國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所
國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文
指導教授：楊志堅 博士
國小學童單位量化聚理解相關能力之
評量研究
研究生：陳明慧 撰
中
華
民
國
一
○
二
年
八
月
謝誌
時間過得飛快，暑期研究所修習學分的四個暑假，一下子就過去了。回想起 這段期間和來自不同學校集合而來的同學們一同上課、吃便當、討論報告、閒話 家常的時光，雖然有些辛苦，卻充滿回憶。 本篇論文的完成，首先要感謝指導教授楊志堅博士的耐心指導，從每一次專 題研究會議中提問，讓我一步步接近研究的核心；在每一次的郵件往返中，接收 到教授的鼓勵及信任，讓我雖然因故延遲，仍充滿信心繼續往畢業之路邁進，謹 此致上最深的感謝與敬意。 感謝口試委員曾建銘教授、施慶麟教授、張碧峰教授及張育萍教授，在百忙 之中撥冗審閱，對本論文提供許多寶貴的意見，您們的指正與見解，使論文內容 更加完備，致上我最誠摯的謝意。 求學的四個暑假期間，感謝一路同組的同學們：玉如、嘉瑋、惠霜，因為有 你們的協助和鼓勵，讓我能一步步完成學業。感謝一起參加口試的明洋，有你細 心幫忙打點口試相關事項，我們才能順利完成口試。 恰巧在修業時間，我晉升為母親的角色，雖然因此而延遲畢業的時間，但有 了淇淇和菲菲這兩個小寶貝，是我生命中最大的滿足！感謝公公婆婆幫忙照顧幼 小的淇淇，先生協助打理家務及照顧更小的菲菲；尤其是先生祐丞的體諒及包 容，是我最堅強、最溫暖的後盾，謝謝你。 最後，衷心感謝生命中所有的貴人給我的幫助，謝謝您們！ 陳明慧 謹誌 中華民國一○二年九月摘要
「量與實測」為國小數學的核心課程之ㄧ，而測量單位量的化聚及轉換問 題，則為學童較高階之學習活動。本研究旨在編製一份能以團體施測方式進行的 「單位量化聚能力測驗」，探討學童在單位量化聚能力的表現情形。 「單位量化聚能力測驗」共有28題，以單選選擇題題型呈現，每題一分，全 測驗最高得分為28分。研究對象為台中市某國小三、四、五年級學生，共182人 接受研究者自編之「單位量化聚能力測驗」。 測驗資料經蒐集彙整後，進行資料分析，本測驗試題之難度和鑑別度，均在 滿意範圍內，且具有良好的信度及效度。 本研究結果顯示，全體學童對長度單位的了解表現最佳，而在長度單位的小 數化聚部分之能力最弱。在單位量化聚能力上，三至五年級男生的表現優於女 生；依年級的表現來看，五年級表現最佳，其次為四年級、三年級；而學童是否 參加校外數學補習，則未達顯著差異。當一般學童對單位量所代表的意義不甚了 解，在單位量化聚上的表現明顯不理想；而學童對於倍數能力及位值概念的掌 握，較單位量意義差，容易造成單位量化聚及轉換的問題。 研究者根據上述研究結果，對自編測驗工具「單位量化聚能力測驗」提出試 題修正之方向，教師可依據研究結果在進行單位量的化聚及轉換教學時，調整教 學方式。 關鍵字：長度、測量單位、小數化聚Abstract
“Estimation and measurement” have been the core topics in elementary school math. The conversion and decomposition of measurement units are the advanced learning topic. This study is to design a proper test to see students’ performance regarding units- conversion/decomposition.
Regarding units-conversion/decomposition, there are in total 28 items; each is presented in single-choice form: one point for each item, the total score being 28. The subjects of the study are Grade 3 to 5 students at one elementary school in Taichung, in total 182 students accepting the test for the assessment and study.
The results are analyzed to see the difficulty parameter and discrimination parameter of the test, which are all satisfactory, with good reliability and validity. The study shows that the students present good understanding regarding conception of length, but deliver weaker ability regarding its concept of hundredths decimal’s and synthesis. As for the unit-conversion/decomposition, boys are superior to girls. Of the three grades, Grade 5 students have the best performance, Grade 4 the second, and Grade 3 the third. No significant difference occurs about whether or not students got extra-curriculum cram school program. In addition, if students are not clear about the respective meaning of each unit, their performance will not be
satisfactory. If students have trouble with multiple and units, they are even more liable to have errors related.
The researcher therefore offers some suggestions regarding
units-conversion/decomposition in the self-designed test. Teachers may thus get some advice in teaching units-conversion/decomposition.
目 錄
中文摘要 ...I
英文摘要 ... II
目 錄 ...III
圖 次 ...VI
表 次 ... VII
第一章 緒論 ...1
第一節 研究背景與動機...1
第二節 研究目的與待答問題...3
第三節 名詞解釋...4
第四節 研究範圍與限制...6
第二章 文獻探討 ...7
第一節 單位量概念的相關研究 ...7
第二節 九年一貫數學領域長度課程 ...15
第三節 小數化聚相關課程與研究 ...22
第四節 國民小學單位量化聚之相關研究 ...26
第三章 研究方法 ...29
第二節 研究對象...30
第三節 研究工具...31
第四節 研究流程...36
第五節 資料處理與統計分析...38
第四章 結果與分析 ...39
第一節 測驗工具分析...39
第二節 學童在單位量化聚能力之表現 ...42
第三節 學童在不同部分測驗表現之分析 ...60
第四節 單位量化聚試題表現之相關情形 ...65
第五章 結論與建議 ...69
第一節 研究結論...69
第二節 研究限制...74
第三節 研究建議...75
參考文獻 ...77
壹、中文部分 ...77
貳、西文部分 ...80
附 錄 ...81
附錄一 度量衡列表...81
附錄二 國小學童單位量化聚理解相關能力測驗預試
題目卷...82
附錄三 國小學童單位量化聚理解相關能力測驗預試
答案卷 ...86
附錄四 預試試題信度分析統計表 ...87
附錄五 國小學童單位量化聚理解相關能力測驗正式施測
題目卷 ...88
附錄六 國小學童單位量化聚理解相關能力測驗正式施測
答案卷 ...92
圖 次
圖 3-1-1 研究架構 ...29
圖 3-4-1 研究流程圖 ...37
圖 4-2-1 不同性別在各部分試題表現剖面圖 ...54
圖 4-2-2 三、四、五年級學童在各部分試題答對率
曲線圖 ...55
圖 4-2-3 不同年級在各部分試題表現剖面圖 ...57
圖 4-2-4 學童是否參加校外數學補習在各部分
試題表現剖面圖 ...59
圖 4-3-1 性別和年級在小數位值試題之單變量分析剖面圖 ...61
圖 4-3-2 性別和年級在整數化聚試題之單變量分析剖面圖 ...62
圖 4-3-3 年級和是否補習在小數化聚試題之單變量分析剖面圖 ...64
表 次
表 2-2-1 九年一貫長度教材階段能力指標表(2003) ...17
表 2-2-2 九年一貫長度教材能力指標分年細目表(2003)….. ...18
表 2-2-3 部編版第一～十冊長度相關教材內容 ...19
表 2-3-1 九年一貫小數教材能力指標分年細目表(2003) ...22
表 2-3-2 部編版國小一至五年級數學教材內容分布表 ...23
表 2-4-1 國民小學單位量化聚相關研究整理 ...26
表 3-2-1 預試施測樣本數分配表 ...30
表 3-2-2 正式施測樣本數分配表 ...31
表 3-3-1 「單位量化聚相關能力測驗」預試試題難度、鑑別度
一覽表 ...34
表 4-1-1 正式題本信度分析統計表 ...39
表 4-1-2 「單位量化聚相關能力測驗」正式試題難度
及鑑別度一覽表 ...41
表 4-2-1 單位量化聚能力試題的平均難度及鑑別度表 ...42
表 4-2-2 國小三至五年級學童在「長度單位意義」測驗上
的通過率 ...43
表 4-2-3 學童在「小數位值概念與化聚能力」測驗上的通過率 ...44
表 4-2-4 學童在「長度單位整數化聚」測驗上的通過率 ...47
表 4-2-5 學童在「長度單位小數化聚」測驗上的通過率 ...48
表 4-2-6 試題第 23 題的選目分析 ...51
表 4-2-7 試題第 25 題的選目分析 ...52
表 4-2-8 試題第 26 題的選目分析 ...52
表 4-2-9 不同性別在不同部分試題之獨立 t 檢定 ...53
表 4-2-10 三、四、五年級學童在各部分試題之答對率 ...55
表 4-2-11 不同年級學童在不同部分試題之單因子變異數分析 ...56
表 4-2-12 學童是否參加校外數學補習在不同部分試題之
獨立 t 檢定...58
表 4-3-1 性別和年級在四個試題類型的單變量分析 ...60
表 4-3-2 性別和是否補習在四個試題類型的單變量分析 ...63
表 4-3-3 年級和是否補習在四個試題類型的單變量分析 ...63
表 4-4-1 全體學童在單位量化聚四個部分測驗上的相關分析 ...64
表 4-4-2 三年級學童在單位量化聚四個部分測驗上的相關分析 ...65
表 4-4-3 四年級學童在單位量化聚四個部分測驗上的相關分析 ...66
表 4-4-4 五年級學童在單位量化聚四個部分測驗上的相關分析 ...67
第一章 緒 論
對教師而言，評量為教學之後的檢測及修正教學活動的主要依據，同時可適 時對學生進行補救教學；但礙於時間與人力限制，紙筆測驗為一般教師主要採用 之評量方式。教育部在九年一貫課程精神中，強調學生應有帶著走的能力，研究 者在平時教學後之紙筆測驗中，發現學生在單位量的化聚上有困難，同時無法單 就評量分數呈現出學生之問題。因此，本研究主題為國小學童單位量化聚相關能 力之評量研究，期能發現不同能力學童在單位量化聚之學習情況，提供教學參考 或補救教學之依據。本章主要說明本論文的研究概述，共分為四節，第一節介紹 本研究之研究背景及動機；第二節介紹研究目的；第三節名詞解釋，將本研究所 涉及到的名詞加以定義；第四節則提出本論文的可能研究限制。第一節 研究背景與動機
教育部實施九年一貫課程，強調把每一個學生帶上來，因為重要的數學概念 及精熟的演算能力，是強調學生能具備「帶著走」的基本能力（教育部，2003）。 具體而言，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為：（1）培養學生的演算能力、 抽象能力、推論能力及溝通能力。(2)學習應用問題的解題方法。(3)奠定下一階段 的數學基礎。(4)培養欣賞數學的態度及能力。之後再分為國小、國中不同階段之 具體目標。由此可見數學課程以日常生活為中心，強調實用、生活化的經驗，在 「量」的教材及學習上十分重要。 九年一貫數學學習領域將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計 與機率」、「連結」等五大主題，而國小數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量 與實測」、「有理數」和「估算」等子題。「量與實測」為國小數學的核心課程之種量（教育部，2003）。而測量單位量的化聚及轉換問題，則為學童較高階之學 習活動，部分學童在此活動之學習成效不佳。 梁添水（1998）的在研究中指出，長度觀念大部份分布於國小一至三年級課 程中，若在此階段學習遇到困境，加上無適當指導，對往後有關物理量之學習必 定產生更大挫折，因此須加以注意。對於此問題，教師應診斷其錯誤類型，了解 其遭遇的困難，進而幫助學童。 在單位量的化聚過程中，需理解長度單位之間的關係，以及數量之位值關係、 除法經驗之應用，因此小數的化聚概念亦為影響單位量化聚之重要因素。沈佩怡 （2007）在研究中發現受試兒童在學習小數化聚觀念時，單位化小數的進位與否、 小數化或聚，才是決定上下位概念的關鍵。劉曼麗（1998）、陳文利（2001）、 郭孟儒（2002）的研究中發現，在小數化聚能力上，學童不清楚小數與整數的關 係，容易直接將個數與單位合成，例如：36 個 0.1 就是 0.36。而在小數的位值概 念部分，周筱亭（1990）的研究指出，因學童對位值概念的模糊，導致往後在學 習小數運算時產生學習的困擾；杜建台（1996）、吳昭容（1996）在研究中發現， 學生在小數位值上的表現，深受整數位值概念的影響。 因此，本研究將測驗分成三個部分，第一部分測驗學童對單位量意義及之間 的關係，第二部分則評量學童之小數位值概念及化聚能力，第三部分為單位量化 聚及轉換能力之探討，以期從中了解學童容易錯誤之概念，進一步能在教學上給 予提醒及補救。
第二節 研究目的及待答問題
依據上述之研究背景與動機，本研究將編製一份適用於國小三至五年級學童 的「單位量化聚能力測驗」，進行試題分析，探討三到五年級學童在單位量化聚 能力的表現，及其相關能力之探討，期能瞭解國小一般學童對測量單位量的化聚 及轉換容易產生之迷思與疑問，以利進行教學與輔導。 為達成研究目的，本研究主要探討下列待答問題： 一、自編國小三至五年級學童的「單位量化聚能力測驗」是否為品質優良之測驗 工具？ 二、國小三至五年級學童在單位量化聚能力的表現情形如何？ 三、探討不同性別、參與校外補習及不同年級，是否影響學童單位量化聚能力之 表現？ 四、學童在「長度單位」、「位值概念」和「單位化聚能力」的表現是否有顯著 相關？第三節 名詞解釋
為了更清楚了解本研究用語，茲將本研究中重要名詞定義如下：一、 單位量：
「量與實測」為國小數學的核心課程之ㄧ，其中量包含長度、重量、容 量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。而長度是國小最早學 習的量，具有量之學習的指標作用，又是數線與小數概念的入口，需小心處 理此細目，以完成利用個別單位測量與距離觀念的連結。例如：可以要求學 童以一步為單位，測量距離(步數)，讓學童知道可利用「單位」來量度「距 離」(教育部，2003)。本研究討論之單位量，以國小階段長度單位為研究範 圍，包括毫米、公分、公尺、公里。其餘重量、容量、時間、角度、面積、 體積等則不包括在內。二、 化聚
在本研究中，討論長度單位及小數兩個部分的化聚活動： 1.長度單位化聚：能理解用不同個別單位測量同一長度時，其數值不 同，並能說明原因。這是單位換算的前置經驗，透過合成分解的活動，理解 不同單位間換算的模式。本研究中只討論單名數之間的化聚關係，不刻意討 論單名數與複名數之間的化聚關係。例如：1850 公尺＝1 公里 850 公尺＝1.85 公里，著重於 1850 公尺＝1.85 公里部分。 2.小數化聚：能掌握「1」和單位小數「0.1」、「0.01」、「0.001」等計數 單位之間的關係。本研究只討論小數計數單位間的化聚及位值概念，如：「7.4是幾個 0.1？」，不加入小數單複名數間的轉換。
三、受試學童
本研究中之受試學童，係指九十八學年度在台中市某國小就讀之三、 四、五年級學童，從每個年級四個班級中抽取兩個班級進行測驗，均採用 九年一貫課程綱要實施數學教學，且同樣使用部編版之數學教材。共 182 名學童，其中不包含特殊兒童。第四節 研究範圍與限制
本研究以國民小學三至五年級學童為研究對象，進行試題分析，來解釋試題 之難度、鑑別度。茲將本研究可能之限制分述如下： 一、 研究對象的限制： 本研究考量人力、物力及時間之限制，受試樣本僅限於台中市某一國小 之三至五年級學童，各年級四個班級中抽取兩個班級進行團體施測。 二、 研究工具的限制： 本研究工具為研究者自編之「單位量化聚能力測驗」，由於單位量相關 之能力包含因素甚多，故編制測驗時僅涉及長度之單位量化聚，不討論其他 重量、容量、面積、體積、時間、角度等單位量化聚。同時，將試題分為三 部分，僅討論單位量之意義、倍數計算能力及位值概念，及單位量化聚轉換 問題，以期找出學童在單位化聚時之困難。此為本研究工具設計時之一大限 制。 三、 研究範圍及結果的限制： 本研究範圍僅限受試班級的學習情況，結果僅供研究者或該班級教師進 行教學，以及進行補救教學之參考；且受於地域因素，不宜將結果過度解釋， 亦無法將分析之結果做普遍性的推論。第二章 文獻探討
本章主要在探討與本研究相關的理論基礎與實證研究。本章一共分成四節： 第一節探討單位量概念之相關研究；第二節討論九年一貫數學領域長度相關課程 分析；第三節就小數化聚相關課程及研究加以分析；第四節探討國民小學單位量 化聚活動之相關研究。第一節 單位量概念的相關研究
壹、單位量的概念
生活中有常用的六種感官量，包括了長度、重量、容量、角度、面積、體積 等（朱建正、鍾靜、呂玉英、捐鈺麟，2006），其概念及技能的學習發展，都應 該經歷下述四個階段：1.某量的初步概念；2.某量的間接比較；3.某量的普遍單 位比較；4.某量的測量單位制度概念。但是，面積和體積則需增加第五個階段， 即測量公式概念（教育部，2003）。 一、某量的初步概念 1.某量的認識： 在此階段，使用日常語言談論兒童經驗，如：「你在哪裡聽過人家說到 長和短？」來進入長度學習。若長短改為輕重，則是認識重量；或改為繩子 圈起來的範圍，則是認識面積。此處長度、面積、體積、角度、容量（不含 液量）的直觀比較屬於視覺上的判斷，而重量屬於肌肉覺的判斷。 2.某量的直接比較： 重點在如何直接比對實物，直觀比較是判斷某兩量間的大差異，而直接 比較則為判斷小差異，但通常以直接比較稱之。此處長度、面積、體積、角 度、容量（不含液量）的直接比較仍是視覺的，而重量則由肌肉覺轉至等臂天平上視覺的。 3.使用以某量為刻度單位的工具： 利用學童在生活上看過或自己使用過尺、秤、量杯、量角器來進行直接 比較層次的活動，不涉及工具上刻度單位意義的了解。並非所有感官量都有 生活上的常用工具，如體積就沒有刻度單位工具；而面積的平方公分格子板 則為教學需要介入的。 二、某量的間接比較 1.某量的間接比較： 初步的間接比較就是複製後，再直接比較。例如因 A 物、B 物不可移動， 無法直接比較長度，故對 A 複製一個長度相同的物件稱為 C，以 C 和 B 直接 比較的結果，當做 A 和 B 的比較結果，C 稱為媒介物。 2.某量的個別單位比較與實測 間接比較活動所產生的結果有時是為答覆提出的問題，例如：這支鉛筆 和那支原子筆，誰比較長？但有時比較活動的結果是為了回應描述或記錄某 物的長的要求。所以在間接比較活動中，兒童會用一些小物件去描述原物件 再提出答案，如：A 長方形和 15 張郵票合起來一樣大、B 長方形和 14 張郵 票合起來一樣大，所以 A 長方形比較大；這些相同的小物件就是個別單位。 三、某量的普遍單位比較 1.認識某普遍單位量的意義： 普遍單位和個別單位都可以作為個別單位比較的基準，但是普遍單位有 個文化上約定的標籤作為名字，例如：公分。此一標籤使他有別於迴紋針。 白色積木是邊長 1 公分的正方體，它同時是 1 公分、1 平方公分及 1 立方公 分的實物表徵。為強調普遍單位為一個特別的個別單位，在教學時會在措詞 上讓學生對普遍單位了解，也要有個別單位的意義，例如：3 公分是 3 個 1
公分，即採用 3 個白色積木合起來的長為 3 個 1 公分，是 3 公分長。 2.以普遍單位量為單位，進行實測即估測的活動： 此階段開始時，會用普遍單位的具體表徵去詮釋測量工具上刻度的意 義，例如：用 1 分公升的水量，去慢慢認識分公升量筒上 1 分公升、2 分公 升的刻度，而且以分公升為普遍單位進行教學時，只強調分公升為單位的系 統，不會出現容量的其他單位量，以進行兩個不同容量單位關係的教學。 估測的原則是建立對普遍單位如 1 公尺、1 公分、1 公升、1 毫公升等的 量感，其次在幾次量測後，採用先猜後量的過程教學；最後鼓勵學生平時注 意日常生活中，標準商業包裝的重量、容量或長度，以及步長、掌寬、指寬 等。 四、某量的測量單位制度概念 長度、重量、容量、角度、面積和體積，這六種感官量都是十進位制的。 按照度量衡國際標準制度，每種量選定一種基本單位，如重量用公克（gram）， 長度用公尺（meter），容量用公升（liter）等；十倍、百倍、千倍的就在基本 單位前冠以十（deca）、百（hec）、千（kilo）；0.1 倍、0.01 倍、0.001 倍的 就在基本單位前冠以分（deci）、厘（centi）、毫（milli）等字頭。但因民國 初年首批負責規劃人主張以自定的命名方式，如長度單位的公里、公引、公丈、 公尺、公寸、公分、公釐取代國際標準制度的原則，以致於公里、公分這兩個 常用單位現在無法很平順的改稱千公尺、厘公尺；且還引發了現階段更改符合 國際慣例稱呼的爭議，例如：公釐是毫公尺之稱。 1.認識甲普遍單位量及乙普遍單位量的關係： 基本單位量的十分之一、百分之一量的制定，是等分割的結果，因此本 階段的教學，先將低階單位量加以累積制與大十倍、百倍或千倍的高階單位 量等量的方式，來建立甲普遍單位量與乙普遍單位量的關係。在課程中，並
尺、公分和毫公尺（毫米）四種。公尺、公分和毫公尺在分別介紹該普遍單 位後，再以前述累積方式，介紹 100 公分＝1 公尺和 10 毫公尺＝1 公分的關 係；至於非相鄰的二階普遍單位，例如：1 公里和 1 公分，或 1 公尺和 1 毫 公尺之間，中間隔著一個課程中介紹的單位，則不介紹關係。 2.甲普遍單位量及乙普遍單位量的化聚 將某量以低階單位的描述改成以高階單位來描述，叫做「聚」；反之叫 做「化」。化聚依其運算複雜的程度可分成初步、整數及小數化聚。初步化 聚係指高階單位的整數倍與低階單位間的化聚，如 500 公分＝5 公尺、3 公 斤＝3000 公克。整數化聚係指含高階單位的複名數與低階單位間的化聚，如 472 公分＝4 公尺 72 公分、3 公斤 458 公克＝3458 公克，亦可稱為複名數的 化聚。但近年來，許多複名數的使用多以高階單位的小數倍代之，尤其以依 位、二位小數更多，如火車月臺的上、下鄰站里程標示，皆以公里的一位小 數倍表示。化聚運作的運思以較成熟的對等問題之解題策略為佳，因此會觸 及除法餘數及小數位值的問題，故需待兒童之小數概念成熟後，才涉及小數 化聚。且因為此六種感官量是十進位制的，故不需進行分數化聚的教學。 對於感官量的教材架構，都十分強調發展的階段，先做「直接比較」、「間 接比較」、「個別單位」、「普遍單位」之前置、銜接及後續發展之歷程，且在 「普遍單位」分別發展後，需配合兒童「數與計算」教材的發展，再進行「單位 化聚」，分階段進行初步化聚（兩量等號關係建立時）、整數化聚，以及小數化 聚活動。
貳、教育部九年一貫課程目標
數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年 級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連 結」等五大主題。（教育部，2008） 數與量在國民教育的數學課程中具有主要的地位，其主要概念的形成與演算 能力的培養均奠基於國小階段，而在國中則延伸至負數和根號數的教學。在國小 階段(一年級至六年級) 數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量與實測」、「有 理數」和「估算」等子題。以下僅討論「整數」及「量與實測」部分。 一、整數 在國小階段，整數指的是自然數和 0，所處理的是離散量的計數與計算。整 數教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前，已有的各 種計數與解題能力，在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計 算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義， 藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基 本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後(國、高中)學習 抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有 效處理日常生活的基本能力之一。 培養流暢的計算能力，應注意以下幾點： 1.計算程序的發展有其嚴格性，必須每個環節都能掌握，才會有紮實的計算能 力。 2.在理解運算意義時，固然可以多樣舉例，但在學習計算程序時，則可運用恰 當的例子(如幣值)，讓學生能順利掌握計算的方式。 3.計算程序本質上較為抽象，也因此才能應用於各種不同的情境，在理解各種 運算的意義後，就應該慢慢脫離情境，做各種計算的練習。 4.計算的練習必須要多樣化，讓學生能從各種角度熟練四則運算的性質與程 序。 5.學生應該養成簡單心算與驗算的習慣。
6.計算時能運用四則運算的性質，協助心算與估算，簡化計算、驗算與解題。 而國小整數教學的課程目標在於： 1.從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後能掌握 大數。 2.在二年級下學期，理解算術的樞紐─九九乘法，作為日後所有計算的基礎。 3.到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減直式計算，五年級則熟悉乘、 除直式計算。 4.五年級時熟悉整數四則混合計算與相關運算律。 5.在五、六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加 強，建立完整的數字感。 二、量與實測 除了日常生活的重要應用外，量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與 有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最 早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分數與小數教學的自然入口， 同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何在數線上做比較 與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的 基礎。 量與實測是國小數學的核心課程之一，其中量包含長度、重量、容量、時 間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、 體積屬於幾何(視覺)量。 國小量的學習，原則上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算 的階段，尤其要注意在應用問題中，恰當的和分數、小數結合。 1.初步認識：在初步階段，學生應從日常情境中認識該類量的意義，並能做簡 單自然的度量，並進而體認該類量比較大小的意義。 2.常用單位：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，做量的比較、加、減、
乘、除。 3.單位換算：在測量時，首先能用複名數來描述測量結果。然後再利用單位換 算的約定，來進行換算。 4.量的計算：結合直式計算、複名數、單位換算的經驗，解決日常生活中量的 計算問題。 不過各種量的初步認識階段，除了長度量最為標準之外，仍應依量的特性， 而做不同的處理。 1.角度：角度量雖然是和長度類似的一維量，但是其引進卻和面積經常混淆， 教師應小心處理。 2.容量：此量的初步認識雖然和體積相關，但是在更進一步的教學應用中，則 變成和長度的一維量類似（如量杯），教師應特別處理。 3.面積、體積：這兩種幾何量牽涉到複雜圖形的認知困難，前期的複製與比較 均不好處理。教學宜從較直觀或簡單情況的大小判斷開始，然後直接引用最 易處理的正方形或正方體為單位，從並排或堆疊的經驗中，對面積或體積蘊 生更有意義的量感。 4.重量：重量不是視覺的幾何量，牽涉到身體的體感，即使是左右手持重物比 較，也不是真正的比較。因此宜從器械如天平的學習入手，由對稱的直觀知 道天平兩邊重量比較的意涵，並以此來完成重量的初步比較。其次，再由器 械如公斤秤，學習重量的單位。 5.時間：由於時間無法複製與保留，因此除了「同時同地」進行事件時間長短 之比較外，不存在真正的比較。所以時間量的學習，和重複規律計時的標準 器械(如鐘表)的使用，有非常密切的關係。學生時間量的學習，應從器械入 手，透過約定單位的學習，再慢慢掌握時間的量感。 另外，量的教學還有幾個教學要點： 1.在學習常用單位時，應先從最常用的單位先學起，和生活情境相結合。之後
再隨生活經驗的擴充，延伸到更大或更小的單位。 2.學習最常用的單位時，要從實測來培養量感，並養成基本的估測能力。 3.常用單位，一方面遵守中央標準局之約定（附錄一），另一方面也鼓勵教師， 配合生活情境，自行補充其他日常生活常用的單位(如：米、cc、ml、坪、 台斤等)。 4.長度、面積與體積作為量來教學，經常與幾何主題有許多重疊之處，因此有 一些指標是量與幾何共用。
參、長度單位量化聚概念
在教材綱要中，長度出現的最早，也最貼近兒童生活，而面積次之，因此以 長度為例來說明（教育部，2003）。 一、長度的數學結構 包括長度概念的由來、認識直線、對直線段的長短及描述，曲線長的描述， 如：圓周。建立普遍單位、數線以及比例尺。 二、第一階段認知結構 用直線段來表徵對實物的認識，再以直線段表徵實物的直接比較結果；最 後能以遠近、高矮、厚薄、粗細作為報告結果描述的直接比較活動。能複製長 度，測量彎曲物的長度，並使用長度測量工具。 三、第二階段認知結構 具有長度保留概念，認識公分刻度尺和公尺刻度尺的結構，接受從個別單 位到普通單位，產生恆久印象。能了解己度量化的長度量之合成分解與算式之 間的關係；進行實測與估測；最後進行化聚活動與數線結構的認識。 在化聚活動部分，教學上會將公分與公尺兩個單位單獨提出，用公分的累 積與 1 公尺比較，即得 100 個 1 公分和 1 公尺一樣長，再用皮卷尺測量檢驗， 此時用 100 公分＝1 公尺的等號是有對稱性的。到了化聚時，等號變得有方向性，100 公分＝1 公尺，解釋為 100 個 1 公分合起來和 1 公尺一樣長；而 1 公 尺＝100 公分，則解釋為 1 公尺可以分解為 100 個 1 公分。對 1 公尺和 1 公分 有正確量感的學童做化聚應該很容易，如果學童知道只有 10、100、1000 三種 選擇，就不容易錯了。 化聚活動大致區分成簡單化聚、整數化聚及小數化聚。簡單化聚就是和整 公尺、整百公分，或和整公里、整千公尺，或和整公分、整毫公尺，三種關係 之間的化聚。整數化聚就是複名數化聚。小數化聚即複名數或低階單位量改用 高階單位的小數倍的轉換。 四、第三階段認知結構 包括小數化聚及比例尺兩大部分。就小數化聚來說，公分和毫公尺屬於一 位小數化聚，公尺和公分是二位小數化聚，公里和公尺之間是三位小數化聚。 在本課程中，小數之認知源自分母為 10 的乘冪的數之另一種記法，因此小數 化聚也藉著分數概念而來。1 公分＝10 毫公尺，故 1 毫公尺＝ 10 1 公分＝0.1 公 分，藉此關係把整毫公尺視為 0.1 公分的整數倍，若為複名數，則把整公分部 分另外處理。例如：18 毫公尺＝0.1×18 公分＝1.8 公分。3 公分 5 毫公尺＝ （3+0.5）公分＝3.5 公分。其他的二位、三位小數化聚方式亦同。
第二節 九年一貫數學領域長度課程
本研究之對象為九十八學年度就讀國民小學三至五年級學童，自九十四學年 度起，國中小九年一貫課程綱要開始實施，因此研究對象均為一進入小學即接受 九年一貫數學學習領域課程綱要的學童；同時採用相同之部編版課本進行教學。 因此本節將分析九年一貫部編版之長度相關教材內容，了解國小學童應學習之教 材重點，及探討長度教學之要點及教學相關研究。壹、能力指標與分年細目
長度是國小最早學習的量，具有量之學習的指標作用，而且又是數線與小數 概念的入口，教師務必小心處理此細目，完成利用個別單位測量與距離觀念的連 結(教育部，2008)。 量與實測為國小數學核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、時 間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。除了時間外，其他六種量的學習， 大致要經歷以下四個階段（97 年課程綱要）： 一、初步概念與直接比較 1. 透過感官直接感覺該量，再對兩同類量做直接比較。 2. 量的複製：能以整體複製、合成複製與等量合成複製的方式複製一個 量．這是間接比較的前置經驗。 3. 利用測量工具之刻度直接描述一個量。 二、間接比較與個別單位 1. 對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別做直接比較，並利用 比較結果，做出兩量之比較（涉及量的保留概念與量的遞移律）。 2. 能使用個別單位作測量：利用等量合成複製的結果來描述一個量，並進 行比較。 三、常用單位的約定 1. 認識某類量之常用單位。 2. 能運用此常用單位，作量的比較、加減乘除。 四、常用單位的換算 1. 在測量時，能用大小單位的複名數來描述測量結果。 2. 學習使用單位換算的約定，來進行換算。審視上述量的學習四階段後，發現對於「直接比較」、「間接比較」、「個別單 位」、「常用單位（普遍單位）」的前置、銜接和後續發展，都有妥善詳盡的安排。 先透過感官認識長度量做直接比較，再對無法直接比較的物體進行複製（保留概 念）來間接比較兩個物體長度（遞移概念）。接著透過等量合成複製來比較兩物 長度的活動，讓學生利用小物件（個別單位）來描述大物件的經驗，建立學生使 用個別單位測量的能力。等學生熟悉個別單位概念後，再引入長度的常用單位（普 遍單位），同時配合長度的合成分解活動做長度之加減乘除運算。最後等普遍概 念建立清楚後，再進行不同長度單位之化聚。每個長度概念之發展有其豐富的歷 程，不同概念的出現也有先後次序性，教師需詳加分析留意。（張淑雲，2010） 由於本研究對象均使用部編版教材教學，其編寫長度教材內容依據九年一貫 數學領域能力指標（教育部，2003）所編寫的，而有關長度之能力指標如表 2-2-1： 表 2-2-1 九年一貫長度教材階段能力指標表（教育部，2003） 階段 與長度教材相關的能力指標 N-1-11 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，並標記整 數值。 N-1-12 能在數線上作整數加、減的操作。 N-1-14 能對兩個同類量做直接比較。 N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。 N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結構，並 解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。 N-1-17 能作量的估測。 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的 換算。
由於教師教學上，以及教科書編輯均以「分年細目」為主要參考依據，分年 細目及其對照指標如表 2-2-2 所示： 表 2-2-2 九年一貫長度教材能力指標分年細目表（教育部，2003） 年級 序號 分年細目 對照指標 1-n-09 能認識長度，並做直接比較。 N-1-14 S-1-01 一 1-n-10 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比 較物體的長短。 N-1-15 2-n-13 能理解不同個別單位測同依長度時，其數值不 同，並能說明原因。 N-1-15 二 2-n-14 能認識長度單位「公分」、「公尺」及其關係， 並能作相關實測。 N-1-16 N-1-17 3-n-07 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認 識數據，標記指數值，並在數線上作比較、加、 減、的操作。 N-1-11 N-1-12 三 3-n-12 能認識長度單位「毫米」，及「公尺」、「公 分」、「毫米」間的關係，並能作相關實測與 相關計算。 N-1-16 四 4-n-13 能認識長度單位「公里」，及「公里」與其他 單位的關係，並作相關計算。 N-2-15 由上述兩表所示之能力指標及分年細目看來，國小階段之長度教材大多分布 於低、中年級，教材的安排大致以學童之認知發展為原則，以學生對長度之初步 概念為起點，透過直接比較，經過保留概念形成後，進行間接比較、個別單位比 較，進行個別單位實測的操作經驗，逐漸發展出對長度的相關概念，培養量感， 發展往後估測、實測之能力，並了解測量單位的制度及關係，建立普遍單位之認
識及換算能力。 黃幸美（1999）的研究指出兒童對長度概念的建構，其保留概念、量感及遞 移關係的建構相當重要，並分析低年級數學課程中有關長度概念的學習內容，以 認識長的意義與公分尺的使用與測量為主，而長度的公制單位系統知識、較大距 離的估測和實測，以及長度量普遍單位的化聚問題，則為中年級長度課程的重要 內容。
貳、部編版數學教材長度課程分析
由於本研究以九十八學年度就讀國民小學三至五年級學童為研究對象，所使 用的版本均為部編版數學教材，因此探討的教學單元主要包含部編版一至五年級 中與長度相關之課程，以下就以部編版數學教材為例，做長度教材之分析，如表 2-2-3 所示： 表 2-2-3 部編版第一～十冊長度相關教材內容 冊別 單元 教學目標 對照指標 一 五、物件的長短 1.能認識長度，並作直接比較 2.能以個別單位實測的方法比較物件的長 短。 N-1-14 S-1-01 N-1-15 二 六、長度 1.能以刻度標記的方式，測量物件的長度。 2.能以積木等為個別單位，配合長度的度 量，將長度的合成分解用加減法算式寫 出。 3.能認識直線與曲線，並利用線繩曲線複製 其長度，量線繩長決定曲線的長度。 4.能認識距離，並做距離遠近的比較。 N-1-14 S-1-01 N-1-15三 四、量量看 1.能理解用不同的個別單位測量同一長度 時，其數值不同，並能說明原因。 2.能認識長度單位「公分」，並作相關的實 測活動與以公分為單位的加減計算。 3.能使用直尺畫出指定長度的線段。 4.能畫出兩點間的線段，並測量其長度。 N-1-15 N-1-16 N-1-17 四 五、公尺與公分 1.認識「公尺」，及 1 公尺＝100 公分。 2.長度的估測及實測。 3.把幾公尺幾公分換算成公分。 4.能在具體情境中，認識三個長度量的遞移 關係。 5.用＋、－、×解決生活中的長度問題。 N-1-16 N-1-17 一、數線 二、10000 以內 的數 十、時間 1.在數線上標記各刻度對應的整數值。 2.用數線做加減及大小比較。 3.認識兩點間的距離，並算出距離。 4.認識 10000 以內的數及「千位」位名，並 進行位值換算。 5.利用數線計算某一時段的日數。 N-1-11 N-1-12 五 五、毫米 1.認識「毫米」，並以公分、毫米為單位， 進行長度的實測活動。 2.認識 10 毫米=1 公分，並作換算。 3.以公分、毫米為單位的長度比較。 4.解決生活中的長度問題。 N-1-16
六 一、周長與面積 三、分數 五、小數 六、乘法 十、除法 1.用直式解決幾公分幾毫米的加減法問題。 2.解決生活中長度、容量、重量的問題。 3.能用乘法解決生活中的問題。 4.在具體情境中用除法解決倍數的問題。 N-1-16 七 二、公里 1.能認識長度單位「公里」，及「公里」與 「公尺」的關係，並做相關計算。 2.能解決長度、容量、重量的複名數的加減 乘問題。 N-2-15 八 八、小數 1.能利用 1 公里＝1000 公尺的關係，做 0.1 公里、0.01 公里及 0.001 公里與 100 公 尺、10 公尺及 1 公尺的互換。 2.能做公升與毫升、公斤與公克的互換。 N-2-15 十 七、單位換算 1.用分數和小數做十進位制單位的換算。 2.認識「公噸」，並用分數和小數做公噸公 斤的換算及計算。 3.認識「公畝、公頃、平方公里」，並用分 數和小數做面積單位的換算及計算。 C-S-02 N-2-15 N-2-16 由以上表格可以發現，部編版中與長度相關之課程在一年級即開始，從長度 的初步概念，認識長度單位「公分」，進行比較、實測，再認識「公尺」、「毫米」， 並了解單位之間的關係，延續至四年級認識「公里」，進行單位化聚活動。尤其 在中年級開始，長度的課程開始分布於其他單元中，加入位值、小數及乘除法的 計算，以解決生活中單位量之換算，故學童對長度單位量的掌握應為所有單位量 中最佳。至於五年級與長度相關之數學課程，以分散至題目中為主，以應用題布 題的方式讓學童進行練習；或已轉換成面積、體積的計算。
第三節 小數化聚相關課程及研究
壹、能力指標與分年細目
本研究之研究對象為九十八學年度就讀國民小學三至五年級之學童，其數學 課程為九年一貫課程綱要（教育部，2003），以下將九年一貫課程有關小數之各 年段分段能力指標條列如下，如表 2-3-1 所示： 表 2-3-1 九年一貫小數教材能力指標分年細目表（教育部，2003） 年級 能力指標 分年細目說明 一 無 無 二 無 無 三 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 四 4-n-08 4-n-09 4-n-10 4-n-11 能理解等值分數，進行簡單易分母分數的比較，並用來 作簡單分數與小數的互換。 能認識二、三位小數與百分位千分位的位名，並作比較。 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 能用直式處理二、三位小數加、減與整數被的計算，並 解決生活中的問題。 五 5-n-08 5-n-09 5-n-10 5-n-11 能認識多位小數，並作比較與加減的計算，以及解決生 活中的問題。 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做 加、減、乘、除之估算。 能將分數、小數標記在數線上。 六 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。由上表可知，國小階段的小數教材分布於三到六年級，以四、五年級佔的比 例較重。同時，在三年級的長度單元（3-n-12）及容量單元（3-n-14）、五年級的 重量單元（5-n-14）及面積單元、六年級的速度單元（6-n-08）之分年細目中， 亦有小數與日常生活單位量結合之教學活動。
貳、部編版數學教材小數課程分析
由於本研究以九十八學年度就讀國民小學三至五年級學童為研究對象，所使 用的版本均為部編版數學教材，因此探討的教學單元主要包含部編版一至五年級 中與小數或位值相關之課程，以下就以部編版數學教材為例，做小數課程相關教 材之分析，如表 2-3-2 所示： 表 2-3-2 部編版國小一至五年級數學教材內容分布表 冊別 單元 教學目標 對照指標 六 五、小數 1. 認識一位小數及「十分位」位名，並進行位值 換算及大小比較。 2. 一位小數加減法直式計算。 3. 用逐次減項記錄做三個小數的加減計算。 4. 認識一位小數及「十分位」位名，並進行位值 換算及大小比較。 N-1-11 N-1-12 七 八、小數 1. 認識二位小數及「百分位」位名，並進行位值 換算及大小比較。 2. 做長度量（公尺與公分、公里與公尺）的互換。 3. 小數與分數的互換。 4. 二位小數的加減法直式計算。 N-2-15八 八、小數 1.能利用 1 公里＝1000 公尺的關係，做 0.1 公里、 0.01 公里及 0.001 公里與 100 公尺、10 公尺及 1 公尺的互換。 2. 能做公升與毫升、公斤與公克的互換。 N-2-15 九 七、小數 1. 認識多位小數，並做比較與加、減的計算，以 及解決生活中的問題。 2.能用直式處理整數除以整數，商為小數的計算。 3. 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的 計算，並解決生活中的問題。 4. 能將分數、小數標記在數線上。 5. 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概 數，並做加、減、乘、除之估算。 N-2-10 N-2-06 N-2-10 N-2-13 N-2-05 十 五、小數 1. 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活 中的問題。 2. 能用直式處理除數是小數的計算，並解決生活 中的問題。 N-2-12 N-3-04 由上表可知，在部編版教科書中，小數的概念從三年級下學期開始介紹，到 四年級擴及二位、三位小數之認識，至五年級學會多位小數的基本概念與計算， 及小數與分數之互換，能掌握小數之概念及運算，並應用於生活問題中。
參、小數位值及化聚相關研究
艾如昀（1994）指出學童對小數位數與其數值大小間的知識，會影響學童在 各種小數題目上的表現。當學童沒有學好或不清楚小數位數與其數值大小間的知 識，連帶的會影響學童學習其它小數的概念和他們在各種小數題目上的表現。 陳麗珍（2003）對國小四年級學童小數概念學習的偵測，發現在小數位值與位名的認識上，學童對百分位位名的概念不清楚，容易直接將整數位名移植至小數百 分位位名上，例如：729.13 的百分位常被誤為是 7。 李思綺（2012）研究國小四年級學童小數之概念，結果發現全體學童最精熟 的小數概念認知屬性為「能完成二位小數的化聚」，最不精熟的小數概念認知屬 性為「能做公分與公尺的關係轉換」。且高分組與低分組學童都有「把整數的位 名與位值概念使用在小數上」、「受整數位名影響，左右位名對稱小數點，獨創個 分位」的迷思概念。
第四節 國民小學單位量化聚之相關研究
黃幸美（1999）的研究結果指出，學童難以使用多樣物件為長度並正確比較 所複製出的長度結果，是兒童處理長度個別單位中比較問題的困難。且兒童對長 度公制單位高低階單位之間關係與數樣轉換難以統整運作，因此在長度量的高低 階單位化聚的問題處理上，容易產生解題的困難。 茲將參考的相關研究，整理如下表 2-4-1： 表 2-4-1 國民小學單位量化聚相關研究整理 研究者 研究主題 與單位量化聚相關之研究發現 張淑雲 （2010） 國小三年級學童 長度概念的理解 情形 1.有些中、低能力學童會有 1 公尺＝10 公分的迷思 概念，還未具備長度化聚的計算能力。 2.大部分學童已具備解決長度加法合成計算能力， 但對長度之乘法合成計算能力需加強。 3.學童對長度分解之減法和除法計算的能力尚需加 強。 楊涵茱 （2010） 國小三年級學童 長度概念結構分 析之研究 ◎在測量概念上，先具備「直尺測量」和「長度單 位化聚」的概念，才能發展「單位量與度量次數」 的學習。 沈佩怡 （2007） 試題關聯結構在 評量分析上之應 用－以國小四年 級學童之二位小 數化聚概念為例 ◎小數的化聚概念是先由單位化小數合成概念開 始，經由「十分位不含零、不進位之單位化小 數」、「十分位含零、不進位之單位化小數」、「十 分位不含零、進位之單位化小數」、「十分位含 零、進位之單位化小數」的歷程，漸次發展至單位化小數分解概念。 陳文利 （2001） 國小四年級學童 小數迷思概念之 研究 ◎四年級學童直接將單位量之小單位部分視為小 數部分。 郭孟儒 （2002） 國小五年級學童 小數迷思概念及 其成因之研究 1.在「單名數轉換為複名數」上，五年級學童會因 不了解小數點或單位互換的意義，而將小數點當 成「隔開」大單位數字和小單位數字的記號。 2.在「複名數轉換為單名數」上，學童會因不了解 小數點或單位互換的意義，而產生將大單位數字 視為整數部份，將小單位數字視為小數點後部份 的迷思概念。 陳永峰 (1998) 國小六年級學童 小數知識之研究 1.學生直接將小數單位部分視為小數部分。例如：3 公尺 7 公分＝3.7 公尺。 2.在度量衡單位小數與複名數換成單名數上，有的 學生將小數點作為大單位與小單位的區隔，以傳 統班表現較不理想。 戴政吉 （1999） 四年級學童的小 數迷思概念—由 學童習作所犯之 錯誤談起 ◎學生在「度量衡單位小數的換算」的迷思類型為 「僅有直覺型」。例如；1 公尺 5 公分＝1.5 公尺。 洪藹鈺 （2008） 小數概念之前在 類別分析及其縱 1.小數單複名數的轉換為小數應用概念中最需加強 之概念。
五年級學童為例 2.小數化聚與劉曼麗(1998)、郭孟儒(2002)、陳文利 (2001)的研究相符：「直接將個數和單位合成」。 林巧芸 （2006） 國小學生小數學 習能力之因數分 析研究 ◎ 學 生 在 度 量 衡 單 位 小 數 的 換 算 能 力 表 現 較 佳 者，在第四因素「度量衡單位小數的換算能力」之 表現較理想。
第三章 研究方法
本研究目的在採用自編的單位量化聚能力測驗，藉以獲得研究所需要之資 料，探討本研究著重的問題。根據前兩章所提出的研究動機、目的及文獻探討， 本章將進行研究設計，共分為五節，以下分別就研究架構、研究對象、研究工具、 研究程序，和資料處理與統計分析等詳細說明。第一節 研究架構
本研究之架構係依據研究動機、目的，並參考相關文獻後，編製出國小三至 五年級學童「單位量化聚能力測驗」，藉以探討學童在不同年級對單位量化聚能 力之表現情形，理解學童的能力，及其可能遭遇之問題或迷思概念。圖 3-1-1 為 本研究之研究架構圖。 圖3-1-1 研究架構 長度單位量教材 概念及文獻 位值與小數相關教材 概念及文獻 分析試題 單位量化聚概念 三、四、五年級抽班級施測 編製單位量化聚測驗試題 分析學童表現
第二節 研究對象
本研究之研究對象為國小三、四、五年級學童，在研究對象的的選取上，考 量研究經費及資源的限制，因此本研究以立意抽樣法進行取樣，進行單位量化聚 能力測驗，以了解學童在單位量化聚能力上之表現情形。 受試學童為九十八學年度就讀台中市某國小三、四、五年級之學童，均接受 九年一貫數學領域課程，並於進入小學一年級後即採用部編本之數學教材。 研究者依據教育部所公布之九年一貫數學領域長度單位量及小數、乘除能力 相關能力指標編製測驗，請取樣班級之導師協助施測。施測前先向協助施測的教 師說明注意事項，同時向受試學童說明測驗方式與目的，施測所得資料僅供研究 使用，不會公開也不會影響成績，希望受試者能盡最大努力回答，不要以猜測方 式答題，以減輕教師及學童之壓力，進而影響施測之信度與效度。壹、預試樣本
本研究以台中市某國小三至五年級學童為研究對象。預試時先從每個年級找 一個班級，請施測教師各找 5 位男學生和 5 位女學生進行測驗，班級採常態分班， 不具任何特殊性，且測驗學童不包含特殊學生，以一節課 40 分鐘進行施測，學 童均能有效回答試題，並無空白試題收回。有效樣本為男生 15 人，女生 15 人， 合計共 30 人。各年級人數分布如下表（表 3-2-1）所示： 表 3-2-1 預試施測樣本數分配表 三年級 四年級 五年級 合計（人） 男生 5 5 5 15 女生 5 5 5 15 合計（人） 10 10 10 30貳、正式施測樣本
以台中市某一所學校之三年級至五年級學童，各年級抽取二班為樣本，總人 數 182 人，無空白試題收回。有效樣本為男生 85 人，女生 97 人，合計獲得有效 樣本共計 182 人。表 3-2-2 為正式樣本之詳細分布情形。 表 3-2-2 正式施測樣本數分配表 三年級 四年級 五年級 合計（人） 男生 25 27 33 85 女生 31 34 32 97 合計（人） 56 61 65 182第三節 研究工具
本研究欲探討國小三至五年級學童在單位量化聚能力之表現情形，所採用的 工具是依據教育部所公布之九年一貫數學領域長度單位量及位值、小數相關能力 指標，並參考現行教材中與長度單位觀念，及單位量化聚之相關試題，由研究者 自行進行命題進行書面測驗。希望能測量學童在接受單位量之教學後，是否能達 到能力指標，以評量出學童在單位量上之表現情形，並藉此能作為教師在教學上 注意，及補救教學之依據。 一、試題結構 本研究目的在於了解國小三至五年級學童在單位量化聚能力上的表現情 形。檢視與單位量之相關能力指標，於數學領域中數與量第一階段，即要求能需能做長度的實測，認識長度常用單位，並能做長度之比較與計算（教育部， 2010）。故以此能力指標為基準，參酌部編版數學教材內容，以及三至五年級 之分年細目來編製測驗，以期達到了解學童在單位量化聚之能力及困難所在。 編製試題之概念及內容如下： (一)認識長度單位及高低階關係： 包含認識公里、公尺、公分、毫米等四種長度單位，能了解它們平常使用 於測量何種長度範圍，以及「1 公里＝1000 公尺」、「1 公尺＝100 公分」、「1 公分＝10 毫米」之高低階關係，共有 6 個試題。 （二）位值、倍數和小數觀念： 包含一、二、三位小數及 10 倍、100 倍、1000 倍的關係出現時，其位值 的移動與計算能力，共有 7 個試題。 （三）長度單位之間的化聚關係： 依單位化聚的方式可再分為三個部分： 1.初步化聚，指高階單位的整數倍與低階單位間的化聚，如 500 公分＝5 公 尺； 2.整數化聚，指含高階單位的複名數與低階單位間的化聚，如 472 公分＝4 公尺 72 公分； 3.小數化聚，包含小數在內的高低階單位之轉換化聚，如 6.3 公尺＝63 公分。 共有 17 個試題。 二、測驗試題之編製與審查 本測驗試題依據九年一貫與長度單位之相關能力指標，參考現行教材中與 長度單位量化聚，及倍數小數概念相關之試題加以編製。 預試試題共有 30 題，以選擇題方式呈現，每題均有四個選項，並極力兼
顧選項誘答力，以期了解學童錯誤類型。試題共分為三大類，包括認識長度單 位及其之間關係；倍數與小數、位值之間關係；長度單位量化聚關係，包含長 度單位的初步及整數化聚，及長度單位的小數化聚之關係。將此三大類題目平 均分散於試題中，每題對的給一分，錯的給零分。 為避免題目不夠清晰，或有語句不夠適宜之處，於題目完成編擬之後，再 請實際參與數學課程教學之國小教師六名，針對試題是否題意清晰、內容是否 合乎學童能力、答案是否正確、學生是否能理解作答，以及是否能測量出欲理 解之概念，能夠提出建議，以適度修正試題內容。 三、測驗工具之修改 「單位量化聚相關能力測驗」經預試後收回，進行資料統計分析。依據預試 結果，分析預試試題之信效度、難度與鑑別度，修正試題後，編修正式題本。 以下就預試結果及修改題目之過程加以說明： 1.信度分析 信度（reliability）又稱可靠性，係指測驗結果的穩定性（郭生玉，2004）。 本研究獲得之測驗資料採取 Cronbach’s α 係數，依古典測驗理論信度之定 義，分析得本份測驗整體之α 係數為 .9014（如附錄四），表示本試題具有良 好之信度。 2.效度分析 本研究工具使用之效度採專家效度。研究者參考部編本出版之數學教 材，包括課本、習作之內容，諮詢數學教材專家及教授，編製「單位量化聚 能力測驗」，並請六位在校實施數學教學之現職教師檢視審查命題，提供試 題的相關修改建議，使試題內容具有專家效度。
3.難度與鑑別度分析 表 3-3-1 「單位量化聚相關能力測驗」預試試題難度、鑑別度一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 難度 .72 .61 .72 .89 .95 .67 .89 .61 .61 1 鑑別度 .56 .78 .56 .22 .11 .67 .22 .56 .78 0 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 難度 .78 .67 .78 .78 .56 .78 .89 .56 .73 .78 鑑別度 .44 .67 .22 .44 .67 .22 .22 .45 .33 .44 題號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 難度 .61 .72 .61 1 .56 .73 .56 .73 .67 .56 鑑別度 .78 .56 .78 0 .89 .33 .89 .33 .67 .89 在試題難度方面，根據測驗試題的評鑑原則，試題難易度指數介於 0.4～ 0.8 者為最佳試題（郭生玉，2004）。在本測驗第一部分長度單位概念試題（第 1、6、10、13、19、24 題）中，第 10 題和 24 題的難度為 1.0，表示不論高低 分組學童，均能回答此題，其餘四題的難度介於 0.4～0.8 之間，難度適宜；在 本測驗第二部分位值、倍數、小數概念試題（第 2、7、12、15、23、26、28 題）中，第 7 題難度 0.89，顯示此題的難度偏易，其餘六題的難度適宜；而在 本測驗第三部分長度單位間的化聚關係試題中，唯第 4 題難度 0.89、第 5 題難 度 0.95、第 17 題的難度為 0.89，顯示這三題的難度偏易，其餘十三題試題之 難度均屬適宜。 在試題鑑別度方面，根據測驗試題的評鑑原則，試題鑑度指數為 0.25 以 上為最佳試題(郭生玉，2004)。在本測驗第一部分試題中，第 10 題和 24 題的
鑑別度為 0，第 13 題鑑別度為 0.22，略低於標準，另外三題介於 0.33～0.78 之間，鑑別度頗佳。第二部分試題中，唯第 7 題鑑別度 0.22 略低於標準，其 餘六題介於 0.33～0.78 之間，鑑別度頗佳。在第三部分試題中，除了第 5 題的 鑑別度為 0.11 較低，第 4、5、16、17 題的鑑別度為 0.22，略低於標準外，其 餘 13 題均介於 0.44～0.89 之間，鑑別度頗佳。 4.刪除或修改試題 根據以上難度與鑑別度的分析發現，試題第 10 題與第 24 題之難度為 1.0， 鑑別度為 0，顯示此兩題對受試者來說，無法測出能力之差異，應予以刪除。 但在信度分析中，第 10 題和第 24 題之信度均為 .9025，均具備良好之信度； 且這兩題的題目均屬於學童對長度單位之基本認識，在二年級的能力指標 N-1-09 能做長度的簡單估測，以及三年級能力指標 N-2-17 能做長度的實測， 認識長度常用單位，此試題不管高、低分組答對率均相同，顯示學童對於遇到 情境，使用「公里」及「毫米」兩項長度單位進行估測，已具有能力，故將試 題第 10 題和第 24 題刪除，其餘題目予以保留作為正式測驗的試題。 在專家效度方面，有教師提出試題第 13 題的第三個選項 202 公分，與第 四個選項 220 公分屬於相同命題，因此修改第三個選項為 2.02 公尺。試題第 14 題的原試題描述為「一支迴紋針長 3.9 公分，請問下列何者敘述也正確？」 因四個答案均屬於正確敘述，只是與迴紋針無關，題意不夠清楚，怕有混淆受 試學童之虞，因此將試題之描述改為「一支迴紋針長 3.9 公分，請問下列關於 迴紋針長度的敘述，何者正確？」其餘試題仍保留至正式施測試題使用。 四、正式測驗之編製及施測 經試題編修刪減，修改兩個試題的撰寫方式之後，正式施測之試題為選擇 題28題。進行測驗時，從三、四、五每個年級隨機抽取二個班級，班級採常態
卷及答案卷，答案卷上讓學童填寫個人資料，包括年級、性別及是否參加數學 科校外補習等，請施測教師先念指導語後進行施測，測驗時間為一節課40分鐘， 學童均能有效回答試題，且無空白答案卷。有效樣本為男生85人，女生97人， 合計共182人。
第四節 研究流程
本研究旨在探討國小學童單位量化聚相關能力之研究，茲將本研究之研究流 程說明如下：壹、確立研究主題、撰寫研究計劃
研究者閱讀相關資料，與指導教授討論，確立研究焦點後，開始著手蒐集並 閱讀相關文獻，確定研究主題為「國小學童單位量化聚理解相關能力之評量研 究」。之後開始撰寫研究計劃，確立研究流程、架構、工具與預定進度等。貳、文獻資料蒐集
研究者蒐集及閱讀國內外有關「長度單位量」、「單位量化聚」及「小數化 聚」相關之論文、期刊、書籍及文章，以及國小一至五年級學童之學習教材等， 之期待從中整理出較有系統的概念，做為本研究之概念架構及測驗編製之相關理 論依據。參、擬定撰寫研究計畫
根據閱讀相關文獻資料之分析與統整，擬定研究計畫與架構，訂定研究目的 及待答問題。肆、測驗工具的編製及施測
參照九年一貫與長度單位之相關能力指標，參考現行教材中與長度單位量化 聚，及倍數小數概念相關之試題，由研究者自編「單位量化聚能力測驗」，經六 位在校擔任數學教學之教師協助審定，選擇國小三至五年級學童進行預試及正式施測，以一節課 40 分鐘完成測驗。
伍、資料處理與分析
將測驗資料回收後，由研究者先批改及計分，輸入資料並予以編碼，再依 據本研究之研究目的，將所得資料以適當之統計方法進行整理與分析。陸、撰寫研究報告
將資料分析結果加以歸納、解釋，整理彙集各項研究發現，提出結論與建議， 作為未來相關研究之參考；最後撰寫研究報告。 本研究實施的流程，如圖3-4-1所示： 確定研究主題 文獻資料蒐集與整理 撰寫研究計畫 編製測驗工具 施測班級之聯繫 進行團體施測 測驗資料整理與輸入 資料處理與分析 提出結論與建議、撰寫研究報告第五節 資料處理與統計分析
壹、資料處理
本研究的研究資料，於施測後整理回收樣本，研究者先在回收之試題答案卷 上進行批改、記分，再登錄受試學童之年級、性別、是否參加數學校外補習，及 各題測驗分數於電腦之資料表內，並確認有效樣本數，加以編碼，總計共有182 個有效樣本。所得之研究資料經彙整之後，依據本研究研究目的，進行資料分析。貳、統計分析
本研究之資料分析方式茲說明如下： 一、施測工具之分析 以 Cronbach’s α 係數，進行「單位量化聚能力測驗」之內部一致性檢定。另 外分別計算每一題測驗試題之難度和鑑別度。 二、描述性統計 求出次數分配、百分比、平均數及標準差等，了解並探討學童在長度單位量 之相關能力的表現情形。 三、推論統計 （一）以獨立樣本 t 檢定來探討不同性別是否對「單位量化聚相關能力」造成 顯著差異。 （二）以獨立樣本 t 檢定來探討參與課外補習的學童是否對「單位量化聚相關 能力」的得分造成顯著差異。 （三）以單因子變異數分析探討不同年級是否對「單位量化聚相關能力」的得 分造成顯著差異。若有顯著差異，則進行事後比較。（四）以皮爾森積差相關（Pearson product-moment correlation）來探討影響國 小學童長度單位量化聚之相關能力之相關程度。
第四章 研究結果與分析
本章根據前三章所提之研究目的、研究過程步驟與研究方法，進行正式施 測，茲將研究結果分三節加以討論：第一節為測驗工具分析，第二節探討三至五 年級全體學童在單位量化聚相關能力的表現分析，第三節為單位量化聚試題間相 關之情形。第一節 測驗工具分析
本研究之「國小學童單位量化聚理解相關能力測驗」試題經過修正之後，於 九十八年度第二學期末進行正式施測，茲將正式施測後的試題各項資料整理如 下： 一、信度分析 研究者以 Cronbach’s α 係數來求試題的內部一致性。依據鄒慧英（2003）指 出：教師自編測驗的信度通常介於 .60到 .85之間。經統計分析得知整體測驗之 Cronbach’s α 值為 .85，可知試題具有良好之信度，表4-1-1為正式題本信度分析 統計表。 表4-1-1 正式題本信度分析統計表 題號 刪除此題後的α值 題號 刪除此題後的α值 1 .8540 15 .8573 2 .8476 16 .8591 3 .8550 17 .8513 4 .8546 18 .8544 5 .8573 19 .8534 6 .8503 20 .85107 .8558 21 .8512 8 .8524 22 .8476 9 .8513 23 .8435 10 .8532 24 .8564 11 .8577 25 .8431 12 .8549 26 .8493 13 .8502 27 .8511 14 .8573 28 .8526 二、難度與鑑別度分析 本研究正式施測人數為182人，將所有受試者成績由高至低依序排列，先由 最高分數向下取27%的學童為高分組，再由最低分向上取27%的學童為低分組， 分別計算出高低分組學童在每個題目上的通過率，最後求出高分組通過率與低分 組通過率之平均值，為題目之難度（郭生玉，2004）。在試題難度方面，許多測 驗專家則建議難易適中的試題最為恰當，難度值越接近 0.5，鑑別度越佳。根據 學者 Chase（1978）主張測驗試題的評鑑原則：試題難易度指數介於 .40～ .80 者 為選擇題的選擇標準（郭生玉，2004）。本測驗之難度，除第 5、7、16 題偏易 之外，其餘試題均介於 .50～ .90 之間；而整份試題的難度平均值為 0.78，介 於 .40～ .80 之間，試題難度屬於中偏易。 在試題鑑別度方面，本研究採用內部一致性（internal consistency）分析，旨 在了解各個試題的功能是否和整個測驗的功能符合一致。其分析方法即是將高分 組答對百分比，減去低分組答對百分比，得到鑑別力指數。根據美國測驗學者霍 布金斯（Hopkins,1998,p.260）曾提出一套受測人數至少30人的鑑別力評鑑標準： 試題鑑別度在 .40以上，屬於非常優良的試題；試題鑑別度在 .30~ .39，屬於優 良的試題；試題鑑別度在 .10~ .29，屬於尚可的試題；試題鑑別度在 .01~ .10，
屬於不佳的試題，需要刪除或修改；若是出現負數，表示錯誤解答或題目曖昧（郭 生玉，2004）。本研究試題在鑑別度分析部分，以高分組學童之通過率減去低分 組學童之通過率，得到該試題之鑑別度（如表4-1-2）。全部試題均有高於 .10以 上之鑑別度，整體鑑別度平均值為 .44，屬於優良試題，因此本測驗試題具有參 考價值。 研究者將國小三至五年級學童「單位量化聚相關能力測驗」之結果分析試題 難度及鑑別度統計整理如表4-1-2： 表4-1-2 「單位量化聚相關能力測驗」正式試題難度及鑑別度一覽表 試題編號 難度 鑑別度 試題編號 難度 鑑別度 1 .83 .31 15 .79 .27 2 .68 .61 16 .89 .18 3 .84 .33 17 .69 .55 4 .90 .20 18 .73 .47 5 .95 .10 19 .78 .41 6 .75 .51 20 .80 .41 7 .93 .14 21 .78 .45 8 .74 .45 22 .67 .67 9 .68 .61 23 .52 .92 10 .88 .24 24 .78 .41 11 .86 .29 25 .56 .84 12 .84 .21 26 .60 .72 13 .80 .33 27 .77 .47 14 .68 .65 28 .65 .59
