三边长之比为 3：4：5 D．三内角之比为 3：4：5 4．如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A、B 处距河岸的距离 AC、BD 的长分别为 500m 和 700m， 且_{C、D 两地的距离为 500m，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少} 要走（ ） A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m 5． 直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ ） A．ab=h2 _B．a2_+b2_=h2 _C．

1 1 1

a b h

 

D． 2 2 2

1

1

1

a



b



h

B．

_a

2

_



_m

_

_{1 ,}



2

_b

2

_

_{4 ,}

_{m c}

2

_



_m

_

₁



2 C．

a

2





m



1 ,



2

b

2



2 ,

m c

2





m



1



2 D．

a

2





m



1 ,



2

b

2



2 ,

m c

2 2





m



1



2 8．（2016•连云港）如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 S4、S5、 S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则 S3+S4=（ ） A．86 B．64 C．54 D．48 二．填空题 9．如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线 AD＝2，则△ABC 的面积为______． 10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB＝6，BC＝8，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC 上， 折痕为AD，则 BD＝______．

11．已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高 AD＝12，BC＝_______．

12．如图，E 是边长为 4cm 的正方形 ABCD 的边 AB 上一点，且 AE=1cm，P 为对角线 BD 上的任意一点， 则_{AP+EP 的最小值是 cm．}

13．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP=

1

4

BC．如果用一根 细线从点_{A 开始经过 3 个侧面缠绕一圈到达点 P，那么所用细线最短需要 cm．} 14．（2014 春•监利县期末）小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为 30cm，40cm，50cm 的木箱 中，他能放进去吗？答： （选填_{“能”或“不能”）．} 15．（2016 春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．

16． 如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线 AD＝6，∠BAD＝________．

三．解答题 17．（2016 春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所 给出的三个数a，b，c，a＜b＜c． （_{1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；} （_{2）写出当 a=17 时，b，c 的值．} 3，4，5 32₊₄2₌₅2 5，12，13， 52₊₁₂2₌₁₃2 7，24，25 72₊₂₄2₌₂₅2 9，40，41 92₊₄₀2₌₄₁2 … … 17，b，c 172_+b2_=c2

19．（_{2015•永州）如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A．当} 重型运输卡车_{P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声} 的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速 度为_{18 千米/时．} （_{1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离；} （_{2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间．} 20． 如图 1，四根长度一定_{．．．．的木条，其中 AB＝6}

cm

，CD＝15

cm

，将这四根木条用小钉绞合在一起，构 成一个四边形_{ABCD（在 A、B、C、D 四点处是可以活动的）．现固定 AB 边不动，转动这个四边形，} 使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置． 位置一：当点_{D 在 BA 的延长线上时，点 C 在线段 AD 上（如图 2）；} 位置二：当点_{C 在 AB 的延长线上时，∠C＝90°．} （1）在图 2 中，若设 BC 的长为

x

，请用

x

的代数式表示AD 的长； （_{2）在图 3 中画出位置二的准确．．图形；}（各木条长度需符合题目要求） （3）利用图 2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中，BC、AD 边的长．

【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D； 【解析】因为

c a

2



2





n

2

 

1

n

2



1



n

2

 

1

n

2



1



＝₄

n

2



b

2，所以

c a

2



2



b

2， 2 2 2

a b





c

，由勾股定理的逆定理可知：_{△ABC 是直角三角形．} 2．【答案】C；

【解析】连接_{AC，计算 AC}2_＝BC2_＝5,AB2_{＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴}

∠_{ABC＝45°．} 3．【答案】D； 【解析】解：_{A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为 30 度，60 度，90 度，所以是直角三角} 形，故正确； B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确； C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确； D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有 90°角，所以不是直角三角形，故不正确． 故选_D． 4．【答案】C；

【解析】作_{A 点关于河岸的对称点 A′，连接 BA′交河岸与 P，则 PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，} BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m）． 5．【答案】D； 【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：

c

ab

h



．再结合勾股定理：_a2_+b2_=c2．进行等量代换， 得a2+b2= 2 2 2

a b

h

．两边同除以a2b2，得 2 2 2

1

1

1

a



b



h

． 6．【答案】B； 【解析】



AC BC





2



AC

2



BC

2



2

AC BC AB





2



2

AB CD



＝_{169＋2×13×6＝325．}

∴_S2﹣S1=S3， 如图2，S4=S5+S6， ∴_S3+S4=45﹣16+11+14=54． 故选_C． 二．填空题 9．【答案】6；

【解析】延长_{AD 到 E，使 DE＝AD，连结 BE，可得△ABE 为直角三角形．} 10．【答案】3； 【解析】设点_{B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD＝}

x

，则_DE＝BD＝

x

，_{AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－}

x

， 在Rt△CDE 中根据勾股定理列方程． 11．【答案】14 或 4； 【解析】当_{△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9－5＝4．} 12．【答案】5

【解析】作_{E 点关于直线 BD 的对称点 E′，连接 AE′，则线段 AE′的长即为 AP+EP 的最小值 5．}

13．【答案】5 【解析】∵长方体的底面边长分别为_{1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP=}

1

4

BC，∴AC=4cm， PC=

3

4

BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5． 14．【答案】能；

【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是_xcm， 根据题意，得x2=502+402+302=5000， 702_=4900， 因为_{4900＜5000，} 所以能放进去． 15．【答案】96；

【解析】连接_{AC，在 Rt△ACD 中，AD=8，CD=6，} ∴AC2_=100，

在△_{ABC 中，∵AC}2+_BC2₌₁₀2+₂₄2₌₂₆2_=AB2， ∴△_{ABC 为直角三角形；}

∴图形面积为：

S△ABC﹣S△ACD= ×10×24﹣ ×6×8=96．

16．【答案】90°；

【解析】延长_{AD 到 M，使 DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝2AD＝12 在△ACM} 中

5 12

2



2



13

2 即

CM

2



AM

2



AC

2 ∴∠AMC＝∠BAD=90° 三．解答题 17．【解析】 解：（_{1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：} ①以上各组数均满足 a2+_b2_=c2； ②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如₃2_=9=4+5，52_{=25=12+13，7}2_{=49=24+25，9}2_=81=40+41… 由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：

∴_{b=144，c=145．} 18．【解析】 解：如图，作AD⊥BC，交 BC 于点 D， ∵_BC=8cm， ∴_{BD=CD= BC=4cm，} ∴_AD=3， 分两种情况：当点P 运动 t 秒后有 PA⊥AC 时， ∵_AP2_=PD2_+AD2_=PC2﹣_AC2，∴_PD2_+AD2_=PC2﹣_AC2， ∴_PD2₊₃2_=（PD+4）2﹣₅2∴_PD=2．25， ∴_{BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，} ∴_{t=7 秒，} 当点P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，同理可证得 PD=2．25， ∴_{BP=4+2．25=6．25=0．25t，} ∴_{t=25 秒，} ∴点_{P 运动的时间为 7 秒或 25 秒．} 19．【解析】 解：（1）过点 A 作 AD⊥ON 于点 D， ∵∠_{NOM=30°，AO=80m，} ∴_AD=40m， 即对学校_{A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米；} （_{2）由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，OA=80m，} ∵在_{Rt△AOD 中，∠AOB=30°，} ∴_{AD= OA= ×80=40m，} 在Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= = =30m， 故_{BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BD 时对学校产生影响．} ∵重型运输卡车的速度为_{18 千米/小时，即 =300 米/分钟，} ∴重型运输卡车经过_{BD 时需要 60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．} 答：卡车P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒．

20．【解析】 解：（_{1）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝}

x

， ∴ 在图_{2 中，AC＝BC－AB＝}

x

－_{6，AD＝AC＋CD＝}

x

＋_9． （_{2）位置二的图形见图 3．} （3）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图_{3 中，BC＝}

x

，_{AC＝AB＋BC＝6＋}

x

，_AD＝

x

＋_9． 在_{△ACD 中，∠C＝90°} 由勾股定理得

AC

2



CD

2



AD

2 ． ∴

(6



x

) 15

2



2



(

x



9)

2 ． 整理，得

x

2



12

x



36 225





x

2



18

x



81

． 化简，得₆

x

＝_180． 解得

x

＝30． 即 _BC＝30． ∴ _AD＝39．